线性代数第四章齐次线性方程组
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(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
考研线性代数复习-线性方程组(2014)
第四章线性方程组考试要求l ．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．一、克莱姆法则（方程的个数=未知数的个数）1. 线性方程组1111221121122222n n n n a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨""""""""AX b ⇔=1122n n nn n na x a x a xb ⎪⎪+++=⎩"1212(),(,,,),(,,,)T Tij n n n n A a b b b b X x x x ×===""其中((|)0)|R A A n =≠⇔()1方程组有唯一的解,1,2,,,ii A x i n A=="A i A i b 是｜｜中的第列换成所得。
2.0AX =||0A ≠⇔方程组只有唯一的零解；||0A =⇔方程组有无穷多解（当然有非零解）例1 设线性方程组12341234123412342313633153510121x x x x x x x x x x kx x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨−−+=⎪⎪−−+=⎩问k 取何值时该方程组有唯一解?解系数行列式112313612260311501k A k −==≠−−2k ⇔≠151012−−充分必要条件是方程组有唯一的解。
例2 已知123123222123000x x x ax bx cx a x b x c x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(1),,a b c 满足何种条件时,方程组只有零解?(2),,a b c 满足何种条件时,方程组有无穷多解?111222()()()A ab c c a c b b a a b c ==−−−解(1),,a b c 互不相等时,方程组只有零解。
第四章 线性方程组
理学院田宝玉 (第 1 页/共 14 页) 第四章 线性方程组
结论：加减消元得到一系列同解方程组的过程，就相当于对增广矩阵施以一系列 的初等行变换， 化成上阶梯形矩阵. 得到的新矩阵作为增广矩阵所对应的方程组与 原方程组等价（即为同解方程组）. 注：只施以初等行变换.
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎧ x1 = −1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 求解： ⎨ x2 = −2 → 向量形式： ⎜ x2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎪x = 2 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 3 ⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 引例 2： ⎨ 2 x1 + 6 x2 − 3 x3 = 5 . ⎪3 x + 9 x − 10 x = 2 2 3 ⎩ 1
− c1n x n − c2n xn − c rn x n
此时， 每赋予未知量 xr +1 , xr + 2 ,
, xn 一组值， 则可惟一的解出左端 x1 , x2 ,
, xr 的
一组值.（因为左端系数矩阵的行列式不等于零，可由克拉默法则求解.）因此，方 程组有无穷多组解. 且右端未知量 xr +1 , xr + 2 ,
解 记系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B .
⎛1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜1 −1 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −2 2 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 −1 1 2⎟ ⎜1 −1 −2 2 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 −3 3 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠
⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 同解方程组为： ⎨ x3 = 1 . 显然，此方程组无解. ⎪ 0 =1 ⎩
结论：加减消元得到一系列同解方程组的过程，就相当于对增广矩阵施以一系列 的初等行变换， 化成上阶梯形矩阵. 得到的新矩阵作为增广矩阵所对应的方程组与 原方程组等价（即为同解方程组）. 注：只施以初等行变换.
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎧ x1 = −1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 求解： ⎨ x2 = −2 → 向量形式： ⎜ x2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎪x = 2 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 3 ⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 引例 2： ⎨ 2 x1 + 6 x2 − 3 x3 = 5 . ⎪3 x + 9 x − 10 x = 2 2 3 ⎩ 1
− c1n x n − c2n xn − c rn x n
此时， 每赋予未知量 xr +1 , xr + 2 ,
, xn 一组值， 则可惟一的解出左端 x1 , x2 ,
, xr 的
一组值.（因为左端系数矩阵的行列式不等于零，可由克拉默法则求解.）因此，方 程组有无穷多组解. 且右端未知量 xr +1 , xr + 2 ,
解 记系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B .
⎛1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜1 −1 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −2 2 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 −1 1 2⎟ ⎜1 −1 −2 2 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 −3 3 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠
⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 同解方程组为： ⎨ x3 = 1 . 显然，此方程组无解. ⎪ 0 =1 ⎩
线性代数第04章 线性方程组
2x3 0, x3 0,
6x1 x2 4x3 0,
方程组的系数矩阵
4 1 2 1 0 1
A2
1
0
1
0
1
2
6 1 4 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
x3, 2x3,
x3 x3,
令 x3 k ，得通解
x1 1
x2
k
2
x3 1
(k R)
8 7
1
6 1
,
2
5 0
0
1
故方程组的通解为
x k11 k22 (k1, k2 R)
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 5x3 x4 0,
x1 x2 2x3 3x4 3x1 x2 8x3 x4
0, 0,
x1 3x2 9x3 7x4 0
x1 x2
8x3 6x3
7 x4 5x4
0, 0,
即
x1 x2
8x3 7x4, 6x3 5x4
,
（ x3, x4 为自由未知数）(1)
，
令
x3 x4
1 0
,
0 1
，代入 (1) ，得
x1 x2
8 6
,
7 5
从而得到一个基础解系为
3xx1125xx22
, 0,
4x1 5x2 2x3 3x4 0
的一个基础解系和通解．
解 将系数矩阵 A 施行初等行变换，化其为行最 简形矩阵
1 2 4 3 1 0 8 7
A
3 4
5 5
6 2
4 3
0 0
1 0
6 0
05
R(A) 2 4，基础解系由两个线性无关的解构 成．与原方程组同解的方程组为
线性代数第四章4-5节课件
后n-r列
x1 - b11 xr +1 - b12 xr + 2 x -b x - b x 2 21 r + 1 22 r + 2 xr - br 1 xr +1 - br 2 xr + 2 -
- b1,n- r xn , - b2,n- r xn , - br ,n - r xn .
方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
x1 - 3 x3 + 4 x4 0 x 2 + 2 x 3 - 3 x4 0
：线性方程组的解的判定
1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；
因为
方程组的任意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合．
x1, x2 的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关． 所以x1, x2 是原方程组的基础解系．
方法2：先求出基础解系，再写出通解．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0 的
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
第四章 线性方程组
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线代第四章线性方程组第一节
x1 = 4 − 3k， x 2 = k， x = 1 3 ，
其中 k 为任意常数． 为任意常数．
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k 取遍所有实数时， 上 取遍所有实数时 ，
式也就取遍方程组的所有 解．这种解的表达形式称 为线性方程组的一般解． 为线性方程组的一般解． 一般解
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下三种关于 线性方程组的 关于线性方程组 以 下三种 关于 线性方程组 的 变换称为线性方程组的 初等变换： 初等变换 ：
(1) 交换某两个方程的位置； 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边； 用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程． 将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法 对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组 则线性方程组(4.1)可写为： 可写为： 令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式． 称(4.2)为方程组 为方程组 的矩阵形式．
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第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组
其中 k 为任意常数． 为任意常数．
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k 取遍所有实数时， 上 取遍所有实数时 ，
式也就取遍方程组的所有 解．这种解的表达形式称 为线性方程组的一般解． 为线性方程组的一般解． 一般解
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下三种关于 线性方程组的 关于线性方程组 以 下三种 关于 线性方程组 的 变换称为线性方程组的 初等变换： 初等变换 ：
(1) 交换某两个方程的位置； 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边； 用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程． 将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法 对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组 则线性方程组(4.1)可写为： 可写为： 令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式． 称(4.2)为方程组 为方程组 的矩阵形式．
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第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组
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j 1 n r
有k1 0, k 2 0, , k n r 0， 故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
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(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组 的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代 入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系， 含n - r个解向量。
证明 由矩阵、向量的运算、 线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
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由Gramer法则， (4.6)有唯一解， 得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的 解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;
T
X n r (c1,n r , c 2 ,n r , , c r ,n r ,0,0, ,1)T ;
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(1) X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的解； (2)考虑k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0，即 ( l1 , l 2 , , l r , k1 , k 2 , , k n r )T (0,0, ,0,0, ,0)T ， 其中l i k j c ij , ( j 1,2, , n r ; i 1,2, , r )
或向量形式
x11 x2 2 xn n 0
其中 A [1 2 n ].
定理8 以下命题等价(即互为充要条件):
(1) AX=0(4.2) 有非零解;
(2) 1 ,2 ,,n线性相关;
(3)
秩{1,2 ,,n } n;
(4) 秩 A<n.
2. 以某种方法找 n r 个解; 3. 证明这 n r 个解线性无关;
4. 证明任一解都可由这 n r个解线性表示. 注：(1) 基础解系不是唯一的。
(2) 当 r ( A) n 时，解集合(解空间)是 {0}.
证明: 设A经过一系列初等行 变换化为阶梯形 矩阵B，则rB r，B的前r行不为零。 不失一般性， 设B的第i行的非零首 元为bij ( i 1,2, , r )， b11 b12 b1r b1,r 1 b1n 0 b22 b2 r b2 ,r 1 b2 n A B 0 0 brr br ,r 1 brn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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阶梯形矩阵B有三行不 为零，rB 3。B的1、2、3 行的非零首元分别位于 1、2、3、列，故对 4 , x 5的 x 任意值，都能解出 1 , x 2 , x 3。将方程组移项， x x1 x 4 20 x 5 得 x 2 x 4 5 x 5 ， x 2x 5 3
推论 齐次线性方程组(4. 2)的解 X 1 , X 2 , , X t的任意线性组合 k1 X 1 k 2 X 2 k t X t 也是(4.2) 的解。
齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方 程组的解空间(space of solution)。
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3. 基础解系 定义12 设A是一个s×n矩阵, 如果: (1) 向量组 X 1 , X 2 ,, X t ( I ) 线性无关 ;
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例2 求齐次线性方程组 x1 2x2 x 3 2x4 4x5 0 2x1 2x2 3x3 2x5 0 4x1 2x2 7x3 4x4 2x5 0 的通解。
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解：写出系数矩阵A， 并作初等变换化简 4 2(1) ( 2 ) 1 2 1 2 4(1) ( 3) A 2 2 3 0 2 4 2 7 4 2 2 4 3( 2 ) ( 3) 1 2 1 1( 2 ) (1) 0 2 1 4 6 0 6 3 12 18 1 0 2 2 2 0 2 1 4 6 B 0 0 0 0 0
的解，得d 1 d 2 d 3 0, X k1 X 1 k 2 X 2 0， 即X k1 X 1 k 2 X 2。
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, 定理9 假设A是一个 s n矩阵如果r
rankห้องสมุดไป่ตู้ n,
则齐次线性方程组AX=0 存在基础解系, 且基础解系
证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵;
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定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。
推论 设齐次线性方程组AX= 0(4.2)的系数 矩阵A是s n矩阵，若rA r n，则 (1)(4.2)的每 个基础解系都含有n- r个解向量； (2)(4.2)的任 - r + 1个解向量线性相关； 意n (3)(4.2)的任 - r个线性无关的解都是 意n 它的 一个基础解系。
则 x k1 X 1 k2 X 2 是AX 0 (4.2)的解.
（可推广至有限多个解）
AX1 0, AX 2 0, 则 Ax A( k1 X 1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX0, 2
证明 由题设知
故 x k1 X 1 k2 X 2 是AX 0 的解.
称k1 X 1 k 2 X 2 k t X t 为(4.2)的通解。 其中k1 , k 2 , , k t 是任意常数。
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例1 求齐次线性方程组 x1 3 x 2 2 x 3 2 x 4 x 5 0 的一个基础解系。 x 2 x3 x 4 3 x5 0 2 x x 2 x 8 x 0 3 4 5 2 1 3 2 2 1 解：(1)对系数矩阵 0 1 1 1 3 施行 A 0 2 1 2 8 1 0 5 1 10 2( 2 ) ( 3 ) 3( 2 ) (1) 初等行变换化简： 0 1 1 1 A 3 0 0 1 0 2 1 0 0 1 20 0 1 0 1 5 B， 0 0 1 0 2 得到问题的同解方程组BX= 0。
令x 4 1, x 5 0，得解X 1 1 －1 0 1 0 ；
T
又令x 4 0, x 5 1，得解X 2 20
5 2 0 1 。
T
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1 0 1 0 (2) , 线性无关，X 1 , X 2 是分别在 , 的 0 1 0 1 前面位置添加3个分量 所得的向量，故 1 , X 2 线 X 性无关。 (3)设X c1 则X k1 X 1 k 2 X 2 d 1 c2 c3 k1 k 2 是BX = 0的任意解， d2 d3 0 0是BX = 0
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将未知量x r 1 , x r 2 , , x n(称为自由未知量)的 一组值(1,0, ,0)代入BX = 0，去掉0 = 0的等式， 移项得线性方程组 b11 b12 b1r x1 b1,r 1 b 0 b22 b2 r x 2 2 ,r 1 ............(4.6) 0 0 b x b rr r r ,r 1 系数行列式D b11b22 brr 0，
(2) X 1 , X 2 , , X t中的每个向量都是AX=0的解；
(3) AX=0 的任一解都可以由 X 1 , X 2 ,, X t ( I )
线性表示。 则称向量组(I)是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系。
若X 1 , X 2 , , X t 是(4.2)的一个基 础解系， 则(4.2)的任意解 是基础解系的一个线 性组合，又基础解系的 任意线性组合是 (4.2)的解，所以 (4.2)的解集合( 解空 间)就是 S k1 X 1 k 2 X 2 k t X t k1 , k 2 , , k t P
第五节齐次线性方程组
一．齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件 二．齐次线性方程组解的性 质 三．基础解系 四．解的结构 五．练习题
1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2 n xn 0 (4.2) ………………………………… …s1 x1 as 2 x2 asn xn 0. a 系数矩阵A [aij ]sn , (4.2)又可表示为AX 0,
有k1 0, k 2 0, , k n r 0， 故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
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(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组 的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代 入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系， 含n - r个解向量。
证明 由矩阵、向量的运算、 线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
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由Gramer法则， (4.6)有唯一解， 得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的 解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;
T
X n r (c1,n r , c 2 ,n r , , c r ,n r ,0,0, ,1)T ;
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(1) X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的解； (2)考虑k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0，即 ( l1 , l 2 , , l r , k1 , k 2 , , k n r )T (0,0, ,0,0, ,0)T ， 其中l i k j c ij , ( j 1,2, , n r ; i 1,2, , r )
或向量形式
x11 x2 2 xn n 0
其中 A [1 2 n ].
定理8 以下命题等价(即互为充要条件):
(1) AX=0(4.2) 有非零解;
(2) 1 ,2 ,,n线性相关;
(3)
秩{1,2 ,,n } n;
(4) 秩 A<n.
2. 以某种方法找 n r 个解; 3. 证明这 n r 个解线性无关;
4. 证明任一解都可由这 n r个解线性表示. 注：(1) 基础解系不是唯一的。
(2) 当 r ( A) n 时，解集合(解空间)是 {0}.
证明: 设A经过一系列初等行 变换化为阶梯形 矩阵B，则rB r，B的前r行不为零。 不失一般性， 设B的第i行的非零首 元为bij ( i 1,2, , r )， b11 b12 b1r b1,r 1 b1n 0 b22 b2 r b2 ,r 1 b2 n A B 0 0 brr br ,r 1 brn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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阶梯形矩阵B有三行不 为零，rB 3。B的1、2、3 行的非零首元分别位于 1、2、3、列，故对 4 , x 5的 x 任意值，都能解出 1 , x 2 , x 3。将方程组移项， x x1 x 4 20 x 5 得 x 2 x 4 5 x 5 ， x 2x 5 3
推论 齐次线性方程组(4. 2)的解 X 1 , X 2 , , X t的任意线性组合 k1 X 1 k 2 X 2 k t X t 也是(4.2) 的解。
齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方 程组的解空间(space of solution)。
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3. 基础解系 定义12 设A是一个s×n矩阵, 如果: (1) 向量组 X 1 , X 2 ,, X t ( I ) 线性无关 ;
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例2 求齐次线性方程组 x1 2x2 x 3 2x4 4x5 0 2x1 2x2 3x3 2x5 0 4x1 2x2 7x3 4x4 2x5 0 的通解。
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解：写出系数矩阵A， 并作初等变换化简 4 2(1) ( 2 ) 1 2 1 2 4(1) ( 3) A 2 2 3 0 2 4 2 7 4 2 2 4 3( 2 ) ( 3) 1 2 1 1( 2 ) (1) 0 2 1 4 6 0 6 3 12 18 1 0 2 2 2 0 2 1 4 6 B 0 0 0 0 0
的解，得d 1 d 2 d 3 0, X k1 X 1 k 2 X 2 0， 即X k1 X 1 k 2 X 2。
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, 定理9 假设A是一个 s n矩阵如果r
rankห้องสมุดไป่ตู้ n,
则齐次线性方程组AX=0 存在基础解系, 且基础解系
证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵;
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定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。
推论 设齐次线性方程组AX= 0(4.2)的系数 矩阵A是s n矩阵，若rA r n，则 (1)(4.2)的每 个基础解系都含有n- r个解向量； (2)(4.2)的任 - r + 1个解向量线性相关； 意n (3)(4.2)的任 - r个线性无关的解都是 意n 它的 一个基础解系。
则 x k1 X 1 k2 X 2 是AX 0 (4.2)的解.
（可推广至有限多个解）
AX1 0, AX 2 0, 则 Ax A( k1 X 1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX0, 2
证明 由题设知
故 x k1 X 1 k2 X 2 是AX 0 的解.
称k1 X 1 k 2 X 2 k t X t 为(4.2)的通解。 其中k1 , k 2 , , k t 是任意常数。
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例1 求齐次线性方程组 x1 3 x 2 2 x 3 2 x 4 x 5 0 的一个基础解系。 x 2 x3 x 4 3 x5 0 2 x x 2 x 8 x 0 3 4 5 2 1 3 2 2 1 解：(1)对系数矩阵 0 1 1 1 3 施行 A 0 2 1 2 8 1 0 5 1 10 2( 2 ) ( 3 ) 3( 2 ) (1) 初等行变换化简： 0 1 1 1 A 3 0 0 1 0 2 1 0 0 1 20 0 1 0 1 5 B， 0 0 1 0 2 得到问题的同解方程组BX= 0。
令x 4 1, x 5 0，得解X 1 1 －1 0 1 0 ；
T
又令x 4 0, x 5 1，得解X 2 20
5 2 0 1 。
T
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1 0 1 0 (2) , 线性无关，X 1 , X 2 是分别在 , 的 0 1 0 1 前面位置添加3个分量 所得的向量，故 1 , X 2 线 X 性无关。 (3)设X c1 则X k1 X 1 k 2 X 2 d 1 c2 c3 k1 k 2 是BX = 0的任意解， d2 d3 0 0是BX = 0
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将未知量x r 1 , x r 2 , , x n(称为自由未知量)的 一组值(1,0, ,0)代入BX = 0，去掉0 = 0的等式， 移项得线性方程组 b11 b12 b1r x1 b1,r 1 b 0 b22 b2 r x 2 2 ,r 1 ............(4.6) 0 0 b x b rr r r ,r 1 系数行列式D b11b22 brr 0，
(2) X 1 , X 2 , , X t中的每个向量都是AX=0的解；
(3) AX=0 的任一解都可以由 X 1 , X 2 ,, X t ( I )
线性表示。 则称向量组(I)是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系。
若X 1 , X 2 , , X t 是(4.2)的一个基 础解系， 则(4.2)的任意解 是基础解系的一个线 性组合，又基础解系的 任意线性组合是 (4.2)的解，所以 (4.2)的解集合( 解空 间)就是 S k1 X 1 k 2 X 2 k t X t k1 , k 2 , , k t P
第五节齐次线性方程组
一．齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件 二．齐次线性方程组解的性 质 三．基础解系 四．解的结构 五．练习题
1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2 n xn 0 (4.2) ………………………………… …s1 x1 as 2 x2 asn xn 0. a 系数矩阵A [aij ]sn , (4.2)又可表示为AX 0,