二次根式化简公式
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧1、被开放数是小数的二次根式化简例1、化简5.1分析：被开放数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。
解：5.1=26262223232==⨯⨯=。
评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
2、被开放数是分数的二次根式化简例2、化简1251 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。
解：1251=255555551=⨯⨯⨯⨯。
评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
3、被开放数是非完全平方数的二次根式化简例3、化简48分析：因为，48=16×3=42×3， 所以，根据公式b a ab ⨯=（a≥0，b≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。
解：48=34343163162=⨯=⨯=⨯。
评注：将被开放数进行因数分解，是化简的基础。
4、被开放数是多项式的二次根式化简例4、化简3)(y x +分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。
解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+⨯+=++)()()()(22。
评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。
否则，就失去意义。
5、被开放数是隐含条件的二次根式化简例5、化简a a1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a --分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号。
而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。
因此，化简时要从被开方数入手。
解：∵a a 1-有意义∴a1-≥0，∴-a ＞0 ∴原式=a a a a a a a a a a a a a a a a--=--=--=--=---=-||)())(()()(12故选（C ）。
5.1.2_二次根式的化简
例3、化简：
(1) 16 9
(2) 32 25
解：（1）
16 9
=
16 = 4 93
（2）
32 25
=
16 2 52 =
16 52
2=4 2 5
（1） 8a2 （3） 9a2
16
（2） 16b4 （4） 25a4
64
例4 化简下列二次根式：
(1)
9； 5
(2)
27 . 8
解 (1) (2)
( 1 ) b3 ； 8a 2
( 2 ) 3a2 +6a+3 .
解 (1)
b3 = 8a2
b2· b = 2· 22 · a2
2
b b 2a 2
·
=
b 2a
b 2
=
b 2a
b×b =
·
b 4a
2b
( 2 ) 3a2 +6a+3 = 3(a2 +2a+1) = 3(a+1)2 = 3(a+1).
（1） 4 = ， （2） 9= ，
（3） 25= ， （4） 81= ，
（5） 144 = ，（6） 196= ，
(7) a（2 a 0）
.
二次根式
一般地，我们把形如 a(a 0)的式子 叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
本课节内容
5.1 二次根式和它的化简
——5.1.2 二次根式的化简
例1 化简下列二次根式
(1) 18
(2) 20
解1：18 9 2 9 2 3 2
2 20
32 2
45 4 5 2 5
化简二次根式的秘诀
二次根式化简一般步骤：
①把带分数或小数化成假分数
②把开方数分解成质因数或分解因式
③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外
④化去根号内的分母，或化去分母中的根号
⑤约分
•
有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式
注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式﹚
乘法公式法
例1计算：（5+√6）（5√2-2√3）
分析：因为2=（√2）²，所以5√2-2√3中可以提取公因式√2。
解：原式=（5+√6）×√2）×（5-√6）
=√2×（5+√6）×（5-√6）
=19√2
•最简二次根式满足下列条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式。
二次根式的化简方法讲解
二次根式的化简方法讲解
二次根式的化简方法有以下几种：
1. 去括号：对于(a + b)\sqrt{c} 的形式，可以将其化简为a\sqrt{c} +
b\sqrt{c}，例如：2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}。
2. 合并同类项：对于多个二次根式，如果它们的根数和根式相同，则可以合并它们的系数。
例如：\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} = -\sqrt{2} + 2\sqrt{3}。
3. 有理化分母：对于分母中含有根号的分式，可以通过乘上分母的共轭来有理化分母。
例如：\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot
\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}。
4. 配方：对于(a + \sqrt{b})^2 或(a - \sqrt{b})^2 的形式，可以利用公式(a \pm \sqrt{b})^2 = a^2 \pm 2a\sqrt{b} + b，来进行配方。
例如：(3 +
\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}。
5. 分解因式：对于有多个根式相乘的形式，可以尝试将其进行因式分解，然后进行化简。
例如：\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}。
复合二次根式化简技巧
复合二次根式化简技巧复合二次根式指的是根式内部包含有根式的情况，这样的根式化简起来比较困难。
但是，我们可以运用一些技巧将复合二次根式进行简化，下面将介绍几种常用的技巧。
一、差平方公式差平方公式是化简复合二次根式时最常用的公式之一。
差平方公式是指两个数之差的平方等于这两个数的平方之和减去两倍的积。
具体公式如下：（a-b）²=a²-2ab+b²当根式内的两项具有差的形式时，我们可以尝试将其化为差平方的形式，即将其平方展开，然后运用差平方公式进行简化。
二、分子有理化有理化分母，也就是将分母中的根式去掉，这种化简方法比较容易理解。
但是如果分子中也含有根式，就需要运用分子有理化的方法，使分子中不含根式。
分子有理化的方法有很多，其中一种常用的方法是乘以分母的共轭。
共轭是指将分母中的加数减去，或将分母中的减数加上所得到的形式相同的分母。
这样做可以将分母的根式消去，同时保持等式的平衡，不改变等式的根式性质。
三、因式分解因式分解是一种将复合二次根式化简的常用方法。
在这种方法中，我们需要找出根式中的相同因子，然后将其提取出来，形成新的根式。
这种方法在化简含有根式的分式、多项式时非常有效。
四、换元法换元法是一种运用代数恒等式将复合二次根式化简的方法。
在运用换元法时，我们将复合二次根式内部的变量代入新的变量，使其转化为一元式，从而实现化简。
总结：复合二次根式化简方法虽然不同，但应用的基本数学知识是相同的，如因式分解、代数恒等式、高中数学公式及运算律等。
熟练掌握这些知识，结合实际应用，就能够快速准确地化简各种复杂的二次根式了。
二次根式的化简方法
二次根式的化简方法二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
化简二次根式是将其表示为最简形式，即不含有平方根的分子和分母，且分母中不含有二次根式。
一、化简步骤化简二次根式的基本步骤如下：1.化简根号下的倍数若根号下的数可以分解成一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积，则可进行化简。
例如：√36 = √（6×6）= 6√75 = √（3×25）= 5√32.去除根号下的因子对于根号下有因子的二次根式，可将因子提取出来。
例如：√20 = √（4×5）= 2√53.合并同类项将根号下相同的项合并。
例如：2√3 + 3√3 = 5√3二、例题分析下面通过一些例题来进一步说明二次根式化简的方法：1.化简√(12-3√5)首先，我们可以先将3√5化简，得到√(12-√(5×3×3)) = √(12-√45)。
接下来，我们可以继续将根号下的因子提取出来，得到√(12-√(9×5)) = √(12-3√5)。
化简完毕。
2.化简(√7+√3)^2根据公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，我们可以展开该式子，得到(√7+√3)^2 = 7+2√21+3。
化简完毕。
三、注意事项在进行二次根式化简时，需要注意以下几点：1.化简过程中需要注意因子的提取，将根号下的因子提取出来是化简的关键步骤。
2.对于根号下的倍数，可以通过因式分解或查找完全平方数来化简。
3.在进行运算时，要注意保持计算的准确性，避免出现计算错误。
总结：二次根式的化简方法主要包括化简根号下的倍数、去除根号下的因子和合并同类项等步骤。
通过这些步骤，我们可以将二次根式表示为最简形式，使其更加简洁易读。
同时，在进行化简时需要注意计算的准确性，以避免出现错误。
希望以上内容对您有所帮助。
化简二次根式的方法
化简二次根式的方法
如何化简二次根式
化简二次根式是数学中的一个重要概念，有时可能会让人感到困惑。
二次根式是一种特殊的多项式，其中包含一个二次项和一个或两个常数项。
要化简二次根式，可以通过以下几个步骤来完成：
我们需要将二次根式的系数化简到最简单的形式，即将系数约分成它们的最大公约数的形式。
这样可以使二次根式的系数变得更加简单，也使得后续的计算更加容易。
我们可以使用二次公式来求解二次根式的根。
这个公式是：x = (-b ± √(b2 –4ac))/2a，其中a，b和c是二次根式的系数。
计算完成后，我们可以得到二次根式的两个根，也就是解决方程的两个解。
我们需要把二次根式的根化简成最简单的形式，即把它们写成一个有理数的乘积的形式。
为此，我们可以将两个根分别化简成有理数，并将它们相乘，得到最终的结果。
通过上述步骤，我们可以很容易地化简二次根式，这对于我们理解数学中的概念非常重要，也可以提高我们对数学的掌握能力。
因此，大家应该多加练习，把这个技巧掌握好，从而更好地应对后续的学习。
初中数学必背公式大全
初中数学必背公式大全1.二次根式的化简公式：√(a*b)=√a*√b√(a/b)=√a/√b√(a^2*b)=a*√b2.平方差公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^23.三角形的面积公式：三角形的面积=底边长*高/24.相似三角形的面积比公式：相似三角形的面积比=边长比的平方5.等腰三角形的面积公式：等腰三角形的面积=底边长*高/26.平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底边长*高7.梯形的面积公式：梯形的面积=上底长+下底长/2*高8.圆的面积公式：圆的面积=π*半径^29.圆的周长公式：圆的周长=2*π*半径10.等差数列前n项和公式：等差数列前n项和=(首项+末项)*项数/211.等比数列前n项和公式：等比数列前n项和=首项*(1-公比^n)/(1-公比)12.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方等于两直角边平方的和：c^2=a^2+b^213.正弦定理：在任意三角形ABC中，有：a / sinA =b / sinB =c / sinC14.余弦定理：在任意三角形ABC中，有：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC15.正切定理：在任意三角形ABC中，有：tanA = sinA / cosA16.平面直角坐标系中两点间的距离公式：AB的距离=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]17.相反数与倒数的关系：a的相反数为-a，a的倒数为1/a18.两数之和的平方差公式：(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab19.根式的乘法公式：√a*√b=√(a*b)20.根式的除法公式：√a/√b=√(a/b)。
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如何轻松学会二次根式化简公式？
二次根式化简是初中数学中的一项非常重要的技能，能够在解决各种数学问题时起到重要的作用。
本文将介绍二次根式化简公式和相关技巧，帮助读者轻松学会这一技能。
一、二次根式的定义
二次根式就是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式也可以写成乘方的形式，即a的1/2次方，即a^(1/2)。
二、二次根式的化简公式
1. 同底数的二次根式相加、相减：
√a ± √b = √(a ± b)
例如：√5 + √3 = √(5 + 3) = √8
2. 二次根式的乘法：
√a × √b = √(ab)
例如：√5 × √3 = √(5 × 3) = √15
注意：当a和b为同一个数时，可以进行化简，如√a×√a=
√(a×a) = a。
3. 二次根式的除法：
√a ÷ √b = √(a ÷ b)
例如：√5 ÷ √3 = √(5 ÷ 3)
注意：如果分母不能整除分子，应将其化为分数形式，即√(a ÷ b) = √a/√b。
二次根式的化简主要就是利用以上三个公式进行运算和简化，其
实并不难。
三、二次根式化简的技巧
1. 把被开方数分解质因数，找出成对的因数。
2. 把成对的因数提出来，搭配根号，相乘即可。
需要注意的是，
如果有未被成对分解的因数，则应将其留在根号下，例如√14=√2×7。
3. 容易混淆的数字，例如3和9、5和25、7和49，需要记住它
们的平方值。
四、总结
二次根式化简是一项非常基础的数学技能，也是进一步学习代数、高中数学等更高级内容的重要基础。
学习二次根式化简公式后，需要
多做练习，熟能生巧。
通过本文的介绍和实践，相信读者们可以轻松
掌握二次根式化简的方法，进一步提高数学成绩。