高等数学B资料：积分不等式(更新)
定积分的计算和积分不等式 数学
定积分的计算和积分不等式摘要：本文首先介绍了定积分的几种计算方法：牛顿—莱布尼兹公式，分部积分法，换元积分法，积分值的估计。
其次再介绍了积分不等式的几种证明：用微分学的方法证明积分不等式，利用被积函数的不等式证明积分不等式，在不等式两端取变限积分证明新的不等式，利用积分性质证明不等式，利用积分中值定理证明不等式。
关键字：定积分；牛顿—莱布尼兹公式；分部积分法；换元积分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word:Definite integral; Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言数学分析是数学专业中一门重要的基础课，定积分的计算和积分不等式无疑是数学分析中一个重要的方面。
积分不等式的证明方法
析． 综述 了积分不等式证 明的若干方法 。
ｌ
删
ｌ ≤ 萁 中 ｂ ｅ ＇ （ ｘ ） ｌ
） ＋ 厂 （ 丁 ａ ＋ ｂ） 丁 ａ ＋ ｂ） ＋ 丁 ａ ＋ ｂ）
１ ． 积分不等式的证明方法
１ ． １ 利用积分性质证 明积分不等式
证明 ： 由Ｔ ａ ｙ ｌ 。 ｒ 公式知 。 庄 点 ＝ ｂ 。 处的Ｔ ａ ｙ ｌ 。 ｒ 多项式为
例１ ： 试 证 ： Ｊ ０ ｃ 。 ｓ （ ｓ ｉ ｎ ｔ ） ｄ ｔ Ｉ ＞ Ｊ Ｏ ｓ ｉ ｎ （ ｃ 。 ｓ ｆ ）
所 以 、 ／ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ＋ 手） ＝ ｓ ｉ ｎ ０ ｓ ￡ ＜ 手，
等式右端第一项在［ ａ ， ｂ ］ 上的积分为零 ， 故 由定积分 的性质有 ：
增 函数 。
所 以， ｓ ｉ ｎ ｆ 叫 ≥ｓ ｉ ｎ （ Ｃ Ｏ Ｓ ｔ ） ，
１ ． ５ 利 用二重积分证 明积分不等式 例５ ： 设／ 在区间［ ａ ， ｂ ］ 上连续 ， 且俐 ＞ ０ ， 证明
＼ ｍ ・ ＼ ｂ 而 １ （ ｂ － ｎ ；
即 ｃ Ｊ ≥ ｆ Ｊ ， （ ｏ ， ＂ Ｔ Ｉ １ ．
用。
又 一 ≤ ］ ｉ ｆ ｘ ） － ｆ （ ￣ ） ｌ ＝ Ｉ 』 Ｉ ≤ Ｉ ： Ｌ ｒ （ ｘ ￣ Ｊ
￣ ｌ ｆ （ ， Ｏ Ｉ ≤ ＋ ｌ ｌ ＋ 』 Ｊ Ｉｌ ｄ ｘ ＝ ｝ Ｉ ｌ 击 ｎ — ｎ ｛ ４ ｉ ｆ ｘ ） ＆ ｌ Ｉ ＋ Ｊ Ｉ ４ Ｉ ｆ ＇ （ ｘ ） ｌ ｄ ｘ ．
１ ． ２ 利用积分 中值定理证 明积分不等式
证 明 ： 记 ， － ｆ ・ ｆ 。 ｂ 丽 １ ＝ ｆ ・ ｆ 南 缸』 ，
又 ， － 』 ・ 』 南 ｆ ・ ｂ 而 １ ｄ ｙ ＝
积分不等式证明技巧解析
∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解 列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于 与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2
高等数学课程中的不等式的证明
高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。
下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。
二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。
从而当x>O时，f（x）>f（O）。
由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。
即>0，亦即1+＞。
注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。
函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。
利用微积分证明不等式的方法
利用微积分证明不等式的方法摘要微积分学是高等数学课程中的主要组成部分,本文通过具体实例阐述了应用微积分学理论证明不等式的4种方法。
关键词微积分;不等式;证明1 利用可导函数的单调性证明不等式法1.1依据此类方法根据可导函数的一阶导数的符号与函数单调性关系的定理来解决问题。
定理1,设函数在[a,b]连续,在(a,b)内可导,如果在(a,b)内(或),那么函数在[a,b]上单调增加(或单调减少)。
此定理反映了可导函数一阶导数的符号与函数单调性之间的关系,因此可以利用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性,利用导数来判断函数的增减性往往比用定义判断函数的增减性方便。
1.2证明方法1)构造辅助函数,取定闭区间[a,b];2)研究在[a,b]上的单调性,从而证明不等式。
1.3实例例1 ,证明不等式:。
证明令,易知在上连续,且有,由定理知在上单调增加,所以由单调性定义可知,即。
因此。
2 利用拉格朗日中值定理证明不等式法2.1依据此类方法根据拉格朗日中值定理。
定理2,(拉格朗日中值定理) 若函数满足下列条件:(i)在闭区间[a,b]上连续;(ⅱ)在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点,使得。
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量与可导函数的一阶导数符号之间的关系。
2.2证明方法1)构造辅助函数,并确定施用拉格朗日中值定理的区间[a,b];2)对在[a,b]上施用拉格朗日中值定理;3)利用与a,b的关系,对拉格朗日公式进行加强不等式。
2.3实例例2 ,证明:当。
证明构造函数,因在上连续,(1,1+x)在上可导,f(t)在[1,1+x](x>0)上满足拉格朗日条件,于是存在,使,因,所以,即。
3 用定积分理论来证明不等式法3.1依据此类方法根据积分的性质和变上限的定积分理论。
性质1 ,设与为定义[a,b]在上的两个可积函数,若,则。
定理3,(微积分学基本定理)若函数在[a,b]上连续,则由变动上限积分,定义的函数在[a,b]上可导,而且。
(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名： 学号：数学与信息科学学院 数学与应用数学指导老师： 职称：摘 要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明 （法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰， 则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰， 可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明 注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明 令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+， 或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ， 对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明 首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明 当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立， 若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰， 证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明 因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明 设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′， 当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明 利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥， 由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明 把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明 由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。
不等式的积分法微分法
高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的几种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论.其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来。
[10]王伟珠.导数在不等式证明中的应用[J],2010(6):185-186.
Inequality proof of integral method and differential method
Abstract:This paper describes the concepts of calculus, and the nature of the proof of Theorem Proving Inequalities applications, with examples, discuss the differential method and inequality proven integration method, and the corresponding ideas andtechniques, this paper summarizes the use of calculus proof theory inequality in several ways, for proof of inequality gives a good problem-solving ideas.
参考文献
[1]华东师大学数学系.数学分析[M ].:高等教育,1981: 36- 38.
[2]欧中.允龙.数学分析[M].：复旦大学，1993.
[3]吉米多维奇，数学分析习题集题解[M]，科学技术，2003.
积分不等式的证明方法探究
Ｊ （， Ｊ（ ０ （ ・ 毕 。 （ 。 （ ≥ ） １ 证 ・ ｇ ） ） ，） ） ｇ）
二 、 助 于几 何 直 观 证 明 不 等 式 借 例 ２ 设 尸（） ， 明 不 等 式 ： ＜０ 证
．
分 『，）： ｙ （分 积 变 的 号 析』 （ ｆ ） 积 与 分 量 记 ｆ ， （
Ｄ 。
无关 ）
证 』 ）］』 ）Ｉｙ） ＝ 明［ ｄ ｆ（ ＝ ｘ ｂ
—
ｂ
≤ 』 ）≤ 半 ） ｃ 击 ｄ ＿ ２ ｘ ，
分 析 将 要 证 的不 等 式 变 形 为 ：
≤
ｆ ｘ ）ｙ 其 中 Ｄ ＝［ ，］ ０ ｂ ） （ ｄ （ 。 ｂ Ｘ［ ，］
ｆａ ，１
（ ａｂ 半 ＋ ） ・ ＋ 半 丁ｂ ａｂ 半 ） ａ … ＋ ＋ ２ ．
其 中 ∈［ ， ］ ・ 。 ６ ， 在 与 盟
边不 等 式 ．
Ｊ （， ｘ 。ｘ ） ≥ ） １ 。 Ｔ） Ｊ（ｇｘ ｘ ０ （） ｇ ｌ ｄ ｆ ）（ｄ （ ｇ ・
单调减 ．
ｆ１ ｆ１
是 。 一 删 ≤鲁“ “ 删 ） 鲁ａ ｏａ （ ｕ ， Ｄ 、 ＋一 一 ｕ 一
这 正是 （ ） ３ 左边 的不 等 式 ．
将 （ 式在 『 ｂ１ｔ积 分 ． ３） ａ． 即可 得 ：
≤
Ｆ１ Ｊ （ （ｄ Ｊ（ｇｔｔ，１ （・ （ 。 ｔ ｔｔ 。ｔ ） 一（ｇ１ ） ｇ） ） ｆ）（ｄ ） ） ｆ
』 ｆ）ｄ＝ － （ ． 毕 』 （＋（］ｙ （ ａ ｂ ） 证 ｝ ） ｙｄ ｂ ） ｌ ｘ
ｄ ｘ
—
（０ ６） ＿
二
≤ ）≤ ， ） ｆ ｘ （ （ ｂｄ ６ 半 ， （
关于一个积分不等式的多种证明
Ｋｅ ｒｓ ｉｔｇａ ｅ ｕ ｌ ｙ ｍｅ ｎｖ ｌ ｅｔ ｅ ｒ ｍ ｏ ｔｇ ａｓ ｄ ｆ ｉ ｔｇａｉｎ ｙｓ ｂ ｔ ｕｉｎ ｙｗｏｄ ＿ ｎｅ ｒｌ ｎ ｑ ａｉ ； － ｉ ｔ ａ ａｕ ｈ ｏｅ ｆ ｎ ｅ ｒ ｌ ； ｅ ｎｔ ｉ ｅ ｒｔ ｓ ｕ ｓｉ ｔ ｉ ｉ ｅｎ ｏ ｂ ｔ ｏ
的能 力 ．
例 设 数 （在 ，上 续 单 增 ， 明 （ 函 ，） ］连 且 调 加 证 ）
解法 １ 利用函数单调性证 明．令 ， ＝ 矿 ｆ 一 （） （ ）
ｒ（ ． ，）
，ｆ ｆ （ ｄ ，则 Ｆ 口 ＝ ． ） （） ０
当 ∈ ， 时 （＝ （一 ，） ‘）＝ ｅ （一（ ｔ Ｎｔ （在 易 单 （ ］ ， （一 厂 （ ｆ） ． ％ 】 口 ） ） Ｃ（ １ ， ） ｔ ｆ ） ｄ Ｊ ） ｆ 上
ｓ ｎ ｅ ｕｈｒ 。 ｔａ ｎ。，ｖｅａｒｓｔｉｇ ｑｌｅ （ ≥ ・ ｅ ｄ ａａ ０ ｆｅｌ ｄ 。ｇ ｅ ｏｆ ｒｎｕｔ ） ｃ ｎｌｔ ｅ ｇｓ ｎａｓｒ ｏ ｈｎ ａｅａ 。 ｍ ｖ ｅｅ ｍ ｉ ｒ ｓ ｅｒｌ ｆ ｅｔ ｌ ｉ ｎ ａ ｐ ０ ｅｉ ｙ
“
一
题 多解 ” 教学 是启 发 和引导 学生从 多方 面 、 角度 、 多 多层次 地去解 决 同一数 学 ｌ 的教学彤 式 ． 司趑 在
微积分的教学过程 中， 通过对例题的多种解法 ， 不但可以使学生对所学的知识 、 方法进行复习， 以巩固， 加
加深对微积分课程的了解，培养学生对微积分学习的兴趣 ；同时还可以提高学生综合分析问题 、解决问题
定积分中的不等式
为函数的驻点，且
时
时
为函数的最大值，而最小值在端点取得。又
(或者
为单调递减函数，
证法 5（微分中值定理）设
单增，
单减。
，故
。
为上凸函数，最小值在端点取得。)
，则
，因为 单减，所以
即
，也就是
证法 6（用定积分定义）
，得证。
2.设
在
上连续且单调减少，证明：
证明 作辅助函数
。
，
。
所以
单调减少，故
3.设
在
。用
泰勒公式可得
故
若
，取
可得
若
，取
可得
综上有
6. 设
在
。 上连续可微，且
。
证明 法一
法二 记
，
， 。
，
，证明
。 ，
所以
7.设
在
上连续可微，且
。 ，
，证明
证记 法一 仿 3题可得
。 ，
易知
。
法二 令
，
，
所以 同理 令
，
，
所以
从而 法三 分部积分（用上条件
, ）
故
三．被积函数二阶可导的不等式（用二次连续可微，且
，
证 法一 分部积分可得（用上条件
）
进而
法二 记 因为
，分部积分可得
，证明 。
故
注（特例）设
在
上二次连续可微，且
，
证明
。
9.设
在
上二次连续可微，且
，
， ，证明
证明 （涉及到端点外的第三点）记
，则 ，
，在该点用泰勒公式有