为严格对角占优阵
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵
大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵1. 简介大规模稀疏矩阵求解是计算数学领域中的一个重要问题，涉及到各种领域的应用，如工程、科学计算、机器学习等。
在许多实际问题中，待求解的矩阵往往是稀疏的，而且具有严格对角占优的性质。
本文将重点讨论如何有效地求解严格对角占优的稀疏矩阵，包括其特点、求解方法以及相关算法优化技巧。
2. 稀疏矩阵的特点稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0，只有少数非零元素的矩阵。
它在实际问题中的应用非常广泛，比如有限元法中的刚度矩阵、图像处理中的图像采样矩阵等。
稀疏矩阵的特点是存储和计算效率低下，因为大部分元素都是0，而且通常会导致内存访问的不连续性。
3. 严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵是一类重要的矩阵，具有良好的性质，对于稀疏矩阵求解也有很大的帮助。
严格对角占优矩阵是指矩阵的每一行对应的绝对值最大的元素都在对角线上，这保证了矩阵的对角线元素对整个矩阵的影响最大。
严格对角占优矩阵在实际问题中也很常见，比如常用的有限差分方法就会生成严格对角占优的矩阵。
4. 求解方法对于严格对角占优的稀疏矩阵，通常可以采用迭代法来求解。
其中最经典的算法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和预条件共轭梯度法。
这些算法都充分利用了矩阵的特殊性质，尤其是对角占优性质，从而能够有效地收敛到精确解。
5. 算法优化技巧考虑到稀疏矩阵的存储和计算效率问题，我们还可以采用一些算法优化技巧，来进一步提高求解速度。
比如可以采用稀疏矩阵存储格式来降低内存占用和提高计算效率，还可以利用并行计算来加速迭代过程。
针对特定的实际问题，还可以设计一些特定的加速算法，比如多重网格方法、预处理技术等。
6. 结论大规模稀疏矩阵求解严格对角占优矩阵是一个具有挑战性的问题，但是通过充分利用特殊的矩阵结构和采用适当的求解方法，我们可以有效地解决这一问题。
未来，随着计算机硬件和算法技术的不断发展，相信在大规模稀疏矩阵求解领域一定会有更多的创新和突破。
严格对角占优M-矩阵的最小特征值的下界
＝
Ｄ Ｃ为 Ａ的迭代矩阵。
引理 １ 设 Ａ＝（ ａ ）∈ Ｒ 是 严 格 对 角 占优 矩
类， 它较多出现于经济价值模 型和反网络系统的系数矩 阵及解某些确定 微分方 程的数值解法 中 ， 在信息论 、 系 统论 、 现代 经济学 、 网络 、 算法 、 程序设计 和工程技术 等 众多领域都有十分重要 的应用 ， 如在 均衡论 ， 投入 产出 分析的研究中产 生的 Ｍ． 矩阵 ； 在控制论 及神经 网络大 系统的稳定性 ， 线性对滞 系统的稳定性 研究 中需 要 Ｈ．
Ｉ ａ ｊ Ｉ ＋ 三ｌ ａ ｊ ｋ Ｉ ｈ
一 ｌ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － Ｏ ４ － ０ ９
基金项 目： 文山学院重点学科 建设资助项 目（ １ ２ ＷＳ Ｘ Ｋ ０ １ ）
作者简介 ： 蒋建新（ １ ９ ８ １ － ） ， 男， 甘 肃天水人 ， 讲师 ， 硕 士， 主要从事矩阵理论与微 分方程方面的研 究， （ Ｅ ． ｍ ａ ｉ ｌ ） ｊ ｅ ｖ ｅ ｎ ｃ ｅ ｌ ｙ ｙ ＠１ ２ ６ ． Ｃ Ｏ Ｂ
矩阵 Ａ的谱半径。
为后 面 引理 ， 定 理 的需 要 引 入 以下 记号 ：
矩阵 ； 求解线性方程组 Ａ ｘ＝ｂ ， 当系数矩 阵 Ａ为对角 占
优 矩 阵时 ， 则 可 设 计 出 好 的计 算 方 法 。 鉴 于 对 角 占 优 矩 阵这 些 重 要 的应 用 ， 所 以研 究 这 类 矩 阵 的性 质 ， 界 的估计 等 问题就 非 常 的 必 要 。本 文 研 究 严 格 对 角 占优
ｌ ａ ｊ ｉ Ｉ ＋
为严格对角占优阵
a11
a12
C
(D L)U
a21
an1
a22
an 2
a1n
a2n
ann
,
9
下面证明，当 时， 1，即 的d特e征t(值C) 0
G
均满足
，
1
由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.
事实上，当 时， 1
由 为A严格对角占优阵，
有
cii aii
i1
n
j1
aij
aij
于是，求解 化A为x 求解b
3
A11
y1
A12 y2 A22 y2
d1, d2.
由上式第2个方程组求出 ,
y2 再代入第1个方程组求出
y1.
显然，如果 所有元A素都非零，则 为不可约阵. A
4
例7
设有矩阵
b1 c1 a2 b2 c2
4 1 1 0
A
an1
bn1 an
定理8说明解 的SOARx迭代b法，只有在 范围
内取松弛因子 ，才可能收敛.
定理9
设 Ax， b 如果：
(1) 为对称A正定矩阵，
A D L U;
(0,2)
(2) 0 2.
则解 A的x SObR迭代法收敛.
12
证明
在上述假定下，只需证明 ， 1 其中 为 L
的任一特征值.
事实上，设 为对应y的 的特征向量，L
从而
2
(
)2 2 2 ( )2 2 2
.
当
0时，利用(23.7)，(3.8)，有
( )2 ( )2 ( 2 )( 2) 0,
即 L的任一特征值满足
当 0时， 2
广义严格对角占优矩阵的两个性质
α-链严格对角占优矩阵的一个充要条件
＜ １ 得 ：＜ １ ， 。 一
＜１ 。又对 任 意
则 由（ ） 知 ， 一 ２式 １
一
＜
ｌ Ａ） （ ｎＳ
一
， 以存 在 。 ＜１ 使 ： 所 ＜ ，
＜ ａ Ｒ ＜ ｎ
ｌ
ｎ Ｒ
（ Ａ） …
１
ｎ Ｓ ， Ａ） １ ， Ａ） （ 一 （
㈦ …
容 验 易 证一
…
证 明 ： 由 ＡＥＤ（ ） ， 然 Ｎ。 知 显 一０。而对任 意 的 ｉ ， ｌ ＞Ｒ （ Ｓ （ 成 立 。从 而 Ｉ ｝ ｝ ＥＮ 有 ａ ｌ Ａ） Ａ） ｎ ＞
ａｎ Ａ） （ 一 ａ ｌＳ （ 成 立 。 ｌＲ （ ＋ １ ）ｎ Ａ） 得 ａ ＞ 一ａ ＜ ；
Ｎ ｉ ａ ＞Ｒ （ 一Ｓ （ ） Ｎ。 ∈Ｎ Ｉａ １ Ｒ （ ，ａ ≤ Ｓ （ ） 一｛Ｅ ＮＩ ｌ Ａ） Ａ） ； Ｉ 一 ≤ Ａ） ｌ Ｉ Ａ） 。 ｌ
定 义 １ 设 Ａ一 （ ） ， 存在 ∈［ ，］ 使 ： ｎ ＥＣ 若 Ｏ１，
Ｉ ｌ Ｒ；Ａ） （ ａ ≥ （ Ｓ～ Ａ） （） １
Ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉｇ ａ ｔ ｏ ．Ｔｅ．： ８ — ４ ３ ６ ６ ８ １ － ｍａｌ ｓ ｃ ＠ １ ３ ｃ ｒ ｏ ｒｓ ｏ ｄｎ ｕ ｈ ｒ １ ＋ ６ １ — ８ ０ ２ ；ｅ ｉ：ｄ ｌ ６ ．ｏ ｎ
１ 基 本 概 念 与 引理
Ｈ一矩 阵作 为一 类特 殊而 重 要 的 矩 阵 ， 有 重要 的理 论 意 义 和 应 用 价值 ， 具 引起 了许 多 数 学 工 作 者 的 关
第３ 卷 第３ １ 期
２１ ０ １年 ９月
辽
宁
石
油
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是由若干个数排成的矩形阵列。
在实际应用中，矩阵广泛应用于各种数学、物理、工程和计算机科学等领域。
其中，严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，它在数值计算和科学计算中具有重要的作用。
本文将详细介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。
它的定义如下：对于一个n阶矩阵A=(aij)，如果存在一个正整数p，使得对于任意的i∈[1,n]，都有|aii|>∑|aij|，其中j∈[1,n]，j≠i且j≠p，则称矩阵A是严格对角占优的。
其中，|aij|表示aij的绝对值，∑|aij|表示矩阵A第i行除去aii元素后，其余元素绝对值之和。
举个例子，下面是一个3阶的严格对角占优矩阵：A = [ 4 -1 0-1 4 -10 -1 4 ]可以看到，对于任意一个元素aii，都有|aii|>∑|aij|，其中j ≠i。
例如，当i=1时，|4|>|(-1)|+|0|=1，当i=2时，|4|>|(-1)|+|(-1)|=2，当i=3时，|4|>|(-1)|+|0|=1。
因此，矩阵A是严格对角占优的。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1.唯一性：严格对角占优矩阵是唯一的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是唯一的。
2.可逆性：严格对角占优矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是可逆的。
3.正定性：严格对角占优矩阵是正定的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它的所有特征值都是正实数。
4.稳定性：严格对角占优矩阵在数值计算中具有很好的稳定性。
也就是说，对于一个严格对角占优矩阵A，如果对其进行一些数值计算，得到的结果也是非常稳定的，不会受到舍入误差的影响。
三、严格对角占优矩阵的应用严格对角占优矩阵在数值计算和科学计算中具有广泛的应用。
矩阵论判断题
（一）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ ) 2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ⨯∈可逆，n n C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设32312100a a A a a aa -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,) T nn x x x x C =∈，则1||||m in i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C ⨯∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )（二）1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u E u u =--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ ) 5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H HA A A A +=则.( ∨ )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )（三）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设n x C ,U ∈为n阶酉矩阵，则22||||||||Ux x =. ( )()2222H H H ||Ux ||UxUx x U Ux x x ||x ||====2、设,n nA C⨯∈则2221||||||nm ii A λ=≥∑. ( )n nA C⨯∈→HA URU =→22222222||||||||||||||||Hm m m m A URUR R ==≥21||nii λ==∑3、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则21||||||x x =为向量范数. ( )例如(0,1,0,,0)0 x =≠，但||||0x =4、1||||||||||||x x n x ∞∞≤≤. ( )11||||m a x ||||||||m a x ||||||ni ii iii x x xx n x n x ∞∞==≤=≤=∑5、设A 为n 阶酉矩阵，则.AA A A E ++== ( )因为H A A +=，故结论成立6、若m r r A C ⨯∈，则11()H HL A AA A --=. ( )11()H HL A A A A --=，故结论不成立7、若||||⋅为算子范数，则11||||||||A A --≥. ( )111||||||||||||AA A A --=≤，故结论不成立8、111i i i ii⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和都是复对称矩阵()T A A =，故均为正规矩阵. ( )111i ii i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为正规矩阵而非正规,因为1111ii ii ii i i i iii----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦9、设()A ρ为矩阵A 的谱半径，则()||||m A A ρ∞≤. ( )01,||||1,() 1.61811m A A A ρ∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则而10、设||||||||||||||||H m m m x xa ⋅=⋅为自相容矩阵范数，则是与相容的向量范数 ( )（四）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A+=则.( )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒()1B ρ=2、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( )3、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--4、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u Eu u =--224H H H HE u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴5、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ) 6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +. ( )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则.)0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ) （五）1、A n 为阶实对称矩阵，nR x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )因为非负性不成立，故结论错误。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。
具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：|aii| > ∑|aij| (j≠i)其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。
如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。
如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。
证明如下：由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即：|aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ... + |ain|将上式移项并除以|aii|，得到：1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| + |ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|因为|aij|/|aii| < 1，所以|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii| < n-1因此，1/(n-1) < 1/|aii|，即|aii| < n-1。
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min ( L ) ( Lo p t ).
对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因 子理论. 例如，对所谓具有“性质A ” 等条件的线性方程组 建立了最佳松弛因子公式
19
opt
2 1 1 ( ( J ))
2
,
其中 ( J ) 为解 Ax b 的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径. 在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)， 可以给出 opt 的计算方法， 但一般来说，计算 opt 是有困难的，可用试算的办法 来确定一个适当的 . 算法2 (SOR迭代法) 设 Ax b ，其中 A 为对称正定 矩阵或为严格对角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等，
8. 如果k N 0 则转3
9. 输出N0及有关信息
(k ) r 也可用
eps来控制迭代终止，其中 r ( k ) b Ax( k ) .
22
6.4
分块迭代法
23
上述迭代法，从 x ( k ) x ( k 1) 计算时，是逐个计算 x ( k 1) 的分量 xi( k 1) (i 1,2, , n)，这种迭代法又称为点迭代
7
定理7 设 Ax b , 如果： (1) A为严格对角占优阵，则解 Ax b 的雅可比迭 代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. (2) A为弱对角占优阵，且 A为不可约矩阵，则解
Ax b雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
证明 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理. 由设可知， aii 0 (i 1,, n)，解 Ax b的高斯-塞 德尔迭代法的迭代矩阵为
xk max xi 0.
1i n
由齐次方程组第 k 个方程
a
则有
j 1
n
kj
x j 0,
6
akk xk
a
j 1 j i
n
kj
x j akj x j xk
j 1 j i
n
a
j 1 j i
n
kj
,
即
akk akj ,
j 1 j i
n
与假设矛盾，故 det( A) 0.
所以
( ) i , ( ) i
从而
2
( ) 2 2 2 . 2 2 2 ( )
当 0 2 时，利用(3.7)，(3.8)，有
( ) 2 ( ) 2 ( 2 )( 2) 0,
10
定理8 (SOR方法收敛的必要条件) 设解方程组 Ax b 的SOR迭代法收敛，则 0 2.
证明
由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3)
det( L ) 12 n ( L )n ,
有 ( L ) 1 ，设 L 的特征值为 1 , 2 ,, n ，则
法.
分块迭代法，就是一块或一组未知数同时被改进. 设 Ax b，其中 A R nn 为大型稀疏矩阵且将 A 分 块为三部分 A D L U ，
A11 A21 A A q1 A12 A22 Aq 2 A1q A11 A2 q , D Aqq A22 , Aqq
(i 1,2, , n).
且上式至少有一个不等式严格成立，称 A为弱对角占优阵.
1
定义4 (可约与不可约矩阵) 设 A (aij ) nn (n 2) , 如果存在置换阵 P 使
A11 P AP 0
T
A12 , A22
（3.6）
其中 A11为 r 阶方阵， A22为 n r 阶方阵 (1 r n)， 则称
且记
y1 d1 T y P x y , P b d 2 2
T
其中 y1 , d1 为 r 维向量. 于是，求解 Ax b化为求解
3
A11 y1 A12 y2 d1 , A22 y2 d 2 .
由上式第2个方程组求出 y 2 , 再代入第1个方程组求出 y1.
6.3.2
关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性
定义3 (对角占优阵) 设 A (aij ) nn . (1) 如果 A的元素满足
aii aij
j 1 j i n
(i 1,2, , n).
称 A为严格对角占优阵. (2) 如果 A 的元素满足
aii aij
j 1 j i n
（3.10）
这说明，所需迭代次数与 R ln ( B) 成反比.
( B) 1 越小， R ln ( B) 越大，由(3.10)式所需
迭代次数越少，即迭代法收敛越快.
18
定义5
称 R( B) ln ( B) 为迭代法(3.9)的渐近收敛
速度，简称迭代法收敛速度. 对于SOR迭代法希望选择松弛因子 使迭代过程(2.10) 收敛较快，在理论上即确定 opt 使
或
det( L )
1/ n
( L ) 1.
另一方面
det( L ) det[( D L) 1 ]det((1 ) D U ) (1 ) n ,
11
从而
det( L )
1/ n
1 1,
即
0 2.
定理8说明解 Ax b的SOR迭代法，只有在 (0,2)范围 内取松弛因子 ，才可能收敛. 定理9 如果： 设 Ax b ，
cii aii
i1
n i1 aij aij j i1 j1
aij aij cij
j 1 j i1
j 1 j i
n
n
(i 1,2,, n).
这说明，当 1 时，矩阵 C为严格对角占优阵， 再由对角占优定理有 det(C ) 0.
det( ( D L) U ) 0
之根. 记
a11 a21 C ( D L) U a n1 a12 a22 a1n a2 n , ann
9
an 2
下面证明，当 1时，det( C ) 0 ，即 G的特征值 均满足 1，由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛. 事实上，当 1 时， 由 A为严格对角占优阵，有
0 1 . 1 4
(ai ,bi ,ci 都不为零 )
则 A, B 都是不可约矩阵.
5
定理6 (对角占优定理) 如果 A (aij ) nn 为严格对角 占优矩阵或 A为不可约弱对角占优矩阵，则 A为非奇异矩阵. 证明 只就 A为严格对角占优阵证明此定理. 采用反证法， 如果 det( A) 0 ，则 Ax 0 有非零解， 记为 x ( x1 , x2 , , xn )T, 则
A为可约矩阵.
否则，如果不存在这样置换阵 P 使(3.6)式成立，则 称 A为不可约矩阵.
A为可约矩阵意即 A可经过若干行列重排化为(3.6)或
2
Ax b可化为两个低阶方程组求解.
如果 A 经过两行交换的同时进行相应两列的交换， 称对 A进行一次行列重排. 事实上，由 Ax b 可化为
PT AP( PT x) PT b,
G ( D L) 1U ( A D L U )
8
下面考查 G的特征值情况.
det( I G) det( I ( D L) 1U ) det(( D L) 1 )det( ( D L) U ).
由于 det(( D L) 1 ) 0, 于是 G特征值即为
迭代法收越快.
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现设有方程组
x Bx f , B R nn
及一阶定常迭代法
x ( k 1) Bx ( k ) f
k
(k 0,1,),
（3.9）
， 则 x* Bx * f . 且设迭代法收敛，记 lim x ( k ) x *
由基本定理有 0 ( B) 1, 且误差向量 ( k ) x ( k ) x *
24
0 A21 L A q1
0 Aq 2
0 , U 0
A12 0
q
A1q A2 q . 0
( D L) 1 ((1 ) D U ) y y,
亦即
((1 ) D U ) y ( D L) y.
为了找出 的表达式，考虑数量积
(((1 ) D U ) y, y ) (( D L) y, y ),
13
则
显然
( Dy , y ) ( Dy , y ) (Uy, y ) , ( Dy , y ) ( Ly, y )
( Dy , y ) aii yi
i 1
n
2
0,
（3.7）
记 由于 A AT
( Ly, y ) i ,
所以 U LT , 故 （3.8）
14
(Uy, y ) ( y, Ly ) ( Ly, y ) i , 0 ( Ay, y ) (( D L U ) y, y ) 2 ,
显然，如果 A 所有元素都非零，则 A为不可约阵.
4
例7 设有矩阵
b1 a2 A c1 b2 c2 an1 bn1 an 4 , 1 B 1 cn1 0 bn
1 4 0 1
1 0 4 1
即 L 的任一特征值满足 1， 故SOR方法收敛 当 0 2 时， 可以证明 ( ) 2 2 2 0.