随机过程导论Chapter 1
E[SN] = E[X1]E[N] Var[SN] = Var[X1]E[N] + E2[X1]Var[N]
15
1.1 Basic concepts
11. Jointly distributed random variable For any two random variables X and Y, the joint cumulative probability distribution function of X and Y is defined by F(a,b)=P{X≤a, Y≤b}, -∞<a and b<∞
∫ ∑
i
xn
xin p(x) f (x)dx
if X is discrete if X is continuous
12
1.1 Basic concepts
7. Variance of a random variable Var(X)= E [(X-E[X])2] = E [X2]-(E[X])2
∑ E[X]= xi p(xi ) i
b) If X is continuous random variable having a probability density function f(x), then the expected value of X is defined by
∞
∫ E[X] = xf (x) dx −∞
14
1.1 Basic concepts
pound random variable
Let {Xi} be a sequence of i.i.d. (independently and identically distributed), nonnegative, and integer-valued random variables. Let N be a nonnegative and integer-valued random variable. The compound random variable SN is defined as the sum of X1,…XN, this random variable is often called the random sum.
For each event E of the sample space S, we assume that
a number P(E) is defined and satisfied that following three conditions: (i) 0 ≤ P(E) ≤ 1, (ii) P(S) =1, (iii) For any sequence of events E1, E2 …
P ( EF )
P ( E | F )=
P(F )
or P(EF)= P(F) P (E | F)
If E and F are independent, then
P(EF)=P(E)P(F) P( E | F )=P(E)
6
1.1 Basic concepts
4. Random variable The real-valued functions defined on the sample space are known as random variables.
If X and Y are independent, then Cov( X,Y )=0
17
1.1 Basic concepts
Law of total probability:
① Discrete case let X1,…, Xk be mutually exclusive and collectively exhaustive events. For any event A, we have
10
1.1 Basic concepts
c) Expectation of g(X) z If X is a discrete random variable with probability mass
function p(x), then for any real-valued function g(X),
P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(EF) 5
1.1 Basic concepts
3. Conditional probability
Conditional probability is denoted by P(E|F).
It states that E occurs given that F has occurred.
An extremely important property of conditional expectation is
that for all random:
∑ E[ X Y = y]P{Y = y} (discrete)
E [ X ] = E[ E[X|Y] ]=
y ∞
∫−∞ E[ X Y = y] fY ( y)dy (continuous)
13
1.1 Basic concepts
9. Conditional variance of a random variable Var( X Y = y) = E[( X − E[ X Y = y])2 Y = y] = E[ X 2 Y = y] − (E[ X Y = y])2
Computing expectations by conditioning:
16
1.1 Basic concepts
z Expectation of random variables For both discrete and continuous random variables E[X+Y ]=E[X ]+E[Y ]
z Covariance of random variables Cov( X,Y )=E[XY ]-E[X ]E[Y ]
z For a continuous random variable X, the distribution
function F can be expressed as
∫ F(xi)
=
xi −∞
f
(x)dx
where f(x) is called probability density function of X
Chapter 1 Introduction of Probability Theory
1.1 Basic Concepts 1.2 Generating function for discrete random variables 1.3 Laplace transforms for continuous random variables 1.4 Some mathematical background 1.5 Classification of stochastic processes
7
1.1 Basic concepts
5. (cumulative) Distribution function Distribution function F(⋅) of the random variable X is defined for any real number b by
F(b)=P{X ≤ b}
② E∩F: is referred to as the intersection of E and F.
The event EF will occur only if both E and F occur.
If EF=Φ, then E and F are said to be mutually exclusive
z X and Y are both discrete random variables:
F(a,b) = ∑ ∑ p(x, y) x<a y<b
z X and Y are both continuous random variables:
F{X ∈ A,Y ∈ B}= ∫B ∫A f (x, y)dxdy
that are mutually exclusive, i.e., events for which
En Em = Φ when n≠m, then
U ∑ P⎜⎜⎝⎛
∞ n=1
E
n
⎟⎟⎠⎞
=
∞ n=1
P(En )
We refer to P(E) as the probability of the event E.
Discrete random variable: take on either a finite or a countable number of possible values. Continuous random variable: take on a continuum of possible values
8
1.1 Basic concepts
z For a discrete random variable X, the distribution
function F can be expressed as
∑ F(xi)
=
all
p(x)
x≤ xi
where p(xi) is the probability mass function of X, p(xi)=P{X=xi}
③ E: is referred to as the complement of E The event E will occur only if E does not occur.
4
1.1 Basic concepts
2. Probability defined on events
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1.1 Basic concepts
11. Jointly distributed random variable For any two random variables X and Y, the joint cumulative probability distribution function of X and Y is defined by F(a,b)=P{X≤a, Y≤b}, -∞<a and b<∞
∫ ∑
i
xn
xin p(x) f (x)dx
if X is discrete if X is continuous
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1.1 Basic concepts
7. Variance of a random variable Var(X)= E [(X-E[X])2] = E [X2]-(E[X])2
∑ E[X]= xi p(xi ) i
b) If X is continuous random variable having a probability density function f(x), then the expected value of X is defined by
∞
∫ E[X] = xf (x) dx −∞
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1.1 Basic concepts
pound random variable
Let {Xi} be a sequence of i.i.d. (independently and identically distributed), nonnegative, and integer-valued random variables. Let N be a nonnegative and integer-valued random variable. The compound random variable SN is defined as the sum of X1,…XN, this random variable is often called the random sum.
For each event E of the sample space S, we assume that
a number P(E) is defined and satisfied that following three conditions: (i) 0 ≤ P(E) ≤ 1, (ii) P(S) =1, (iii) For any sequence of events E1, E2 …
P ( EF )
P ( E | F )=
P(F )
or P(EF)= P(F) P (E | F)
If E and F are independent, then
P(EF)=P(E)P(F) P( E | F )=P(E)
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1.1 Basic concepts
4. Random variable The real-valued functions defined on the sample space are known as random variables.
If X and Y are independent, then Cov( X,Y )=0
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1.1 Basic concepts
Law of total probability:
① Discrete case let X1,…, Xk be mutually exclusive and collectively exhaustive events. For any event A, we have
10
1.1 Basic concepts
c) Expectation of g(X) z If X is a discrete random variable with probability mass
function p(x), then for any real-valued function g(X),
P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(EF) 5
1.1 Basic concepts
3. Conditional probability
Conditional probability is denoted by P(E|F).
It states that E occurs given that F has occurred.
An extremely important property of conditional expectation is
that for all random:
∑ E[ X Y = y]P{Y = y} (discrete)
E [ X ] = E[ E[X|Y] ]=
y ∞
∫−∞ E[ X Y = y] fY ( y)dy (continuous)
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1.1 Basic concepts
9. Conditional variance of a random variable Var( X Y = y) = E[( X − E[ X Y = y])2 Y = y] = E[ X 2 Y = y] − (E[ X Y = y])2
Computing expectations by conditioning:
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1.1 Basic concepts
z Expectation of random variables For both discrete and continuous random variables E[X+Y ]=E[X ]+E[Y ]
z Covariance of random variables Cov( X,Y )=E[XY ]-E[X ]E[Y ]
z For a continuous random variable X, the distribution
function F can be expressed as
∫ F(xi)
=
xi −∞
f
(x)dx
where f(x) is called probability density function of X
Chapter 1 Introduction of Probability Theory
1.1 Basic Concepts 1.2 Generating function for discrete random variables 1.3 Laplace transforms for continuous random variables 1.4 Some mathematical background 1.5 Classification of stochastic processes
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1.1 Basic concepts
5. (cumulative) Distribution function Distribution function F(⋅) of the random variable X is defined for any real number b by
F(b)=P{X ≤ b}
② E∩F: is referred to as the intersection of E and F.
The event EF will occur only if both E and F occur.
If EF=Φ, then E and F are said to be mutually exclusive
z X and Y are both discrete random variables:
F(a,b) = ∑ ∑ p(x, y) x<a y<b
z X and Y are both continuous random variables:
F{X ∈ A,Y ∈ B}= ∫B ∫A f (x, y)dxdy
that are mutually exclusive, i.e., events for which
En Em = Φ when n≠m, then
U ∑ P⎜⎜⎝⎛
∞ n=1
E
n
⎟⎟⎠⎞
=
∞ n=1
P(En )
We refer to P(E) as the probability of the event E.
Discrete random variable: take on either a finite or a countable number of possible values. Continuous random variable: take on a continuum of possible values
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1.1 Basic concepts
z For a discrete random variable X, the distribution
function F can be expressed as
∑ F(xi)
=
all
p(x)
x≤ xi
where p(xi) is the probability mass function of X, p(xi)=P{X=xi}
③ E: is referred to as the complement of E The event E will occur only if E does not occur.
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1.1 Basic concepts
2. Probability defined on events
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1第一章 随机过程基础
3、 基本事件与样本空间 在随机试验 S E中最简单的随机事件称为基本事件，所 有基本事件的集合称为基本事件空间。例如对一个六面 体骰子，出现1,2,…, 6 点是基本事件，而所有的基本事件 1,2,…, 6 的集合称为基本事件空间，而“出现奇数点”是随机 事件，但不是基本事件。可见基本事件只是事件的一种。 例如A:掷骰子试验中，事件：“出现点数不大于3”是由 三个基本事件“出现点数1”、“出现点数2”、“出现点数3 共同组成的，是事件空间 A 的一个事件，即 A 1,2,3 ， SE。
1.1 概率论中的几个概念与公式
2、 随机试验、复合随机试验与样本空间 通常把对自然现象进行的一次观察或进行的一次试验， 统称为一个试验，而若这个试验满足下列条件： （1）在相同条件下可重复进行； （2）每次试验结果有多种可能，且所有可能的结果能 事先明确； （3）每次试验之前不能确定会出现哪一个结果。 就称其为随机试验。显然，随机试验表示的是在一组 可以重复实现的条件下观察某种现象能否出现的行动。 如投硬币，掷骰子等等。当然，随机试验可以 根据上述条件进行设计。
P A B P AB P B
（1-7）
式中 解释为
P AB
为事件A与B的联合概率。式（1-7）的频率的
nAB nAB n nB nB n
P A B
,
nAB P AB n
且
nAB nB n n
，故有
P AB P B
。
式（1-7）的含义是事件A与事件B有关，若 A B ，即 事件A与事件B互不相交，则 P A B 0 ；而条件一词的含 P 义是 P B 0，否则若 B ， B 0，则式（1-7）没有意义。 2、乘法公式 设有n个事件 A1 ,…, An ，则 A A …A 同时发生也是一个 事件，其概率记为 P A A …A ，称为事件 A1 , A2 ,…, An 的联合 概率。则 P A1 A2 …An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 …P An A1…An 1 （1-8）
第1章1,随机过程-绪论
了20世纪人们开始研究随机过程，1905年爱因斯 到了20世纪人们开始研究随机过程，1905年 20世纪人们开始研究随机过程 和斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动 布朗运动。 坦和斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。 1907年马尔可夫在研究随机变量序列时 在研究随机变量序列时， ⊕1907年马尔可夫在研究随机变量序列时，提出了现 今称之为马尔可夫链（马尔可夫过程）的概念； 今称之为马尔可夫链（马尔可夫过程）的概念； 1934辛钦研究了平稳过程的相关理论。 辛钦研究了平稳过程的相关理论 ⊕1934辛钦研究了平稳过程的相关理论。 年开始， ⊕从1938年开始，莱维系统深入地研究了布朗运动， 年开始 莱维系统深入地研究了布朗运动， 建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《 建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过 程与布朗运动》 程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本 至今仍是随机过程理论的一本 经典著作。 经典著作。 ⊕由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻 辑基础的建立，概率论从20世纪 世纪30年代以来得到了迅 辑基础的建立，概率论从 世纪 年代以来得到了迅 速的发展。目前其主要研究内容大致可分为极限理论， 速的发展。目前其主要研究内容大致可分为极限理论， 独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列， 独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列， 鞅和随机微分方程，点过程等。 鞅和随机微分方程，点过程等。
绪 论
《随机过程》基础 随机过程》
高等数学 线性代数 概率论
绪 论
学习《随机过程》 学习《随机过程》意义
在科学研究中， 在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个 现象的不同量之间的关系； 现象的不同量之间的关系； 随机过程理论在自然科学和工程技术研究的许多领域 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、机 自动化、地震、海洋、医学、气象、 电、自动化、地震、海洋、医学、气象、航空航天等 学科中均有着广泛的应用。 学科中均有着广泛的应用。 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 为从事科学研究打下坚实的基础； 为从事科学研究打下坚实的基础；
绪 论
《随机过程》基础 随机过程》
高等数学 线性代数 概率论
绪 论
学习《随机过程》 学习《随机过程》意义
在科学研究中， 在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个 现象的不同量之间的关系； 现象的不同量之间的关系； 随机过程理论在自然科学和工程技术研究的许多领域 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、机 自动化、地震、海洋、医学、气象、 电、自动化、地震、海洋、医学、气象、航空航天等 学科中均有着广泛的应用。 学科中均有着广泛的应用。 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 为从事科学研究打下坚实的基础； 为从事科学研究打下坚实的基础；
1.随机过程概论
{ X (t ) , t (,) } 是一随机过程 . 状态空间 I (,) . 样本函数空间 X { cos πt , t } .
H 发生
x( t )
x( t ) t
x( t ,T ) x( t )
1 1 1
T 发生
o
t t x( t , H )
1
2
x( t , T ) x( t ) x( t , H )
Ft
1 , t 2 ,, t n
( x1 , x2 ,, xn ) Ft ( xk ) , t1 , t 2 ,, t n T , n 1 ,
k 1
k
n
则称 X (t ) 具有独立性 , 或称 X (t ) 是独立过程 .
随机过程的独立性是指其在不同的时刻互不影响 , 一维分布
t1 , t 2 T .
当 A～N (0,1), B～U (0,2) 且 A, B 相互独立时 ,
EA 0,
EA2 DA ( EA)2 1,
EB 1,
EB 2 DB ( EB)2 4 3 ,
E ( AB ) EA EB 0,
所以可得
m X ( t ) t EA EB 1 , RX (t1 , t 2 ) t1t 2 EA2 ( t1 t 2 ) E ( AB) EB 2 t1t 2 4 3 , t1 , t 2 T .
o
称为统计平均或集平均 . 均值函数 m X ( t ) 表示了随机过程 X ( t ) 在各个时刻的摆动中心 .
X ( t ) 的二阶原点矩和二阶中 心矩分别记为
2 ΨX ( t ) EX 2 ( t ) 2 2 2 X ( t ) E[ X ( t ) m X ( t )]2 Ψ X (t ) m X (t )
随机过程 第一章1
定义1.1设样本空间 W {e} 的某些子集构成 的集合记为F，如果F满足下列性质：
(1).W F ;
(2).若A F，则A W A F
(3).若Ak F , k 1,2,, 则 Ak F .
则称F为
(W , F )
代数（Bord事件域），
称为可测空间
n i
0 F x1 , x2 ,, xn 1
三、边缘分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无 穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这 种特殊性质，我们称其为边缘分布。
对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为： F ( x, y) 则： FX ( x) P( X x) P( X x, Y ) F ( x, )
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x) P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。
若X，Y为相互独立随机变量，则有
F ( x, y) FX ( x) FY ( y) f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)
即概率具有单调性；
(6) 设An F , n 1,2, , 则 P ( Ai ) 若 i 1 P( An ) P( A ) 若 i i 1 A1 A2
lim
n
连续性定理
A1 A2
当An An1 , n 1
x
离散型随机变量的概率分布用分布列描述
0－1分布
P( X 1) p, P( X 0) q
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2n
二项分布
随机过程讲义 第一章
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
概率统计及随机过程课件 第一章第一节
本课程学习, 只学习基本的问题,基本的思想方法, 基本的知识,基本的技巧.
基本要求：
(1)要求我每次上课至少提前五分钟到达教室,准备好上课;
(2)要求同学们按时来上课、听课, 遵守课堂纪律, 保持安静,不影响大家听讲;
(3)课前适当预习,上课时认真听课,课后及时复习,必要 时,要经常复习用到的高等数学有关知识原理;
变量非线性生灭过程； 8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、
机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购
物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型 来描述，其涉及到 的知识就是 排队论.
目前，概率统计理论 进入其他科学领域的 趋势还在不断发展. 在社会科学领域 ，特别是 经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问 题，都大量采用 概率统计方法. 正如 拉普拉斯 所说 : “ 生活中最重要的问题 ，其中绝大多数 在实质上只是概率的问题.”
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
投一枚硬币，观察正面反面出现的情况
投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 情况
投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 次数
投一颗骰子，观察向上一面出现的点数 有限样本空间
观察电话总机每天9:00~10:00接到的电话 次数
观察某地区每天的最高温度与最低温度 无限样本空间
1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预 测都与 概率论 紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在 临床中应用，均需要用到 假设检验；
3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和 数据处理；
4. 电子系统的设计离不开 可靠性估计; 5. 探讨太阳黑子的规律时，时间序列分析 方法非常有用; 6. 研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫 过程 来描述; 7. 在生物学中研究群体的增长问题时 提出 了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多
随机过程第一章课件
5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例二】参数连续离散型随机过程：脉冲数字通信系统。 该系统传送的信 号是脉宽为 T0 的脉冲信号，每隔 T0 送出一个脉冲。脉冲幅度X t 是一个随机变量，它可能取四个值 2,1,1,2 ，且取这四个值的 概率是相等的，即
PX t 2 PX t 1 PX t 1 PX t 2 1 / 4
【分析】设 V 0,1,
1 2 , 得到几个样本函数，可以画出它们的波形（略） 4 3
5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例三分析续】正弦波随机过程：
X （2）当 t 0 时， 0 V ，故 X 0 的概率密度就是 V 的概率密度，即
otherwise 时， 1 当 t1 X t1 X 1 V cos V ，故 4 4 2 1 2 0 x f X1 x 2 0 otherwise 3 3 1 V ，故 当 t2 时，X t2 X 2 V cos 4 4 2 1 2 x 0 f X 2 x 2 0 otherwise
P X i 1 p, P X i 1 1 p 设质点在 t n 时偏离原点的距离为 Yn ，Yn 也是一随机变量，
于是
Yn X i ,
i 1
n
Y0 0
又设质点每次游动与该质点所处的位置无关，当 i k 时 X i 与 X k 是相互统计独立的随机变量。
则称
X t, , t T ,
为随机过程，简记为
X t , t T 。
一个随机过程 X t , t T 实际上是两个变量的二元函 数，其中 一个变量为样本空间 中 的 ，另一个为参 T 数集 t 中的 。
随机过程第一章习题答案
似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
《随机过程-孙应飞》1第一章随机向量与多元正态分布
往在使用某种统计方法之前，将每个指标“标准化”， 即做出如下变换：
X *Biblioteka jX j EX j DX j
, j 1, 2, ,X* p)
,p
* X * ( X 1* , X 2 ,
于是
1 EX 0, DX corr ( X ) R X * X * n 1
* *
欧氏距离的优点是能反映空间两个点的实际距离； 缺点是每个坐标对欧氏距离的贡献是对等的，即欧 氏距离大小与坐标的量刚或单位有关。 马氏距离的优点是它是统计距离，大小与坐标的量 刚或单位无关，由标准化数据和中心化数据得到的 马氏距离相同，还可排除变量间的相互干扰。缺点 是夸大了变化微小的变量的作用。
设随机向量X= （X1，X2，┅，Xｐ）′的协方差存在， 且每个分量的方差都大于0，则X的相关阵定义为:
R Corr ( X i , X j ) ri j ri j cov( X i , X j ) DX i DX j
p p
, i, j 1, 2,
,p
称rij也称为Xi与Yj之间的（线性）相关系数。 对于两组不同的随机向量X与Y，它们之间的相关问题 将在典型相关分析的章节讨论。 在数据处理时，为了克服指标量刚带来的不利影响，往
x
f (u )du,
xRp
一般: P( X 1 x1 , X 2 x2 , , X k xk ) F ( x1, x2 , , xk , , , ) 连续 : f1 ( x1 ) f1 ( x1 , x2 , , xk ) f ( x1, x2 ,
称cov(X, Y)=0，称为X与Y是不相关的。 当A，B为常数矩阵时，有如下性质： 1）D（AX）=AD（X）A′=AΣA′ 2）cov（AX, BX）=Acov（X, Y）B′ 3）令μ=EX，Σ=DX，则E(X′AX)=tr(AΣ)+μ′Aμ 注：Σ是一个对称阵，并总是非负定的，多为正定的。
随机过程-第一章
• 或叙述为 若对每一个时刻t∈T，都有定义在E上 的随机变量X(t，e)，则称一族随机变量
• {X(t， e)，t∈T ，e∈Ω} 为一随机过程。
• 其实际意义就是： 若一物理过程，当时间t（或广义时间）固定，
过程所处的状态是随机的（不确定的），则此
过程就为随机过程。对该过程的一次记录（或
一个观察）就是一个现实，或称作随机过程的
一个样本函数或样本曲线。 • 固定t0，X（t0）是随机变量。 • 固定e0，X（t，e0）是一个现实，是t的函数，记 为 x(t)。
例4：具有随机初位相的简谐波。 X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞， 其中a与ω0是正常数， Φ是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。 一方面，随机过程X（t）是一族随机变量。 对每个固定t0， X（t0）= acos(ω0t+Φ)是个 随机变量。对（-∞，+∞）上有多少个t， 就对应多少个随机变量。∴对（-∞，+∞） 所有t，X（t）看作一族随机变量。 另一方面，随机过程是一族样本函数（曲线） 对样本空间Ω中每个基本事件e对应一个样本 函数，本例，Φ在Ω=[0，2π] 上任给定一个 相 位φi=e，就对应一个样本曲线，如：书P 4。
例6： 利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程。
X（t） { sin π t，出现正面 ，记为记为 ω 0 e ，出现反面, 记 ω 1
t
(t R)
写出X（t）的所有样本函数（现实）
二、随机过程的的分布（有限维分布族） 1、对任意固定的t0∈T，随机过程X(t)的状态 X(t0)是一维随机变量， 其分布函数是P{X(t0)≤x} F(x，t0) 由于t的任意性，称F(x; t) = P{X(t) ≤x } 为随机过程X(t)的一维分布函数。 F(x，t)是与t有关的一维分布函数，在t，x平 面上是X(t)落在区间(X(t) ≤x)上的概率。
• {X(t， e)，t∈T ，e∈Ω} 为一随机过程。
• 其实际意义就是： 若一物理过程，当时间t（或广义时间）固定，
过程所处的状态是随机的（不确定的），则此
过程就为随机过程。对该过程的一次记录（或
一个观察）就是一个现实，或称作随机过程的
一个样本函数或样本曲线。 • 固定t0，X（t0）是随机变量。 • 固定e0，X（t，e0）是一个现实，是t的函数，记 为 x(t)。
例4：具有随机初位相的简谐波。 X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞， 其中a与ω0是正常数， Φ是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。 一方面，随机过程X（t）是一族随机变量。 对每个固定t0， X（t0）= acos(ω0t+Φ)是个 随机变量。对（-∞，+∞）上有多少个t， 就对应多少个随机变量。∴对（-∞，+∞） 所有t，X（t）看作一族随机变量。 另一方面，随机过程是一族样本函数（曲线） 对样本空间Ω中每个基本事件e对应一个样本 函数，本例，Φ在Ω=[0，2π] 上任给定一个 相 位φi=e，就对应一个样本曲线，如：书P 4。
例6： 利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程。
X（t） { sin π t，出现正面 ，记为记为 ω 0 e ，出现反面, 记 ω 1
t
(t R)
写出X（t）的所有样本函数（现实）
二、随机过程的的分布（有限维分布族） 1、对任意固定的t0∈T，随机过程X(t)的状态 X(t0)是一维随机变量， 其分布函数是P{X(t0)≤x} F(x，t0) 由于t的任意性，称F(x; t) = P{X(t) ≤x } 为随机过程X(t)的一维分布函数。 F(x，t)是与t有关的一维分布函数，在t，x平 面上是X(t)落在区间(X(t) ≤x)上的概率。