严格对角占优矩阵与SOR迭代法的收敛性定理
第３４卷第１期 ２０１１年３月 长春理工大学学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） ＶＯ｝．３４ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１ｌ
严格对角占优矩阵与ＳＯＲ迭代法的收敛性定理
宋岱才，敬长红，陈德艳
（辽宁石油化工大学理学院，抚顺１１３００１）
摘要：针对线性方程组的系数矩阵为 链严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况，讨论了线性方程组求
解时常用的ＳＯＲ迭代方法的收敛性，给出了迭代法收敛性定理，解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题。结果不
仅适用于这两类矩阵．还适用于广义严格对角占优矩阵类，最后举例说明了所给结果的优越性。 关键词：ａ．链严格对角占优矩阵；双严格对角占优矩阵；迭代法；收敛性
中图分类号：Ｏ２４１．６；Ｏ１５１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—９８７０（２０１１）０１－０１７０－０３
Ｄｉａｇｏｎａｌ Ｓｔｒｉｃｔｌｙ Ｄｏｍｉｎａｎｃｅ Ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
Ｔｈｅｏｒｅｍ ０ｆ ＳｏＲ Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ
ＳＯＮＧ Ｄａｉｃａｉ，ＪＩＮＧ Ｃｈａｎｇｈｏｎｇ，ＣＨＥＮ Ｄｅｙａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ＆ＣｈｅｍｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｆｕｓｈｕｎ １１３００１）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆＳＯＲｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅ．ｏｄＯｒｓｏｌｖｉｎｇｌ ｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．ｗｈｅｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｍａ－
ｔｒｉｘ ｉｓ ６ｃ—ｃｈａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｏｒ ｄｏｕｂｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ，ａｎｄ ｓｏｍｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．
ｗｈｉｃｈ ｓｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆｓｐｅｃｔｒａｌ ｒａｄｉｕｓ ｏｆｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｒｅ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｆｏｒ。［一ｃｈａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉ—
ｎａｎｃｅｍａｔｒｉｘｏｒｄｏｕｂｌｙｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙｄｏｍｉｎａｎｃｅｍａｔｒｉｘ，ａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓａｎｄａｒｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｉ—
ａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：口一ｃｈａｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ；ｄｏｕｂｌｙ ｄｉａｇｏｎａｌ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ
１基本概念及引理
给定线性方程组Ａｘ＝ｂ，其中Ａ∈Ｃ 为非奇异
矩阵，ｂ为，２维列向量。文献［１．７］对于迭代矩阵
为严格对角占优矩阵、 ．链严格对角占优矩阵和双
“．严格对角占优矩阵等情形分别讨论了常用的几种
迭代法的谱半径的上界估计问题。文献［８－９］针对
系数矩阵为以上对角占优的情况讨论了Ｊａｃｏｂｉ迭代
法、Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ迭代法以及ＪＯＲ迭代法的收敛性
问题。本文的主要工作是：针对方程组的系数矩阵
４为 一链严格对角占优矩阵以及双严格对角占优矩
阵，讨论了常用到的ＳＯＲ迭代法的收敛性，得到
几个重要的结论，解决了估计迭代矩阵谱半径的 界限问题。最后举例说明这一结果的适用性。
设方程组的系数矩阵Ａ分解为Ａ＝Ｄ—Ｌ—Ｕ，其
中Ｄ＝ｄｉａｇ（ａｌｊ＇ａ２：，…， ），一 是矩阵Ａ的严格
下三角矩阵，一魄矩 的严格上三角矩阵。ＳＯＲ
迭代法的公式为：
“’＝ ＋厂，ｋ＝０，１，２… （１）
其中Ｌ。＝（Ｄ－ｃｏＬ） ［（１一∞）Ｄ＋∞ 称为ＳＯＲ迭代法的
迭代矩阵，厂＝（Ｄ－ｃｏＬ）～ｂ， 称为松弛因子。ＳＯＲ
迭代法收敛的必要条件为Ｏ＜ｗ＜２。我们在文献
［８－９］基础上讨论ＳＯＲ迭代法的收敛性。
设 ＝（ ）∈Ｃ ，记Ｒ ）：∑ Ｉ． （，４）＝∑｛ ｌ， ｌ≠｜ｌ≠） ｉ∈Ⅳ ｛１，２，…， ）。
定义ｉ¨叫 设 ＝（ １∈ｃ” ，若对任意的ｉ∈
收稿日期：２０１０—０９—２６ 基金项目：国家自然科学基金项目（２０２７３０２８）；辽宁省教育厅高校科研项目（２００４Ｆ１００） 作者简介：宋岱才（１９５４一），男，教授，主要从事数值代数的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｄｃ１＠１６３．ｃｏｒｎ。
第１期 宋岱才，等：严格对角占优矩阵与ＳＯＲ迭代法的收敛性定理 ｌ７ｌ
Ⅳ，存在瑾∈［０，１］，皆有ｌａ ｌ＞ ） ），则称 为
６ｃ．链严格对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄ 。若存在正对
角矩阵ｄ＝ｄｉａｇ ， ，…， ）使得ＡｄＥ Ｄ ，则称
为广义口一链严格对角占优矩阵，记为Ａ∈ＧＤ 。
定义２¨ 设 ∈Ｃ ，若 ∽，Ｖ
ｉ。ｊＥＮ成立，则称 为双严格对角占优矩阵，记为
Ａ∈Ｄ。若存在正对角矩阵ｄ＝ｄｉａｇ ， ，…， ），
使得 ∈Ｄ，则称 为广义双严格对角占优矩阵，
记为Ａ∈ＧＤ。
引理１［１叫 设 ∈Ｃ ，若Ａ∈Ｄｏ或Ａ∈
Ｇ ，则Ａ为非奇异矩阵。
引理２¨。。 设 ＝＝（ ∈Ｃ ，若Ａ∈Ｄ或Ａ∈
ＧＤ，则Ａ为非奇异矩阵。
引理３设 是一个常数，０＜０９＜１，则当Ｉ￣１－－１
时，总有１２－１＋０９１＞＿＿１２Ｉ．ｏ９＞０９。
证明首先证明不等式的左端成立。当４＝１
时，不等式显然成立。
当２＞１时， 一１＞０，又因为 １，所以有
一１ ∞ －１），即得到 一１＋０９＞，￣ｚｏ，即得到 一１＋０９１＞－ｌ
ｌ。
当 一１时，有１－４＞０，同理由０＜ １得，１一
∞（１－４），即１－２－０９＞＿－２０９，又由于１－２－０９＞０和
一２０９＞０，所以Ｉ１－２－０９１＞＿１－２０９ｌ，即 一１＋∞ｌ ∞ｌ。
其次，由于Ｉ，ｔｌ＞－１及０＜∞ １，所以有不等式的
右端自然成立。
２主要结论
定理１ ＥＤｏ鲥∈Ｊ［），则当松弛因子０９满足
０＜∞ １时，对任意初始向量解线性方程组Ａｘ＝ｂ的
ＳＯＲ迭代法都收敛。
证明首先证明当ＡＥＤｏ时，ＳＯＲ迭代法收
敛。
由条件知，对角矩阵Ｄ＝－ｄｉａｇ（ａ ａ：：，…，
ａｎ ）≠０。设 为ＳＯＲ迭代法的迭代矩阵 ＝ 一ｎ ）
［（１—０９）Ｄ＋缈 的任意特征值，则ｄｅｔ（２／－Ｌ ）＝ｄｅｔ
｛ 一 一ｃｏ／；）～Ｉ（１—０９） ＋＿ＣＯ ）＝０，Ｕ为单位矩阵），
即
ｄｅｔ（Ｄ一∞ ） ｛２（Ｄ—ｃｏＬ）一［（１—０９）Ｄ＋０９ ）＝０，
从而得，ｄｅｔ（Ｄ一∞ ）～・ｄｅｔ｛２（Ｄ一砒）一［（１一∞）Ｄ＋
∞ ）：０，由于ｄｅｔ（Ｄ—ｃｏＬ） ≠０，所以
必有
ｄｅｔ｛ 一１＋０９）Ｄ一２０９Ｌ－ｃｏ ＝Ｏ （２）
假设 ＝（Ｄ一０９Ｌ） ［（１＿∞）Ｄ＋∞ 至少存在一个 特征值１４１＞－１。由于Ａ∈Ｄ ，所以有
Ｉ Ｉ＞ ） ＋∽ ＋∽ （３）
对ｆ∈ 皖立。又由矩阵 的分解以及矩阵 ，
的结构知，
（ ）＝ （上＋ｔｏ＝ 肛）十Ｒ ，
）＝ ＋ｔｏ＝＆ ）斗 （∽ （４）
从而得到，对任意的ｉＥＮ， ∈［０，１］，皆有
Ｉａ。４＞尺 ） ）＝［尺旺）＋ （∽］ ・ ）＋Ｓ（ｔｏ］
成立。
由引理３知，此时 一１＋０９１＞－１２Ｉ．０９，上式左边
乘以１４－１＋ｏ９Ｉ，右边乘以 ∞ｌ，得
一１＋０９Ｉ．１ａ，，ｌ＞ｌＡ０９１ 肛）般ｌ（∽］ ・ ∞ ＩＳ， ）＋
（∽］ ［ ０９Ｌ）＋Ｒ ∞ ］。・ 砒 ∞ｔｏ］
由于１４１＞１，由上式得，
ｌ 一１＋ｏ９１．Ｉａ．Ｉ＞［Ｒ，（２０９Ｌ）＋Ｒ （０９∽］
［Ｓ，（２０９Ｌ）＋Ｓ，（２ＣＯｔｏ］
￣（２０９Ｌ＋０９ｔｏ・ （２ｍＬ＋ｍ∽＝
彤［ 一１＋∞）Ｄ— ∞Ｌ一∞ ・
［ 一ｌ＋∞ 一 ∞￡一∞
此说明 一１＋０９）Ｄ— 础一 ∈Ｄａ，由引理１得到
一ｌ＋０９）Ｄ－２０９Ｌ一∞ 乍奇异，与（２）式矛盾。所
以１２１＞＿１不 ＝（Ｄ一０９５） ［（１一ＣＯ ＣＯ 的特征值。
从而得知ｐ（三 ）＜ｌ，所以对任意初始向量解线性方程
组Ａｘ＝ｂ的ＳＯＲ迭代法都收敛。
其次，证明当Ａ∈Ｄ时，ＳＯＲ迭代法收敛。
由于Ａ∈Ｄ，则知，对Ｖｆ，ＪＥＮ，Ｉ口胁Ｉ＞Ｒ ）
母（，４）成立，由以上证明得知，对Ｖｆ，Ｊ∈Ｎ，
胁Ｉ＞［Ｒ肛）＋尺 （ ］．［ ） ∽］ （５）
同上，假设Ｌ ＝ 一ｃｏＬ） ［（１一∞ ０９ 至少存
在一个特征值１４１＞＿１。注意到引理３的结论，（５）
式左边乘以１４－１＋０９１ ，右边乘以１２０９１ 得，
Ｊ 一ｌ＋０９１１［ａ ，ａ．￣Ｉ＞Ｉ２０９１ ＥＲ ）＋ （∽］‘
ｌ ∞Ｉ ）斗Ｒ（ｔｏ－＝ＪＲ （２０９Ｌ）＋Ｒ ∞ｔｏ］．
［弓 ∞ ）十弓 ∞ｔｏ］
同样由于１４１＞＿１，上式变为
一１＋０９］ ｌａ， ｌ＞ （２０９Ｌ）＋Ｒ （０９ｔｏ］．
［Ｒ￣（２０９Ｌ）＋ 『＜∞ｔｏ］＝
Ｒ （２０９Ｌ＋０９ｔｏ・Ｒ￣（２０９Ｌ＋０９∽ （６）
又由于对Ｖｉ∈Ⅳ，总有Ｒ （２０９Ｌ＋０９ｔＯ＝Ｒ 一１＋０９）Ｄ一
２０９Ｌ—ＣＯ 成立。所以（６）式说明 一１＋０９）
Ｄ—
数值分析公式、定理等
1 / 12 第一章 绪论
1. x＝n21kaaa.010，如果｜x－x|≤0.5nk10（这里n是使此式成立的最大正整数），则称x为x的具有n位有效数字的近似值。
2．定理：设x的近似值x有（1-1）的表示式：
（１）如果x有n位有效数字，则
n1110a21|x||xx|
（２）如果n1110)1a(21|x||xx|，则x至少有n位有效数字。
第二章 非线性方程根求解
1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)f(b)<0，则必存在(a,b)，使f()=0。
2.二分法的误差： |1k1kkk2ab|xx||xx
3. 局部收敛性：设是f(x)=0的根，若存在的一个邻域，当迭代初值属于时，迭代法得到的序列{kx}收敛到，则称该迭代法关于根具有局部收敛性。
4. 收敛速度：设ix为第i次迭代值，是f(x)=0的根，令iix，且假设迭代收敛，即iixlim。若存在实数P1，使 c||||limpi1ii0 ，则称此方法关于根具有P阶收敛速度。C称为渐近误差常数，渐近误差常数C与f(x)有关。C0保证了P的唯一性。对于特殊的函数，C可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。
5.牛顿迭代法：)x(f)x(fxxkkk1k
定理3：如果方程f(x)=0的根是单根，且在的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton迭代法必是局部收敛的
且 )(f2)(flim2i1ii（即具有二阶收敛速度）
定理4：如果是方程f(x)=0的r重根（r>1），且f(x)在的某邻域内具有r阶连续导数，则Newton法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法
1.1内容提要
1、一元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为：
1）映内性x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L∣x-y∣其中L＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为：
1）映内性xn∈Ω，φ(xn) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为xn处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x)= Bx+f时，收敛条件为，ρ（B）＜1，此时xn+1= Bxn+f，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 ULDA
Jacobi迭代公式的矩阵形式 fBxbDxULDxnnn111)(
Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式 fBxbLDUxLDxnnn111)()(
超松弛迭代法公式的矩阵形式
fBxbLDxUDLDxkkk111)(])1[()(
三种迭代方法当1)(B时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A严格对角占优，则Jacob法和Gauss-Seidel法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A不可约对角占优，则Gauss-Seidel法收敛。
7、Newton迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(limkkkkkkkkxxxxffcxx
8、Newton法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m， )()('1kkkkxfxfmxx仍为二阶收敛
9、弦割法)()())((111kkkkkkkxfxfxxxfxx 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a）/2n-1
gauss-seidel迭代法收敛判断matlab
Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。
一、Gauss-Seidel迭代法简介
Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。它的迭代更新公式为：
xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)
其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。
二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断
针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：
function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)
n=length(b);
x=x0; for k=1:maxk
x0=x;
for i=1:n
x(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));
end
if norm(x-x0,inf)
return;
end
end
error('达到最大迭代次数，方法未收敛');
end
在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。
19476-数学建模-代数方程组的解法实验
数学实验
Experiments in Mathematics
重庆邮电学院基础数学教学部代数方程组的解法实验目的
实验内容
MATLAB2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际问题.
实验软件1、用Matlab软件掌握（非）线性方程组的解法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析.
1、向量和矩阵的范数.
2、解线性方程组的方法介绍.
3、解非线性方程（组）的方法介绍.
向量范数
1、定义设nRx，若存在实函数xxN)(，满足：
a) （正定性）：0x，当且仅当0x时0x；
b) （齐次性）：xxR,；
c) （三角不等式）：yxyxRyn,。
则称x为向量x的范数（或模）
2、常用的向量范数记nTnRxxxx),,,(21
1） 2---范数 21
122)(n
iixx
2） 1---范数 n
iixx11
3） ---范数 inixx1max
4） p---范数 )1()(1
1pxxpn
ipip
3、范数性质
定理1（欧氏空间向量范数的等价性） 设xx,为任
意两种范数，则存在常数0,21cc，使
xcxxc21对任意nRx成立。
定理2（向量序列),2,1(kxk的收敛性）
xxkk)(lim的充要条件是0lim)(xxkk，其中
•表示任何一种范数。
矩阵范数
1、定义设nnRA，若存在实函数AAN)(，满足：
a) （正定性）：0A，当且仅当0A时0A；
b) （齐次性）：AAR,；
c) （三角不等式）：BABARBnn,。
则称A为向量A的范数（或模） d) （相容性）：BAABRBnn,
2、矩阵范数与向量范数的相容性条件：
nnnRARx,，有xAAx
3、定义 对于nnnRARx,，和一种向量范数，称
xAxAx0max为矩阵 A的算子范数
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：
本⽂实例⽅程组：
⼀.jacobi迭代法
从第i个⽅程组解出xi。 线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）
得到迭代公式：
其中的矩阵B和向量f如何求得呢？
其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素
⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】
这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）
从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似
三.逐次超松弛法SOR法
上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。并没有构造其⼀般的计算公式。Gauss-Seidel迭代法的⼀般公式：
基于矩阵分裂的预处理(I+S)后SOR迭代法收敛性分析
第２８卷第４期 ２０１１年８月 贵州大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏｌ＿２８ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２０１１
文章编号１０００—５２６９（２０１１）ｏ４～０００６—０５
基于矩阵分裂的预处理（Ｉ＋Ｓ）后
ＳＯＲ迭代法收敛性分析
雷 刚
（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３）
摘要：在运用ＳＯＲ迭代法求解大型线性方程组Ａｘ＝ｂ时，结合矩阵分裂理论及比较定理，给方 程两边同时左乘非奇异矩阵Ｐ（也称为预处理矩阵），对新的系数矩阵ＰＡ进行矩阵分裂时，引入
参数ｏＬ，以使矩阵分裂更加一般化，说明这种方法能加速ＳＯＲ迭代法的收敛性，而且比一般的预
处理方法更有效。最后给出数值例子加以说明。 关键词：预条件；收敛性；ＳＯＲ迭代法；谱半径；矩阵分裂
中图分类号：Ｏ２４１．６ 文献标识码：Ａ
近年来在对运用迭代法求解系数矩阵为大型 稀疏矩阵的线性方程组Ａｘ＝ｂ时，其中Ａ＝
（ａ ）…∈Ｒ “， ，ｂ∈Ｒ ，常常都是通过预处理 的方法¨ 加速迭代法的收敛性。也就是在给方
程组的两边同时左乘非奇异矩阵Ｐ∈Ｒ ，使原 方程变为
ＰＡｘ＝Ｐｂ （１） 不失一般性，假设Ａ＝，一Ｌ—Ｕ为非奇异矩阵
（当Ａ为奇异矩阵时，可通过矩阵变换为低阶的非 奇异矩阵），，为单位矩阵，一 为严格下三角矩
阵，一 为严格上三角矩阵。 那么，求解方程组Ａｘ＝ｂ的ＳＯＲ迭代法的迭
代矩阵为
Ｔ＝（，一 ） ［（１一 ），＋ ］ （２） 若令Ｍ＝（，一（ｏ ），Ｎ＝［（１一 ），＋ ］， 则ＳＯＲ迭代矩阵为Ｔ＝Ｍ一‘Ｎ．
在文［１］中提到常用的预条件因子Ｐ：（，＋ Ｓ），，为单位矩阵，Ｓ为如下形式的方阵
Ｓ＝ ０ 一ａ１２ ０
０ ０ 一ａ２３
０ ０ ０
０ ０ Ｏ ０
Ｏ
●●● 一ａｎ—１．ｎ Ｏ （ａ ）…对应位置上的元素。那么，在预处理因子
Ｐ：（，＋Ｓ）作用后，方程组ＰＡｘ＝Ｐｂ的系数矩阵
严格对角占优矩阵定义
- 1 - 严格对角占优矩阵定义
矩阵是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。其中，严格对角占优矩阵是一种非常特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。本文将介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用这种矩阵。
一、严格对角占优矩阵的定义
严格对角占优矩阵是指矩阵的对角线元素绝对值大于非对角线元素绝对值之和的矩阵。具体来说，设矩阵A的大小为n×n，即A=[aij]n×n，其中i和j分别表示行和列的下标，那么A是严格对角占优的，当且仅当：
|aii| > ∑|aij| (j≠i)
其中，∑|aij|表示对于每个i，将aij的绝对值相加得到的总和。如果A是对角占优矩阵，即|aii| ≥ ∑|aij| (j≠i)，则A不是严格对角占优矩阵。
二、严格对角占优矩阵的性质
严格对角占优矩阵具有很多重要的性质，这些性质使得它在数学和应用中都有着广泛的应用。下面我们将介绍一些重要的性质。
1.严格对角占优矩阵的逆矩阵存在且唯一。
如果A是严格对角占优矩阵，那么它的逆矩阵A-1也存在且唯一。证明如下：
由于A是严格对角占优矩阵，所以|aii| > ∑|aij| (j≠i)，即： - 2 - |aii| > |ai1| + |ai2| + ... + |ai(i-1)| + |ai(i+1)| + ...
+ |ain|
将上式移项并除以|aii|，得到：
1 > |ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +
|ai(i+1)|/|aii| + ... + |ain|/|aii|
因为|aij|/|aii| < 1，所以
|ai1|/|aii| + |ai2|/|aii| + ... + |ai(i-1)|/|aii| +
广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
广义严格对角占优矩阵的充分必要条件
1. 引言
1.1 引言概述
广义严格对角占优矩阵是线性代数中一个重要且常见的概念。在矩阵理论中，对角占优矩阵是指矩阵每一行（或每一列）对角线上的元素的绝对值都大于该行（或该列）上所有其他元素的绝对值之和。而广义严格对角占优矩阵则是对角线和非对角线上元素的要求更为宽松的一类矩阵。广义严格对角占优矩阵在实际问题中有着重要的应用，尤其在数值计算中起着至关重要的作用。
本文将探讨广义严格对角占优矩阵的定义、性质、定理证明、应用和举例，希望通过对这一概念的深入研究，能够更好地理解其在数学和工程领域的重要性和实用性。在下文中，我们将详细介绍广义严格对角占优矩阵的各个方面，并通过具体的例子和应用场景来帮助读者更好地理解这一概念。通过对广义严格对角占优矩阵的全面分析，我们可以更好地把握其本质和特点，为进一步的研究和应用奠定基础。
2. 正文
2.1 定义 广义严格对角占优矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在正整数r（r=1,2,...,n-1），使得对于所有i(j≠i)，都有|a_ij|≤r|a_ii|成立，则称矩阵A是广义严格对角占优的。
这里，a_ij表示矩阵A的第i行第j列元素，a_ii表示矩阵A的第i行第i列元素。简单来说，广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵，其非对角线上的元素的绝对值都小于等于对角线上元素的绝对值的r倍。
广义严格对角占优矩阵的定义对于矩阵的性质和定理证明有着重要的影响，它保证了矩阵A的主对角线上的元素起着重要的作用，并且非对角线上的元素相对于对角线上的元素来说是比较小的。这种特性为矩阵的计算和性质分析提供了便利，在实际应用中也有着重要的作用。
2.2 性质
广义严格对角占优矩阵是一类在数学和工程领域中广泛应用的重要矩阵。它具有许多独特的性质，这些性质在矩阵论和线性代数中具有重要的意义。
基于矩阵分裂的预条件SOR迭代法收敛性
２０１２正 第３２卷第１期 河北大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｂｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ２０１２ Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．１
基于矩阵分裂的预条件ＳＯＲ迭代法收敛性
雷刚
（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３）
摘 要：对预条件方法解线性方程组，利用黄廷祝等在［“ｍｏｄｉｆｉｅｄ ＳＯＲ－ｔｙｐｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｚ－ｍａｔｒｉ—
ｃｅｓ，，］中提到的预条件能加速ＳＯＲ迭代法的收敛性，结合矩阵分裂理论及比较定理，给出一种基于矩阵分裂的
含参数预条件ＳＯＲ迭代方法，说明这种方法不仅能加速ＳＯＲ迭代法的收敛性，而且优于一般的预条件方法，找
出参数的最优选取方法，最后通过数值例子加以说明． 关键词：预条件；收敛性；ＳＯＲ迭代法；谱半径；矩阵分裂
中图分类号：Ｏ２４１．６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００—１５６５（２０１２）０１—００１２—０５
Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ＳＯＲ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ
ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ
ＬＥＩ Ｇａｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂａｏｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ Ｓｈａａｎｘｉ，７２１０１３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｉｎｇ—Ｚｈｕ
Ｈ ｕａｎｇ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｔｏ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ＳＯＲ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｔ”ｍｏｄｉｆｉｅｄ ＳＯＲ—ｔｙｐｅ
超松弛迭代法解线性方程组
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设计题目： 超松弛迭代法解线性方程组
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摘要
本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。
首先，本文以微分方程边值问题为例，导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组，转化对稀疏线性方程组求解问题。其次，用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序，对产生的稀疏线性方程组进行迭代法求解。然后，分别改变松弛因子ω和分段数n的值，分析其收敛性和收敛速度，做出各个方面的分析和比较得到相关结论。最后，将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与精确解较接近的数值解,并画图比较，验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的精确性。
关键词 ：稀疏线性方程组 逐次超松弛迭代法 松弛因子
matlab编程
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