为严格对角占优阵
α-链严格对角占优矩阵的一个充要条件
＜ １ 得 ：＜ １ ， 。 一
＜１ 。又对 任 意
则 由（ ） 知 ， 一 ２式 １
一
＜
ｌ Ａ） （ ｎＳ
一
， 以存 在 。 ＜１ 使 ： 所 ＜ ，
＜ ａ Ｒ ＜ ｎ
ｌ
ｎ Ｒ
（ Ａ） …
１
ｎ Ｓ ， Ａ） １ ， Ａ） （ 一 （
㈦ …
容 验 易 证一
…
证 明 ： 由 ＡＥＤ（ ） ， 然 Ｎ。 知 显 一０。而对任 意 的 ｉ ， ｌ ＞Ｒ （ Ｓ （ 成 立 。从 而 Ｉ ｝ ｝ ＥＮ 有 ａ ｌ Ａ） Ａ） ｎ ＞
ａｎ Ａ） （ 一 ａ ｌＳ （ 成 立 。 ｌＲ （ ＋ １ ）ｎ Ａ） 得 ａ ＞ 一ａ ＜ ；
Ｎ ｉ ａ ＞Ｒ （ 一Ｓ （ ） Ｎ。 ∈Ｎ Ｉａ １ Ｒ （ ，ａ ≤ Ｓ （ ） 一｛Ｅ ＮＩ ｌ Ａ） Ａ） ； Ｉ 一 ≤ Ａ） ｌ Ｉ Ａ） 。 ｌ
定 义 １ 设 Ａ一 （ ） ， 存在 ∈［ ，］ 使 ： ｎ ＥＣ 若 Ｏ１，
Ｉ ｌ Ｒ；Ａ） （ ａ ≥ （ Ｓ～ Ａ） （） １
Ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉｇ ａ ｔ ｏ ．Ｔｅ．： ８ — ４ ３ ６ ６ ８ １ － ｍａｌ ｓ ｃ ＠ １ ３ ｃ ｒ ｏ ｒｓ ｏ ｄｎ ｕ ｈ ｒ １ ＋ ６ １ — ８ ０ ２ ；ｅ ｉ：ｄ ｌ ６ ．ｏ ｎ
１ 基 本 概 念 与 引理
Ｈ一矩 阵作 为一 类特 殊而 重 要 的 矩 阵 ， 有 重要 的理 论 意 义 和 应 用 价值 ， 具 引起 了许 多 数 学 工 作 者 的 关
第３ 卷 第３ １ 期
２１ ０ １年 ９月
辽
宁
石
油
为严格对角占优阵
min ( L ) ( Lo p t ).
对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因 子理论. 例如，对所谓具有“性质A ” 等条件的线性方程组 建立了最佳松弛因子公式
19
opt
2 1 1 ( ( J ))
2
,
其中 ( J ) 为解 Ax b 的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径. 在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)， 可以给出 opt 的计算方法， 但一般来说，计算 opt 是有困难的，可用试算的办法 来确定一个适当的 . 算法2 (SOR迭代法) 设 Ax b ，其中 A 为对称正定 矩阵或为严格对角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等，
8. 如果k N 0 则转3
9. 输出N0及有关信息
(k ) r 也可用
eps来控制迭代终止，其中 r ( k ) b Ax( k ) .
22
6.4
分块迭代法
23
上述迭代法，从 x ( k ) x ( k 1) 计算时，是逐个计算 x ( k 1) 的分量 xi( k 1) (i 1,2, , n)，这种迭代法又称为点迭代
7
定理7 设 Ax b , 如果： (1) A为严格对角占优阵，则解 Ax b 的雅可比迭 代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. (2) A为弱对角占优阵，且 A为不可约矩阵，则解
Ax b雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
证明 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理. 由设可知， aii 0 (i 1,, n)，解 Ax b的高斯-塞 德尔迭代法的迭代矩阵为
xk max xi 0.
1i n
由齐次方程组第 k 个方程
追赶法(Thomas算法)
二、解三对角线性方程组的追赶法 定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 A= pn
p2 a3 pn 1 an
1 q1 1 q2 =PQ 1 qn 1 1
其中
p1 = b1 (i = 1,2,, n 1) qi = ci pi p = b a q (i = 2,3,, n ) i i i 1 i
解三对角线方程组Ax = f可化为求解两个三角形 方程组
Py = f
Qx = y
(1) 解 Py = f
p1 a2 ( P, f ) = p2 a3 pn 1 an f1 f2 f3 pn f n
得
{
y1 = f1 / p1
yi = ( f i ai yi 1 ) / piຫໍສະໝຸດ (i = 2,3,, n )
( 2) 解 Qx = y
1 q1 1 q2 1 qn 1 1
x1 y1 x2 = y2 x y n n
得
xn = y n
xi = yi qi xi +1
i = n 1 , , 2 ,1
作业： P50 习题11
§2-4
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法
一、对角占优矩阵
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为严格对角占优矩阵.
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为弱对角占优矩阵.
对角占优矩阵的行列式大于零的证明
对角占优矩阵的行列式大于零的证明对角占优矩阵的行列式大于零的证明一、引言在线性代数中，对角占优矩阵（Diagonally Dominant Matrix）是一种常见的矩阵类型，具有很多重要的性质和应用。
其中一个重要的性质是，对角占优矩阵的行列式大于零。
在本文中，我们将探讨这个性质的证明过程，帮助读者更全面、深刻地理解对角占优矩阵的特性。
二、定义与性质回顾在开始证明之前，让我们先回顾一下对角占优矩阵的定义和一些相关性质。
1. 定义：对角占优矩阵是指矩阵的每一行（或每一列）对应的对角元素的绝对值大于等于该行（或该列）中非对角元素绝对值之和。
2. 性质1：对角占优矩阵的主对角线元素为正。
3. 性质2：对角占优矩阵的行列式大于等于零。
三、证明过程下面我们将逐步证明对角占优矩阵的行列式大于零。
1. 基本思路我们将采用矩阵的定义进行证明。
根据性质1，对角占优矩阵的主对角线元素为正，而矩阵的行列式等于各列元素的代数余子式之和。
我们只需要证明矩阵的每个列元素的代数余子式都为正，就能得出结论。
2. 证明过程考虑对角占优矩阵A的第i列元素ai，我们需要证明它对应的代数余子式Mi为正。
（1）对第i列元素ai求代数余子式Mi，可以得到一个n-1阶子矩阵。
（2）根据对角占优矩阵的定义，第i列元素的绝对值大于等于其他非对角元素的绝对值之和，即|ai| >= Σ|aij| (j ≠ i)。
（3）由于对角占优矩阵的主对角线元素为正，所以|ai| > Σ|aij| (j ≠ i)。
（4）根据代数余子式的定义，Mi的行列式为(-1)^(i+j)乘以子矩阵的行列式Di。
（5）根据（3）和（4），Mi的行列式为正乘以一个正数，因此Mi的行列式大于零。
3. 总结回顾通过逐步证明，我们得出了对角占优矩阵的每个列元素的代数余子式都为正的结论，从而证明了对角占优矩阵的行列式大于零。
四、个人观点与理解对角占优矩阵的行列式大于零的证明过程比较简洁清晰，但却要依赖于对角占优矩阵的定义和一些矩阵性质。
最终严格对角占优矩阵的逆矩阵无穷范数的上界估计
第３６卷第２期贵州大学学报(自然科学版)Ｖｏｌ.３６㊀Ｎｏ.２２０１９年㊀４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ)Ａｐｒ.２０１９收稿日期:２０１８－０７－１９基金项目:云南省教育厅科学研究基金项目资助(２０１８ＪＳ４９１)作者简介:李艳艳(１９８２－)ꎬ女ꎬ副教授ꎬ硕士ꎬ研究方向:矩阵理论及其应用ꎬＥｍａｉｌ:Ｅｍａｉｌ:ｌｉｙａｎｙａｎ４０９＠１２６.ｃｏｍ.∗通讯作者:李艳艳ꎬＥｍａｉｌ:ｌｉｙａｎｙａｎ４０９＠１２６.ｃｏｍ.文章编号㊀１０００－５２６９(２０１９)０２－００１３－０３ＤＯＩ:１０.１５９５８/ｊ.ｃｎｋｉ.ｇｄｘｂｚｒｂ.２０１９.０２.０３最终严格对角占优矩阵的逆矩阵无穷范数的上界估计李艳艳∗(文山学院数学学院ꎬ云南文山６６３０９９)摘㊀要:研究了最终严格对角占优矩阵Ａ的逆矩阵Ａ－１无穷范数 Ａ－１ ¥的估计问题ꎬ利用Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵逆矩阵无穷范数已有的带有参数的几个估计式ꎬ在矩阵Ａ的定义的基础上ꎬ得到了 Ａ－１ ¥的带有参数的一些新结果ꎮ数值例子进一步说明了结果的可行性和优越性ꎮ关键词:对角占优ꎻ逆矩阵ꎻ无穷范数ꎻ上界ꎻ估计式中图分类号:Ｏ１５１.２１㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀数值分析中ꎬ矩阵Ａ的逆矩阵Ａ－１的 Ａ－１ ¥被用于计算条件数Ｋ(Ａ)＝ Ａ ¥ Ａ－１ ¥ꎬ所以对 Ａ－１ ¥的计算或估计ꎬ是矩阵理论研究的热点之一ꎮ近些年关于非奇异Ｈ矩阵类中的严格对角占优矩阵ꎬ弱链对角占优矩阵ꎬＤａｓｈｎｉｃ￣Ｚｕｓｍａｎｏｖｉｃｈ矩阵ꎬＮｅｋｒａｓｏｖ矩阵ꎬＳ￣Ｎｅｋｒａ￣ｓｏｖ矩阵等的逆矩阵无穷范数的估计已得到了许多较好的结果[１－８]ꎮ而关于最终严格对角占优矩阵的研究ꎬ仅有文献[９ꎬ１０]ꎮ所以本文对最终严格对角占优矩阵的逆矩阵无穷范数的上界进行较为深入和详细的研究ꎬ在利用Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵逆矩阵无穷范数已有估计式的基础上ꎬ得到了最终严格对角占优矩阵的 Ａ－１¥的一些新的改进的结果ꎮ１㊀预备知识设矩阵Ａ＝(ａｉｊ)ɪＲｎꎬｎꎬ若它的比较矩阵<Ａ>＝(ｍｉｊ)ꎬｍｉｊ＝ａｉｉꎬｉ＝ｊ－ａｉｊꎬｉʂｊ{可逆ꎬ且<Ａ>－１非负ꎬ那么就称<Ａ>是Ｍ矩阵ꎬＡ是Ｈ矩阵ꎮ若ａｉｉ>ｒｉ(Ａ)ｒｉ(Ａ)＝ðｎｊʂｉａｉｊ()ꎬ就称Ａ是严格对角占优矩阵ꎻ若ａｉｉ>ｈｉ(Ａ)ꎬ就称Ａ是Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵ꎬｈ１(Ａ)＝ðｊʂ１ａ１ｊꎬｈｉ(Ａ)＝ðｉ－１ｊ＝１ａｉｊｈｊ(Ａ)ａｊｊ＋ðｎｊ＝ｉ＋１ａｉｊꎬｉ＝２ꎬ３ꎬ ꎬｎꎮ如果存在正对角矩阵Ｘꎬ使得ＡＸ为严格对角占优矩阵ꎬ则称Ａ为非奇异Ｈ矩阵ꎮ设Ａ＝ｓＩ－Ｂꎬ其中ｓ为复数ꎬＩ为单位矩阵ꎬＢ为复矩阵ꎮ如果存在正整数ｋ使得ｓｋＩ－Ｂｋ为严格对角占优矩阵(ＳＤＤ)ꎬ就称Ａ为最终严格对角占优矩阵(ＳＤＤ∃)ꎬ记作ＡɪＳＤＤ∃ꎮ由文献[１１]知ꎬＳＤＤ⊆Ｎｅｋｒａｓｏｖ⊆ＨꎬＳＤＤ∃⊄Ｈꎮ引理１㊀(Ｖａｒａｈ界)[１２]设矩阵Ａ＝(ａｉｊ)ɪＲｎˑｎ是严格对角占优矩阵ꎬ则Ａ－１ ¥ɤ１ｍｉｎｉɪＮ(ａｉｉ－ｒｉ(Ａ))＝ｍａｘｉɪＮ１ａｉｉ－ｒｉ(Ａ)ꎮ引理２㊀[４]设Ａ＝(ａｉｊ)ɪＲｎˑｎ是Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵ꎬμ>ｒ１(Ａ)ａ１１ꎬ则Ａ－１¥ɤｍａｘμꎬ１{}ｍａｘｉɪＮｚｉ(Ａ)ａｉｉｍａｘ１μ－ｈ１(Ａ)ａ１１ꎬ１１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(Ａ)ａｉｉìîíïïïüþýïïïꎬ或Ａ－１ ¥ɤｍａｘμꎬ１{}ｍａｘｉɪＮｚｉ(Ａ)１ｍｉｎ{μａ１１－ｈ１(Ａ)ꎬｍｉｎｉʂ１(ａｉｉ－ｈｉ(Ａ))}ꎮ贵州大学学报(自然科学版)第３６卷引理３㊀[４]设Ａ＝(ａｉｊ)ɪＲｎˑｎ是Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵ꎬｈ１(Ａ)ａ１１>ｍａｘｉʂ１ｈｉ(Ａ)ａｉｉꎬ当μɪ１ꎬ１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(Ａ)ａｉｉ１－ｈ１(Ａ)ａ１１æèççççöø÷÷÷÷时ꎬ有Ａ－１ ¥ɤｍａｘ{μꎬ１}ｍａｘｉɪＮｚｉ(Ａ)ａｉｉｍａｘ１μ－ｈ１(Ａ)ａ１１ꎬ１１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(Ａ)ａｉｉìîíïïïüþýïïï<ｍａｘｉɪＮｚｉ(Ａ)ａｉｉ１－ｍａｘｉɪＮｈｉ(Ａ)ａｉｉꎮ引理４㊀[５]设Ａ＝(ａｉｊ)ɪＲｎˑｎ是Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵ꎬａ１１－ｈ１(Ａ)<ｍｉｎｉʂ１(ａｉｉ－ｈｉ(Ａ))ꎬ当μɪ１ꎬｍｉｎｉʂ１(ａｉｉ－ｈｉ(Ａ))ａ１１－ｈ１(Ａ)æèçöø÷时ꎬ有Ａ－１ ¥ɤｍａｘμꎬ１{}ｍａｘｉɪＮｚｉ(Ａ)１ｍｉｎμａ１１－ｈ１(Ａ)ꎬｍｉｎｉʂ１(ａｉｉ－ｈｉ(Ａ)){}<ｍａｘｉɪＮｚｉ(Ａ)ｍｉｎｉɪＮ(ａｉｉ－ｈｉ(Ａ))ꎮ对于最终严格对角占优矩阵Ａ的 Ａ－１ ¥的上界估计ꎬ文献[９]和[１０]都做了一定的研究ꎮ引理５㊀[９]如果存在正整数ｋ使得Ａ＝ｓＩ－ＢɪＳＤＤ∃ꎬ则 Ａ－１ ¥ɤ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍｉｎｉɪＮ{ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｒｉ(Ｂｋ)}ꎮ引理６㊀[１０]如果存在正整数ｋ使得Ａ＝ｓＩ－ＢɪＳＤＤ∃ꎬ则Ａ－１ ¥ɤ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ꎮ２㊀主要结果本部分ꎬ利用引理２㊁引理３㊁引理４中的Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵的逆矩阵无穷范数的估计式和ＳＤＤ∃矩阵的定义式ꎬ给出ＳＤＤ∃矩阵一些改进的新估计式ꎮ定理１㊀如果存在正整数ｋ使得Ａ＝ｓＩ－ＢɪＳＤＤ∃ꎬμ>ｒ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)１１ꎬ则Ａ－１ ¥ɤ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ˑｍａｘμꎬ１{}ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｉｋ)ｉｉｍａｘ１μ－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)１１ꎬ１１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉìîíïïïïüþýïïïïꎮ证明㊀因为Ａ＝ｓＩ－ＢɪＳＤＤ∃ꎬ所以存在正整数ｋ使得ｓｋＩ－Ｂｋ为严格对角占优矩阵ꎬ则ｓｋＩ－Ｂｋ非奇异ꎮｓｋＩ－Ｂｋ＝(ｓＩ－Ｂ)(ｓｋ－１Ｂ＋ｓｋ－２Ｂ＋＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１)ꎬ则(ｓＩ－Ｂ)－１＝(ｓｋＩ－Ｂｋ)－１(ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１)ꎬ即Ａ－１ ¥ɤ (ｓｋＩ－Ｂｋ)－１(ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１) ¥ɤ (ｓｋＩ－Ｂｋ)－１ ¥ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ꎮ对ｓｋＩ－Ｂｋ应用引理２得ꎬ (ｓｋＩ－Ｂｋ)－１ ¥ɤｍａｘμꎬ１{}ｍａｘ１ｃ２２ｓｋＩ－Ｂμ－ｒ２(ＣｓｋＩ－Ｂ)ꎬ{ｍａｘｉʂ２１ｃｉｉｓｋＩ－Ｂ－ｒｉ(ＣｓｋＩ－Ｂ)－ｃｉ２ｓｋＩ－Ｂ(μ－１)}ꎬ(ｓｋＩ－Ｂｋ)－１ ¥ɤｍａｘμꎬ１{}ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)１ｍｉｎ{μｓｋ－(Ｂｋ)１１－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ꎬｍｉｎｉʂ１(ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ))}ꎮ即Ａ－１ ¥ɤ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘ{μꎬ１}ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉｍａｘ１μ－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)１１ꎬ１１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉìîíïïïïüþýïïïïꎬ Ａ－１ ¥ɤ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘ{μꎬ１}ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｍｉｎ{μｓｋ－(Ｂｋ)１１－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ꎬｍｉｎｉʂ１(ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ))}ꎮ定理２㊀如果存在正整数ｋ使得Ａ＝ｓＩ－ＢɪＳＤＤ∃ꎬｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)１１>ｍａｘｉʂ１ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉꎬ则当４１第２期李艳艳:最终严格对角占优矩阵的逆矩阵无穷范数的上界估计μɪ１ꎬ１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ１－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)１１æèçççççöø÷÷÷÷÷时ꎬ ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘ{μꎬ１}ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉｍａｘ１μ－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)１１ꎬ１１－ｍａｘｉʂ１ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉìîíïïïïüþýïïïï< ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ１－ｍａｘｉɪＮｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉꎮ定理３㊀如果存在正整数ｋ使得Ａ＝ｓＩ－ＢɪＳＤＤ∃ꎬ若ｓｋ－(Ｂｋ)１１－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)<ｍｉｎｉʂ１(ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ))ꎬ当μɪ１ꎬｍｉｎｉʂ１(ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ))ｓｋ－(Ｂｋ)１１－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)æèççöø÷÷时ꎬ有 ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘμꎬ１{}ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｍｉｎ{μｓｋ－(Ｂｋ)１１－ｈ１(ｓｋＩ－Ｂｋ)ꎬｍｉｎｉʂ１(ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ))}< ｓｋ－１Ｉ＋ｓｋ－２Ｂ＋ ＋ｓＢｋ－２＋Ｂｋ－１ ¥ｍａｘｉɪＮｚｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ)ｍｉｎｉɪＮ(ｓｋ－(Ｂｋ)ｉｉ－ｈｉ(ｓｋＩ－Ｂｋ))ꎮ注:定理２和定理３说明ꎬ本文所给的估计式ꎬ从理论上提高了文献[９]和[１０]中的结果ꎮ下面用数值算例ꎬ对本文估计式的可行性和有效性ꎬ进一步说明ꎮ３㊀数值算例设Ａ１＝３－１－１－１１æèçççççç１５１１－１－１－１３－１１１１１５－１－１－１－１－１３öø÷÷÷÷÷÷ꎬ令Ａ１＝５Ｉ－Ｂ１ꎬ取ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ计算知ｋ＝２ꎬ３ꎬ４ꎬ５均是严格对角占优矩阵ꎬ所以Ａ１ɪＳＤＤ∃ꎬ应用本文定理２ꎬ３得 Ａ１－１¥ɤ０.８２５９ꎬ事实上ꎬ Ａ１－１¥＝０.６６６７ꎮ设Ａ２＝㊀３.９－１－１－１－１æèçççççç㊀１㊀５.９㊀１㊀１－１－１－１㊀３.９－１㊀１㊀１㊀１㊀１㊀５.９－１－１－１－１－１㊀３.９öø÷÷÷÷÷÷ꎬ令Ａ２＝５Ｉ－Ｂ２ꎬ取ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ计算知ｋ＝２ꎬ３ꎬ４ꎬ５均是严格对角占优矩阵ꎬ所以Ａ１ɪＳＤＤ∃ꎬ应用本文定理２ꎬ３得 Ａ２－１¥＝０.５３４７ꎬ事实上ꎬＡ２－１¥＝０.４６５７ꎮ参考文献:[１]李艳艳ꎬ蒋建新ꎬ李耀堂.严格对角占优Ｍ－矩阵Ａ的 Ａ－１ ¥上界估计式的改进[Ｊ].云南大学学报(自然科学版)ꎬ２０１５ꎬ３７(１):５－８.[２]ＨＵＡＮＧＴＺꎬＺＨＵＹ.Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆ Ａ－１ ¥ｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｓｆｏｒｗｅａｋｌｙｃｈａｉｎｅｄｄｉａｇｏｎａｌｌｙｍａｔｒｉｃｅｓ[Ｊ].ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａａｎｄＩｔｓＡｐ￣ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１０ꎬ４３２:６７０－６７７.[３]ＣＨＡＯＱＩＡＮＬꎬＨＵＩＰꎬＡＮＩＮＧＧꎬｅｔａｌ.Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓｏｎｔｈｅｉｎ￣ｆｉｎｉｔｙｎｏｒｍｂｏｕｎｄｆｏｒｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｏｆＮｅｋｒａｓｏｖｍａｔｒｉｃｅｓ[Ｊ].ＮｕｍｅｒＡｌｇｏｒꎬ２０１６ꎬ７１:６１３－６３０.[４]ＬＥＩＧꎬＣＨＡＯＱＩＡＮＬꎬＹＡＯＴＡＮＧＬ.ＡｎｅｗｕｐｐｅｒｏｎｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｙｎｏｒｍｏｆｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｏｆＮｅｋｒａｓｏｖｍａｔｒｉｃｅｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ２０１４ꎬ６７:１－７.[５]李艳艳.Ｄａｓｈｎｉｃ－Ｚｕｓｍａｎｏｖｉｃｈ矩阵的逆矩阵无穷范数上界的估计[Ｊ].西南师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ４２(６):１－４.[６]李艳艳.Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵的逆矩阵无穷范数上界的进一步研究[Ｊ].四川师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ４０(４):４９１－４９４.[７]李艳艳.Ｎｅｋｒａｓｏｖ矩阵Ａ的 Ａ－１ ¥的新界[Ｊ].西南师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ４２(１２):５－１０.[８]ＬｊｉｌｊａｎａＣｖｅｔｋｏｖｉｃꎬＶｌａｄｉｍｉｒＫｏｓｔｉｃꎬＫｓｅｎｉｊｉａＤｏｒｏｓｌｏｖａｃｋｉ.Ｍａｘ￣ｎｏｒｍｂｏｕｎｄｓｆｏｒｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｏｆＳ￣Ｎｅｋｒａｓｏｖｍａｔｒｉｃｅｓ[Ｊ].ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎꎬ２０１２ꎬ２１８:９４９８－９５０３.[９]ＣＶＥＴＫＯＶＩＣＬＪꎬＥＲＩＣＭꎬＰＥＮＡＪＭ.ＥｖｅｎｔｕａｌｌｙＳＤＤｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ[Ｊ].ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａ￣ｔｉｏｎꎬ２０１５ꎬ２５２:５３５－５４０.[１０]赵建兴.最终严格对角占优矩阵Ａ的 Ａ－１ ¥的上界序列[Ｊ].西南师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ４２(８):９－１２.[１１]ＣＶＥＴＫＯＶＩＣＬＪꎬＥＲＩＣＭꎬＰＥＮＡＪＭ.ＥｖｅｎｔｕａｌｌｙＳＤＤｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ[Ｊ].ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａ￣ｔｉｏｎꎬ２０１５ꎬ２５２:５３５－５４０.[１２]ＶＡＲＡＨＪＭ.ＡＬｏｗｅｒｂｏｕｎｄｆｏｒｔｈｅｓｍａｌｌｅｓｔｓｉｎｇｕｌａｒｏｆａｍａｔｒｉｘ[Ｊ].ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ１９７５ꎬ１１(１):３－５.(责任编辑:曾㊀晶)(下转第２１页)５１１２第２期严建军等:关于一类多目标半无限规划的最优性条件ＯｐｔｉｍａｌｉｔｙＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒａＣｌａｓｓｏｆＭｕｌｔｉ￣ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＳｅｍｉ￣ｉｎｆｉｎｉｔｅＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＹＡＮＪｉａｎｊｕｎ１ꎬ２ꎬＬＩＹｕ２∗ꎬＹＡＮＧＦａｎ２ꎬＨＡＯＮａ２ꎬＺＨＡＮＧＪｉｅ２(１.ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔｒｙＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＹａｎᶄａｎＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅꎬＹａｎᶄａｎ７１６０００ꎬＣｈｉｎａꎻ２.ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅꎬＹａｎ'ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＹａｎᶄａｎ７１６０００ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｂａｓｅｄｏｎ(Ｃꎬαꎬρꎬｄ)￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎꎬｔｈｅｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ(Ｃꎬαꎬρꎬｄ)Ｋꎬθ￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｍｕｌｔｉ￣ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓｅｍｉ￣ｉｎｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇｎｅｗｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｃｏｎｖｅｘｉｔｙ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｍｕｌｔｉ￣ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎻｓｅｍｉ￣ｉｎｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇꎻｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ(Ｃꎬαꎬρꎬｄ)Ｋꎬθ￣ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃ￣ｔｉｏｎꎻｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ(上接第１５页)ＴｈｅＵｐｐｅｒＢｏｕｎｄｓｏｆｔｈｅＩｎｆｉｎｉｔｅＮｏｒｍｏｆｔｈｅＩｎｖｅｒｓｅＭａｔｒｉｘｆｏｒｔｈｅＥｖｅｎｔｕａｌｌｙＳｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔＭａｔｒｉｃｅｓＬＩＹａｎｙａｎ∗(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬＷｅｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＷｅｎｓｈａｎ６６３０９９ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅｎｏｒｍｏｆｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘｏｆｔｈｅｅｖｅｎｔｕａｌｌｙｓｔｒｉｃｔｌｙｄｉａｇｏ￣ｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔｍａｔｒｉｘｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ.ＳｅｖｅｒａｌｅｓｔｉｍａｔｏｒｓｗｉｔｈｐａｒａｍｅｔｅｒｓｗｉｔｈｉｎｆｉｎｉｔｅｎｏｒｍｏｆｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘｏｆＮｅｋｒａｓｏｖｍａｔｒｉｘｗｅｒｅｕｓｅｄ.Ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆａｍａｔｒｉｘꎬｓｏｍｅｎｅｗｒｅｓｕｌｔｓｗｉｔｈｐａｒａｍｅｔｅｒｓｗｅｒｅｏｂ￣ｔａｉｎｅｄ.Ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｆｕｒｔｈｅｒｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙａｎｄｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙｏｆｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｄｉａｇｏｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔꎻｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘꎻｉｎｆｉｎｉｔｙｎｏｒｍꎻｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄꎻｓｅｑｕｅｎｃｅ。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是由若干个数排成的矩形阵列。
在实际应用中，矩阵广泛应用于各种数学、物理、工程和计算机科学等领域。
其中，严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，它在数值计算和科学计算中具有重要的作用。
本文将详细介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。
它的定义如下：对于一个n阶矩阵A=(aij)，如果存在一个正整数p，使得对于任意的i∈[1,n]，都有|aii|>∑|aij|，其中j∈[1,n]，j≠i且j≠p，则称矩阵A是严格对角占优的。
其中，|aij|表示aij的绝对值，∑|aij|表示矩阵A第i行除去aii元素后，其余元素绝对值之和。
举个例子，下面是一个3阶的严格对角占优矩阵：A = [ 4 -1 0-1 4 -10 -1 4 ]可以看到，对于任意一个元素aii，都有|aii|>∑|aij|，其中j ≠i。
例如，当i=1时，|4|>|(-1)|+|0|=1，当i=2时，|4|>|(-1)|+|(-1)|=2，当i=3时，|4|>|(-1)|+|0|=1。
因此，矩阵A是严格对角占优的。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1.唯一性：严格对角占优矩阵是唯一的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是唯一的。
2.可逆性：严格对角占优矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是可逆的。
3.正定性：严格对角占优矩阵是正定的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它的所有特征值都是正实数。
4.稳定性：严格对角占优矩阵在数值计算中具有很好的稳定性。
也就是说，对于一个严格对角占优矩阵A，如果对其进行一些数值计算，得到的结果也是非常稳定的，不会受到舍入误差的影响。
三、严格对角占优矩阵的应用严格对角占优矩阵在数值计算和科学计算中具有广泛的应用。
矩阵论判断题
（一）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ，如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ ) 2、设n n A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ⨯∈可逆，n n C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设32312100a a A a a aa -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n n A C ⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,) T nn x x x x C =∈，则1||||m in i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C ⨯∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n n A C ⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )（二）1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u E u u =--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ ) 5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H HA A A A +=则.( ∨ )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )（三）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设n x C ,U ∈为n阶酉矩阵，则22||||||||Ux x =. ( )()2222H H H ||Ux ||UxUx x U Ux x x ||x ||====2、设,n nA C⨯∈则2221||||||nm ii A λ=≥∑. ( )n nA C⨯∈→HA URU =→22222222||||||||||||||||Hm m m m A URUR R ==≥21||nii λ==∑3、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则21||||||x x =为向量范数. ( )例如(0,1,0,,0)0 x =≠，但||||0x =4、1||||||||||||x x n x ∞∞≤≤. ( )11||||m a x ||||||||m a x ||||||ni ii iii x x xx n x n x ∞∞==≤=≤=∑5、设A 为n 阶酉矩阵，则.AA A A E ++== ( )因为H A A +=，故结论成立6、若m r r A C ⨯∈，则11()H HL A AA A --=. ( )11()H HL A A A A --=，故结论不成立7、若||||⋅为算子范数，则11||||||||A A --≥. ( )111||||||||||||AA A A --=≤，故结论不成立8、111i i i ii⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和都是复对称矩阵()T A A =，故均为正规矩阵. ( )111i ii i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为正规矩阵而非正规,因为1111ii ii ii i i i iii----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦9、设()A ρ为矩阵A 的谱半径，则()||||m A A ρ∞≤. ( )01,||||1,() 1.61811m A A A ρ∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则而10、设||||||||||||||||H m m m x xa ⋅=⋅为自相容矩阵范数，则是与相容的向量范数 ( )（四）一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A+=则.( )()H HB A A A A+=⇒HBB =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒()1B ρ=2、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( )3、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--4、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )(2)H H H A E u u =- (2)H H E uu =-2HE uu =-A =(2)(2)H H H A A E u u Eu u =--224H H H HE u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴5、设12342468111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ) 6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +. ( )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则.)0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( )8、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ) 9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( )10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A DE B 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ) （五）1、A n 为阶实对称矩阵，nR x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( )因为非负性不成立，故结论错误。
严格对角占优矩阵定义
严格对角占优矩阵定义矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。
具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：|aii| > ∑|aij| (j≠i)其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。
如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。
如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。
证明如下：由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即：|aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ... + |ain|将上式移项并除以|aii|，得到：1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| + |ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|因为|aij|/|aii| < 1，所以|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii| < n-1因此，1/(n-1) < 1/|aii|，即|aii| < n-1。
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a11
a12
C
(D L)U
a21
an1
a22
an 2
a1n
a2n
ann
,
9
下面证明，当 时， 1，即 的d特e征t(值C) 0
G
均满足
，
1
由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.
事实上，当 时， 1
由 为A严格对角占优阵，
有
cii aii
i1
n
j1
aij
aij
于是，求解 化A为x 求解b
3
A11
y1
A12 y2 A22 y2
d1, d2.
由上式第2个方程组求出 ,
y2 再代入第1个方程组求出
y1.
显然，如果 所有元A素都非零，则 为不可约阵. A
4
例7
设有矩阵
b1 c1 a2 b2 c2
4 1 1 0
A
an1
bn1 an
定理8说明解 的SOARx迭代b法，只有在 范围
内取松弛因子 ，才可能收敛.
定理9
设 Ax， b 如果：
(1) 为对称A正定矩阵，
A D L U;
(0,2)
(2) 0 2.
则解 A的x SObR迭代法收敛.
12
证明
在上述假定下，只需证明 ， 1 其中 为 L
的任一特征值.
事实上，设 为对应y的 的特征向量，L
从而
2
(
)2 2 2 ( )2 2 2
.
当
0时，利用(23.7)，(3.8)，有
( )2 ( )2 ( 2 )( 2) 0,
即 L的任一特征值满足
当 0时， 2
， 1 故SOR方法收敛
可以证明 ( )2 2 2 0.
15
定理10
设 Ax， b 如果：
(1) 为严格A对角占优矩阵(或 为弱对角占优不A可约
7
定理7
设 Ax, b 如果：
(1) 为严格A对角占优阵，则解
代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
的雅可比迭 Ax b
(2)
为弱对角占优阵，且
A
为不可约矩阵，A则解
雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛.
Ax b
证明
只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理.
由设可知，
aii ，解0 (i 的1高,斯-,塞n)
显然
n
(Dy, y) aii yi 2 0, i1
记
(Ly, y) i ,
由于 A AT 所以 U , LT 故
(Uy, y) ( y,Ly) (Ly, y) i ,
0 ( Ay, y.8）
所以
( ) i , ( ) i
,
cn1
bn
B
1 1 0
4 0 1
0 4 1
411.
(ai ,bi ,ci都不为零)
则 A都, 是B不可约矩阵.
5
定理6
(对角占优定理)
如果
占优矩阵或 为不A可约弱对角占优矩阵，
A (为a严ij )格n对n角 则 为A非奇异矩阵.
证明
只就 为A严格对角占优阵证明此定理.
采用反证法，
如果 det(，A) 0 则 Ax有非0零解，
即
L y y, y ( y1, y2 , , yn )T 0,
(DL)1((1)DU ) y y,
亦即
((1 )D U ) y (D L) y. 为了找出 的表达式，考虑数量积
(((1 )D U ) y, y) ((D L) y, y),
13
则
(Dy, y) (Dy, y) (Uy, y) , (Dy, y) (Ly, y)
Ax b
有 (L， ) 1 设 L的特征值为
，1, 2 , , n 则
det( L ) 12 n (L )n ,
或
另一方面
det( L ) 1/n (L ) 1.
det( L ) det[( DL)1]det((1)DU ) (1)n ,
11
从而
det( L ) 1/ n 1 1, 即 0 2.
ji1
i1
n
n
aij aij cij
j1
ji1
j1
ji
(i 1,2, ,n).
这说明，当 时，矩阵为1严格对角占优C阵，
再由对角占优定理有
det(C) 0.
10
定理8 (SOR方法收敛的必要条件)
设解方程组
的SOR迭代法收敛，
则 0 2.
证明
由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3)
德尔迭代法的迭代矩阵为
Ax b
G (D L)1U ( A D L U )
8
下面考查 的特征G值情况.
det(I G) det(I (D L)1U )
det(( D L)1)det((D L)U ).
由于
det(( D, L)1) 0
于是 特征值即为
G
det((D L) U ) 0
之根. 记
6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性
定义3 (对角占优阵)
设 A (aij )nn .
(1) 如果 的元素满A足
n
aii
aij
j 1 ji
称 为A严格对角占优阵.
(i 1,2, , n).
(2) 如果
的元素满足
A
n
aii aij (i 1,2, , n).
j 1
ji
且上式至少有一个不等式严格成立，
称 为A不可约矩阵.
为可约矩阵意即
A
可经过若干A行列重排化为(3.6)或
2
Ax可化b为两个低阶方程组求解. 如果 经过A两行交换的同时进行相应两列的交换， 称对 进A行一次行列重排. 事实上，由 可化A为x b
PT AP(PT x) PT b,
且记
y
PT
x
y1 y2
,
PT
b
d1 d2
其中 y为1, d维1向量.r
矩阵)；
(2) 0 1.
则解 Ax的SObR迭代法收敛.
下面讨论迭代法的收敛速度. 由定理3证明中可知，如果 且
迭代法收敛越快.
越小(B时)， 1
(B)
16
现设有方程组
x Bx f , B R nn
记为 x (x1,, x2 , , xn )T 则
xk
max
1in
xi
0.
由齐次方程组第 个方程 k
n
akj x j 0,
则有
j 1
6
n
n
n
akk xk
akj x j
akj x j xk
akj ,
j 1
j 1
j 1
ji
ji
ji
即
n
akk
akj ,
j 1 ji
与假设矛盾，故
det( A) 0.
称 为A弱对角占优阵.
1
定义4
(可约与不可约矩阵)
如果存在置换阵 使 P
设 A (aij ),nn (n 2)
PT
AP
A11 0
A12 A22
,
其中 为A11阶方阵r ， 为 阶A方2阵2 n ，r
A为可约矩阵.
（3.6）
(1 r n) 则称
否则，如果不存在这样置换阵 使(3.6)式成立P，则