结构动力学
结构动力学_运动控制方程_分段解析法
结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。
结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。
随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。
通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。
因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。
接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。
在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。
同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。
鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。
2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。
它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。
在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。
2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。
这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。
根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是一门研究结构受力、振动和变形的学科。
它是结构力学的一个重要分支，主要研究结构的静力学和动力学行为。
结构动力学的研究可以帮助工程师设计和分析结构的稳定性，预测结构的振动响应，以及提高结构的动力性能。
结构动力学的研究对象是各种类型的结构体系，包括建筑物、桥梁、塔类结构、航空航天器、汽车等。
这些结构在使用过程中会受到各种外部荷载的作用，会发生变形和振动，甚至会发生破坏。
因此，必须通过结构动力学的研究来评估结构的受力情况，以便保证结构的安全和可靠性。
结构动力学的理论基础是力学、振动学和数学分析等。
力学用来描述结构的受力情况，振动学用来描述结构的振动响应，而数学分析则是结构动力学理论的基本工具。
在结构动力学的研究中，常用的数学方法包括牛顿第二定律、拉格朗日方程、哈密顿原理等。
在结构动力学的研究中，需要对结构的质量、刚度和阻尼进行建模。
质量是指结构对外界力的响应情况，通常可以用结构的质量矩阵来描述；刚度是指结构对位移的响应情况，通常可以用结构的刚度矩阵来描述；阻尼是指结构损耗能量的能力，通常可以用结构的阻尼矩阵来描述。
通过对这些参数的建模，可以得到结构的动力学方程。
结构动力学的研究包括两个主要方面：一是结构的自由振动，即结构在没有外界荷载作用下的振动行为；二是结构的强迫振动，即结构在受到外界荷载作用下的振动行为。
通过对这两方面的研究，可以得到结构的振动特性和响应情况。
总的来说，结构动力学是一门重要的学科，它通过对结构受力、振动和变形的研究，可以帮助工程师设计和分析各种类型的结构体系。
同时，结构动力学也为其他学科的研究提供了基础和支持，促进了工程技术的发展和进步。
结构动力学完整ppt课件
输出 （动力反应）
.
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
本课程主要介绍结构的反应分析
任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找
结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
.
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
11
l3 3 EI
柔度系数
m y (t)3lE3 Iy(t)P(t)
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
.
二、刚度法
P(t)
m
1
m y(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11y(t)
k 1y 1 (t)P (t) m y (t)
EI
m
l/2
l/2
W
m y(t)
1
11
st y(t)
Y(t)y(t)st
加速度为
Y(t) y(t)
y (t) s t 1[P 1 (t) W m y (t)]
st W11
结构动力学
结构动力学
结构动力学
结构动力学是一门应用物理和数学原理研究动态可塑结构行为的
工程学科。
它不仅涉及到结构力学中的结构响应，而且还涉及到动力
学中的系统性研究。
目标是了解和计算结构受外力作用时的运动行为，预测出结构所受冲击能量，强度和变形情况。
例如，对于一艘平衡船，结构动力学可以帮助我们发现哪些部件会受到激烈的冲击力，以及船
体什么时候会趋向平衡。
为了理解结构动力学，我们需要了解力学。
力学是一种使用物理
学原理的工程学科，主要关注作用在物体上的各种力和它们之间的作用。
例如，重力和导热力是两个典型的力，它们混斗在一起影响物体
的运动。
结构动力学是将力学概念应用于特定可塑结构上，用来分析结构
随时间改变的行为特性。
其中，最常见的类型包括结构稳定性和可塑性，它们可以被应用于从最小的桥梁到最大的建筑结构。
在更深层次上，结构动力学考察不同刚度结构之间的行为，并且考察这些行为如
何通过各种力学和外力来影响复杂系统。
此外，结构动力学还可以用来检查建筑结构的设计是否正确。
它
可以检查系统中机械强度，稳定性和结构完整性，以免因结构设计不
当而出现过分的变形和破坏。
总之，结构动力学是一门复杂的工程学科，研究的内容涉及到力学，动力学，计算机技术和材料科学等多个领域。
它被广泛用于建筑，船舶，飞机，汽车，桥梁，机器人和其他复杂结构的设计与研究中。
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学
1. 振动方程及其通解 单自由度粘滞体系强迫运动微分方程为：
m y c y k y P(t )
可变形为：
(2 9)
(2 10)
P(t ) y 2 y y m
2
它是一个二阶常系数非奇次微分方程，通解为相应的 奇次微分方程通解与其一特解之和。
4.0
ξ= 0.1
3.0
2.0
ξ= 0.2 ξ= 0.3 ξ= 0.5 ξ= 1.0
1.0
0
1.0
2.0
η 3.0
•
βmax并不发生在共振θ/ω=η =1时， 而发生在 1 2 2 但因ξ一般很小，
max
1 1 2 2 2 1
1
(2 21)
（4）稳态振动——相位
简谐荷载 P(t)=F sinθt 作用的持时无限，式（2-15）右端按 固有频率振动的第一项很快衰减——瞬态振动； t→∞时，体系 反应仅存按激励率振动的第二项——稳态振动。
（2）特解 对于任意初始条件：
y(0) y0 , y(0) 0
(2 16a) (2 16b)
利用式（2-15）及其对时间的一阶导数方程，可解得：
注：式（2-26）也直接从无阻尼体系的振动反应求得。
静止初始条件下共振荷载反应（频率比等于1）
3. 简谐荷载 P(t )=F cosθt 的稳态反应
类同于简谐荷载 F sinθt 作用下的情形，仍设特解为：
y特 Asin t B cos t
(2 27)
将式（2-27）代入方程（2-10）并注意到 P(t)=F cosθt ，得
(2 24)
R(t )
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
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结构动力学第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
性质：有势力沿任何封闭路线所做的功为零∮Fdu=W=05．实位移、可能位移、虚位移概念及关系：可能位移：满足所有约束条件方程的位移称为体系的可能位移；实位移：位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程和初始条件；虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能产生的任意组微小位移。
关系：实位移是可能位移的一员。
虚位移与可能位移的区别在于虚位移是约束冻结后许可产生的微小位移。
当对于约束方程中不显含实践的稳定约束体系中虚位移与可能位移相同时，实位移必与某一虚位移重合。
6．广义力的性质：Q j =∑(F ix ðx i ðq j +F iy ðy i ðq j +F iz ðzi ðq j )N i=1 标量，广义力与广义坐标的乘积具有功的量纲7．惯性力、弹性恢复力、阻尼力： f I =mu ；f s =ku ；f D =cu产生阻尼力的机制：①固体材料变形时的内部摩擦或材料快速应变引起的热耗散②结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦③结构周围外部介质引起的阻尼8．运动方程的建立（①D’Alembert 原理②虚位移原理③Hamilton 原理④Lagrange 方程）定义①在体系运动的任意瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态②在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
用微分形式表述为：1()0N i i i i F mu u δ=-=∑ ③在任意时间区段[t 1, t 2]内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。
用积分形式表述为：2211()0t t nc t t T V dt W dt δδ-+=⎰⎰④优缺点：①D’Alembert 原理是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。
原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题②虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton 第二定律，或D’Alembert 原理中需要采用的矢量运算更简便，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。
③Hamilton 原理是一种建立运动方程的能量方法（积分形式的变分原理），如果不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的标量运算，它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。
④Lagrange 方程得到更多的应用，它和Hamilton 原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。
① 矢量方法，直观，建立了动平衡概念②半矢量法，可处理复杂分布质量和弹性问题③标量方法， 表达简洁④标量方法，运用面广几何刚度：有轴向力引起的刚度变化称为几何刚度 轴向压力是广义刚度减小，轴向拉力使其增大。
当几何刚度等于零时，体系进入临界状态。
k ij 物理意义：j 坐标单位位移所引起的对于i 坐标的力，结构力学方法求解9．如何考虑重力的影响，使用叠加原理的前提如果重力在动荷载作用前被弹簧预先平衡，则在研究结构的动力反应时可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接解出体系的动力解。
若未被预先平衡，则需考虑重力的影响。
应用叠加原理将动静问题分开计算，将结果相加即得到结构的真实反应，这样做的前提条件是结构是线弹性的且处于小变形范围之内。
10．地基运动的影响，如何考虑：地震反应中，地震的动力反应是由地震引起的结构的基础运动引起的。
结构由地基运动引起的反应问题化为在等效荷载作用下基底固定结构的动力反应问题mu +cu +ku =P eff (t ) P eff (t )=−mu g第三章 单自由度体系1．无阻尼自由振动：u(t)=u(0)cosωn t+u(0)ωnsinωn t自振圆频率ωn：rad/s，ωn=√km结构的固有特性自振周期T n：结构运动完成一次循环所需要的时间，s，T n=2πωn自振频率f n：单位时间内循环振动的次数，Hz2．有阻尼自由振动：临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。
结构阻尼小于临界阻尼才会出现自由振动阻尼系数c和临界阻尼c cr的比值ξ=c/c cr=c/2mωn<1为低阻尼，=1为临界阻尼，>1为过阻尼低阻尼体系：由于阻尼的存在使结构的自由振动的自振频率变小，自振周期变长T D=N√1−ξ阻尼比的测量：1）对数衰减率法：采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易。
（2）共振放大法：采用强迫振动试验。
（3）半功率法：采用强迫振动试验，此法对多自由度体系也适用。
对数衰减率ξ≈12πj In u iu i+j振动峰值衰减至50%所需的次数ξ≈0.11J50%3．单自由度体系对简谐荷载的反应：u(t)=u(0)cosωn t+[u(0)ωn −P0kω−ωn1−(ω/ωn)]sinωn t+P0k11−(ω/ωn)sinωt频率比：外荷载的激振频率与结构的自振频率之比ω/ωn稳态反应：直接由动荷载引起的，其振动频率与外荷载频率ω相等，反应输入荷载性质，式子第三项瞬态反应：相当于自由振动，振动的频率等于体系的自振频率ωn，反应动力特性，式子前两项共振现象：ω=ωn动力放大系数趋于无穷，此时的动力反应趋于无穷大体系发生共振时，共振反应是逐渐增大的过程，不是瞬间趋于无穷大的共振现象和有无阻尼力的影响：共振反应时程不同，无阻尼体系共振反应趋于无穷大反应包络线是直线，有阻尼体系共振是有限大，反应包络线是曲线。
动力放大系数：稳态反应的振幅u0与静位移的比值u st R d=√[1−(ω/ωn)2]2+[2ξ(ω/ωn)2]在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应（位移）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。
ω/ωn→0 ∅→0，ω=ωn∅→90ω/ωn→∞ ∅→1804．体系的阻尼和振动过程中的能量：无阻尼体系中的能量：自由振动过程中的总能量守恒，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。
有阻尼体系中的能量：自由振动过程中存在能量耗散，阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量5．单自由度体系对周期荷载的反应：利用Fourier级数展开法。
将任意的周期荷载p(t)展开成级数，把任意周期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解，再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。
限制条件：线弹性、可使用叠加原理6．单自由度体系对任意荷载的反应：两种动力反应的分析方法：时域分析—时间域（时间为自变量）Duhamal积分频域分析—频率域（频率为自变量）Fourier变换法Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。
适用范围：线弹性，因为使用了叠加原理Duhamel积分的物理意义：给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。
7．地震反应谱法的基本原理是：对于一个给定的地震动ug’’，结构的地震反应仅与结构的阻尼比和自振频率有关。
给出了在一地震作用下不同周期结构地震反应的最大值。
每一个反应谱图形针对的是有一个固定阻尼比的体系，多个具有不同阻尼比的这类图形联合起来就能覆盖实际结构中遇到的阻尼值范围，为结构设计提供依据。
8．什么是振动？什么是波动？两者有何区别联系？振动即是物体在平衡位置附近发生往复运动；振动以波的形式传递开去，称为波动。
波动是振动传播的介质，振动是波动传播的结果。