第十讲 分解质因数(一)
北师大版小学数学五年级上册《分解质因数》知识点讲解突破
分解质因数知识精讲1.质因数和分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。
如30=2×3×5，2，3，5就是30的质因数。
把一个合数分解成若干个质数相乘的形式，这个过程就叫作分解质因数。
2.分解质因数的方法（1）分解法不断把这个合数分解成一个质数和另一个数相乘的形式，一直到最后都是质数为止，以把24分解质因数为例。
242 × 122 × 62 × 3上面第一步是把合数24分解成2×12，接着再把12分解成2×6，再把6分解成2×3，最后整理可得：24=2×2×2×3。
（2）短除法短除法是指不按一般的除法竖式格式书写，而是在被除数的左边写除数、在被除数的下面直接写出商的方法。
用短除法分解质因数时，从最小的质数除起，如果得到的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得到的商是合数，就继续除，直到所得商是质数为止，最后把所有除数和最后的商写成连乘的形式。
如： 2 242 122 63因此，24=2×2×2×3。
易错易误点1.质因数分解不完全分解质因数时，容易出现分解的最后结果中仍有合数的情况。
如将36分解质因数的结果写成36=2×3×6。
这里，6是合数，不是质数，这是错误的，最后结果必须分解为全是质数的形式。
因此需要继续将6分解质因数，最后得到的结果应该是36=2×2×3×3。
2.用短除法分解质因数时除数不是质数如： 4 482 122 63所以48=4×2×2×3。
这里错在第一个除数4不是质数，所以这个分解质因数的结果是错误的，正确结果应该是48=2×2×2×2×3。
典型例题例1 请把56分解质因数。
解析：可以用分解法进行，即用分解的形式把56一步一步用整数乘法分解，直到全部分解为质数相乘的形式为止。
分解质因数的方法与技巧(用例子讲解分解质因数的步骤)
最近，五年级正在学习因数与倍数知识，许多同学反映分解质因 数对于他们来说有点难，能不能给他们总结归纳一些方法，让他们高 效率做出题目，今天老师就给大家总结一些方法，希望同学们能快速 掌握。 一、知识铺垫 1、因数和倍数：在整数乘法里，如果 a×b=c，那么 a 和 b 是 c 的因数， c 是 a 和 b 的倍数。 2、 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数(一 般不包括 0)。但是 0 也是整数。 3、一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。一个数的因数的个数 是有限的。 4、一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的倍数的 个数是无限的。 如果两个整数(a、b)都是另一个整数(c)的倍数，那么这两个整数的和 (a+b)也是另一个整数(c)的倍数。 5、 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 个位上是 0、5 的数都是 5 的倍数。 个位上是 0 数既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。 一个数各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
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(1)利用乘法口诀 (2)抓住数的特点 (3)熟记质数表(见前两篇文章中——100 以内质数歌) 课后练习： 1， 把 12 分解质因数后求全部因数。 2.把 80 分解质因数后求全部 因数。 3.四个连续自然数的积是 360，求这四个自然数。 4.四个连续奇数的积 3465，求这四个数。 5，三个连续偶数的积是 960，这三的偶数的和是多少? 6，学区举行团体操表演，有 1430 名学生参加，分成人数相等的若干 队，要求每队人数在 题意，每队人数×队数=1430，每队人数在 100 至 200 之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在 100 至 200 之间的约数。 先把 1430 分解质因数， 得 1430=2×5×11×13。 从这四个质数中选若干个，使其乘积在 100 到 200 之间，这是每队人 数，其余的质因数之积便是队数。 2×5×11=110，13; 2×5×13=130，11; 11×13=143，2×5=10。 好了，今天就分享到这里，希望孩子们能顺利掌握。
高思数学_5年级上第10讲约数、倍数初步(彩色)
高
思
5400 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解
教
在数字较小的时候，可以利用配对法进行枚举，当数比较大的时候，利用公式就会
育
63
五 年 级
上册第 10 讲
有奇数个，它的所有质因数的指数加 1 就都得是奇数，即每一个质因数的指数都是偶数． 例如：4 = 22 ， 400 = 24 × 52 ， 90000 = 24 × 32 × 54 ，…… 不难看出 4、36、400、90000 这些数都是完全平方数．原因就在于它们所含的每个 质因数，其指数都是偶数． 关于平方数和约数个数之间的关系，我们有如下的结论： 含有奇数个约数的数是完全平方数，含有偶数个约数的数不是完全平方数． 如果一个数不是完全平方数，它的所有约数刚好可以配对，而且每一对的乘积都是 这个数本身． 对于完全平方数，我们可以按如下方法计算其所有约数的乘积．36 是一个完全平方 数，它的所有约数有 9 个．其中除了 6 以外，另 8 个约数可以配成 4 对，积为 4 个 36 相 乘．所以 36 的所有约数乘积是 36 × 36 × 36 × 36 × 6 = 69 ．
例题 3
数的约数个数多 1．这两个数分别是多少？
数，2800 的约数中哪些数有奇数个约数呢？
练习
3. 两数乘积为 2100，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数的 2 倍还多 1．这两个数分别是多少？ 下面， 继续来学习公约数与公倍数的概念．顾名思义， 公约数就是几个数公共的约数， 其中最大的一个称为最大公约数； 公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为 最小公倍数．特别地，1 为所有数的公约数． 通常，我们把两个数 a、b 的最大公约数记为 (a , b ) ； a、b 的最小公倍数记为 [a , b ]． 三个数 a、b、c 的最大公约数记为 (a , b , c ) ； a、b、c 的最小公倍数记为 [a , b , c ] ． 求几个数的最大公约数与最小公倍数，常用的方法有如下几种： 短除法、分解质因 数法、辗转相除法． 分解质因数的方法比较实用， 也利于我们分析数的构成， 所以本讲将重点讲解这种办法：
北京版数学五下《分解质因数》WORD教案
北京版数学五下《分解质因数》WORD教案教案：分解质因数一、教学目标：1.理解质数和合数的定义。
2.学会使用分解质因数的方法，将一个自然数分解为质因数的乘积。
3.能够应用所学的知识解决实际问题。
二、教学内容：1.质数和合数的定义。
2.分解质因数的方法。
3.实际问题的应用。
三、教学重难点：1.理解质数和合数的定义。
2.掌握分解质因数的方法。
四、教学过程：1.导入新课：（1）简单复习上节课的内容，提问学生一些简单的问题，引导学生思考质数和合数的概念。
（2）告诉学生本节课的学习目标：学会分解质因数的方法。
2.讲解质数和合数的概念：（1）引导学生回顾质数和合数的定义，并总结质数的特征（只有1和自身两个因数）和合数的特征（有除1和自身以外的其他因数）。
（2）通过示例和讲解，让学生理解质数和合数的区别。
比如：2、3、5、7是质数，4、6、8、9是合数。
（3）板书质数和合数的定义和示例。
3.学习分解质因数的方法：（1）向学生介绍分解质因数的概念，并说明分解质因数的意义和重要性。
（2）通过示例和讲解，教给学生分解质因数的步骤：①找到一个质数因子；②用这个质数因子除以给定的自然数；③如果可以整除，则继续用商进行步骤①和②，直到无法整除为止；④找下一个质数因子，重复步骤①、②和③，直到将原始数分解成一个或多个质数的乘积。
（3）通过一些简单的例题，让学生掌握分解质因数的方法。
4.提高拓展：（1）让学生自己尝试分解一些给定的自然数的质因数。
（2）教师巩固学生对质数和合数的理解，进行小结。
5.实际问题的应用：（1）通过一些实际问题，让学生应用所学的知识解决问题。
（2）提问学生如何使用分解质因数的方法解决问题，鼓励学生分享自己的思路和答案。
6.课堂练习：（1）让学生在课堂上完成一些练习题，检查他们对于分解质因数的掌握程度。
（2）教师及时纠正学生的错误，对于不会的问题进行解答。
7.课堂总结：（1）归纳学生所学的知识点，复习质数和合数的定义以及分解质因数的方法。
讲义：分解质因数应用题、2的偶质性(北师大版五年级上册、备战小升初)
大脑体操小华是一名小学五年级学生，他参加了全校举办的数学竞赛，同学问：“这次数学竞赛你得了多少分?在60人中获得了第几名?”小华说：“我的分数和名次、年龄都是质数,它们的乘积是2134,你知道我的成绩和名次各是多少吗?”解：一分：先将2134分解质因数，得2134=2×11×97二凑：小华上五年级，年龄应该是11岁，60人参加竞赛，不会排第97名，所以得了第2名，分数为97分。
1、一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
2、把一个“合数”，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：24=2×2×2×3。
3、把一个数分解成质因数相乘的形式，是启发我们解决很多问题的突破口。
1、掌握分解质因数类题型“一分二凑”的解题思路（分解后再组合）。
2、掌握用“凑对法”寻找一个数所有因数的解题方法。
3、掌握考察“2的偶质性”类分解质因数题型。
题型一：一分二凑（分解后再组合）例题1 写出若干个连续的自然数，使它们的乘积是15120解：一分：先把15120分解质因数，进而组合（凑）因数，使几个因数成为连续的自然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7二凑：=5×（2×3）×7×（2×2×2）×（3×3）=5×6×7×8×9例题2王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植树了539棵。
这个班有多少学生？每人植树多少棵？解：一分：539=7×7×11二凑：如果每人植数7棵，这个班就有7×11-1=76人，一个班一般不会有76人，所以每人植树11棵，一共有7×7-1=48人。
分解质因数
分解质因数同学们，你们好！在这一讲中，我们一起来研究“分解质因数”的知识。
（一）阅读思考同学们都知道：一个合数可以写成几个质数相乘的形式。
例如：，2、2、3都叫做合数12的质因数。
把一个合数写成质数相乘的形式，叫做分解质因数。
对于一个合数，它只有一种分解质因数的方法。
例1. 有两个两位数的乘积是3927，这两个两位数的和是多少？分析与解答：把这两个两位数相乘，也就等于把这两个数各自的质因数相乘。
我们可以先把3927分解质因数：，再把这4个质因数搭配组合成两个两位数：，那么，这两个两位数的和是：。
例2. 将55名同学用船渡过河，已知每条船载的人数相等，且最少载5人，最多载12人，问应有多少条船？每船载多少人？分析与解答：我们可以先看看55能被哪些数整除。
可以先把55分解质因数，所以55能被1、5、11和55整除，其中5和11在5~12之间。
所以有两种可能：11条船——每条载5人。
5条船——每条载11人。
例3. 求294000有几个约数？分析与解答：这是一个六位数，如果我们用列举法把它的约数一一找出来，会很麻烦。
所以今天就给同学们介绍一个很简单的方法，但要先把294000分解质因数。
，也就是有4个2，1个3，3个5，2个7。
根据294000各种质因数的个数，我们就可以计算出它有个约数。
如果总结一下方法，就是：一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的指数加上的和的连乘积。
（二）尝试体验：（答题时间：45分钟）1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？2. 四个小朋友的年龄，一个比一个大1岁，他们年龄的乘积是11880，你能算出四个小朋友各多少岁吗？3. 把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，每每组三个数的乘积都相等。
4. 4410和924各有多少个约数？5. 12345678987654321的除本身以外最大的约数是多少？6. 有四个数相乘，（）要想使四个数的乘积末尾有5个0，括号中的数最少是多少？【试题答案】（二）尝试体验：1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？有103支铅笔，每支降价19分，合0.19元。
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小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
小升初必考专题：分解质因数(讲义)-数学六年级下册-全国通用(含答案)
分解质因数定义：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，12＝2×2×3。
部分特殊数的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；2007＋2008＝4015＝5×11×73；10101＝3×7×13×37。
特别注意：将一个数分解质因数时通常把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。
例如：120＝23×3×5，而不写成：120＝2×2×2×3×5。
例1975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？例2已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。
一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是_____厘米。
例4已知两个大于1的数互质，它们的和是5的倍数，它们的积是2924，那么它们的差等于_____。
例5有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140。
如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？例6在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872。
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第十讲：分解质因数问题
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
而把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数除了可以约分外，还可以解决许多的实际问题，尤其是分成几个数相乘。
例1、实验小学四年级180人参加体操表演，表演时要有队形变换，但因场地有限，要求每队人数控制在15到45人之间，问共有几种队形变化？
练1、195名同学排成长方形队列，要求行数和列数都必须大于1，共有几种排法？
练2、筐里有100个苹果，如果不是一次全部拿出，也不一个一个的拿出，但每次拿出的个数都相等，并且最后一次正好全部拿完，共有几种方法？
练3、用120个大小相等的正方形，拼成一个长方形，共有多少种不同的方法？
例2、写出若干个连续的自然数的，使它们的乘积是15120.
练1、有4个小朋友，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，4个人的年龄乘积是3024，这4个小朋友中排行第三的是几岁？
练2、已知4个连续的奇数的乘积是19305，求这4个奇数各是多少？
练3、要使（）×15×19×125×30的积的末尾有四个0，（）里最小应是几？
练3、有一个长方体的长宽高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求长方体的占地面积？
例3、把下面八个数平均分成两组，使这两组的几个数的乘积相等？
2、5、14、24、27、55、56、99
练1、把39、45、49、56、60、70、78、84、91这几个数平均分成三组，使每组中的三个数相等
练2、已知有三个自然数，a×b=35,b×c=63, c×a=45，求a×b×c=?
例4、王老师带领学生去植树，学生恰好能分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植树539棵，这个班级共有多少名学生？每人植树多少棵？
练1、李老师带领能排成两列纵队，并且每列人数相等的同学去植树，已知同学们每人植树棵树相等，李老师植树棵树是一个同学的3倍，全体师生共植树111棵，有多少同学？每人植树多少棵？
练2、小明去看电影，已知他买的票的排数与座位号乘积是391，而且排数比座位号大6，则小明买的是几排几号？
例5、下面算式里，（）里数字各不相同，求这四个数字的和
（）（）×（）（）=1995
练1、在下面的括号里，各填入一个数字，使算式成立
（）（）（）×（）=1995
练2、下面括号里是4个连续的偶数，请写出下列完整的算式
（）（）×（）（）=1288练3、在下列括号里填上适当的数字，使下列竖式成立
（）（）
×（）（）
1 6 5 3
练4、把1、2、3、4、5、6、7、8、9填入（）内，每个数字只能用一次，使下面的等式成立？
（）（）（）×（）（）=（）（）×（）（）=5568
※用340张纸，由少到多的装订不同的练习本，已知第一本16页，以后每本都比前一本多4页，问最后一本多少页？
练习、电影院共有380个座位，已知第一排有18个，以后每一排都比前一排多2个座位，问最后一排有多少座位？。