线性代数齐次线性方程组
线性代数 齐次线性方程组解的结构(1)
齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
线性代数齐次方程组解法
D =)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------按第一列展开，再将各列的公因子提出来D =)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------=(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)2232232111---k kk k ka a a a a a得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为∏≤<≤-ki j j ia a2)(于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)∏≤<≤-ki j j ia a2)(=∏≤<≤-ki j j ia a1)(因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。
证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式：D n =2112000002100012100012------解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得D n =21001200000210012000011-----+2112000002100012100011------第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得D n =D n －1+11100000100011000011---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1例1.15 计算n 阶行列式D n =n a bbba b bb a21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。
线性代数 3-1-齐次方程组
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
线性代数线性方程组
Ax 0有非零解 R A n，
此时,Ax 0有n r个自由变量,有无穷多个基础解系.
(2)如果A是n阶方阵,则 Ax 0只有零解 A 0 R( A) n Ax 0有非零解 A 0 R( A) n
8
二、齐次线性方程组Ax＝0的求通解方法
线性方程组
• 齐次线性方程组 • 非齐次线性方程组
2
一、定义
齐次线性方程 组的一般形式
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0
La2L1 x1LLa2L2 x2LLL
L
a2n xn 0 LLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
矩阵形式
a11 a12 L
则Ax 0的通解为
k11 k22 ... knr nr .(k1, k2 ,..., knr为任意实数)
基础解系有三个 "必须 " : (1)基础解系中向量个数必须是n r (2)基础解系必须是Ax 0的解 (3)基础解系必须是线性无关的
7
推论 (1)如果A是m n矩阵,则
Ax 0只有零解 R A n，
10
例如A {1 0 0,0 1 0,0 0 1,1 1 1}是线性相关组 B {1 0 0,0 1 0,0 0 1}是线性无关组 C {1 0,0 1,0 0,1 1}是线性相关组 D {2 1 0 0,3 0 1 0,4 0 0 1}是线性无关组
A是C的接长,C是A的截短; B是D的截短, D是B的接长. A是B的扩充, B是A的子组
初等行变换把系数矩阵A变为最简阶梯矩阵T , Ax 0与Tx 0同解,只要求Tx 0的通解.
9
定理4 考虑如下两个有相同向量个数的向量组,它们的前n个分量相同:
线性代数第四章齐次线性方程组
有k1 0, k 2 0, , k n r 0， 故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
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(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组 的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代 入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系， 含n - r个解向量。
证明 由矩阵、向量的运算、 线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
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由Gramer法则， (4.6)有唯一解， 得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的 解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
线性代数——齐次线性方程组
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
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向量的(I)线性表出，故线性相关。
(3) 若1 ,2 ,,nr (III )是AX = 0的线性无关 的解，是AX = 0的任一解，1 ,2 ,,nr ,线性 相关。因而可由(III)线性表出，(III)是
AX = 0的基础解系。
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例2 求齐次线性方程组
2x1x122xx2 2x33
2x4 x3 2
(4) 秩 A<n.
证明 由矩阵、向量的运算、线性相关定义,得(1)推(2),
(2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r A n
2. 齐次线性方程组解的性质 (解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X1, X 2是AX 0 (4.2)的 解, 则 x k1 X1 k2 X 2是AX 0 (4.2)的 解.
b11 0 0
b12 b22
0
b1r d1 0
b2r
brr
d2
dr
00 ，
系数行列式不为零，d1 , d 2 ,, d r 全为零。于是
X k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0或
X k1 X1 k2 X 2 knr X nr
综上，X1 , X 2 ,, X nr是AX = 0的一个基础解系，
行的非零首元分别位于1、2、3、列，故对x4 , x5的
任
意
值
，
都
能
解
出x1
,
x
2
,
x
。
3
将
方
程
组
移
项
，
x1 x4 20 x5 得 x2 x4 5x5 ，
x3 2 x5
令x4 1, x5 0，得解X1 1 －1 0 1 0T ；
又令x4 0, x5 1，得解X 2 20 5 2 0 1T 。
（可推广至有限多个解）
证明
由题设知 AX1 0, AX 2 0,
则 Ax A(k1 X1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX 20,
故 x k1 X1 k2 X 2是AX 0 的 解.
推论 齐次线性方程组(4.2)的解
X
1
,
X
2
,
,
X
的
t
任
意
线
性
组
合
k1 X1 k2 X 2 kt X t也是(4.2)
第五节齐次线性方程组
一．齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件
二．齐次线性方程组解的性 质
三．基础解系 四．解的结构 五．练习题
1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 ………………………………… …as1x1 as2 x2 asn xn 0.
线性表示。
则称向量组(I)是齐次线性方程组 AX 0
的一个基础解系。
若X1 , X 2 ,, X t是(4.2)的一个基础解系， 则(4.2)的任意解是基础解系的一个线
性组合，又基础解系的任意线性组合是
(4.2)的解，所以(4.2)的解集合(解空
间)就是
S k1 X1 k2 X 2 kt X t k1 , k2 ,, kt P
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证明：X1 , X 2 ,, X nr (I )是(4.2)的一个基础 解系。
(1) 设1 , 2 ,, t (II )是(4.2)的任意一个
基础解系，则(I)与(II)等价，(I)与(II)都
线性无关，所含向量个数相同，故t= n - r;
(2) AX = 0的任意n- r + 1个解可由含n- r个
b1n b2n
AB 0
0
0
0
0 0
brr 0
0
br ,r 1 0
0
brn 0
0
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将未知量xr1 , xr2 ,, xn(称为自由未知量)的 一组值(1,0,,0)代入BX = 0，去掉0= 0的等式，
移项得线性方程组
b11 0
0
b12 b22
1 0 0 1 20
0
0
1
0
0
1
1
0
5
2
又
取x取4 ,xx45的, x一5的组一值组(0,值 1),(1解,0出),x解3
出 x3 2,
0, x2
x2 5,
1, x1
x1 20.
1;
1
20
则X1
1
0
1
, X2
25
0
是原方程组的一个基础解系, k1 X1 k2 X 2 (k1 , k2为 任 意 常 数)是 通 解.□
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证明：设矩阵B与AB= 0右端的零矩阵的列分
块矩阵分别为B (1 , 2 ,, m ),0 (0,0,,0)，
由分块矩阵乘法，
A(1 , 2 ,, m ) (0,0,,0),
( A1 , A 2 ,, A m ) (0,0,,0)
或A j 0( j 1,2,, m)。
0
1
x1 2x2 3x3 0
例
3 2
x1 x1
6 x2 5 x2
10 x3 7 x3
0 0
x1 2x2 4 x3 0
解：
1
A
3
2
1
2 6 5 2
3
10
7
4
1 0
0 0
2 1 0 0
3 1 1 0
r A 3 n, 所以只有零解。
0
6
3 12 18
1 0 2 2 2 0 2 1 4 6 B 0 0 0 0 0
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rA rB 2，基础解系含5- 2 = 3个向量。 分别将x3 , x4 , x5的3组值(2,0,0),(0,1,0), (0,0,1)代入BX = 0，的基础解系：
X1 (4,1,2,0,0, )T , X 2 (2,2,0,1,0, )T ,
X
是AX
nr
=
0的解；
(2)考虑k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0，即
(l1 , l2 ,, lr , k1 , k2 ,, knr )T (0,0,,0,0,,0)T ，
nr
其中li k jcij ,( j 1,2,, n r;i 1,2,, r) j 1
有k1 0, k2 0,, knr 0，
(4.2)
系数矩阵 A [aij ]sn ,(4.2)又可表示为 AX 0,
或向量形式
x11 x22 xnn 0
其中 A [1 2 n ].
定理8 以下命题等价(即互为充要条件): (1) AX=0(4.2) 有非零解;
(2) 1,2,,n线性相关; (3) 秩{1,2,,n} n;
含n - r个解向量。
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定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。
推论 设齐次线性方程组AX= 0(4.2)的系数 矩阵A是s n矩阵，若rA r n，则 (1)(4.2)的每个基础解系都含有n- r个解向量； (2)(4.2)的任意n - r +1个解向量线性相关； (3)(4.2)的任意n - r个线性无关的解都是它的 一个基础解系。
x5
4x5 0
0
4x1 2x2 7x3 4x4 2x5 0
的通解。
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解：写出系数矩阵A，并作初等变换化简
1 2 1 2 A 2 2 3 0
4 2(1)(2)
2 4(1)(3)
4 2 7 4 2
1 2 1 2 0 2 1 4
4 3(2)(3)
6 1(2 )(1)
注：(1) 基础解系不是唯一的。
(2) 当 r( A) n 时，解集合(解空间)是 {0}.
证明:设A经过一系列初等行变换化为阶梯形
矩阵B，则rB r，B的前r行不为零。不失一般性， 设B的第i行的非零首元为bij (i 1,2,, r )，
b11 0
b12 b1r b22 b2r
b1,r 1 b2,r 1
同
理
，
分
别
将x
r
1
,
x
r
2
,
,
x
的
n
值(0,1,
,0),
,
(0,0,,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解
X 2 (c12 , c22 ,, cr 2 ,0,1,,0)T ;
X nr (c1,nr , c2,nr ,, cr ,nr ,0,0,,1)T ;
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(1)
X1
,
X
2
,,
2 1
2 1
31施行
0
2
1
2
8
1 0 5 1 10
2( 2 ) ( 3)
初等行变换化简：A 3(2)(1) 0 1 1 1 3
0
0
1
0
2
1 0
0 1
0 0
1 1
20 5
B，
0 0 1 0 2
得到问题的同解方程组BX= 0。
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阶梯形矩阵B有三行不为零，rB 3。B的1、2、3
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(
2
)
1 0
,
0 1
线
性
无
关
，X
1
,