卵形曲线计算(1)
道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法
道路卵形盘旋曲线任意点坐标及方位角计算方法时间:2021-01-25 10:18:27 来源:本站作者:叶松林我要投稿我要收藏投稿指南【摘要】本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案，推导了其计算过程及公式，并附实例。
对始于高等级道路的平面卵形曲线的测设有重要的指导作用。
高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直线、圆和缓和曲线 ( 我国?公路道路设计标准?中规定盘旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形 ) 等公路平面线形要素组合而成。
各种平面线形设计形式，如根本形、卵形、 S 形、 C 形等等，对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设更为复杂。
本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式，为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。
一、盘旋线的根本特征及坐标计算盘旋线上，任意一点的曲率半径ρ 与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数 ( 图 1) 即ρl =A2(1)或式中， A 2 为盘旋曲线常数，表征盘旋曲线曲率变化缓急程度的量，称 A 为盘旋曲线参数。
图 11. 盘旋曲线上任意一点坐标计算由图 1( 曲线右旋 ) ，取盘旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，任意一点的切线方向方位角为缓和曲线角β 。
在缓和曲线上对任意一点 P 取微分dl=ρdβdx=dlcosβdy=dlsinβ考虑式 (1) 对β 或 l 在区间 [0 ，β ］或 [0 ， l ］上积分后有以下关系式成立l 2 ＝ 2A 2 β(2)(3)(4)或者(5)(6)对于公路平面线形的根本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径ρ 变化于∞ ～ R ( 圆曲半径 ) 。
设缓和曲线段长度为 l s, 那么(7)(8)2. 盘旋线的几何要素见图 1 ，盘旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P 处的曲率半径 ( 由式 (1) 和式 (2))(9)P 点的盘旋曲线长(10)P 点的缓和曲线角 ( 切线方位角，由 (9) 式 )(11)上面导出了当参数分别为β 和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式。
道路卵形曲线上点坐标的严密算法
Ｙ ２ ＝ Ｌ ｓ １ ／ ２ ／ Ｃ １ Ｊ 一
： Ｌ ｑ ／ ２ ／ Ｃ １ ｝ （ ５ ）
作者简介 ：王兵 （ １ ９ ９ ０年 ２月），男 ，汉，贵州湄潭 ，本科，测绘，贵州地矿测绘院
ｙ ２ ） 与Ｂ 、ｐ 即可求 得卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２ 转角为 ｐ 、弦 ￣ ｔ ｆ ｌ — Ｈ Ｙ ２的长度 ｓ以 及弦 Ｙ Ｈ １ 一 Ｈ Ｙ ２ 与导线 Ｊ Ｄ Ｉ － Ｊ Ｄ ２（ 即独立坐标系中 Ｙ Ｈ Ｉ 处切线 ）的夹角 ８，再根 据不对称道路平面曲线的计算方法【 ２ ］ 可求得卵形 曲线要素 （ 切线增长 ｑ 、圆心 内移 值Ｐ 、切线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素解析
Ｕ 刖 吾
道路平 曲线设计 中，不可避免地会运用到 了卵形 曲线 ，其要素 （ 转角 １ ３ 、切
线增 长 ｑ 、圆心内移值 Ｐ 、 切线 长 Ｔ等 ） 以及卵形线上任意点 高斯坐标 的计算是道
路 平曲线设计与测设 过程中的难点 ，有关文献 给出的计算方法有利用复化 辛普 森 公 式计算ｎ】 、利用双交点法计算等 ，双交点 法是将卵形线分为长度相等 的两段分 别看作等长完 整缓和曲线来进行解算 ，为一种近似算法 ，存在着误差 较大或未能 求 解卵形 曲线要 素的不足。本文给 出了一种补 全卵形线后利用几何性质将 其独 立
，
＝
Ｌ ／ 。 ２ Ｃ
＋－
Ｉ
Ｉ
】 （ ＝ （ ＿ １ ）
ｐ － Ｒ Ｏ－Ｃ ｏ ２ ） ［ ４ ］ ｑ ＝ — Ｒ Ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｌ
２ ・ ｝ （ １ ） 【
Ｉ
坐标转换为高斯坐标 的计算方法可有效提高计算精度和准确计算 曲线要素 。
卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线，又称为卡西尼曲线，是由法国数学家卡西尼于1745年发现的一种具有特殊几何形状的曲线。
这条曲线的轨迹方程是一个著名的数学问题，它可以用来描述两个定点之间的运动规律，具有许多有趣的数学性质。
在数学上，卡西尼卵形线的轨迹方程可以用参数方程表示。
设两个定点为A和B，它们分别位于原点的左右侧，且到原点的距离为a。
如果点P在卡西尼卵形线上运动，且点P到点A和点B的距离之积等于常数k的平方，那么点P的轨迹就是卡西尼卵形线。
卡西尼卵形线的数学性质非常有趣。
首先，卡西尼卵形线是一个对称图形，关于原点对称。
其次，当常数k等于零时，卡西尼卵形线就是一个普通的圆。
当k增大时，卡西尼卵形线的形状会发生变化，变得更加扁平，直到最终变成一个双点曲线。
除了数学性质之外，卡西尼卵形线还有许多实际应用。
在天文学中，卡西尼曲线被用来描述行星围绕太阳的轨道。
在工程学领域，卡西尼卵形线被应用于光学器件的设计和分析。
在生物学中，卡西尼卵形线被用来研究生物体的运动规律。
总的来说，卡西尼卵形线是一个非常有趣并且具有重要意义的数学问题。
通过研究卡西尼卵形线的轨迹方程，我们可以更好地理解数学中的几何形状和运动规律，同时也可以将其应用于各个领域，为
人类的发展和进步做出贡献。
希望未来能有更多的数学家和科研工作者投入到卡西尼卵形线的研究中，探索出更多有趣的数学性质和实际应用，让数学这门学科发挥更大的作用。
卵形曲线计算方法
卵形曲线坐标计算方法一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）X Y ° ’ ”ZHAK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2HY1AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZAK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= =59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2= =84.999A3= =67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卵形曲线
40R2
6R
在缓和曲线中R1= R2(L1+L2) ,使用此公式 求的所补缓和曲线的长度。 利用缓和曲线的切线角公式求得YH点切线 与x轴夹角β ，而δ=1β/3。α1为 YH 点 的切线方位角，则 ox 的方位角α＝α1β。o-YH的坐标方位角α2 =α+δ+180°。 使用缓和曲线的参数方程求得YH点在自定 义坐标系下的坐标，进一步求得o-YH的距 离，o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0 ， y0 ），缓和段上任一点统一坐标可根据o点 求出。
D
A
1 δ = β = 4O 45'04.75" 3 c点切线方位角α1 = 271032' 44.86"
x轴的坐标方位角
C
O
Y
根据缓和曲线参数方程 求得 c点的坐标为（ 61 .316 ,5.094） 则 o − c的距离为 61 .527 根据 c点坐标（1230 .682 , 2677 .114） 则o(ZH )点坐标为（ 1239.199,2738.049）
D
A
C
B
（注：图中粉色曲线为卵形曲线）
定义：
卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插 入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本 身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉 了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一 条完整的缓和曲线。
（注：图 中曲线为 缓和曲线）
H
I
计算卵形曲线上点坐标的方法
一般坐标计算
辛甫生公式
y
辛甫生公式讲解 n=2
3
i
4
2 1 4
4
A
路段名称
OA AB BC CD DE EF FG
曲线类型
卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距指的是两个不相交曲线之间的最小距离，其中一个曲线是一个卵形曲线，另一个曲线是两个相切的圆形。
这种测量学的应用场景很多，例如在工程中，设计人员需要确定不同零部件之间的最小间距以确保它们可以正确地互相配合，这就需要使用卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学。
另一个应用是在机器视觉技术中，卵形曲线两圆曲线间的最小间距可以作为图像特征来检测圆形物体之间的距离。
计算卵形曲线两圆曲线间的最小间距需要使用高等数学中的曲线和曲面的微积分知识，常用的方法是使用向量和点到曲线的距离公式来计算。
具体来说，可以先将卵形曲线和两个圆形拆分成多个小弧段，然后对每个弧段进行计算，最后取最小值作为两个曲线之间的最小间距。
卵形曲线计算原理
卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卵形曲线计算
高等级公路卵形曲线的计算方法周烨摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。
本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。
关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。
中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。
其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L＝A，假设R1＞R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长ls，求缓和曲线的总长L。
Δl＝L－ls(1)Δl就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由YH点补长Δl至o点，以o点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y轴方向建立坐标系（图1）。
缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用x、y值可以求得o—YH弦与x轴的夹角：β＝3δ。
α1为YH点的切线方位角，则ox的方位：α＝α1±β。
o点的坐标可由几何关系求得为（x0，y）。
缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα(5)2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径R1变为第二段曲率半径R2（假设R1＞R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y 轴的坐标系（图2），设P点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为l，该点附近的微分弧长为dl，缓和曲线偏角为β，则有dx=dlcosβ(7)dy=dlsinβ(8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)xsinα±ycosα(12)Y＝yYHα为曲线YH点切线方位。
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2、卵形曲线计算
本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。
卵形曲线设计计算如下：
运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。
然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓
和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的“T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。
卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤
已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1）
图2.1 卵形曲线示意图[11]
122112
12221212
1212120.27001451.220.480.8
,,,242422
F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--=====
221212
22112
21
221
212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700
350367.737002
135227.23135227.23193.18,93.187001451.2224F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-⨯⨯=
=-=≤=≤========
反推：
22
222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22
193.1893.1896.59,46.592222
749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====⨯⨯==========--=-1749.01 2.21
0.003 2.217000.00310.03D R -=≤==≤
综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。