材料力学-第11章 压杆稳定
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材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
第11章压杆稳定
材料力学
第29页/共63页
二、折减因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]
[s ]——强度许用应力 j —— 折减因数 j 1
稳定条件
与柔度有关
s FP j[s ] 工作应力不大于
A
稳定许用应力
注 不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。 意
强度 条件
sr
[s ]
s0
n
相当应力不大 于许用应力
极限应力
s0
s
{
s
sb
塑性材料 脆性材料
极限应力和安全因数只与材料有关，与实 际应力状态无关，即强度许用应力为常数。
材料力学
第27页/共63页
稳定 条件
s
F A
[s
w
]
s0
nst
s cr
nst
工作应力不大于稳定许用应力。
极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅 与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束 条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压 杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。
z
ml
iz
1 940 14.43
65.1
第36页/共63页
F A
z
材料力学
l1 z
B l1
y Fx
z
h
b
F x
x-z 面内，两端固定
绕y轴发生失稳
m = 0.5
iy
b 23
20 23
5.77 mm
y
ml
iy
0.5 880 5.77
76.3
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质内部力的作用和变形规律的一门学科。
在材料力学中，压杆稳定是一个重要的概念，它涉及到杆件在受压作用下的稳定性问题。
本文将围绕材料力学中的压杆稳定问题展开讨论，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要了解什么是压杆稳定。
在材料力学中，压杆稳定是指杆件在受到压力作用时不会发生失稳现象，保持原有形状和结构的能力。
对于一个长细杆件来说，当受到外部压力作用时，如果其稳定性不足，就会出现侧向挠曲或屈曲等失稳现象，这将导致结构的破坏。
因此，压杆稳定是材料力学中一个至关重要的问题。
接下来，我们将从材料的选择、截面形状和支撑条件等方面来探讨如何提高压杆的稳定性。
首先，材料的选择对于压杆稳定至关重要。
一般来说，高强度、高刚度的材料更有利于提高压杆的稳定性。
此外，材料的表面质量和加工工艺也会对压杆的稳定性产生影响，因此在实际工程中需要对材料的选择和加工过程进行严格控制。
其次，截面形状也是影响压杆稳定性的重要因素。
通常情况下，圆形截面是最有利于抵抗压力的，因为圆形截面能够均匀分布受力，减小局部应力集中的可能性。
相比之下，矩形或其他非圆形截面的压杆在受到压力作用时往往稳定性较差，容易发生失稳现象。
最后，支撑条件也是影响压杆稳定性的关键因素之一。
压杆的支撑条件直接影响其在受力时的变形和稳定性。
合理的支撑设计能够有效地提高压杆的稳定性，减小失稳的可能性。
综上所述，材料力学中的压杆稳定是一个复杂而重要的问题，需要综合考虑材料的选择、截面形状和支撑条件等因素。
只有在这些方面都做到合理设计和严格控制，才能保证压杆在受力时不会发生失稳现象，从而确保结构的安全可靠。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握材料力学中压杆稳定的相关知识，为工程实践提供一定的参考价值。
同时，也希望读者能够在实际工程中注重压杆稳定性的设计和控制，确保结构的安全可靠。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
第11章压杆稳定
压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为 两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动 恢复直线平衡 不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡 随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力： 稳 定 平 衡 临界状态
过 渡
临界压力：Fcr
不 即：使压杆保持在微 稳 弯状态下平衡的最小 定 轴向力。 平 衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
材料力学-第11章 压杆稳定new
引言
压杆稳定的利用 － 柔性电子器件
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
基本概念
F
压杆失稳（屈曲）： 受压杆件由直线平衡状态变为弯曲平衡状态 临界载荷：
使得受压杆件由直线平衡态转为弯曲平衡态的临界力
材料力学－第11章 压杆稳定 受压杆件为什么会失稳？
F
引言
杆件压力超过临界载荷时，弯曲构型具有更 小的应变能
Fcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)；
为反映不同支承影响的系数，称为长度因数（coefficient of
1ength），可由屈曲后的正弦半波长度确定。
材料力学－第11章 压杆稳定
FPcr
π 2 EI
l
2
需要注意的是, 临界载荷公式只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
例题
图示四根压杆，已知杆件横截面和材料完全相同。 试：将压杆按承载能力大小排序
5m
7m
(a)
(b)
3m
(c)
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 长度因数 由屈曲后的正弦半波长度确定
欧拉公式可写为：
2 EI
正弦半波长
2
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
F
Fcr
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材料力学
第十一章 压杆稳定
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
§11-1
1. 2.
稳定性概念
什么是压杆的稳定性？ 压杆失稳的危害和利用
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
F<Fcr
压杆的稳定性
撤去扰动后
F
轴向压力较小时，杆件可回复到直线平衡状态， 直杆的直线平衡状态是稳定的平衡态。 使得杆件的直线平衡态由稳定转为不稳定的临界轴 向压力Fcr，称为压杆的临界载荷。 轴向压力较大时，杆件不能恢复直线状态，而继 续弯曲， 称直杆的直线平衡状态是不稳定的平衡态。
π × (160 ×10-3 ) 64
4
= 2.6 × 10 6 N = 2.60 × 10 3 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷 对于两端固定的压杆，就有
= Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力 解：杆件在两个平面内都可能失稳
两端作铰支处理
两端作固定端处理
= λ =
µl
i
l l = 2 3 h bh3 12bh
µl λ= =
i
0.5l = hb3 12hb
3
l b
= 132.8
= 99.6
所以，杆件在正视图平面内失稳 π 2 E π 2 × 205 ×109 σ cr = = = 114.7 MPa 临界应力 λ2 132.82
Fcr =
( µl )
π 2 EI
2
这一表达式称为欧拉公式。其中µl为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)；
µ为反映不同支承影响的系数，称为长度因数（coefficient of
1ength），可由屈曲后的正弦半波长度确定。
材料力学－第11章 压杆稳定
影响加工精度和齿轮啮合
驼背及一系列椎间盘疾病
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆稳定的利用 － 柔性电子器件
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
F
压杆失稳过程中，扰动的来源
实际压杆的轴线存在着初始曲率 作用在杆件上的外力作用线一般也不与杆件 的轴线恰好重合 杆件的材料不可能达到理想的均匀性
材料力学－第11章 压杆稳定
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于柔度的讨论：
柔度对失稳时临界应力的影响？
π 2E σ cr = 2 λ
柔度 λ =
柔度越大，越容易失稳。
综合了反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截 i 面形状对压杆承载能力的影响。
µl
思考题：试用压杆稳定理论和柔度的概念解释举重的关键。
F
l
l
F
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
解： 临界载荷作用下，压杆存在对称与反对称两种微弯平衡
方式，分别如下图所示
Fcr,1
Fcr,1
Fcr,2
Fcr,2
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
1：中间铰链处w=0, θ＝0，所以中间铰链相当于固定端，此时压杆一
端为固定端，一端为铰支。
Fcr,1
F
Fcr,1
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
2：中间铰链处w=0, θ≠0，所以中间铰链仍相当于铰支，此时压杆两
端均为铰支。
Fcr,2
F
Fcr,2
π 2 EI Fcr = 2 l
所以，系统的相当长度 leq = l 临界载荷 Fcr =
π 2 EI
l2
材料力学－第11章 压杆稳定
FR d 2w F + w = (l − x) 2 dx EI EI
Fcr =
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，但基本分析方法和分析过 程却是相同的。 对于细长杆，临界载荷公式可以写成通用形式：
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
分叉点 平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的 F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态 F=Fcr 时，平衡路径近似水平相切， 说明杆既可以在直线位置保持平衡， 也可以微弯位置保持平衡
F
Fcr
平衡路径
wmax O
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
F
分叉点
平衡路径
Fcr
平衡路径
Δ O
从平衡路径可以看出，当 w0→0时F→Fcr。这表明，当F 无限接近分叉载荷Fcr时，在直 线平衡构形附近无穷小的邻域 内，存在微弯的平衡构形。根 据这一平衡构形，由平衡条件 和小挠度微分方程，以及端部 约束条件，即可确定临界载荷。
i 尺寸和截面形状对压杆承载能力的影响。
其中， λ=
µl
称为柔度，综合反映压杆长度、约束条件、截面
而 i=
I 称为截面的惯性半径，其量纲为L。 A
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于惯性半径的讨论：
d
i= I 称为截面的惯性半径，其量纲为L。 A
1. 圆截面
= i I = A
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
1. 分析两根压杆的临界载荷 从欧拉公式可以看出，对于材料 和截面都相同的两跟杆件，应计算杆 件的有效长度，有效长度小的临界载 荷大。 有效长度：
1× 5m = 5m ( µ l )b = 0.5 × 9m = 4.5m ( µ l )a =
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
欧拉公式只适用于弹性范围：
σ = cr
其中：
Fcr σ = = cr A
Fcr ≤σp A
π 2 EI π 2E I = 2 2 ( µl ) A ( µl ) A
2 将与杆件横截面尺寸有关的几何量 I/A 提出，令 i =
I A
π 2E I σ cr = = 2 µ l ( ) A
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 长度因数 µ 由屈曲后的正弦半波长度确定 欧拉公式可写为：
π 2 EI
(正弦半波长 )
2
两端铰支 µ＝1.0
一端自由， 一端固定 µ＝2.0
一端铰支， 一端固定 µ＝0.7
两端固定 µ＝0.5
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
F>Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆的稳定性：受压杆件保持原有平衡状态的能力 压杆失稳： 受压杆件失去直线平衡状态，改为弯曲平衡
p>pcr
F>Fcr
其他类型的失稳现象
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆失稳在生活和工程中的危害
失稳
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆失稳在生活和工程中的危害
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于柔度的讨论2：
柔度取何值时，杆内应力刚好不超过比例极限 σ p ？
π 2E σ cr = ≤σp 2 λ
取 λp = π
E
λ ≥π
E
σp
σp
则仅当 λ ≥ λ p 时，欧拉公式才成立。
µl
i
π 2E π 2E = 2 2 µ l ul ( )
i2 i
令 λ=
π 2E σ cr = 2 λ
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
临界应力与柔度
π 2 EI π 2E σ cr = = 用柔度表示临界应力： 2 ( µl ) A λ 2
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
同一压杆，在不同方向上可能具有不同的有效长度
1. 约束的影响：
z y x
柱状铰 在垂直于销轴的平面(x-z平面)内，杆的约束相当于铰支； 在销轴平面(x-y平面)内，杆的约束相当于固定端。
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
同一压杆，在不同方向上可能具有不同的有效长度
M F
w
F
M (x) = − Fw
k2 =
d2w M (x) = EI 2 dx
d2w Fw + EI 2 = 0 dx
F EI
d2w 2 + k w=0 2 dx
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
w
F
x
w
F
d2w 2 + k w=0 2 dx
k2 =
F EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M F
Fcr ( a ) < Fcr ( b )
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 确定两根杆的临界载荷
对于两端铰支的压杆，就有
Fcr =
π EI π × 206 ×10 ＝ × 2 2 5 l
2 2 9
2. 杆件截面的影响：
z
Iz > I y
第十一章 压杆稳定
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
§11-1
1. 2.
稳定性概念
什么是压杆的稳定性？ 压杆失稳的危害和利用
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
F<Fcr
压杆的稳定性
撤去扰动后
F
轴向压力较小时，杆件可回复到直线平衡状态， 直杆的直线平衡状态是稳定的平衡态。 使得杆件的直线平衡态由稳定转为不稳定的临界轴 向压力Fcr，称为压杆的临界载荷。 轴向压力较大时，杆件不能恢复直线状态，而继 续弯曲， 称直杆的直线平衡状态是不稳定的平衡态。
π × (160 ×10-3 ) 64
4
= 2.6 × 10 6 N = 2.60 × 10 3 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷 对于两端固定的压杆，就有
= Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力 解：杆件在两个平面内都可能失稳
两端作铰支处理
两端作固定端处理
= λ =
µl
i
l l = 2 3 h bh3 12bh
µl λ= =
i
0.5l = hb3 12hb
3
l b
= 132.8
= 99.6
所以，杆件在正视图平面内失稳 π 2 E π 2 × 205 ×109 σ cr = = = 114.7 MPa 临界应力 λ2 132.82
Fcr =
( µl )
π 2 EI
2
这一表达式称为欧拉公式。其中µl为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)；
µ为反映不同支承影响的系数，称为长度因数（coefficient of
1ength），可由屈曲后的正弦半波长度确定。
材料力学－第11章 压杆稳定
影响加工精度和齿轮啮合
驼背及一系列椎间盘疾病
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆稳定的利用 － 柔性电子器件
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
F
压杆失稳过程中，扰动的来源
实际压杆的轴线存在着初始曲率 作用在杆件上的外力作用线一般也不与杆件 的轴线恰好重合 杆件的材料不可能达到理想的均匀性
材料力学－第11章 压杆稳定
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于柔度的讨论：
柔度对失稳时临界应力的影响？
π 2E σ cr = 2 λ
柔度 λ =
柔度越大，越容易失稳。
综合了反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截 i 面形状对压杆承载能力的影响。
µl
思考题：试用压杆稳定理论和柔度的概念解释举重的关键。
F
l
l
F
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
解： 临界载荷作用下，压杆存在对称与反对称两种微弯平衡
方式，分别如下图所示
Fcr,1
Fcr,1
Fcr,2
Fcr,2
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
1：中间铰链处w=0, θ＝0，所以中间铰链相当于固定端，此时压杆一
端为固定端，一端为铰支。
Fcr,1
F
Fcr,1
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
2：中间铰链处w=0, θ≠0，所以中间铰链仍相当于铰支，此时压杆两
端均为铰支。
Fcr,2
F
Fcr,2
π 2 EI Fcr = 2 l
所以，系统的相当长度 leq = l 临界载荷 Fcr =
π 2 EI
l2
材料力学－第11章 压杆稳定
FR d 2w F + w = (l − x) 2 dx EI EI
Fcr =
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，但基本分析方法和分析过 程却是相同的。 对于细长杆，临界载荷公式可以写成通用形式：
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
分叉点 平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的 F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态 F=Fcr 时，平衡路径近似水平相切， 说明杆既可以在直线位置保持平衡， 也可以微弯位置保持平衡
F
Fcr
平衡路径
wmax O
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
F
分叉点
平衡路径
Fcr
平衡路径
Δ O
从平衡路径可以看出，当 w0→0时F→Fcr。这表明，当F 无限接近分叉载荷Fcr时，在直 线平衡构形附近无穷小的邻域 内，存在微弯的平衡构形。根 据这一平衡构形，由平衡条件 和小挠度微分方程，以及端部 约束条件，即可确定临界载荷。
i 尺寸和截面形状对压杆承载能力的影响。
其中， λ=
µl
称为柔度，综合反映压杆长度、约束条件、截面
而 i=
I 称为截面的惯性半径，其量纲为L。 A
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于惯性半径的讨论：
d
i= I 称为截面的惯性半径，其量纲为L。 A
1. 圆截面
= i I = A
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
1. 分析两根压杆的临界载荷 从欧拉公式可以看出，对于材料 和截面都相同的两跟杆件，应计算杆 件的有效长度，有效长度小的临界载 荷大。 有效长度：
1× 5m = 5m ( µ l )b = 0.5 × 9m = 4.5m ( µ l )a =
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
欧拉公式只适用于弹性范围：
σ = cr
其中：
Fcr σ = = cr A
Fcr ≤σp A
π 2 EI π 2E I = 2 2 ( µl ) A ( µl ) A
2 将与杆件横截面尺寸有关的几何量 I/A 提出，令 i =
I A
π 2E I σ cr = = 2 µ l ( ) A
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 长度因数 µ 由屈曲后的正弦半波长度确定 欧拉公式可写为：
π 2 EI
(正弦半波长 )
2
两端铰支 µ＝1.0
一端自由， 一端固定 µ＝2.0
一端铰支， 一端固定 µ＝0.7
两端固定 µ＝0.5
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
F>Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆的稳定性：受压杆件保持原有平衡状态的能力 压杆失稳： 受压杆件失去直线平衡状态，改为弯曲平衡
p>pcr
F>Fcr
其他类型的失稳现象
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆失稳在生活和工程中的危害
失稳
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆失稳在生活和工程中的危害
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于柔度的讨论2：
柔度取何值时，杆内应力刚好不超过比例极限 σ p ？
π 2E σ cr = ≤σp 2 λ
取 λp = π
E
λ ≥π
E
σp
σp
则仅当 λ ≥ λ p 时，欧拉公式才成立。
µl
i
π 2E π 2E = 2 2 µ l ul ( )
i2 i
令 λ=
π 2E σ cr = 2 λ
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
临界应力与柔度
π 2 EI π 2E σ cr = = 用柔度表示临界应力： 2 ( µl ) A λ 2
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
同一压杆，在不同方向上可能具有不同的有效长度
1. 约束的影响：
z y x
柱状铰 在垂直于销轴的平面(x-z平面)内，杆的约束相当于铰支； 在销轴平面(x-y平面)内，杆的约束相当于固定端。
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
同一压杆，在不同方向上可能具有不同的有效长度
M F
w
F
M (x) = − Fw
k2 =
d2w M (x) = EI 2 dx
d2w Fw + EI 2 = 0 dx
F EI
d2w 2 + k w=0 2 dx
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
w
F
x
w
F
d2w 2 + k w=0 2 dx
k2 =
F EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M F
Fcr ( a ) < Fcr ( b )
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 确定两根杆的临界载荷
对于两端铰支的压杆，就有
Fcr =
π EI π × 206 ×10 ＝ × 2 2 5 l
2 2 9
2. 杆件截面的影响：
z
Iz > I y