08级数学专业概率统计期末试题(A)

辽宁工程技术大学考试题签 2009 － 2010 学年第 1 学期 课程名称 概率论与数理统计 试卷类型 A 卷，试题签页数 5 ，专业负责人签字：
提示：解题中可能会用到的数值
8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ，9986.0)3(=Φ,975.0)96.1(=Φ.
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中；本大题共10小题，每小题2分，总计20分）
1、概率)(A P ，)(B A P +，)(AB P ，)()(B P A P +的大小顺序是( ).
(A) )(A P ≤)(AB P ≤)(B A P +≤)()(B P A P +
(B) )(B A P +≤)(A P ≤)()(B P A P +≤)(AB P
(C) )(AB P ≤)(A P ≤)(B A P +≤)()(B P A P +
(D) )()(B P A P +≤)(B A P +≤)(A P ≤)(AB P
2、设随机变量X 的分布函数)(x F 连续且严格单调递增，令)(X F Y =,则随机变量Y 的概率分布为( ).
(A) )1 , 0(U (B) )1 , 0(N (C) )1 , 0(C (D) )1 , 0(LN
3、设),,,,(~),(22ρσσμμY X Y X N Y X ,则下列结论错误的是（ ）.
(A) ),(~2X
X N X σμ (B) )()1( , )(~|2222ρσμσσρμ--+=Y X X Y Y x N x X Y (C) Y X ,独立0=⇔ρ (D) ),(~22Y X Y X N Y X σσμμ+++
4、若事件A 、B 满足0)(=AB P ，则必有( ).
(A) A 与B 相互独立 (B) 0)(=A P 或0)(=B P
(C) A 与B 互为逆事件 (D) 1)(=B A P
5、设随机变量X ～) , 0(2σN ,)1( , )1(≤=-≥=X P b X P a , 则( ).
(A) b a > (B) b a = (C) b a < (D) 无法比较b a ,的大小
6、设随机变量X 的分布函数为)(x F ，则该分布的α分位点αx 是指( ).
(A))(x F x =α (B))(1x F x -=α (C))(1αα-=F x (D))1(1αα-=-F x
7、若EY E ΧΧY E ⋅=)(，则下列结论错误的是( ).
(A) 0),cov(=Y Χ (B) Y ΧY Χvar var )var(+=+
(C) Y Χ,独立 (D) Y Χ,不相关
8、 设21ˆ,ˆθθ是θ的两个估计量，则与“1ˆθ较2
ˆθ有效”等价的表述是( ). (A) 21ˆˆθθE E ≤且21ˆvar ˆvar θθ≤ (B) 2
1ˆˆθθE E =且21ˆˆθθMSE MSE ≤ (C) 21ˆˆθθE E =且2
1ˆvar ˆvar θθ≤ (D) θθθ==21ˆˆE E 且21ˆˆθθMSE MSE ≤ 9、设),1(~p b X ,p 未知. 对X 进行的5次观测结果是0,1,0,1,1， 则分布参数p 的矩估计为( ).
(A) 2/5 (B) 3/5 (C) 2/3 (D) 1
10、设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，令∑==n
i i X n X 1
1，则对任意0>ε下列结论不正确的是（ ）. (A) ()0 lim , 0=≥->∀∞→εμεX P n (B) ()2 , 0⎪⎭
⎫ ⎝⎛<≥->∀εσεμεX P (C) 2221/ lim , x n e x n X P R x -∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∈∀πσμ (D) 22)()( , c X E X E R c -<-∈∀μ
二、计算题（要求计算过程步骤完整，公式明确，简繁适当；本大题共5小题，11、12、13题各6分，14题12分，15题10分，总计40分）
11、设随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=
. 6 , 1; 63 , 2/1; 31 , 3/1; 10 , 4/1 ; 0 , 0)(x x x x x x F
求X 的分布律，并求)5.1(>X P .
12、设随机变量X 的密度函数为
⎩⎨⎧><≤≤+=. 2/1 0 , 0
; 2/10 , )(2x x x x cx x p 或 求常数c ,并写出X 的分布函数.
13、设随机向量) ,(Y X 的密度函数为
⎩⎨⎧<<<-=. , 0
; 10 , )1(6),( 其它　y x y y x p 求)1( <+Y X P .
14、设随机向量) ,(Y X 在矩形 } 10 , 20 |) ,{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，令
⎩⎨⎧≤>=. ,0 ; , 1 Y X Y X U ⎩
⎨⎧≤>=. 2 ,0 ; 2 , 1 Y X Y X V 求),cov(
V U . 15、设~ X i.i.d.x x x n ,,,21 ，已知X 的概率密度为
αβαβα--=x e x p 1
) , ; (， , 0 βα>>x .
求MLE MLE βαˆ , ˆ. 三、证明题（要求推理过程层次清晰，理由明确，简繁适当；10分）
16、设),( , ,,,2121σμ~ N i.i.d.X X X X n n + ，记
∑==n i i n X n X 1
1, 212) (11n n i i n X X n S --=∑=， 证明 )1(~11--⋅+=+n t S X X n n T n
n n .
四、应用题（要求写出简要的审题分析，明确所应用的数学知识，推理与计算步骤完整，对计算结果要给出简要的评价或说明；本大题共2小题，每小题15分，总计30分）
17、科研人员对一新研制的机械产品的运行稳定性进行了分析，认为在运行中发生故障的概率25.0=p .为验证这个结论，研究人员对该机械产品进行了1000次独立重复运行测试，在0.95的置信水平下，问：
（1）实测到的故障的频率n f 与概率p 会相差多少？
（2）实测到的故障次数范围约是多少？若认同你的结论会有多大的决策风险？
18、银行对一申请贷款的客户进行信用评级后认为：该客户信用评级为0.8（该客户是一个诚信客户的概率）；同时认为，一个非特定客户信守承诺但因客观因素不能按期还贷的可能性为0.1，有能力还贷而不按期还贷的可能性为0.5.
该客户未能如期偿还其第一次贷款.
当该客户第二次向这家银行申请贷款时，银行调整了该客户的信用评级，认为该客户还有一定的按期还贷能力并放贷给他；但是该客户再次未能如期偿还贷款.问：
（1）当该客户第二次向这家银行申请贷款时，银行将该客户的信用评级调整为多少？
（2）当该客户未能如期偿还第二次贷款时，银行还会批准其以后的贷款申请吗？为什么？
附加题（共2个附加题，每小题10分，总计20分）
1、某企业有两个生产厂生产同一种电子产品. 产品的质量指标为X ，其目标值为μ，公差为ε. 并规定：
若 εμ3
1≤-X ，产品质量等级为优级； 若 εμε3
231≤-<X ，产品质量等级为良级； 若 εμε≤-<X 3
2，产品质量等级为合格；
若 εμ>-X ，产品质量等级为不合格.
两个生产厂的产品在同一地区投放市场，一段时间后发现消费者对甲厂产品的热情远大于乙厂产品. 市场分析人员调查后发现：
)9
, ( 2
εμ~ N X 甲，) , ( εμεμ+-~ U X 乙, 试据此解释消费者对甲厂产品的热情大于乙厂产品的原因.
2、设),( 2σμ~ N X ，2σ已知，0μμ=或1μ，01μμ<， 检验假设
00:μμ=H vs 11:μμ=H . 记∑==n
i i x n x 1
1为样本均值,αu 为标准正态分布的α分位点,检验的拒绝域为 } { 0n u x W σμα+≤=，犯第二类错误的概率)(10 μμσμβα=+>=n u x P . 证明
（1）)(/011 n
u Φσμμβα-+=-. （2）2012211)()(
μμσβα-+=--u u n . （3）当n 固定时，α减少（增加）时β必然增加（减少）？。