第四章频域分析_2
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信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
第四章频域分析解析
第四章频域分析解析第4章频域分析前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。
从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。
信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。
而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。
在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。
因此，我们首先介绍信号的频域分析法。
4.1概述一、频域分析法1.定义所谓信号的频域分析．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。
2.频域分析的目的（1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围；（2）分析各信号之间的相互关系；（3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断；二、频谱1.定义所谓频谱，也就是信号的频域描述。
2.分类对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。
（1）周期信号：离散的．．．幅值谱、相位谱或功率谱（2）非周期信号：连续的．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度（3）随机信号：具有统计特征．．．．的功率谱密度3.功率谱（1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布；（2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况；注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。
5.相干分析所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。
三、谱估计1.定义由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
第四章频域分析
2 应用
语言信号的分析 对齿轮和轴承等动态分析和故障诊断
4.4 谱分析中的几个重要问题
一、预处理 1 预滤波 当信号需要平滑或抑制不需要的频率分量 时，可采用滤波的方法。 2 零均值变换
x( n ) x( n ) x( n )
^
1 其中： x( n ) N
n 1
x( n )
T / 2| X ( ) |
T /2
2
d
| X ( ) |2 / T
功率谱密度
性质
x(t ) x(t t0 )
对功率谱无影响 功率谱降低
1 K
t kt
三、功率谱的计算
1 分类 (1) 经典法 ( 线性估计法 )— 用传统的傅里叶 变换分析方法求谱。 间接法(相关估计法)—由数据的自相关序 列求功率谱； 直接法(周期图法)—由数据直接用离散傅 里叶变换求功率谱。 （2）现代法（非线性估计法）
s
s
s 2 m s 2 m
s
s
1、提高fs N一定，fs ，频率分辨率下降（fs/N） N增大，fs ，频率分辨率提高 2、低通滤波器
四、谱分析步骤
(1)估计待分析信号中频率范围和频率上 限。 (2)根据分析精度的要求，设定谱分析中 的频率分辨率。 fs 1 1 f T Nt N (3)选定采样间隔，使采样频率 f s 2 f m 。 (4)确定采样点数。
n
y ( n ) x ( n m ) x ( n ) y ( n m) r
n
xy
( m)
线性相关结果长度变成N1+N2-1 实现：平移、相乘、相加
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
第四章 频域分析
1 2 3
0, A 0, 0
n , A
1 , -90 2 , A 0, -180
自动控制原理C
第四章 频域分析
机械工程学院
n2 1 G j 2 2 2 - 2 2 n j n 1 - T 2T
系统对数频率特性：
L 20lg A 20lg A1 20lg A2 ... 20lg An L1 L2 ... Ln
1 2 ... n
0.1 L0.1 20
- 20
1
10
L1 0
L10 -20
90 0 - 90
1
10
绘制对数频率特性曲线
自动控制原理C
第四章 频域分析
机械工程学院
五、振荡环节频率特性 1. Nyquist图
n 2 G j 2 - 2 2 n j n
P
惯性环节频率特性曲线为一半圆
1T
自动控制原理C
第四章 频域分析
机械工程学院
2. Bode 图
L 20 lg 1 1 T 2 2 -20 lg 1 T 2 2
-arctgT
a）低频段 T 1 低频渐近线 L 0 b）高频段 T 1 高频渐近线：
与系统性能之间的关系
频域分析与时域分析方法比较: 时域分析--- 优点：分析准确、直观 缺点：判定系统不满足要求，
确定校正方式困难
频域分析--- *
图示方式表达系统性能，指明改 进系统性能的途径； * 可以利用实验法建立系统模型
信号与系统第四章连续系统的频域分析
极点对系统频率响应的影响更为显著。极点 会使系统频率响应在某些频率处产生谐振峰 或反谐振峰，具体取决于极点的位置和数量。 极点越靠近虚轴，对频率响应的影响越显著。 同时，极点的实部决定了系统的阻尼程度， 虚部决定了谐振频率。
05 连续系统频域性能指标评 价方法
幅频特性曲线绘制方法
确定系统的传递函数
周期信号频谱特性
离散性
周期信号的频谱是离散的，即只在某些特定的频率点 上有值。
谐波性
周期信号的频谱由基波和各次谐波组成，各次谐波的 频率是基波频率的整数倍。
收敛性
随着谐波次数的增加，谐波分量的幅度逐渐减小，即 周期信号的频谱具有收敛性。
02 傅里叶变换及其在频域分 析中应用
傅里叶变换定义与性质
信号调制与解调
在通信系统中，通过傅里叶 变换实现信号的调制与解调 过程，将信息加载到载波信 号上进行传输。
信号滤波与处理
利用傅里叶变换设计数字滤 波器，对信号进行滤波处理 以去除噪声或提取特定频率 成分。
03 拉普拉斯变换及其在频域 分析中应用
拉普拉斯变换定义与性质
定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于 将时间域的函数转换为复平面上的函数。 对于连续时间信号$x(t)$，其拉普拉斯变 换定义为$X(s) = int_{0}^{infty} x(t) e^{st} dt$，其中$s$是复数频率。
VS
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移 性、微分性、积分性、初值定理和终值定 理等重要性质。这些性质使得拉普拉斯变 换在信号与系统的分析中非常方便和有效 。
典型信号拉普拉斯变换举例
单位阶跃信号
指数信号
正弦信号
余弦信号
单位阶跃信号的拉普拉斯变 换为$frac{1}{s}$。
机电控制工程基础 第 4 章 线性系统的频域分析法
比较式( 4－5 )和式( 4－6 )可知, A ( ω )和 φ ( ω )分别是 G ( j ω )的幅值 G ( j ω ) 和相角∠ G ( j ω )。这一结论非常重 要,反映了 A ( ω )和 φ ( ω )与控制系统数学模型的本质关系, 在线性定常系统中具有普遍性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。
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1 = (1 − λ2 ) + j 2ξλ (0 < ξ < 1, λ = ω
ωn )
控制工程基础
第四章 频域分析法
幅频特性：
G ( jw) =
1 (1 − λ2 ) 2 + (2ξλ ) 2
2ξλ arg[G ( jw)] = −arctg 相频特性： 1 − λ2
ω = 0, λ = 0 时, G( jω ) = 1, arg[G( jω )] = 00
控制工程基础
第四章 频域分析法
第二节 频率特性极坐标(Nyquist)图
一、频率特性极坐标图表示
频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称 幅相频率特性图。 极坐标图是当 ω 由零变化到无穷大时，矢 量 G( jω) 在极坐标系统上端点的轨迹。
控制工程基础
第四章 频域分析法
注意：
1、 在极坐标图上，正（或负）相角是从正实轴开 始，以反时针旋转（或顺时针旋转）来定义的； 2、 在极坐标图上，G(jw) 在实轴和虚轴上的投影 是它的实部和虚部； 3、 它不仅表示了实频特性和虚频特性，而且也表 示了幅频性和相频特性。
2、积分环节
1 G ( s) = s
jω
σ
ω =∞
1 Q G ( jw) = jw
∴ G ( jw) = 1 w ∠G ( jw) = −90
∴ w = 0时, w = ∞时,
0
ω =0
G ( jw) = ∞, ∠G ( jw) = −90
0
G ( jw) = 0, ∠G ( jw) = −90 0
G ( jw ) = K 1 + T 2ω 2
∠ G ( j ω ) = − arctgT ω
控制工程基础
第四章 频域分析法
有ω
=0
时 ， G( jω) = K , ∠G( jω) = 0
0
ω = 1T ,
ω = ∞,
G ( jω ) = 0.707 K , ∠G ( jω ) = −450
G ( jω ) = 0, ∠ G ( jξ ) = − 90 0
ω = ω n , λ = 1 时,
1 G ( jω ) = , ∠G ( jω ) = −900 2ξ
ω = ∞, λ = ∞ 时, G ( jω ) = 0, ∠G ( jω ) = −1800
控制工程基础
第四章 频域分析法
ωn ωn ωn
Im ω =∞ ω
1
Re
ω =0
ωr
可见：
(1)阻尼比取不同，Nyquist图的形状也不同； (2)阻尼比较小时，幅频特性将出现谐振峰值。
∠G ( jw) = arctgTω
控制工程基础
第四章 频域分析法
6、振荡环节： 振荡环节：
1 ωn 2 G(s) = 2 = 2 (0 < ξ < 1) 2 s s s + 2ξωn s + ωn + 2ξ +1 2 ωn ωn
ωn 2 1 G ( jω ) = = 2 2 jω − ω + j 2ξωnω + ωn ( jω ) 2 + 2ξ +1 2 ωn ωn
性图。 解： (1)作出无滞后的惯性环节的频率特性
K G1 ( jw) = 的曲线； 1 + jTw
(2)考虑延时环节 G2 ( jw) = e − jtw频率特性的影 响,仅使系统频率特性的相位增加 而幅值不变，即
− τω ,
控制工程基础
第四章 频域分析法
即：
G ( jω ) = G1 ( jω ) ⋅ G2 ( jω )
∴ G ( jω ) = 1 + jTω
ω =∞
ω =0
1
Re
ω → 0 G ( jω ) = 1, ∠G ( jω ) = 00
ω = 1T
G ( jω ) = 2 , ∠G ( jω ) = 450
ω = ∞, G ( jω ) = ∞, ∠G( jω ) = 900
G ( jw) = 1 + T 2ω 2
控制工程基础
第四章 频域分析法
二、典型环节的极坐标图
一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环 节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系 统的动态特性带来很大的方便。
jω
1、比例环节
G(s) = K
∴ G( jw) = K, ∠G( jw) = 0
0
K × ω =∞ ω =0
σ
控制工程基础
第四章 频域分析法
( − Kt , j 0) Im
ω →∞
0
Re
ω =0
G ( jω ) = G1 ( jω ) ⋅ G2 ( jω )
∠G( jω) = ∠G1( jω) + ∠G2 ( jω) = ∠G1( jω) −τω
0
Im Re *
ω
控制工程基础
第四章 频域分析法
三、一般系统的极坐标图
绘制Nyquist图的一般形状和方法，其绘制 Nyquist图的一般步骤如下 步骤如下： 步骤如下 1、用 s = jω 代入传递函数G（S）得 G ( jω ) ，求 出实频特性 Re[G ( jω )]、虚频特性 Im[G ( jω )] 、幅 频特性 G ( jω ) 和相频特性 ∠ G ( jω ) 的表达式；
− KT K = −j 2 2 1+ T ω ω (1 + T 2ω 2 )
G ( jω ) = K
ω 1 + T 2ω 2
∠G ( jω ) = −900 − arctgTω
当 ω = 0 时, G( jω ) = ∞, ∠G( jω ) = −900
ω = ∞ 时, G( jω ) = 0, ∠G( jω ) = −1800
控制工程基础
第四章 频域分析法
∂ G ( jω ) ∂λ
λ = λr
=0
2
∴ ω r = ωn 1 − 2ξ
进而求得谐振峰值：
G ( jω r ) = 1 2ξ 1 − ξ 2
1 − 2ξ 2
ωn ωn ωn
Im ω =∞ ω
1
Re
ω =0
ωr
∠G ( jωr ) = −arctg
ξ
控制工程基础
控制工程基础
第四章 频域分析法
3、微分环节
Im
G ( s) = s G ( jω ) = jω
G ( jω ) = ω , ∠G ( jw) = 900
ω =∞
ω =0
Re
显然，实频特性恒为0；虚频特性为
ω
控制工程基础
第四章 频域分析法
4、惯性环节 传递函数为
K G ( s) = Ts + 1
K K (1 − jTω ) = G ( jω ) = 1 + jTω 1 + T 2ω 2
根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不 同频率值的实部和虚部，从而作出Nyquist图。 可以证明，频率特性曲线为一半圆。
控制工程基础
第四章 频域分析法
Im
ω =∞
ω =0
Re
控制工程基础
第四章 频域分析法
5、一阶微分环节（或导前环节）： 一阶微分环节（或导前环节） Im G ( s ) = Ts + 1
− KT 实频特性： 1 + T 2ω 2
K 虚频特性：− ω (1 + T 2ω 2 )
控制工程基础
第四章 频域分析法
− KT lim Re[G ( jω )] = lim − = − KT 2 2 w→ 0 1 + T ω ω →0
−K lim Re[G ( jω )] = lim − = −∞ 2 2 ω → 0 ω (1 + T ω ) ω →0
第四章 频域分析法
7、延时环节： 延时环节：
G(s) = e
G ( jω ) = e
− jτω
−τs
= cosτω − j sin τω
G ( jω ) = 1
Im Re
幅值特性 ：
0
ω
相频特性 ： ∠G ( jω ) = −τω
控制工程基础
第四章 频域分析法
K −τs e ，试作频率特 例：已知传递函数 G ( s ) = 1 + Ts
控制工程基础
第四章 频域分析法
２、求出 ω → 0 起点或起点渐近线； ３、求出与坐标轴的交点； ４、求出 ω → ∞ 终点位置。 例1：已知系统的传递函数 G ( s ) = 制其 Nyquist图。 解：系统的频率特性为：
K s (Ts + 1)
，试绘
控制工程基础
第四章 =K ⋅ jω ( jTω + 1) jω 1 + jTω
ωn )
控制工程基础
第四章 频域分析法
幅频特性：
G ( jw) =
1 (1 − λ2 ) 2 + (2ξλ ) 2
2ξλ arg[G ( jw)] = −arctg 相频特性： 1 − λ2
ω = 0, λ = 0 时, G( jω ) = 1, arg[G( jω )] = 00
控制工程基础
第四章 频域分析法
第二节 频率特性极坐标(Nyquist)图
一、频率特性极坐标图表示
频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称 幅相频率特性图。 极坐标图是当 ω 由零变化到无穷大时，矢 量 G( jω) 在极坐标系统上端点的轨迹。
控制工程基础
第四章 频域分析法
注意：
1、 在极坐标图上，正（或负）相角是从正实轴开 始，以反时针旋转（或顺时针旋转）来定义的； 2、 在极坐标图上，G(jw) 在实轴和虚轴上的投影 是它的实部和虚部； 3、 它不仅表示了实频特性和虚频特性，而且也表 示了幅频性和相频特性。
2、积分环节
1 G ( s) = s
jω
σ
ω =∞
1 Q G ( jw) = jw
∴ G ( jw) = 1 w ∠G ( jw) = −90
∴ w = 0时, w = ∞时,
0
ω =0
G ( jw) = ∞, ∠G ( jw) = −90
0
G ( jw) = 0, ∠G ( jw) = −90 0
G ( jw ) = K 1 + T 2ω 2
∠ G ( j ω ) = − arctgT ω
控制工程基础
第四章 频域分析法
有ω
=0
时 ， G( jω) = K , ∠G( jω) = 0
0
ω = 1T ,
ω = ∞,
G ( jω ) = 0.707 K , ∠G ( jω ) = −450
G ( jω ) = 0, ∠ G ( jξ ) = − 90 0
ω = ω n , λ = 1 时,
1 G ( jω ) = , ∠G ( jω ) = −900 2ξ
ω = ∞, λ = ∞ 时, G ( jω ) = 0, ∠G ( jω ) = −1800
控制工程基础
第四章 频域分析法
ωn ωn ωn
Im ω =∞ ω
1
Re
ω =0
ωr
可见：
(1)阻尼比取不同，Nyquist图的形状也不同； (2)阻尼比较小时，幅频特性将出现谐振峰值。
∠G ( jw) = arctgTω
控制工程基础
第四章 频域分析法
6、振荡环节： 振荡环节：
1 ωn 2 G(s) = 2 = 2 (0 < ξ < 1) 2 s s s + 2ξωn s + ωn + 2ξ +1 2 ωn ωn
ωn 2 1 G ( jω ) = = 2 2 jω − ω + j 2ξωnω + ωn ( jω ) 2 + 2ξ +1 2 ωn ωn
性图。 解： (1)作出无滞后的惯性环节的频率特性
K G1 ( jw) = 的曲线； 1 + jTw
(2)考虑延时环节 G2 ( jw) = e − jtw频率特性的影 响,仅使系统频率特性的相位增加 而幅值不变，即
− τω ,
控制工程基础
第四章 频域分析法
即：
G ( jω ) = G1 ( jω ) ⋅ G2 ( jω )
∴ G ( jω ) = 1 + jTω
ω =∞
ω =0
1
Re
ω → 0 G ( jω ) = 1, ∠G ( jω ) = 00
ω = 1T
G ( jω ) = 2 , ∠G ( jω ) = 450
ω = ∞, G ( jω ) = ∞, ∠G( jω ) = 900
G ( jw) = 1 + T 2ω 2
控制工程基础
第四章 频域分析法
二、典型环节的极坐标图
一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环 节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系 统的动态特性带来很大的方便。
jω
1、比例环节
G(s) = K
∴ G( jw) = K, ∠G( jw) = 0
0
K × ω =∞ ω =0
σ
控制工程基础
第四章 频域分析法
( − Kt , j 0) Im
ω →∞
0
Re
ω =0
G ( jω ) = G1 ( jω ) ⋅ G2 ( jω )
∠G( jω) = ∠G1( jω) + ∠G2 ( jω) = ∠G1( jω) −τω
0
Im Re *
ω
控制工程基础
第四章 频域分析法
三、一般系统的极坐标图
绘制Nyquist图的一般形状和方法，其绘制 Nyquist图的一般步骤如下 步骤如下： 步骤如下 1、用 s = jω 代入传递函数G（S）得 G ( jω ) ，求 出实频特性 Re[G ( jω )]、虚频特性 Im[G ( jω )] 、幅 频特性 G ( jω ) 和相频特性 ∠ G ( jω ) 的表达式；
− KT K = −j 2 2 1+ T ω ω (1 + T 2ω 2 )
G ( jω ) = K
ω 1 + T 2ω 2
∠G ( jω ) = −900 − arctgTω
当 ω = 0 时, G( jω ) = ∞, ∠G( jω ) = −900
ω = ∞ 时, G( jω ) = 0, ∠G( jω ) = −1800
控制工程基础
第四章 频域分析法
∂ G ( jω ) ∂λ
λ = λr
=0
2
∴ ω r = ωn 1 − 2ξ
进而求得谐振峰值：
G ( jω r ) = 1 2ξ 1 − ξ 2
1 − 2ξ 2
ωn ωn ωn
Im ω =∞ ω
1
Re
ω =0
ωr
∠G ( jωr ) = −arctg
ξ
控制工程基础
控制工程基础
第四章 频域分析法
3、微分环节
Im
G ( s) = s G ( jω ) = jω
G ( jω ) = ω , ∠G ( jw) = 900
ω =∞
ω =0
Re
显然，实频特性恒为0；虚频特性为
ω
控制工程基础
第四章 频域分析法
4、惯性环节 传递函数为
K G ( s) = Ts + 1
K K (1 − jTω ) = G ( jω ) = 1 + jTω 1 + T 2ω 2
根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不 同频率值的实部和虚部，从而作出Nyquist图。 可以证明，频率特性曲线为一半圆。
控制工程基础
第四章 频域分析法
Im
ω =∞
ω =0
Re
控制工程基础
第四章 频域分析法
5、一阶微分环节（或导前环节）： 一阶微分环节（或导前环节） Im G ( s ) = Ts + 1
− KT 实频特性： 1 + T 2ω 2
K 虚频特性：− ω (1 + T 2ω 2 )
控制工程基础
第四章 频域分析法
− KT lim Re[G ( jω )] = lim − = − KT 2 2 w→ 0 1 + T ω ω →0
−K lim Re[G ( jω )] = lim − = −∞ 2 2 ω → 0 ω (1 + T ω ) ω →0
第四章 频域分析法
7、延时环节： 延时环节：
G(s) = e
G ( jω ) = e
− jτω
−τs
= cosτω − j sin τω
G ( jω ) = 1
Im Re
幅值特性 ：
0
ω
相频特性 ： ∠G ( jω ) = −τω
控制工程基础
第四章 频域分析法
K −τs e ，试作频率特 例：已知传递函数 G ( s ) = 1 + Ts
控制工程基础
第四章 频域分析法
２、求出 ω → 0 起点或起点渐近线； ３、求出与坐标轴的交点； ４、求出 ω → ∞ 终点位置。 例1：已知系统的传递函数 G ( s ) = 制其 Nyquist图。 解：系统的频率特性为：
K s (Ts + 1)
，试绘
控制工程基础
第四章 =K ⋅ jω ( jTω + 1) jω 1 + jTω