平动与转动
刚体的平动与绕固定轴的转动
一、平动：
刚体上的任一条直线在运动过程中始终平行.
刚体上所有点有相同的速度和加速度.
用质心代表刚体的整体运动
运动方程
M
d 2rc dt 2
n i 1
Fi
若有约束加辅助方程：相对质心的力矩平衡方程
Mi 0
i
二、定轴转动
1. 运动学 独立变量：1
•
vi
aix aiy
xi yi 2 xi yi xi 2 yi
aiz zi 0
2. 动力学
2.
由动量矩定理：
dJ z dt
Mz
动能
I zz
d
dt
Mz
T
1 2
I zz 2
若外力为保守力，机械能守恒
1 2
I zz 2
V
E
例题
复摆：m 绕过o点的水平轴作微小振动 试求：运动方程、振动周期
角量表示 角位移 角速度
角加速度
n
刚体上任一点
vi
rPii 的速度、v加i 速度r：i s
in
i
Ri
ai
ai vi Ri Ri
ain
vi2 Ri
Ri 2
jk
xi yi
0 z yii xi j
xi yi zi
ai
d dt
(
ri )
ri
mk
2 c
m( )2
mk
2 c
kc2 2 2
2
I o
2 kc2 2
mg( )
gl
测 g 的原理
三、轴上附加压力
受力分析：
外力
F1, F2 Fn
第五章连续体力学
m(
L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J mi ri2
转轴的位置 刚体的质量
刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
第三章 1.2.3平动和转动
d: 两平行轴间的距离
例6.右图示刚体对经过棒端且 Z
与棒垂直的轴的转动惯量如何
mL
计算？(棒长L、圆球半径R）
J棒Z
1 3
mLL2
J 球c
2 5
m0 R2
mO
J系Z Jc m0d 2 Jc m0 (L R)2
J系Z
1 3
mLL2
2 5
mo
R2
mo(L
R)2
1 2
R11 R22 （3）
J1
1 2
m1 R12 （4）
1
J2
1 2
m2 R22 （5）
2
（1）
（2）
§3. 3 刚体转动的动能定理（功能关系）
一、力矩的功
dA
F
•
dr
F
cos
|
dr |
F cosrd
F cos Ft F cos r M
dA Md
A Md O
F
drdr P
x
i
▲一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全
部质量都集中在质心时所具有的势能。
▲对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有
保守内力作功,则此系统的机械能守恒。
E
1 2
J 2
mghc
常量
前面的例7另解如下： 例１0、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的 定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一 端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略 轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度 ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。
据质心定义 xdm＝mxC
mg
M
1
dmg
m gl cos
平动和转动1 PPT
解析
在慢慢加速的过程中顾客受到的摩擦力水平向 左，电梯对其的支持力和摩擦力的合力方向指 向右上，由牛顿第三定律，它的反作用力即人 对电梯的作用方向指向向左下；在匀速运动的 过程中，顾客与电梯间的摩擦力等于零，顾客 对扶梯的作用仅剩下压力，方向沿竖直向下。
FN a
f 答案：C
mg
3. 如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物 （可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与 地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一 圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径 R=1.8 m。地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的 木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg， 木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩 擦因数为 1，木板与地面间的动摩擦因数 =0.2。 （最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木 板B时，木板B开始滑动，求 1应满足的条件。 （3）若 1=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度 和在木板A上运动的时间。
解析
（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为v0，对货物的 下滑过程中根据机械能守恒定律得，mgR=1/2m1v02 ①，
A
A
B
A
B
B
2﹑转动
物体上的各 点在某一瞬时的 运动状态并不相 同,但它们都在绕 同一转动轴做圆 周运动.物理学中 将这类运动叫做 转动(rotation).
转动也是非常基本和常见的运动.描述 转动常用转速、角速度、角加速度等物理量.
初中学过的各种杠杆也属于有固定转 动轴的物体，它们都能绕转动轴发生转动。 一个有固定转动轴的物体，在力的作用下， 如果保持静止或匀速转动，我们称这个物 体处于转动平衡状态。
分子物理学中的分子振动与转动
分子物理学中的分子振动与转动分子物理学是研究分子结构、运动和相互作用的学科。
在分子物理学中，分子的振动和转动是两个重要的课题。
本文将介绍分子的振动和转动的基本概念、性质以及在实际应用中的重要性。
一、分子的振动分子的振动是指分子中原子相对平衡位置的偏离和回弹。
分子振动的性质主要与分子结构和键的特性有关。
根据分子振动的自由度不同，可以将其分为三种类型：平动、转动和振动。
1. 平动：分子的平动是指整个分子在空间中的运动。
它涉及到分子的质心位置的变化，不改变分子内部原子的相互位置。
2. 转动：分子的转动是指分子绕某一轴线旋转。
转动自由度与分子的对称性有关，分子对称性越高，其转动自由度越低。
3. 振动：分子的振动是指分子中原子相对平衡位置的振动。
它涉及到分子内部原子之间的相互作用以及键的伸缩。
分子振动有助于理解分子的结构和力学性质。
通过研究分子振动，我们可以了解分子的能级结构、分子间力的大小和性质等重要信息。
这对于对分子的性质、反应和动力学研究具有重要意义。
二、分子的转动分子的转动是指分子围绕其中心轴线旋转的运动。
转动同样也涉及到分子的对称性，不同分子可能具有不同的转动自由度。
分子的转动对于分子的能级结构和光谱性质具有重要影响。
通过分子的转动，我们可以进一步了解分子的形状、对称性以及分子内部的动力学性质。
三、分子振动与转动的相互作用在实际分子系统中，分子的振动和转动往往是同时存在的，并且彼此相互耦合。
振动可以影响转动，而转动也可以影响振动。
这种相互作用在分子物理学中被广泛研究。
分子振动与转动的相互作用在分子光谱学中有着重要应用。
光谱学研究了分子与电磁波相互作用的规律，通过分子的振动与转动能级结构的变化，可以研究分子的光谱性质，例如红外光谱和拉曼光谱等。
此外，分子振动和转动的研究还对于理解分子的热力学性质、相变和反应动力学等方面具有重要意义。
通过对分子振动和转动的分析，可以在分子水平上理解和解释宏观的热力学和动力学现象。
平动和转动的区别
平动和转动的区别
平动：
1定义：物体在运动过程中，物体上任意两点运动前后的连线保持平行，这种运动称为平动。
2轨迹：可以是直线，也可以是曲线。
3举例：例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动，车床上车刀的运动等等，都是平动。
4相关介绍：平移，即平行移动。
是机械运动的一种特殊形式，是刚体的一种最基本的运动，简称为平动。
5.物体在平动时，在任意一段时间内，物体中所有质点的位移都是平行的。
而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
因此在研究物体的平动时，可不考虑物体的大小和形状，而把它作为质点来处理。
转动：刚体上的所有质元都绕同一直线做圆周运动
(2)质点就是有质量但不存在体积与形状的点。
在物体的大小和形状不起作用，或者所起的作用并不显著而可以忽略不计时，我们把近似地把该物体看作是一个具有质量大小和形状可以忽略不计的理想物体
在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体叫做刚体。
在物理学内，理想的刚体是一个固体的，尺寸值有限的，形变情况可以被忽略的物体。
不论有否受力，在刚体内任意两点的距离都不会改变。
在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
平均平动动能和转动动能公式
平均平动动能和转动动能公式动能是物体运动时所具有的能量，是物体运动能力的体现。
在物理学中，有两种常见的动能：平动动能和转动动能。
平动动能是指物体沿直线方向运动时所具有的能量，而转动动能则是指物体绕轴旋转时所具有的能量。
平动动能公式为：K = 1/2mv^2，其中K表示平动动能，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
这个公式告诉我们，平动动能与物体的质量和速度的平方成正比。
转动动能公式为：K = 1/2Iω^2，其中K表示转动动能，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
这个公式告诉我们，转动动能与物体的转动惯量和角速度的平方成正比。
平动动能和转动动能在物理学中有着非常重要的应用。
它们可以帮助我们理解物体在不同运动状态下所具有的能量，并且可以用来解释一些实际问题。
我们来看一个平动动能的例子。
假设有一个质量为m的小球以速度v沿着水平方向运动，它的平动动能可以用公式K = 1/2mv^2来计算。
如果小球的质量增加，它的平动动能也会增加；如果小球的速度增加，它的平动动能也会增加。
接下来，我们来看一个转动动能的例子。
假设有一个半径为r的圆盘以角速度ω绕固定轴旋转，它的转动动能可以用公式K = 1/2Iω^2来计算。
如果圆盘的转动惯量增加，它的转动动能也会增加；如果圆盘的角速度增加，它的转动动能也会增加。
平动动能和转动动能在实际应用中有着广泛的应用。
在机械工程中，我们常常需要计算物体的动能来评估机械系统的性能。
在运动学中，我们可以利用动能定理来研究物体的运动规律。
在动力学中，我们可以利用动能定理和动能守恒定律来研究物体之间的相互作用。
总结起来，平动动能和转动动能是物体运动时所具有的能量，在物理学中有着广泛的应用。
它们的公式为K = 1/2mv^2和K = 1/2Iω^2，分别与物体的质量、速度和转动惯量、角速度有关。
通过研究动能，我们可以更好地理解物体的运动规律，并且可以应用于机械工程、运动学和动力学等领域。
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dx d vx (v 0 t ) v0 dt dt dy d 1 2 vy ( gt ) gt dt dt 2
因而小球在时刻速度的大小为
2 2 2 v vx v2 v ( gt ) y 0
故小球在t时刻切向加速度的大小为
dv d 2 a v0 ( gt ) 2 dt dt g 2t
(1) 利用公式
－ 0
t 10 15 2 1 rad . s 5
(2) 利用公式
2 02 102 152 0 62.5rad 2 2 (1)
5秒内转过的圈数
0 62.5 N 10圈 。 2 2 3.14
(3) 再利用
0 10rad / s, 0 0 0 10 t 10 s . 1
例1．一球以30m· s-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速 度的切向分量和法向分量。 解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为
x v0 t
1 2 y gt 2
将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为
2、转动 刚体中所有的点都绕同 一条直线作圆周运动， 这种运动称为转动。这 条直线叫作转轴。 瞬时转轴： 转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
刚体定轴转动
定轴转动的特点： •刚体上各质点都作圆周运 动； •各质点圆周运动的平面垂 直于轴线，圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时
切向加速度
法向加速度
de t d dt dt d an v dt
en
en ven
2 a (an at2 )1 / 2
r
v2 an r 2 r
曲线运动
R
an tg at
R为曲率半径
法向加速度的证明
v vB
B,t+t
vA
v 是v 的方向的变化所引 起的。
五、角量与线量的关系
速度
v r
at r
v o r
P
切向加速度
法向加速度
an r
2
例、 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s 内角速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1) 角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少 时间轮子停止转动。 解 根据题意，角加速度为恒量
z ω ,α v r P θ
r 向参 刚体 O× 考 方 定轴
间内转过的角度相同。
二、刚体转动的角速度和角加速度
角位置θ 角速度ω
＝lim
t 0
d t dt
转动平面
o
r
·
p
角加速度α
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内， 角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变 速转动。 角加速度 角速度 角位置
＝const
＝ 0 t
v o r
P
1 2 ＝ 0＋ 0 t t 2
四、刚体上各点的速度和加速度
1、自然坐标系 2、速度
v vet
3、切向加速度与法向加速度
d dv det a v et v dt dt dt
dv d at et r et ret dt dt
2 v0 ( gt ) 2
因为小球在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足
g a得法向加速度为：
an g a
2
gv 0
2 v0 ( gt )2
代入数据，得
a
an
9.8 2 5 302 (9.8 5)2
9.8 30 30 2 (9.8 5) 2
8.36m S 2
5.12 m S 2
t0,B A, 0
vB
vA
此时v方向垂直于vA，
指向圆心。 由二个相似等腰三角形，有
_____
0 R
A,t
v AB R v
AB v v R
_____
2 v v A B v ds v t0,AB长趋向AB弧长。 a lim lim t 0 t t 0 R t R dt R an=v2/R，法向加速度，指向圆心。