不等式组的解集定义
一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集是指该不等式组满足给定条件时，未知量可取到的所有实数值。
以下列出一元一次不等式组的解集:1、加法原理：若有不等式$ax+b>0$��不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b>0$与$a{x'}+b>0$同时成立的解集为$x>{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}>{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}或{-\dfrac{b}{a}}<{x'}<x$$2、减法原理：若有不等式$ax+b>0$与不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b<0$与$a{x'}+b<0$同时成立的解集为$x<{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}<{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$${x'}<x<{-\dfrac{b}{a}}$$3、乘法原理：若有不等式$ax+b>0$，则可乘以$\dfrac{1}{a}$，得$x+\dfrac{b}{a}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}$$4、倍乘法原理：若有不等式$a^2x+b>0$，则可以乘以$\dfrac{1}{a^2}$，得$x+\dfrac{b}{a^2}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a^2}}$$5、翻转原理：若有不等式$ax+b>0$，则可以转置变为${-ax-b}<0$，令$\quad-ax-b=0$，得$x={-\dfrac{b}{a}}$，即满足不等式无解结果。
6、乘容原理：若有不等式$ax-b>0$与$cx-d>0$，则$acx-ad-bc+bd>0$，令$acx-ad-bc+bd=0$，得$x=\dfrac{ad-bc}{ac}$，即$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$，即有：$$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$$7、综合分析：若有$ax+b>0$且$cx+d>0$，得$acx+ad+bc+bd>0$，故有：$$x>\dfrac{ad+bc}{ac}$$。
2.3不等式的解集
既然不等式的解集在通常情况下有很多符合条件的解，那么我们可以用一
种直观的方法利用数轴把不等式的解集表示出来。
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2.3不等式的解集
二、探究新知
3.在数轴上表示不等式的解集 （1）请写出下列不等式的解集，并说出它的解集所表示的意思。 x-5≤-1 解： x≤4 x2＞25 解： x＜-5或x＞5 正方向
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
在数轴上表示-3和3的点的位置上画空心圆圈，表示-3和3不在这个 解集内。
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2.3不等式的解集
二、探究新知
3.在数轴上表示不等式的解集 【归纳总结】 在数轴上表示 不等式的解集 注意 指示线方向：“>”向右,“<”向左 步骤：画数轴→定界点→走方向 界点：有“=”用实心点,没有“=”用空心圈
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界点：有“=”用实心点,没有“=”用空心圈
x 10 ＞ 0.02 100 4
（4）根据实际情况，解不等式，写出符合条件的解
22:40 8ຫໍສະໝຸດ .3不等式的解集二、探究新知
1.创设情境 燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃放 前转移到10m以外的安全区域。已知引火线的燃烧速度为0.02m/s， 燃放者离开的速度为4m/s，那么引火线的长度应为多少厘米？
解：设引火线的长度为xcm，根据题意得
x 10 ＞ 0.02 100 4 根据不等式的基本性质，得
x＞5 所以，引火线的长度应大于5cm.
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2.3不等式的解集
二、探究新知
2.不等式的解、解集以及解不等式的概念 （1）不等式的解 ①x=5,6,8能使不等式x>5成立吗？ ②你还能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？
3.不等式的解和解集
数学运算
“粗心者”大都在这倒下的。你能做的，就是严格准守“游戏规则”。 1.搞清楚：运算对象，运算步骤，运算法则。 2.认真：态度决定一切。
情境
问题 1： 若不等式2-m＜ 1 3 (x-m)的解集为x＞2，则m的值为（）. 问题 2： 已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，且x=1不是这个不等式的 解，则实数a的取值范围是（）. 讨论 （1）解等式2-m＜ 1 3 (x-m)可得x＞6-2m，故6-2m=2，m=2. 【运算-已知解集求字母】已知不等式的解集，求不等式中字母的值时，应先用 字母表示出不等式的解集，再建立方程或不等式进行求解.
知识点 不等式的解和解集
数学抽象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
简单讲，数学抽象就是符号，概念，公理，定理，公式。这些就是数学的本质。 当你一直坚持在用学语文的方式“背数学”时，有一天你会背不动的，因为你不知道背后的“所 以然”。 学数学能够化繁为简，靠的就是对数学抽象的全面理解。
情境
在xx卫视上，神秘嘉宾“x-3＞1”与它的解和解集隆重亮相.
讨论 （1）我们曾学过“能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，结合情境想一 想什么是不等式的解？ 【概念-解】能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）根据情境中的“介绍”，想一想什么是不等式的解集？ 【概念-解集】不等式所有解的集合叫做不等式的解集. （3）思考不等式的解与不等式的解集一样吗？它们之间存在哪些区别与联系？
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（2）x=2是不等式组(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，故(2-5)(2a-3a+2)≤0；x=1不 是这个不等式的解，所以(1-5)(a-3a+2)＞0，联立两个不等式进行求解，就可以 得出a的取值范围了. 【运算-已知解求字母】已知不等式的解，求不等式中字母的取值情况时，应先 根据不等式的解一定满足该不等式，建立不等式（或不等式组），再求解该不 等式（或不等式组），从而得出答案.注意若给出某一未知数不是题目中不等式 的解，那它一定是与该不等式相对立的那个不等式的解，“＜”与“≥”相对 立，“＞”与“≤”相对立. 实战演练 （导学号 导学号 S2658440）已知关于x的不等式(k-2)x+3＜11-k(3-x)的解都是不等 式4x＞3x-2的解，求k的取值范围． 点拨：分析题意，先根据 “不等式 (k-2)x+3＜ 11-k(3-x)的解都是不等式 4x＞ 3x-2的解 ”求出不等式 4x＞ 3x-2的解，再结合【运算 -已知解集求字母】进行解答 即可 .
不等式与不等式组知识点
不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中,不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x —a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。
3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。
4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是 。
6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7。
若x 〈１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空)8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x -〉10-a 的解集为x <３，则a10。
若a 〉b 〉c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x bx a x 的解集是11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x 〈１，则)1)(1(++b a 的值为 12.有解集２<x <３的不等式组是 （写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g14。
不等式组及其解集
专题19 不等式组及其解集1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不 等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 不等式组（a <b ）数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 无解 大大小小 无解了当不等式带有“≤”或“≥”时，上面的口诀依然适用，如不等式组的解集为.4.解决和不等式组解集有关的问题时，注意利用数轴这一数学工具，过程直观明了.典例精析例1 解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.【分析】解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后利用数轴求出这些解集的公共部分即为不等式组的解集.【解】解不等式①，得x>-2解不等式②，得x≤2把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图19-1所示.∴不等式的解集为-2<x ≤2【点评】熟练解出不等式，并准确地在数轴上表示出来，从而在数轴上找到不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.拓展与变式1 解不等式组并写出它所有的整数解.,x a x b<⎧⎨>⎩x b >,x a x b <⎧⎨<⎩x a <,x a x b >⎧⎨<⎩a xb <<,x a x b <⎧⎨>⎩23x x ≤⎧⎨<⎩2x ≤22,11,39x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩①②()41710,85,3x x x x +≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x ，则满足条件的所有非负整数x 有 .【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负整数即自然数，也就是0和正整数.例2 如果a>2，那么不等式组的解集为 ，的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集.【解】把不等式的解集表示在数轴上，不等式组表示在数轴上如图19-2所示，可知解集为x >a .不等式组表示在数轴上如图19-3所示， 可知解集为2<x ≤a .【点评】利用数轴上的数越往右越大，在数轴上找好数约位置，结合数轴找到不拓展与变式4 （1）已知关于x 的不等式组的解集为x ≥2，则a 的取值范围是 .（2）已知关于x 的不等式组有解，则a 的取值范围是 . 拓展与变式5 已知关于x 的不等式组的解集为0<x <2，求m -n 的值.拓展与变式6 解关于x 的不等式组34125x +-≤<,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨≥⎩,2x a x <⎧⎨>⎩2,11x m n x m +>+⎧⎨-<-⎩①②0,12.23x a x x x -≥⎧⎪-+⎨+>⎪⎩①②拓展与变式7 已知关于x 的不等式组的整数共有3个，求a 的取值范围.拓展与变式8 定义新运算：对干任意实数a ，b 都有a #b =ab -a -b +1，等式右边是通常的加法减法及乘法运算.例如：2#4=2×4-2-4+1=3.请根据上述知识解决问题：若3#x 的值大于4而不大于m 时，恰有两个整数解，求m 的取值范围.【反思】解决含参数的不等式组问题，数形结合必不可少，同时要注意等号能否取到，可将取等号的值代入原题中检验.专题突破1.不等式组的整数解有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个0,321x a x -≥⎧⎨-≥-⎩①②24,241x x x x ≤+⎧⎨+<-⎩2.不等式组的解集是x>1，则m 的取值范围是 .3.解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来.4.某旅行社某天有空房10间，当天接待了一个旅行团，当每个房间只住3人时，有一个房间的住宿情况是不满也不空.若旅行团的人数为偶数，问：旅行团共有多少人?5.关于x 的不等式组有2个整数解，求a 的取值范围.551,1x x x m +<+⎧⎨-≥⎩()5623,3513,44x x x x -≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②()2331,324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②。
第二章 2.2.2 不等式的解集
x>2.由题意x>2，的解集为(2，＋∞)，即(2，＋∞)∩(m， x>m
＋∞)＝(2，＋∞)，
∴(2，＋∞) (m，＋∞)，∴m≤2.
答案 D
3.三角形三边长为4，1－2a，7，则a的取值范围是________. 解析 由题意得14－ ＋27a>>1－ 0，2a，解得－5<a<－1. 4＋1－2a>7，
提示 当m≤0时，不正确.
[微训练]
1.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流
层高度的是( )
A.|x＋10|<50
B.|x－10|<50
C.|x＋30|<20
D.|x－30|<20
解析 由题意知10<x<50，故选D.
答案 D
2.不等式组－22xx－－35≥2≥0，0 的解集为________. 解析 由－2x－5≥0 得 x≤－52， 由 2x－3 2≥0 得 x≥3，
(2)由3x－14≥16解得
x≥54，由
2x<b
得
b x<2.
当b2≤54即 b≤52时，xx≥54∩xx<b2＝ ，原不等式组的解集为 ；
当b2>54即 b>52时，xx≥54∩xx<b2＝54，b2，原不等式组的解集为54，b2. 综上，b≤52时，解集为 ； b>52时，解集为54，b2.
这就是数轴上两点之间的距离公式.
a＋b
如果线段AB的中点M对应的数为x，即M(x)，则 x=_____2_____.
这就是数轴上的中点坐标公式.
教材拓展补遗 [微判断] 1.不等式x>y2的解集为(0，＋∞).( × )
不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。
不等式组的解集与区间
{x| x≥3 }
{x| x>3 } {x| x≤2 } {x| x<2 }
（3）x-2≥0
x-3≤0 （4）x-2＞0
{x| 2≤x≤3 }
{x| 2＜x＜3 } {x| 2≤x＜3 } {x| 2＜x≤3 }
x-3＜0
（5）x-2≥0
练习：解不等式组
2( x 1) 5 x 5 x 3 3x 1
(1) (2)
1、一元一次不等式（组）的解集
2、一元一次不等式（组）的解集的表示方法
（1）集合描述法 （2）区间：闭区间 开区间 半开半闭区间 无限区间
x-3＜0
（6）x-2＞0 x-3≤0
区间是指一定范围内的所有实数所 构成的集合。也就是数轴上某一“段” 所有的点所对应的所有实数。
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
（1）满足不等式a ≤ x ≤ b 的实数x的集 合叫做以 a , b 为端点的闭区间，记作[a,b]
数轴表示
a
b
x
设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定
b
x
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ）
-∞ 读作： 负无穷大
+∞ 读作： 正无穷大
x
填
表：
区间表示 数轴表示 a a b b x x x x
解集表示
{x|x≥a}
[a,+ ∞) (a,+ ∞)
{x|x > a} {x|x≤b}
{x|x＜b}
( －∞,b]
（－ ∞ ，－1]∪［2，＋∞）
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不等式组的解集定义
不等式组的解集定义是指，当多个不等式组成的子集与一个或多个自然数组成的集合相交，通过求的所有的可行解并在一定的数学规则下取非负数，及构成的交集所求出的解集就称为不等式组的解集定义。
一般地，一个不等式组可以简记为：$f (x_{1}, \dotsc, x_{n})=0$，其中$f$ 为
一关于$x_{1}, \dotsc, x_{n}$的函数。
由定义可知，一个不等式组的解集就是所有
满足$f (x_{1}, \dotsc, x_{n})=0$ 的解对应的$x_{1}, \dotsc, x_{n}$。
这些不等式求解可以采用排列组合、图来分析、统计以及遍历法等数学运算
方式求得每个解集定义中的解。
而这些方法求解的结果必须遵循满足给定不等式的条件，这些解集定义本身就会形成一种限制关系，只有满足它们的才算是有效的解集。
最后，对于多个不等式组成的组合，它们生成的解集定义也将形成共同的解集，常以轴距形式呈现。
轴距形式即将解集定义依次取其交集的形式，即能构成每个定义解集的点的集合，且符合每个子集，形成共同的受限解。
总而言之，不等式组的解集定义是指，一系列的不等式的求解结果的集合，符合它体系内不等式的限制，且可以以轴距形式表示出来，以达到有效的求解解集的目的。