专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)
抽象不等式的解法
抽象不等式的解答方法一、利用单调性、奇偶性等函数的性质模型1：()f x 在区间上单调递增，若()()f a f b >，则a b >。
模型2：奇函数()f x 在区间上单调递增，若()()0f a f b +>，则可得()()f a f b >-，∴a b >-。
例题：已知函数()s i n f x x x =-，则2(2)(3)0f x x f -+->的解集为______.解析：()f x 为奇函数，求导得'()1cos 0f x x =-≥，()f x ∴在R 上单调递增，由2(2)(3)0f x x f -+->得，2(2)(3)f x x f -> ，223x x ∴->，解得，1x <-，或3x >。
总结：1、将目标写成具体不等式，则得到超越不等式，无法解答。
没有具体解析式的不等式问题，结合函数的单调性、奇偶性解答。
2、考查条件函数的性质（单调性、奇偶性）和目标不等式的特点，由模型2可解答。
二、构造函数法： ——利用新函数单调性、奇偶性特殊点等性质画出图像，结合图像得不等式的解集。
这类问题的主要思想是，用x 、x e 、()f x 通过四则运算（主要是乘、除）的组合得到新函数。
模型1：()f x x，求导得⇒2'()()xf x f x x -，结构特点⇒'()()xf x f x -。
说明：由求导法则，可知是由两个函数相除求导的结果。
模型2：()xf x ，求导得⇒'()()xf x f x +。
模型3：2()x f x ，求导得⇒22'()()xf x x f x +。
特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有两个简单项。
模型4：()x e f x ，求导得⇒()'()(()'())x x x e f x e f x e f x f x +=+。
高考数学热点问题专题练习—— 利用函数性质与图像解不等式知识归纳及典型例题分析
利用函数性质与图像解不等式一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。
所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。
那么问题便易于解决了。
（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。
通常可作草图帮助观察。
例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。
则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小。
从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图像均可作出。
高三数学抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求解抽象函数问题的策略。
一、 利用特殊模型例1、若函数()f x 具有性质：1.()f x 为偶函数；2、对任意,x R ∈ 都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数的解析式可以是______________。
（只须写出满足条件的()f x 的一个解析式即可）分析：看到已知条件中有关于 π的不等式，所以联想到三角函数，结合()f x 为偶函数，得满足条件的函数()f x 的解析式是 ()f x =cos4x 或()sin 2f x x =。
例2、若函数()f x 和()g x 在R 上有定义，且()()()()()()(),210,f x y f x g y f x g y f f -=--=≠则()1g ()()11__g g +-= 。
（用数字作答）。
分析与解：()()()()()f x y f x g y f x g y -=-∴联想到三角公式，可取()sin ,f x x =则()f x 是奇函数，于是有：()()()()()()()sin 2sin 11sin 11cos 1sin 1sin1cos1cos 1sin1coc -=--=---=+-=⎡⎤⎣⎦()cos1cos 11∴+-=-，即()()111g g +-=-例3、设函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，总有()()()f n m f m f n +=且x >0,时0<()f x <1,()1证明:()01f =，且当x<0 时,()1f x > ()2证明:()f x 在R 上单调第减. ()3设()()()(){}()(){}22,1,,21,A fx y f x f y f B x y f ax y a R =∣>=∣-+=∈,,若,A B =∅确定a 的X 围.分析与解:由于()()()f n m f x f y +=,所以联想到指数函数()()01x f x a a =<≠,则题意十分简明,为理解和解决问题作了模型和方法上的铺垫. (1)\在()()()f n m f x f y +=中,取0,0m n >=,有()()()0f m f m f =0x >且()01f x <<∴()01f =又设:0,,m x n x =<=-()()()()()()()01011f x f m n f f x f x f x f x <-<∴+==-∴=> 即 0x <时,()1f x >(2) 设12x x <,则120x x -<,且()()21101,0f x x f x <-<>()()()()()()21211112110f x f x f x x x f x f x f x x ∴-=-+-=--<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在R 上是增函数.(3) ()()()(){}22,1A x y f x f y f =∣>,有221;xy +<()(){},21,B x y f ax y =|-+=有20ax y -+=,A B =∅22120x y ax y +<∴{-+= 无解,即直线20ax y -+=和单位圆没有交点,只须213a a ≥⇒≤⇒≤≤例 4.已知定义域R +为的函数()f x ,对于任意,x y R +∈ 的是,恒有()()()f xy f x f y =+(1) 求证:当x R +∈时,()1;f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 若1x >时,恒有()0,f x <,求证:()f x 必有反函数.(3) 设()1f x -是()f x 的反函数,求证:()1f x -在其定义域内恒有()()()1111212f x x f x f x ---+=分析与解:由于()()()f xy f x f y =+,所以联想带对数函数()()log 01a f x x a =<≠则问题就简单易于理解了. (1) 令1x y ==,得()10f = 令1y x=得()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴当x R ∈时,有()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 设12,x x R +∈且12,x x <则211,xx >故()()()22121110x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21,f x f x <()f x ∴在R +上单调递减，故()f x 必有反函数。
数学不等式与函数题解题技巧和思路分享
数学不等式与函数题解题技巧和思路分享数学是一门既抽象又具体的学科，其中不等式与函数是数学中的重要内容。
解题技巧和思路在数学学习中起到至关重要的作用。
本文将分享一些解决数学不等式与函数题的技巧和思路，帮助读者更好地应对这类题目。
一、不等式题解题技巧不等式题是数学中常见的题型，解题时需要注意以下几个技巧：1. 观察不等式的形式：不等式可以分为一元不等式和多元不等式。
对于一元不等式，我们可以通过图像、区间、符号等方式进行分析；对于多元不等式，需要考虑各个变量之间的关系。
2. 利用性质进行转化：有时候，我们可以通过一些性质将不等式转化为更简单的形式。
例如，对于二次不等式，可以利用平方差公式将其转化为完全平方差形式，从而更方便进行求解。
3. 运用数学方法：在解决不等式问题时，可以借助数学方法进行推导和证明。
例如，可以利用数列的性质、平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等进行推导，从而得到更加准确的结果。
4. 注意特殊情况：在解决不等式问题时，需要注意特殊情况的存在。
例如，当不等式中的变量为负数或零时，不等式的符号可能会发生变化，需要进行特殊处理。
二、函数题解题技巧函数题是数学中的重要内容，解题时需要注意以下几个技巧：1. 理解函数的定义与性质：在解决函数题时，首先需要理解函数的定义与性质。
例如，对于一元函数，需要了解其定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，从而更好地进行分析和推导。
2. 利用函数的图像进行分析：函数的图像可以直观地反映函数的性质。
通过观察函数的图像，可以获得一些关于函数的信息，从而更好地解决函数题。
3. 运用函数的性质进行推导：在解决函数题时，可以利用函数的性质进行推导和证明。
例如，可以利用导数的定义和性质进行函数的最值求解，利用函数的连续性进行函数的极限计算等。
4. 注意函数的特殊情况：在解决函数题时，需要注意函数的特殊情况。
例如，当函数的定义域存在间断点时，需要进行特殊处理；当函数存在极值点时，需要进行极值点的求解。
专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【解析版】
第一章函数与导数专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围.如2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数图象和性质求解.3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构造函数.【压轴典例】例1.（2018·浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则A． B． C． D．【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.例2.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈例3.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 例4.（2010·湖南高考真题）数列中，是函数的极小值点（Ⅰ）当a=0时，求通项； （Ⅱ）是否存在a ，使数列是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析【解析】 易知.令.（1）若，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故在取得极小值.由此猜测：当时，.下面先用数学归纳法证明：当时，.事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当时，成立，则由（2）知，，从而，所以.故当时，成立.于是由（2）知，当时，，而，因此.综上所述，当时，，，.（Ⅱ）存在，使数列是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为3的等比数列，且.而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.记，则令，则.因此，当时，，从而函数当时，可得数列不是等比数列.综上所述，存在，使数列是等比数列，且的取值范围为.例5.（2017·浙江高考真题）已知数列{}n x 满足： ()()*1n n 1n 1x =1x x ln 1x n N ++=++∈， 证明：当*n N ∈时 （I ）n 1n 0x x +＜＜;（II ）n n 1n 1n x x 2x -x 2++≤； (III) n n 1n-211x 22-≤≤【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此()*0n x n N >∈．所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，因此()*10n n x x n N +<<∈． （Ⅱ）由()11ln 1n n n x x x ++=++得，()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，()()22'ln 10(0)1x x f x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()()0f x f ≥=0，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故()*1122n n n n x x x x n N ++-≤∈． （Ⅲ）因为()11111ln 12n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥， 由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112022n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭， 所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫-≥-≥⋅⋅⋅≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故212n n x -≤．综上，()*121122n n n x n N --≤≤∈． 例6.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n -++>+++. 【答案】（1）见解析；（2）(,1]-∞；（3）见解析. 【解析】（1）证明：令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，[)x 0,∞∈+，()212x xh x 2x 101x 1x+=+=++'-≥，所以()h x 为单调递增函数，()()h x h 00≥=， 故()2ln x 1x x +≥-.（2）()()f x x g x +≥，即为()axln x 11x+≥+， 令()()axm x ln x 11x=+-+，即()m x 0≥恒成立， ()()()()22a 1x ax 1x 1a m x x 11x 1x +-+-=-=++'+， 令()m x 0'>，即x 1a 0+->，得x a 1>-.当a 10-≤，即a 1≤时，()m x 在[)0,∞+上单调递增，()()m x m 00≥=，所以当a 1≤时，()m x 0≥在[)0,∞+上恒成立；当a 10->，即a 1>时，()m x 在()a 1,∞-+上单调递增，在[]0,a 1-上单调递减， 所以()()()min m x m a 1m 00=-<=， 所以()m x 0≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1∞-. （3）证明：由（1）知()2ln x 1x x +≥-，令1x n=，*n N ∈，(]x 0,1∈， 2n 1n 1ln n n +->，即()2n 1ln n 1lnn n-+->，故有ln2ln10->，1ln3ln24->， …()2n 1ln n 1lnn n-+->， 上述各式相加可得()212n 1ln n 149n-+>+++. 因为()()22n 3n 2n 1n 10++-+=+>，2n 3n 2n 1++>+，()()2ln n 3n 2ln n 1++>+，所以()2212n 1ln n 3n 249n-++>+++. 例7.（2018·福建省安溪第一中学高三期中（文））公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n 项和为，且满足．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ令，数列的前n 项和为，求的取值范围．【答案】（I ），；（II ）.【解析】Ⅰ依题意，等差数列的公差，，，成等比数列，，即，整理得：，即，又等差数列的前10项和为100，，即，整理得：，，；，，即，当时，，即，数列是首项为1、公比为2的等比数列，；Ⅱ由可知，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，，，，，，记，则，故数列随着n的增大而减小，又，，．例8.（2019·江苏高考模拟）已知数列满足（），（）．（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，，成等差数列．① 求数列的通项公式；② 证明：．【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2为公比的等比数列．（2）① 设，由（1）知，，所以，即，所以．因为，，成等差数列，则，所以，所以，所以，即．② 要证，即证，即证．设，则，且，从而只需证，当时，．设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证．【压轴训练】1．（黑龙江省哈尔滨三中高考模拟）已知1(1)32(1,2)n n n b b a b n b--+-=>≥，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式1n n a a +>成立，则实数b 的取值范围是__________． 【答案】3+∞（，） 【解析】由题设可得1(1)(1)32(1)32n n n b b n b b b b-+-+--+->，即22(1)341n b b b ->-+，也即(1)31n b b ->-对一切4n ≥的正整数恒成立，则3141b b b -<≥-，即31444311b b b b -⇒---，所以3b >，应填答案(3,)+∞. 2.（2019·山东济南一中高三期中（理））（1）已知函数的图象经过点，如图所示，求的最小值；（2）已知对任意的正实数恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值，当且仅当时等号成立；（2）【解析】⑴函数的图象经过点，当且仅当时取等号⑵①令，，当时，，递增当时，，递减代入时，②，令，，，综上所述，的取值范围为3.（2019·桃江县第一中学高三月考（理））已知都是定义在R上的函数，，，且，且，．若数列的前n项和大于62，求n的最小值.【答案】6【解析】∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列为等比数列，∴，∴，即，所以n的最小值为6.4.（2019·福建省漳平第一中学高三月考（文））已知数列的首项，前项和满足，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项为，并证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】 （1）当时，，得. 又由及得，数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），①②①②得： ，所以，又，故，令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以.5.（2019·江苏高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值.【答案】（1）32nn a =⨯（2）22922n n nT =-+；最大值为105. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩.故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n n T +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 6.（2019·黑龙江高三月考（理））已知数列的前n 项和为, 其中，数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)令，数列的前n 项和为，若对一切恒成立，求实数k 的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】 （1）由可得，两式相减得: ，又由可得，数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而，于是.（2）由（1）知，于是，依题意对一切恒成立，令，则由于易知，即有，∴只需，从而所求k的最小值为.7.（2018·浙江高考模拟）已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．8.（2018·浙江镇海中学高三期中）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）证明略；（2）【解析】证明：（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，①当n=1时，，则：当n≥2时，，②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣+，整理得：，所以：，故：（常数），故：数列{a n}是以为首项，2为公比的等比数列．故：，所以：．由于：，所以：（常数）．故：数列{b n}为等比数列．（2）由（1）得：，所以：+（），=，=，假设存在实数λ，对任意m，n∈N*，不等式恒成立，即：，由于：，故当m=1时，，所以：，当n=1时，．故存在实数λ，且．9.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））（1）当时，求证：；（2）求的单调区间；（3）设数列的通项,证明．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）的定义域为，恒成立；所以函数在上单调递减，得时即：（2）由题可得，且.当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，（3）由题意知.由（1）知当时当时即令则，同理:令则.同理:令则以上各式两边分别相加可得：即所以：10.（2019·北京人大附中高考模拟（理））已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题可知：，①，②②-①可得.即：，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.由可得，由可得.所以，，故有最大值.所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.所以，解得或.所以，实数的取值范围是.11.（2019·江苏高三月考）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．（1）求，，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，，…，（，）为等差数列，求的最大值．【答案】（1）,，；（2）详见解析；（3）3.【解析】（1）由，对任意的正整数，恒成立取，得，即，得.取，，得，取，，得，解得，.（2）取，得，取，得，两式相除，得，即，即.由于，所以对任意均成立，所以是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即.时，，而也符合上式，所以.因为（常数），所以是等比数列.（3）由（2）知，.设，，成等差数列，则.即，整理得，.若，则，因为，所以只能为2或4，所以只能为1或2.若，则.因为，故矛盾.综上，只能是，，，成等差数列或，，成等差数列，其中为奇数.所以的最大值为3.12．（2019·上海高考模拟）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．⑴求，，并猜想不要求证明)；⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．【答案】⑴，,；⑵；⑶详见解析【解析】，猜想，由，，，，对任意恒成立⑶证明：，记，则，记，则，当时，可知：，13．（2019·广西高考模拟（理））已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R .(1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由题意可得，()'222(0,)f x ax lnx x a R =-->∈，由1x e =时，函数()f x 取得极值知12'220af e e ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以0a =． 所以()()21,'22(0)f x xlnx f x lnx x =--=-->， 所以10x e <<时，()'0f x >；1x e>时，()'0f x <； 所以()f x 的单调增区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. （2）当1a =时，()221f x x xlnx =--，所以()()'22221f x x lnx x lnx =--=--，令()ln 1g x x x =--，则()11'1x g x x x-=-=，当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，()g x 的单调减区间为()01，，单调增区间为()1+∞，， 所以()()10g x g ≥=，所以()'0f x ≥，()f x 是增函数，所以1x >时，()()22ln 110f x x x x f =-->=，所以1x >时，12ln x x x->， 令*211,21n x n N n +=>∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+- 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭ 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭上式中123n =，，，…，n ，然后n 个不等式相加， 得到()11111...ln 213521221nn n n ++++>++-+ 14.（2019·宁夏高考模拟（文））已知函数()()ln 1(0)f x ax x a =->．()1求函数()y f x =的单调递增区间；()2设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x =' ．①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；②证明：()22222ln(123)123.e n n n N +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+∈【答案】（1）单调递增区间为[)1,+∞．（2）①(]0,e ．②见证明 【解析】()10a >，0x >．()()1'ln 1ln 0f x a x ax a x x=-+⋅=≥． 解得1x ≥．∴函数()y f x =的单调递增区间为[)1,+∞．()2函数()()316g x x f x =-，函数()()21h =x ln 2x g x a x '=-．()'ah x x x=-①，0a ≤时，函数()h x 单调递增，不成立，舍去； 0a >时，()('x x a h x x xx+=-=，可得x =()h x 取得极小值即最小值，()11ln 022h x ha a a ∴≥=-≥，解得：0a e <≤． ∴实数a 的取值范围是(]0,e ．②证明：由①可得：a e =，1x ≥时满足：22ln x e x ≥，只有1x =时取等号．依次取x n =，相加可得：()222221232ln1ln2ln ln(12)en e n n +++⋯+>++⋯⋯+=⨯⨯⋯．因此()22222ln(123)123.e n n n N +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+∈15.（2019·黑龙江高考模拟（理））已知函数2()2ln 2(1)(0)a f x ax x a a x-=-+-+>. （1）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：11113521n ++++>-*1ln(21)()221nn n N n ++∈+.【答案】（1）[1,)+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222222a ax x a f x a x x x--+-=--=' ()221a a x x a x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=. ①当01a <<时，21aa->， 若21a x a -<<，则()0f x '<，()f x 在21,a a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以21,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10f x f <=，即()0f x ≥在[)1,+∞上不恒成立. ②当1a ≥时，21aa-≤，当1x >时，()0f x '>，()f x 在[)1,+∞上是增函数，又()10f =，所以()0f x ≥. 综上所述，所求a 的取值范围是[)1,+∞.（2）由（1）知当1a ≥时，()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立.取1a =得12ln 0x x x --≥，所以12ln x x x-≥. 令21121n x n +=>-，*n N ∈，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+-， 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭， 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭. 上式中1,2,3,,n n =，然后n 个不等式相加，得到()11111ln 213521221nn n n ++++>++-+. 16.（2019·江苏高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）①当1n =时，2221112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立下证：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立.因为()211211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+=()()11221112211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++-即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立由①、②可知，112211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立.（2）（ⅰ）当1n =时，221221311a >=-=++成立，当2n =时，()2322222172131112a a a a a =-+=-+=>⨯>++成立，（ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11kk a k +>+成立 下证：当1n k =+时，()1211k k a k ++>++成立.因为()()2211112111111kkkk k k k k k a a a a a k k kk +++++-+==-+>++=++要证()1211k k a k ++>++，只需证()12111k k k k k k +++>++只需证：()121k k k k ++>，只需证：()12ln ln 1k k k k ++>即证：()()12l l n n 10k k k k -++>（3k ≥） 记()()()2ln 11ln h x x x x x -++=∴()()()()2ln 1112ln 11ln ln x x x x h x +-++=-++⎡⎤⎦=⎣'21ln 1ln 12111x x x x ⎛⎫=+=++-+ ⎪++⎝⎭当12x +≥时，1111ln 121ln 221ln 1ln 10122x x e ⎛⎫⎛⎫++-+≥+-+=+>+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以()()()2ln 11ln h x x x x x -++=在[)1,+∞上递增， 又()6423ln34ln3ln 34ln729ln2564l 0n h ⨯-=-=->=所以，当3x ≥时，()()30h x h ≥>恒成立. 即：当3k ≥时，()()30h k h ≥>成立.即：当3k ≥时，()()12l l n n 10k k k k -++>恒成立. 所以当3k ≥，()1211k k a k ++>++恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数n *∈N ，不等式11nn a n +>+恒成立，命题得证.。
高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。
而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 （定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；第三步 （去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规X.例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，某某数a 的取值X 围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得231231a -<<，而2313-<-，所以3231a -≤<， 综上，实数a 的取值X 围是(]5,3-- 【变式演练1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值X 围为（ ） A.22t -≤≤ B.2t ≤-或2t ≥ C.0t ≤或2t ≥ D.2t ≤-或2t ≥或0t = 【答案】D 【解析】试题分析：由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1，所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立，当0t ≠时，则220t at -≥成立，又[1,1]a ∈-，令()22,[1,1]g a at t a =-∈-，当0t >时，()g a 是减函数，故令()10g ≥，解得2t ≥；当0t <时，()g a 是增函数，故令()10g -≥，解得2t ≤-，综上所述，2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值X 围是（ ）A. (),0-∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,+∞ 【答案】D【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=； （3）解不等式1(2)()02f f x +-≤．【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ．考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x yf x f y f x y++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）21111()()()()1119553f f f f n n +++>++，其中*n N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题（3）211()1(3)(2)23()[][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++ 1111()()()()2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111()()()111955f f f n n +++++111111[()()][()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()()3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111()()()333f f f n +->+．故21111()()()()1119553f f f f n n +++>++．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和． 【高考再现】1.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值X 围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 【解析】又()f x 在()-∞+∞，单调递减 【解析】121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D2.【2017某某理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C3. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.4.【2015高考，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.5. 【2014高考某某版理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D6. 【2014某某理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．12πD ．18【答案】B 【解析】考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.7. 【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)22考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 【反馈练习】1. 【2017-2018学年某某省某某市高一上学期第一次联考数学试题】函数()y f x =在R 上为增函数，且()()29f m f m >+，则实数m 的取值X 围是( )A. ()9+∞，B. [)9+∞，C. (),9-∞-D. (]9-∞， 【答案】A2．【2018届某某省某某市第一中学高三10月调研数学（理）试题】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A. ()()2,02,-⋃+∞B. ()(),20,2-∞-⋃C. ()(),22,-∞-⋃+∞D. ()()2,00,2-⋃【答案】D 【解析】函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，()()0f x f x x--<，化为()20f x x<，等价于()0xf x <，当0x >时，解得02x <<，当0x <时，20x -<<，不等式的解集为：()()2,00,2-⋃，选D.3．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值X 围是（ ）A. B. C. D.【答案】C4．【2017届某某市滨海新区高三上学期八校联考（理科）数学试卷】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =， ()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】A【解析】设120x x << ，则()()()()122112120f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R上的偶函数，因此()0.20.24.14.1f a =()()0.24.11gg =<， ()2.12.10.40.4f b =()()()2.120.40.40.5gg g =>> ，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =()()()0.251log 4.1log 4.11,2g g g g ⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c b << ，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 5．【2017届某某省高三教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值X 围为（ ） A. ()3,-+∞ B. (),3-∞- C. ()3,+∞ D. (),3-∞ 【答案】C7．【2018届某某省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴0<x −2<2， ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)， ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减， ∴−2<x −2<0，∴0<x <2.综上可得：不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D. 8.【2017—2018学年某某省某某市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的(]0a b ∈-∞，，，当a b ≠时，都有()()0f a f b a b->-.若()()121f m f m +<-，则实数m 的取值X 围为_________. 【答案】(0,2)9. 【2017届某某省某某师X 大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________． 【答案】[)0,1【解析】当0x >时，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，即()()1f x x x -=+，所以()()1f x x x =-+，结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减，所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤，解之得01m ≤<，应填答案[)0,1。
抽象函数的性质及解题技巧
抽象函数（二）抽象函数常出题型1、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
例：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
2、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例.对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： ,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0, ∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f (n)-1)f (n =∴==+故即 ②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.练习：函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）A . 2005 B. 2 C.1 D.03、值域问题例.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
高三数学抽象函数解法例谈
高三数学抽象函数解法例谈高三数学抽象函数解法例谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题,一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将_换成-_或将_换成等2在求函数值时,可用特殊值代入3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.1．已知函数f(_)对任意_.y∈R都有f(_+y)＝f(_)+ f(y)+3_y(_+y+2)+3,且f(1)=1①若t为自然数,(t_gt;0)试求f(t)的表达式②满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由③若t为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.2．已知函数f(_)= ,且f(_),g(_)定义域都是R,且g(_)_gt;0, g(1) =2,g(_) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m.n∈R)求证:①f(_)是R上的增函数②当nN,n≥3时,f(n)_gt;解: ①设_1_gt;_2g(_)是R上的增函数, 且g(_)_gt;0g(_1)_gt; g(_2) _gt;0g(_1)+1 _gt; g(_2)+1_gt;0_gt; _gt;0- _gt;0f(_1)-f(_2)=- =1--(1-)=-_gt;0f(_1)_gt;f(_2)f(_)是R上的增函数②g(_) 满足g(m) · g(n)= g(m+n)(m.n∈R) 且g(_)_gt;0 g(n)=[ g(1)]n=2n当nN,n≥3时, 2n_gt;nf(n)=＝1- ,＝1-2n＝(1+1)n＝1+n+…++…+n+1_g t;2n+12n+1_gt;2n+2_lt;,即1-_gt;1-当nN,n≥3时,f(n)_gt;3．设f1(_) f2(_)是(0,+∞)上的函数,且f1(_)单增,设f(_)= f1(_) +f2(_) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数_1, _2 恒有 f1(_1)－ f1(_2) _gt; f2(_1)－ f2(_2)①求证:f (_)在(0,+∞)上单增.②设F(_)=_ f (_), a_gt;0.b_gt;0.求证:F(a+b)_gt;F(a)+F(b) .①证明:设 _1_gt;_2_gt;0f1(_) 在(0,+∞)上单增f1(_1)－ f1(_2)_gt;0f1(_1)－ f1(_2)= f1(_1)－ f1(_2)_gt;0f1(_1)－ f1(_2)_gt; f2(_1)－ f2(_2)f1(_2)- f1(_1)_lt;f2(_1)－ f2(_2)_lt; f1(_1)－ f1(_2)f1(_1)+f2(_1)_gt; f1(_2)+f2(_2)f(_1)_gt; f(_2)f (_)在(0,+∞)上单增②F(_)=_ f (_), a_gt;0.b_gt;0a+b_gt;a_gt;0,a+b_gt;b_gt;0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (_)在(0,+∞)上单增F(a+b)_gt;af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4．函数y＝f(_)满足①f(a+b)＝f (a)·f (b),②f(4)＝16, m.n为互质整数,n≠0求f()的值f(0)=f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0)·f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2()≥0f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(_)是非负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a)·f(-a)f(-a)=n∈N_时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(++…+)=fn()=2f()=f()=[f()]m=5．定义在(-1,1)上的函数f (_)满足①任意_.y∈(-1,1)都有f(_)+ f(y)＝f (),②_∈(-1,0)时, 有f(_) _gt;01) 判定f(_)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由2) 判定f(_)在(-1,0)上的单调性,并给出证明3) 求证:f ()＝f ()－f ()或f ()+f ()+…+f ()_gt; f ()(n∈N_)解:1) 定义在(-1,1)上的函数f (_)满足任意_.y∈(-1,1)都有f(_)+ f(y)＝f (),则当y=0时,f(_)+ f(0)＝f(_)f(0)=0当-_=y时, f(_)+ f(-_)＝f(0)f(_)是(-1,1)上的奇函数2) 设0_gt;_1_gt;_2_gt;-1f(_1)-f(_2)= f(_1)+ f(-_2)=0_gt;_1_gt;_2_gt;-1 ,_∈(-1,0)时,有f(_) _gt;0,1-_1_2_gt;0, _1-_2_gt;0_gt;0即f(_)在(-1,0)上单调递增.3) f ()=f()=f( )=f()=f()-f()f ()+f ()+…+f ()=f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f()= f() -f()=f()+f(-)_∈(-1,0)时,有f(_) _gt;0f(-)_gt;0, f()+f(-)_gt;f()即f ()+f ()+…+f ()_gt; f ()1)6．设 f (_)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线_=1对称, 对任意_1._2[0,]都有f (_1+ _2)＝f(_1) ·f(_2), 且f(1)=a_gt;0.①求f ()及 f ();②证明f(_)是周期函数③记an=f(2n+), 求(lnan)解: ①由f (_)= f ( + )=[f(_)]20,f(_)a= f(1)=f(2n· )=f(++…+)＝[f ()]2解得f ()=f ()=,f ()=.② f(_)是偶函数,其图像关于直线_=1对称,f(_)=f(-_),f(1+_)=f(1-_).f(_+2)=f[1+(1+_)]= f[1-(1+_)]= f(_)=f(-_).f(_)是以2为周期的周期函数.③ an=f(2n+)= f ()=(lnan)= =07．设是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意_.y∈R都有f(_+y)＝f(_)f(y)①求f(0),②设当__lt;0时,都有f(_)_gt;f(0)证明当__gt;0时0_lt;f(_)_lt;1,③设a1=,an=f(n)(n∈N_ ),sn为数列｛an｝前n项和,求sn.解:①②仿前几例,略.③an＝f(n),a1＝f(1)＝an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an数列｛an｝是首项为公比为的等比数列sn＝1-sn＝18．设是定义在区间上的函数,且满足条件:(i)(ii)对任意的(Ⅰ)证明:对任意的(Ⅱ)证明:对任意的(Ⅲ)在区间[－1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有即(Ⅱ)证法一:对任意的当不妨设则所以,综上可知,对任意的都有证法二:由(Ⅰ)可得,当所以,当因此,对任意的当时,当时,有且所以综上可知,对任意的都有(Ⅲ)答:满足所述条件的函数不存在.理由如下,假设存在函数满足条件,则由得又所以①又因为为奇数,所以由条件得②①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.练习:1. 函数f(_)对任意_.y∈R都有f(_+y)＝f(_)+f(y)-1,且__gt;0时,f(_) _gt;1①求证f(_)是R上的增函数②若f(4)＝5,解不等式f(3_2-_-2)_lt;32.f(_)是R上的函数, 对任意的实数_1._2都满足f(_1+ _2)＝f(_1)+ f(_2), 当__gt;0时,f(_) _gt;0且f(2)=3①试判断f(_)的奇偶性和单调性②当θ∈[0,]时, f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求n1实数的取值范围3.f(n)是定义在N上且取值为整数的严格单增函数,m.n互质时f(m·n)＝f (m)·f (n)若f(19)＝19,求f(f(19) ·f(98))的值4.f (_)定义域为R,对任意_1._2 R都有f (_1+ _2)＝f(_1)+ f(_2), 且__gt;0时,f(_) _lt;0.f(1)＝-2①试判断f (_)的奇偶性②试判断在[-3,3]上,f (_)是否有最大值或最小值?如果有求之,如果没有,说明理由③解关于_的不等式 f(b_2)－f(_)_gt; f(b2_)－f(b)(b2≠2)5.f(_)定义域为R,对任意实数m.n都有f(m+n)＝f (m)·f (n),且当__gt;0时,0_lt;f (_) _lt;1①求f (0)证明__lt;0时 f (_)_gt;1.②证明f(_)在R上单减,并举出一个满足①②的函数f(_)②设A＝,B＝,若A∩B＝求a取值范围6.定义在(0,+∞)上的函数f (_)满足①对于任意正数_.y都有f (_·y)＝f(_)+ f(y), ②f(2)＝p－1,③__gt;1时总有f(_)_lt;p2) 求f (1)及f ()的值(写成关于p的表达式)3) 求证:f (_)在(0,+∞)上是减函数设an＝ f (2n)(n N_),数列的前项和为Sn ,当且仅当n＝5时Sn取得最大值,求p 的取值范围。
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专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。
而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
确定抽象函数单调性解函数不等式例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【变式演练1】【辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中】已知函数22()1x f x x =+，则不等式()()2log 13f x f -≤的解集为（ ）A ．[)4,+∞ B ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦【变式演练2】【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科】已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)()02f f x +-≤．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x yf x f y f x y++=++；①当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）21111()()()()1119553f f f f n n +++>++，其中*n N ∈． 【高考再现】1.【2020年高考浙江卷9】已知,a b ∈R 且0ab ≠，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则 （ ）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >2.【2020年高考北京卷6】已知函数12)(--=x x f x，则不等式()0f x >的解集是 （ ）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()0,1 D ．()(),01,-∞+∞3.【2020年高考山东卷8】若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是 （ ）A ．[][)1,13,-+∞ B ．[][]3,10,1-- C ．[][)1,01,-+∞ D ．[][]1,01,3-4.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，5.【2018年普通高等学校招生（江西卷）】已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )．A ． af (b )≤bf (a )B ． bf (a )≤af (b )C ． af (a )≤f (b )D ． bf (b )≤f (a ) 6. 【2014辽宁理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；①对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k的最小值为（ ）A ．12 B ．14C ．12πD ．187. 【2018年普通高校招生全国卷 一】已知函数()f x ，任取两个不相等的正数1x ， 2x ，总有()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，对于任意的0x >，总有()ln 1f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，若()()()2'g x f x f x m m =+-+有两个不同的零点，则正实数m 的取值范围为__________． 【反馈练习】1．【山西省运城市2021届高三（上）期中数学（理科）】已知函数()5332f x x x x =+++，若()()24f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞2.【甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2020-2021学年高三数学第一学期期中】函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞ D ．[]0,43.【黑龙江省哈尔滨六中2020-2021学年高三（上）开学数学（理科）】奇函数()f x 满足(2)0f =，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，则210()()x f x f x -<--的解集为（ ） A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)+∞4.【河南省洛阳市2020-2021学年第一学期高三第一次统一考试】已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 5.【河南省十所名校2020-2021学年高三上学期第二次考试数学（理）】设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()220f x f x x +-+=，当0x >时，()21f x x '+<，若()()21f m f m m ≥-+，则实数m 的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．26.【河南省郑州、商丘市名师联盟2020-2021学年高三上学期12月教学质量检测】已知()f x 是定义在R 上的减函数，对任意x 、y ∈R ，()()()f x y f x f y +=恒成立，若()53f -=，则()327f x -<的解集为（ ） A ．(),15-∞B ．(),18-∞C ．()15,+∞D ．()18,+∞7.【江苏省常州市教育学会2020-2021学年高三上学期学业水平监测】已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.8．【百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）理科】数已知函数()()()ln 11,011ln 1,0x x e x x f x x x e⎧++-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若()()2120x xf e f e -+≤，则实数x 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)ln 2,-+∞D ．(],ln 2-∞-9.【天津市八校2020-2021学年高三上学期期中联考数学】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+（a 为常数），则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞10．【海南省海南中学2021届高三第五次月考】设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，对任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（ ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(2,0)(0,2)-C ．(,4)(0,4)-∞-⋃D ．(,2)(2,)-∞-+∞。