第四章一次函数教案练习
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数之一次函数的应用专题练习北师大版2024—2025学年八年级上册一、利用一次函数模型解决实际问题例1.实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数．已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？变式1.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？变式2.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．二、利用一次函数解决行程问题例2.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．变式1.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A 地路程s（米）之间的函数图象．（1）a＝，乐乐去A地的速度为；（2）结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人距B地的距离相等的时间．变式2.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s （km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h，C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．变式3.某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．三、利用一次函数解决最低费用和最高利润问题例3.某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．（1）两种棋的单价分别是多少？（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？变式1.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？（2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？变式 2.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？变式3.某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A 种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．（1）求A，B两种花卉的单价．（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．变式4.A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a、b的值；（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．变式5.成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．变式6.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？变式7.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？四、利用一次函数解决含参数的最高利润问题例4.在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．（1）求m、n的值；（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．变式1.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？变式2.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．变式3.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙m m﹣10进价（元/件）260180售价（元/件）若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？五、利用一次函数解决方案问题例5.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．变式1.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(教案)
今天在教授一次函数的应用这一章节时，我发现学生们对于一次函数的实际意义和如何建立数学模型感到很有兴趣。他们对于将实际问题转化为数学表达式的过程感到好奇，这也让我意识到，将数学知识与现实生活紧密结合起来，能够有效提升学生的学习积极性。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解斜率的物理意义时遇到了困难。我通过举例和图示来帮助他们理解，但感觉还需要在今后的教学中继续加强这一部分的讲解和练习。可能通过更多的实际案例，让学生自己探索和发现斜率在不同情境下的含义，会更加有助于他们的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在总结回顾环节，我询问了学生是否有疑问，很高兴的是，他们能够提出一些深入的问题，这表明他们真正在思考和学习。但我也意识到，可能还有部分学生因为害羞或其他原因没有提问。我需要寻找更多途径，如课后辅导、小组互助等，来确保每一个学生都能得到帮助，解决他们的困惑。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第四章一次函数的4.4节，主要内容包括：
1.利用一次函数解决实际问题，如斜率与实际意义的联系；
2.一次函数图像在坐标平面上的应用，如何从图像中获取信息；
3.通过一次函数的例子，让学生理解函数与方程的关系；
举例：在讲解斜率的实际意义时，通过具体例子（如物体的匀速运动）来说明斜率与速度的关系，帮助学生理解斜率在现实中的具体应用。在绘制图像时，指导学生通过选取点、画直线等步骤，掌握绘制一次函数图像的技巧。对于变量关系的识别，可以通过案例教学，让学生在实际问题中练习区分变量和常量。在参数估计方面，教授学生使用实际数据点和函数表达式来计算k和b的值，并进行验证。
【北师大版】八年级数学上册：第4章《一次函数》全章教学案(68页,含答案)
第四章一次函数1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式.2.能画一次函数的图象,理解当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题.3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b 的意义.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.一、《标准》要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解函数的概念;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用函数进行表述的方法.2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识;能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.14.能用一次函数解决简单实际问题.二、教材分析函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.【重点】1.初步理解函数的概念.2.画一次函数的图象.3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.【难点】1.一次函数图象的特点.2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.1.加强与已有知识的联系.在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知识基础上理解变量和函数的概念.2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.1函数了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.【重点】1.掌握函数的概念.2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.3.能把实际问题抽象概括为函数问题.【难点】1.理解函数的概念.2.能把实际问题抽象概括为函数问题.【教师准备】教材图4 - 1投影图片.【学生准备】预习教材75~76页内容.导入一:长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?从这条曲线中又能获得哪些信息呢?导入二:我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?你的身高在平均身高之上还是之下?你能估计自己18岁时的身高吗?在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.一、感知函数出示教材图4 - 1及相关问题,并由学生讨论完成题目.(1)根据上图填表:(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?[设计意图]由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变量之间的关系.二、做一做1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?填写下表:【思考】层数n和物体总数y之间是什么关系?2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273 ℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.(1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少?(2)给定一个大于-273 ℃的t值,你都能求出相应的T值吗?【思考】在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?三、函数的相关概念一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数(function),其中x 是自变量.表示函数的方法一般有:列表法、关系式法和图象法.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.[知识拓展]理解函数概念时应注意:(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.(2)这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x(x>0)中,当x=9时,y对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为.(2)圆的面积S与半径R的关系式为.答案:(1)s=30t (2)S=πR22.一般地,在某个变化过程中,有个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中是自变量,是因变量.答案:两确定x y3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:,,.答案:列表法关系式法图象法4.圆的周长公式C=2πR中,有个变量,是.答案:两R,C5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为.答案:h=3n+11函数1.感知函数.2.做一做.3.函数的相关概念.一、教材作业【必做题】教材第77页习题4.1第1,2题.【选做题】教材第78页习题4.1第3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列变量间的关系不是函数关系的是 ()A.长方形的宽一定,其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径2.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y 是x的函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:下列说法错误的是()A.没挂物体时,弹簧的长度为10 cmB.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y cm可以表示为y=2.5m+10D.当物体的质量为4 kg时,弹簧的长度为20 cm4.下列各题中,哪些是函数关系?哪些不是函数关系?(1)匀速运动所走的路程和速度;(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;(3)x+3与x;(4)正方形的面积和梯形的面积;(5)水管中水流的速度和水管的长度.【能力提升】5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C 处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到()A.点C处B.点D处C.点B处D.点A处6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:时气温最低,最低气温为℃,当天最高气温为℃,这一天的温差为℃.(所有的结果都取整数)【拓展探究】7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=时,求x的值.【答案与解析】1.C(解析:A.长=;B.面积=;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.故选C.)2.B(解析:①③是y关于x的函数.)3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系. (2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系. (3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系. (4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系. (5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.5.B(解析:当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)6.4-210127.解:①当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y=x(0≤x<1).当y=时,x=.②当点P 在BC上运动时,如图(2)所示,y=1-×1×(x-1)-(2-x)-×1,整理得y=-x(1≤x<2).当y=时,-x,解得x=.③当点P在CE上运动时,如图(3)所示,EP=-x,y=×1×,即y=-x(2≤x≤2.5).当y=时,-x,解得x=.因为不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y=时,x的值为或.本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:观察函数图象,感知函数的单调性;通过求函数值,渗透初步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.随堂练习(教材第77页)解:(1)问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24. (2)问题中有汽车的速度v(km/h)和汽车紧急刹车后滑行的路程s(m)两个变量,且s是v的函数,v>0. (3)问题中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,0<m≤100.习题4.1(教材第77页)1.解:(1)反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系.(2)依次填2,2.5,2.65,2.5,2,1.2,0. (3)确定. (4)可以.2.解:(1)当x=3时,y=9. (2)依题意得y=3x,x的取值范围是x>0,且x是整数.3.解:买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.(答案不唯一)4.解:(1)能. (2)能. (3)能.1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是()A.y=4n-4B.y=n2C.y=4n+4D.y=4n〔解析〕由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.2一次函数与正比例函数理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.【重点】1.一次函数、正比例函数的概念.2.一次函数、正比例函数的关系.3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.【难点】一次函数知识的运用.【教师准备】引例和例题投影图片.【学生准备】复习函数的定义、函数值等内容.导入一:生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题呢?你想了解这些吗?一起进入这节课的学习吧!导入二:汽车的平均速度为95 km/h,A地直达北京的高速公路全程为570 km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?他是怎样想的?猜猜看.一、出示教材引例及问题某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg,2 kg,3 kg,4 kg,5 kg时弹簧的长度,并填入下表:(2)你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.二、做一做某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)完成下表:(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?【答案与提示】(1)如下表所示:(2)y=6·x.(3)z=60-x.【归纳】若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k ≠0)的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1, y=x-1等都是一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.[知识拓展]正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.三、例题讲解写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.(由学生交流讨论完成)解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.(3)这个水池每小时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.【思考】两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元).(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式;(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?〔解析〕一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.解:(1)当月收入超过3500元而不超过5000元时,y=(x-3500)×3%,即y=0.03x-105.(2)当x=4160时,y=0.03×4160-105=19.8(元)(3)因为(5000-3500)×3%=45(元),19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则:19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是4140元.1.一根弹簧的原长为12 cm,它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重物1 kg 就伸长0.5 cm,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式是.解析:弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12(0≤x≤15).2.y=kx+b是一次函数,则k为()A.一切实数B.正实数C.负实数D.非零实数解析:y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.3.下列函数中,y是x的一次函数的是()A.y=-3x+5B.y=-3x2C.y=D.y=2解析:形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数是一次函数.故选A.4.下列说法不正确的是()A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数解析:正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达式;(2)求5年后的年产值.解析:(1)年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.(2)将x=5代入(1)中求得的表达式即可得解.解:(1)y=2x+15.(2)当x=5时,y=2×5+15=25,即5年后的年产值为25万元.2一次函数与正比例函数1.出示教材引例及问题.2.做一做.3.例题讲解.例1例2一、教材作业【必做题】教材第82页习题4.2第1,2题.【选做题】教材第82页习题4.2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.若函数y=(m-5)x+(4m+1)x2(m为常数)中的y与x成正比例,则m的取值范围为()A.m>-B.m> 5C.m=-D.m=52.下列函数:①y=4x+3;②y=x;③y=x4;④y=x2;⑤y=1-x中,一次函数有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在函数y=x, y=x+3,y=,y=2x2-3, y=2(x-3)中,是关于x的正比例函数.【能力提升】4.容积为800 L的水池内已蓄水200 L,若每分钟注入的水量是15 L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).(1)请写出Q与t的函数关系式;(2)注水多长时间可以把水池注满?(3)当注水时间为0. 2 h时,池中水量是多少?5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案解决下列问题:(1)若某三口之家欲购买120 m2的商品房,求其应缴纳的房款;(2)设某三口之家购买商品房的人均面积为x m2,应缴纳房款为y万元,请写出y 关于x的函数表达式.【答案与解析】1.C(解析:∵函数y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y与x成正比例,∴即∴m=-.故选C.)2.C (解析:①y=4x+3是一次函数;②y=x是一次函数;③y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;④y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;⑤y=1-x是一次函数.故选C.)3.y=x(解析:只有y=x符合y=kx(k≠0)的形式.)4.解:(1)Q=200+15t,0≤t≤40. (2)注水40 min可以把水池注满. (3)当注水0.2 h,即12 min时,池中水量为380 L.5.解:(1)y与x的关系式是y=0.3x+0.5×(3500-x),即y=-0.2x+1750(0≤x≤3500,且x为整数). (2)因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在3500×60%与3500×75%之间.当x=3500×60%=2100时,y=-0.2×2100+1750=1330;当x=3500×75%=2625时,y=-0.2×2625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.6.解析:(1)根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款.(2)分别求出当0≤x≤30,30<x≤n和x>n时y与x之间的表达式即可.解:(1)由题意,得应缴纳房款为0.3×90+0.5×30=42(万元). (2)由题意得:①0≤x≤30时,y=0.3×3x=0.9x;②30<x≤n时,y=0.3×90+0.5×3×(x-30)=1.5x-18;③x>n时,y=0.3×90+0.5×3(n-30)+0.7×3×(x-n)=2.1x-18-0.6n.教学时从学生熟悉的实际问题入手,旨在让学生通过直观感知领悟相关概念,通过学生的合作交流得到一次函数和正比例函数的定义,引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来.对正比例函数和一次函数之间的区别和联系没有做重点强调,这对于学生以后画函数图象和分析图象、性质会带来一定的困难.在教学过程中要适当增加习题,设计不同层次的习题,让不同层次的学生得到不同程度的练习,以提高学生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握.随堂练习(教材第80页)1.解:依题意得y=2.2x,所以y是x的一次函数,y也是x的正比例函数.2.解:(1)y=80x+100,y是x的一次函数. (2)当x=0.5时,y=140.习题4.2(教材第82页)1.解:y=-3x.2.解:(1)y=3x,y是x的一次函数, 也是x的正比例函数.(2)y=(10-2x)·x=-x2+5x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.3.解:(1)y=12+0.2x. (2)48元. (3)440 min.4.解:(1)y=0.25x. (2)45元. (3)400 min.5.解:y A=0.2x+12,y B=0.25x.(1)当x=300时,y A=0.2×300+12=72,y B=0.25×300=75.因为y A<y B,所以选择A类收费方式. (2)由题意得y A=y B,所以0.2x+12=0.25x,解得x=240.所以每月通话240 min时,按A,B两类收费标准缴费,所缴话费相等.要注意一次函数与正比例函数之间的关系,解决“根据所给条件写出简单的一次函数表达式”这类问题的基本思路为:先从实际问题中获取各种有用的信息,然后认真分析,探究这些有关的信息,在此基础上构建出数学模型,并解决这个数学问题,从而进一步解答问题.如图所示,函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是()〔解析〕正比例函数是一次函数的特殊形式,而它们又都是函数.故选A.3一次函数的图象1.理解函数图象的概念,经历作图象的过程,初步了解作函数图象的一般步骤.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系,并能熟练作出一次函数的图象.2.了解正比例函数y=kx的图象的特点,会作正比例函数图象,理解一次函数及其图象的有关性质;进一步培养学生数形结合的意识和能力.1.会作一次函数的图象,明确一次函数的图象是一条直线.2.通过观察、思考、交流等过程,得出正比例函数与一次函数图象的性质.。
八年级数学北师大版上册 第4章《4.4 一次函数的应用》教学设计 教案
第四章第四节一次函数的应用（2）一、教材分析本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第四章第四节，课题为《一次函数图象的应用》。
本节课为第2课时。
其主要内容是学生已经学习掌握了一次函数的意义、一次函数的图象及其性质、确定一次函数的表达式的基础之上，通过开展经历体验探究活动，进行应用一次函数的图象解决简单的实际问题并发现一元一次方程与一次函数之间关系的过程。
使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。
在整个函数知识体系中，对于图象的感受、解读、分析特别是应用函数的图象解决问题是极其重要的内容，而一次函数图象的应用是学生在整个学习生涯中所接触的第一个相关内容，对于后续其它函数图象应用的学习将积累宝贵的学习经验和经历，因此本节课内容的重要性不言而喻。
二、教学目标及分析知识与能力目标：（1）能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
（2）能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。
过程与方法目标：（1）在亲身的经历与实践探索过程中体会数学问题解决的办法。
（2）初步体会方程与函数的关系，体会数形结合思想。
情感态度与价值观目标：（1）进一步体会数学知识与现实生活的密切联系，丰富数学情感。
（2）树立良好的环境保护意识，引发热爱自然、热爱家乡的情感。
重点：利用函数图象解决简单的实际问题，提高数学的应用意识和能力。
难点：体会函数与方程的关系，发展“数形结合”的思想”。
三、教学对象分析学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质。
在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础。
但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力。
四、教法学法根据本节课的特点、目标要求及学生的实际情况，在教法上主要采用探究式教学法，引导学生进行观察探索、合作交流、归纳总结等学习活动。
第四章一次函数(教案)
-从实际问题中抽象出一次函数模型。学生可能难以把握如何将描述问题的文字转化为数学表达式。
-数形结合的思维方式。对于如何通过图像来直观理解抽象的解析式，以及如何通过解析式来推理图像特征，学生可能感到挑战。
举例：在分析一次函数图像的平移时，难点在于理解斜率k不变，截距b变化时图像如何沿y轴移动；截距b不变，斜率k变化时图像如何旋转。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如“一次函数如何帮助我们解决交通流量问题？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
-掌握图像的平移、斜率与截距的变化规律
3.一次函数的应用
-利用一次函数解决实际问题，如距离、速度等
-一次函数在实际情境中的图像分析，如气温变化、消费问题等
4.一次函数与其他数学知识的综合运用
-与不等式的结合：求解一次不等式，分析解集
-与坐标系、几何知识的结合：分析图像与坐标轴的交点、两点间的距离等
5.综合练习与拓展
今天的学习，我们了解了第四章一次函数的基本概念、重要性数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对一次函数的概念和图像性质表现出较大的兴趣，但同时也暴露出一些理解上的难点。首先，斜率k和截距b的概念对于学生来说是一个挑战，他们需要时间来消化这两个参数对一次函数图像的具体影响。在讲授这一部分时，我应该更加注意用生活中的实例来解释这两个概念，以便学生能够更加直观地理解。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(第1课时)教案
第四章一次函数4一次函数的应用第1课时确定一次函数表达式教学目标教学反思1.了解确定一次函数的条件，能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式；2.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.教学重难点重点：1.了解确定一次函数的条件；2.能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式.难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.教学过程导入新课知识回顾1.什么是一次函数？什么是正比例函数？2.一次函数的图象是什么？正比例函数的图象呢？3.表示函数的方法有哪些？4.画出y＝-2x-4的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x值的增大而__________；（2）图象与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是_________；（3）判断下列各点是否在函数y＝-2x-4的图象上.A（1，-6）；B（-3，1）学生思考，给出答案.1.若两个变量x，y间的关系式可以表示成y＝kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.当b＝0时，即y＝kx,称y是x的正比例函数.2.一次函数的图象是一条直线；正比例函数的图象是过原点的一条直线.3.列表法、图象法和关系式法.4.（1）减小；（2）（-2，0），（0，-4）；（3）A.探究新知假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示.（1）这是一次多少米的赛跑？（2）甲、乙二人谁先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式.想一想：1.确定正比例函数的表达式需要几个条件？(1个)2.确定一次函数的表达式呢？（2个）例1某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式.(2)下滑3秒时物体的速度是多少？【解】(1)设函数表达式为v＝kt (k为常数且k≠0).∵(2,5)在图象上,把点（2，5）的坐标代入，得5＝2k,∴ k＝2.5，∴v＝2.5 t.(2)当t＝3s时，v＝2.5×3＝7.5(m／s).所以下滑3s时物体的速度是7.5 m／s.例2在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【解】设y＝kx+b(k≠0)，由题意，得14.5＝b, 16＝3k+b,解得b＝14.5 ,k＝0.5.所以在弹性限度内，y＝0.5x+14.5.当x＝4时，y＝0.5×4+14.5＝16.5（cm）.即当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.教师总结：教学反思求一次函数表达式的步骤 ：1.设——设一次函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）；2.代——将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解——解方程组求出k ，b 值；4.定——把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.像这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.课堂练习 1.若一次函数y ＝2x +b 的图象经过A （-1，1），则=b ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ ，0）.2.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，填空：（1）=b ，=k ，所以函数关系式为___________；（2）当x ＝30时，=y ；（3）当y ＝30时，=x .3.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，求它的表达式.4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.5.某市出租车计费方法如图所示，x （km ）表示行驶里程，y （元）表示车费,请根据图象回答下列问题：（1）求出租车的起步价是多少元，并求当x ＞3时，y 关于x 的函数表达式；（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.参考答案1.3,5,-1.5教学反思2.(1)2,23-,y ＝23x -+2 (2)-18 (3)-423.解：y ＝-3x4.解：设一次函数的表达式为y ＝kx +b (k ≠0)， ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点（0，2），∴ b ＝2.∵一次函数的图象与x 轴的交点是2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 12222k⨯-⨯=，解得k ＝1或-1.∴ 一次函数的表达式为y ＝x +2或y ＝-x +2. 5.解：（1）8，y ＝2x +2；（2）令y ＝32，则2x +2＝32，x ＝15，∴ 这位乘客乘车的里程为15 km.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法确定一次函数表达式的步骤布置作业习题4.5 必做题：第2题 选做题：3，4题任选一题板书设计第四章 一次函数4 一次函数的应用第1课时 确定一次函数表达式用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： 1.设—— 设一次函数表达式为y ＝kx +b (k ≠0)；2.代—— 将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解—— 解方程组求出k ，b 值；4.定—— 把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.。
北师大版八年级上册第四章一次函数复习教案
第四章一次函数复习教案1.掌握一次函数、正比例函数的定义以及它们之间的关系.2.掌握一次函数的性质.通过对知识的整合,提升分析问题、解决问题的才能.培养学生学以致用的意识.【重点】1.一次函数、正比例函数的定义以及它们之间的关系.2.一次函数的性质.【难点】用一次函数解决实际问题.一次函数专题一函数的概念【专题分析】一般地,假如在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值和它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.一定要理解好函数的概念,再解决相关的问题.近年来,在全国各地的中考中,涉及一次函数、正比例函数的知识比拟多,一次函数的概念、利用待定系数法求一次函数的关系式、一次函数与其他知识的综合运用是重点,考题多以填空题、解答题为主,也不乏创新探究题出现.如下图的图形中不能表示y是x的函数的是() 〔解析〕选项A,B,D中给定自变量x一个值,有且只有一个函数值y与其对应,所以A,B,D都可表示是的函数.应选C.【针对训练1】以下关于变量x, y的关系式:①3x-2y=5;②y=|x|;③2x-y2=10.其中表示y是x的函数的是()A.①②③B.①②C.①③D.②③〔解析〕根据函数的定义可知①②表示y是x的函数.应选B.【针对训练2】假设y=(m-3)x|m|-2+m是一次函数,那么m=.〔解析〕根据一次函数的定义可知|m|-2=1,且m-3≠0,所以m=-3.故填-3.[规律方法]一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)要注意以下三个要点:(1)等式两边是整式;(2)自变量x的次数是1次;(3)自变量的系数k不等于0.专题二一次函数和正比例函数的图象和性质【专题分析】函数图象是数形结合思想的重要表达之一,结合函数图象可以综合考察很多相关知识.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象及其性质是由k,b决定的,k决定直线的方向及倾斜程度,b决定直线与y轴的交点坐标.一次函数的性质主要包括k和b的取值、图象位置和函数增减性,它们之间可以互相推导,互为条件和结论.将函数y=-3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为()A.y=-3x+2B.y=-3x-2C.y=-3(x+2)D.y=-3(x-2)〔解析〕根据一次函数平移规律“上加下减〞,得将函数y=-3x 的图象沿y轴向上平移2个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为y=-3x+2.应选A.【针对训练3】在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+1的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,假设x1<x2,那么y1y2(填“>〞“<〞或“=〞).〔解析〕根据一次函数的性质,当k>0时,y随x的增大而增大.∵一次函数y=2x+1中,k=2>0,∴y随x的增大而增大,∵x1<x2,∴y1<y2.故填<.专题三待定系数法的应用【专题分析】待定系数法是一种应用广泛的数学方法,我们早在代数式、方程等内容的“探究〞中就已无意识地应用过.本章研究函数往往离不开函数关系式,而大多数函数关系式确实定要用到此法.应用待定系数法求函数关系式是各地中考命题的重点和热点,可以说它是我们研究函数离不开的法宝.一次函数y= kx+b(k≠0)的图象过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,求此一次函数的表达式.〔解析〕先根据一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2)得出b=2,再用k表示出函数图象与x轴的交点坐标,利用三角形的面积公式求解即可.解:因为一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(0,2),所以b=2,令y=0,那么x=-,因为函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2,所以×2×=2,即=2,当k>0时,=2,解得k=1;当k<0时,-=2,解得k=-1.故此函数的表达式为y=x+2或y=-x+2.[解题策略]求正比例函数解析式只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b解析式那么需要两组x,y的值.求解析式时,一般要先求出图象上的特殊点的坐标,为待定系数法创造条件.【针对训练4】直线y=kx+b经过点,且与坐标轴围成的三角形的面积为,求此直线的解析式.解:因为直线经过点,所以0=k+b①,设直线y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A,B,O为坐标原点, 故A,B(0,b)且SΔABO=,所以SΔABO=OA·OB=·|b|=,即·|b|=②,由①得b=-k,代入②得|k|=2,所以k1=2,k2=-2.当k1=2时,b1=-5;当k2=-2时,b2=5.所以直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5.[解题策略]在解决有关面积与函数相结合的问题时,一定要分类讨论,不同的情况会得到不同的结果.专题四数形结合思想【专题分析】数形结合思想是指将数与形结合起来进展分析、研究、解决问题的一种思想.利用数形结合思想解决与函数有关的问题时,往往能起到事半功倍的效果.平面直角坐标系把数和形结合起来之后,自变量与函数值所确定的点一一对应在函数图象上,很好地表达了数形结合,根据函数的关系式画出函数的图象,由函数的图象获取信息等都要用到数形结合思想.函数y=(3-a)x+b-2在直角坐标系中的图象如下图,化简|b-a|--|2-b|=.〔解析〕此题利用数形结合思想解题,先根据图象判断出a,b 的取值范围,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可.根据图象可知直线y=(3-a)x+b-2经过第二、三、四象限,所以3-a<0, b-2<0 ,所以a>3,b<2,所以b-a<0,a-3>0,2-b>0,所以|b-a|--|2-b|=a-b-|a-3|-(2-b)=a-b-a+3-2+b=1.故填1.【针对训练5】如下图,直线y=ax-b,那么关于x的方程ax-1=b的解为x=.〔解析〕根据图象可知,当y=1时,x=4,即ax-b=1时,x=4.故方程ax-1=b的解为x=4.故填4.专题五分类讨论思想【专题分析】在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就需运用分类讨论思想.分类讨论思想是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,不重复、不遗漏是对分类提出的根本要求.甲、乙两地相距50 km.星期天上午8:00,小明同学骑山地车从甲地前往乙地,2 h后,小明的父亲骑摩托车沿同一道路也从甲地前往乙地,他们行驶的路程y(km)与小明行驶的时间x(h)之间的函数关系如下图,小明父亲出发h时,行进中的两车相距8km.〔解析〕根据图象求出小明和父亲的速度,然后设小明的父亲出发x h时两车相距8 km,再分相遇前和相遇后两种情况列出方程求解即可.由图可知小明的速度为36÷3=12(km/h),父亲的速度为36÷(3-2)=36(km/h),设小明的父亲出发x h两车相距8 km,那么小明出发的时间为(x+2)h,根据题意得12(x+2)-36x=8或36x-12(x+2)=8,解得x=或x=.所以出发 h或 h时,行进中的两车相距8 km.故填或.【针对训练6】在一条笔直的公路上有A,B两地,甲骑自行车从A地到B地,乙骑自行车从B地到A地,乙到达A地后立即按原路返回,如下图的是甲、乙两人离B地的间隔y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:(1)写出A,B两地之间的间隔 ;(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;(3)假设两人之间的间隔不超过3 km时,可以用无线对讲机保持联络,请写出甲、乙两人可以用无线对讲机保持联络时x的取值范围.〔解析〕(1)由图象可直接得A,B两地之间的间隔.(2)根据图象求出甲、乙两人的速度,再利用相遇问题的求法求出相遇时间,然后求出乙行驶的路程即可得到点M的坐标以及实际意义.(3)分相遇前和相遇后两种情况求出x的值,再求出最后两人都到达B地前两人相距3 km的时间,然后写出两个取值范围即可.解:(1)由图象可知A,B两地之间的间隔为30 km.(2)由图可知甲的速度为30÷2=15(km/h),乙的速度为30÷1=30(km/h),30÷(15+30)=(h),×30=20(km),所以点M的坐标为,表示 h后两车相遇,此时间隔B地20 km.(3)设x h时,甲、乙两人相距3 km.①假设是相遇前,那么15x+30x=30-3,解得x=;②假设是相遇后,那么15x+30x=30+3,解得x=;③假设是到达B地前,那么-30x+60-(-15x+30)=3,解得x=.所以当≤x≤或≤x≤2时,甲、乙两人可以用无线对讲机保持联络.专题六一次函数的应用【专题分析】一次函数的应用问题是新课标重点考察的知识点之一,主要考察一次函数的表达式及从图象中获取信息解决问题的才能,综合应用一次函数的图象、一次函数的性质等知识是中考必考内容,还常常与方程、不等式、几何图形等知识综合考察.某商店销售A,B两种品牌的彩色电视机,A,B两种彩电的进价每台分别为2021元,1600元,一月份A,B两种彩电的销售价分别为每台2700元,2100元,月利润为1.2万元.为了增加利润,二月份营销人员提供了两套销售策略.策略一:A种每台降价100元,B种每台降价80元,估计销售量分别增长30%,40%;策略二:A种每台降价150元,B种每台降价80元,估计销售量都增长50%.请你解答以下问题:(1)假设设一月份A,B两种彩电销售量分别为x台和y台,写出y 与x的关系式,并求出A种彩电销售的台数最多是多少;(2)二月份这两种策略是否能增加利润?(3)二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种,方能使该商店所获利润较多?请说明理由.〔解析〕根据月利润可列出关于x,y的方程,即可得到y与x 的函数关系式,由x,y为整数,求出A种彩电销售台数的最大值.写出策略一、策略二的利润与x,y的关系,再和12021比拟,即可得出结论.解:(1)依题意,有(2700-2021)x+(2100-1600)y=12021,即700x+500y=12021,那么y=24-x,因为y为整数,所以x为5的倍数,故x的最大值为15,即A种彩电销售的台数最多为15台.(2)策略一:利润W1=(2700-100-2021)·(1+30%)x+(2100-80-1600)(1+40%)y=780x+58 8y,策略二:利润W2=(2700-150-2021)(1+50%)x+(2100-80-1600)(1+50%)y=825x+630y .因为700x+500y=12021,所以780x+588y>12021,825x+630y>12021.故策略一、策略二均能增加利润.(3)因为W2-W1=45x+42y>0,所以W2>W1,故策略二使该商店获得的利润较多,应采用策略二.[归纳拓展]营销策略问题是现实生活中常见的问题,解题的关键是建立一次函数模型,运用一次函数的性质结合方程、不等式等知识求解,从而确定最正确营销策略,这类题的特点是数据多,关系复杂,解题时要认真读题,弄清各个量之间的联络.【针对训练7】某食品加工厂需要一批食品包装盒,现有两种方案可供选择:方案一:从包装盒加工厂直接购置,购置所需的费用y1与包装盒数x满足如图(1)所示的函数关系.方案二:租赁机器自己加工,所需费用y2(包括租赁机器的费用和消费包装盒的费用)与包装盒数x满足如图(2)所示的函数关系.根据图象答复以下问题:(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元?(2)方案二中租赁机器的费用是多少元?消费一个包装盒的费用是多少元?(3)请分别求出y1,y2与x的函数表达式;(4)假如你是决策者,你认为选择哪种方案更省钱?并说明理由.〔解析〕解关于一次函数的应用问题的根本思路是先建立实际问题中的变量之间的函数关系式,然后写出关系式中自变量的取值范围,或根据函数的图象,确定点、线所代表的实际意义.解:(1)500÷100=5,∴方案一中每个包装盒的价格为5元.(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20210元,包装盒的单价为(30000-20210)÷4000=2.5(元).(3)设方案一的函数表达式为y1=k1x(k1≠0),由图象知直线经过点(100,500),∴500=100k1,解得k1=5,∴函数表达式为y1=5x;设方案二的函数表达式为y2=k2x+b(k2≠0),由图象知直线经过点(0,20210)和(4000,30000),∴b=20210,把b=20210代入4000k2+b=30000得k2=2.5,∴函数的表达式为y2=2.5x+20210.(4)令5x=2.5x+20210,解得x=8000,∴当x=8000时,两种方案同样省钱;当x<8000时,选择方案一;当x>8000时,选择方案二.。
年学年八年级教案数学上册第四章节一次函数总结练习北师大版
年学年八年级教案数学上册第四章节一次函数总结练习北师大版2021-2021学年八年级数学上册第四章一次函数练习北师大版一.知识回忆1.一次函数的定义：______________________；正比例函数的定义______________________2 .正比例函数ykxk0的图象经过点________和_______；一次函数y kx bk0图象与x轴的交点是：当_____时，________∴与x轴交点坐标为b,0；与y轴的交点是：当_______时，_________∴与y轴的交点坐标为0,bk两直线l1：yk1xb1k10、l2：yk2xb2k20交点在y轴上的条件：__________，两直线交点在x轴上的条件：____________图象y kxbk＞0k＜0〔k．b为常数，且k ≠0〕＞0b=0＜0＞0=0＜0b b b b b图象是一条直线，大致图像为经过象限的变化趋势5.对直线y kxbk 0，k越大，直线越接近________轴6.两直线l1：y k1xb1k10，l2：y k2xb2k20.假设l1//l2，那么_______；假设l1⊥l2，那么________7.两点Ax1,y1，Bx2,y2，那么AB=_________________________________；AB的中点坐标为_______________________;二元一次方程组与一次函数交点讨论两直线位置关系交点个数二元一次方程组解的个数平行重合相交9*直线y k1x b1与直线y k2x b2：关于y轴对称条件：______________________关于x轴对称条件：______________________二.典例讲解年学年八年级教案数学上册第四章节一次函数总结练习北师大版例1.〔1〕以下函数：①2 x 2x 1，②1y2 3y2ryy1x y，③，④x ，⑤，⑥s2t 是一次函数的是x4,是正比例函数的是 . 〔2〕假设y(m 2)x m 2 4 是关于x 的正比例函数，那么 m；假设是关于x 的一次函数，那么 m.〔3〕假设直线ya2 x a3过二、三、四象限，那么a 的取值范围________________;例2.〔1〕直线 ymx m 与直线y mx 在同一坐标系中的大致图象可能是〔〕A.B.C.D.〔2〕点1〔 1 ， 1〕，点2 〔 2， 2〕是一次函数y ＝－4x +3图象上的两个点，PxyPxy且x 1＞x 2 ，那么y 1与y 2的大小关系〔 〕A.y 1＞y 2B.无法确定C.y 1＜y 2D.y 1＝y 2例3.〔1〕函数yxa的图象与 yx2b的图象交于 y 轴上同一点，求 ： b 的值a〔2〕一次函数yxa 与y3xb 的图像交于x 轴上一点，求a ab例4.一次函数y kx 4与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求一次函数的解析式例5.y3与x 1成正比例,且x2时,y5.①求y 与x 的函数关系式;②假设函数图象向左平移3个单位.求平移后直线的解析式.年学年八年级教案数学上册第四章节一次函数总结练习北师大版例6.如图，一次函数l1：y kxb的图象经过点A4，0，直线l2：y3x3与x轴交y于点B，与y轴交于点D，且两直线交于点C2,m.〔1〕求的值；mD y=kx+b〔2〕求l1的解析式O B Ax〔3〕求△ACD的面积.C例7.甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙乘莫假设车，甲到达B 地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地距离y〔千米〕与x〔小时〕之间的函数关系图像.〔1〕求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕假设乙出发2小时和甲相遇，那么乙从A地到B地用了多长时间？。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.3一次函数的图象(第2课时)教案
第四章一次函数3一次函数的图象第2课时一次函数的图象与性质教学目标教学反思1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质；2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想.教学重难点重点：了解一次函数的图象与性质.难点：能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.教学过程导入新课问题：（1）画函数图象的步骤是什么？（2）上节课中我们探究得到正比例函数图象经过哪个定点？（3）作正比例函数图象需要描出几个点？学生思考，给出答案.(1)作函数图象的步骤：列表，描点，连线；(2)正比例函数的图象是一条过原点（0，0）的直线；(3)画正比例函数的图象，除原点外只要描出一个点即可.探究新知活动一画出函数y＝2x-1的图象.在准备好的坐标系中画出函数y＝2x-1的图象.观察与思考观察图象可得：一次函数y＝2x-1的图象是，它与x轴和y轴的交点坐标分别是.猜想：一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象是一条直线.问题：是否所有一次函数的图象都如此呢？验证：在同一坐标系中画出下列函数y＝2x, y＝2x+1,y＝2x-3的图象.发现：这几个函数图象的形状都是，并且倾斜程度相同.函数y＝2x的图象经过原点，函数y＝2x+1的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y＝2x向平移个单位长度而得到.函数y＝2x-3的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y＝2x 向平移个单位长度而得到.结论：因为函数y＝2x, y＝2x+1,和y＝2x-3的图象可以相互平移得到，所以它们的图象形状相同，都是一条直线.活动二在同一直角坐标系内作函数的图象观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象.（1）y＝2x+6，y＝5x，y＝x-2；（2）y＝-x+6，y＝-2x，y＝12x--3.学生分组讨论，教师总结.得出结论：一次函数图象是一条直线.因此作一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了.一次函数y＝kx+b的图象也称为直线y＝kx+b.议一议：（1）观察图象，它们分别分布在哪些象限.（2）观察每组三个函数的图象，随着x值的变化，y的值在怎样变化？（3）从以上观察中，你发现了什么规律？学生分组讨论，教师总结.归纳1：k>0，图象过第一、三象限；k<0，图象过第二、四象限；b>0，图象过y轴正半轴；b<0，图象过y轴负半轴.归纳2：一次函数y＝kx+b的图象经过点(0,b).当k >0时,y的值随着x 值的增大而增大；当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.课堂练习1.下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A.y＝2x+8B.y＝2x+4C.y＝-2x+8D.y＝4x2.一次函数y＝-x+2的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.点A（3，y1）和点B（-2，y2）都在直线y＝-2x+3上，则y1和y2的大小关系是（）A.y1>y2B.y1<y2C.y1＝y2D.不能确定4.已知直线253y x+＝与一条经过（6，5）的直线l平行，则这条直线l的函数关系式为 .5.已知一次函数y＝（m+2)x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .参考答案1.C2.B教学反思3.B4.213y x ＝5.m>-2课堂小结(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx+b的图象与性质布置作业随堂练习第1，2题习题4.4第3，4，5题板书设计第四章一次函数3一次函数的图象第2课时一次函数的图象与性质一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与性质：（1）一次函数y＝kx+b的图象是经过点(0,b)的一条直线；（2）图象位置：k>0，图象过第一、三象限，k<0，图象过第二、四象限，b>0，图象过y轴正半轴，b<0，图象过y轴负半轴；（3）当k>0时,y的值随着x值的增大而增大；当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.教学反思。
北师大版初二数学上册第4章《一次函数练习》学案
北师大版初二数学上册第4章《一次函数练习》学案【学习目的】1.梳理本章知识，深化对一次函数关系的了解；2.能处置复杂的实践效果。
【学习重点】处置复杂的实践效果。
【学习难点】梳理本章知识，深化对一次函数关系的了解；【导学进程】1．假定两个变量x、y间的关系式可以表示成_________________的方式，那么称y是x的一次函数，特别地，当_____ ____时，称y是x的正比例函数。
2．正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过___ _的一条直线。
〔1〕当k>0时，图象过___ __象限；〔2〕当k<0时，图像过___ __象限。
3．一次函数y=kx+b中〔k≠0〕〔1〕当k>0时，y的值随x值的增大而__ _；〔2〕当k<0时，y的值随x值的增大而___ ___4．y是x的一次函数，〔1〕依据下表写出函数表达式；〔2〕补全下表5．作出函数y=3-2x的图象，并回答以下效果。
〔1〕y的值随着x值的增大而________；〔2〕区分求出图象与x轴、y轴的交点坐标。
6．某图书馆展开两种方式的租书业务：一种是运用会员卡，另一种是运用租书卡，运用这两种卡租书，租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如以下图所示.(1) 区分写出用租书卡和会员卡租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的函数关系式.(2) 两种租书方式每天租书的收费区分是多少元？(x≤100)7．有三个一次函数，下表给出了每个函数的表格，图象，关系式三种表示方法，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上：_________、_________、_________.8．小明和小亮停止百米赛跑，小明比小亮跑得快，假设两人同时起跑，小明一定赢，如今小明让小亮先跑假定干米，图中，L1,L2区分表示两人的路程与小明追逐时间的关系．(1) 哪条线表示小明的路程与时间的关系？(2) 小明让小亮先跑了多少米？〔3〕谁将赢得这场竞赛？9．小明用的练习本可在甲乙两商店买到，两个商店的标价都是每本练习本1元．但甲商店的优惠条件是：购置10本以上，从第11本末尾按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是；从第1本末尾就按标价的8.5折卖。
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新征程教育辅导讲义题型二、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、下列各函数中，y 与x 成正比例函数关系的是（其中k 为常数）( ) A 、y=3x －2 B 、y=(k+1)x C 、y=(|k|+1)x D 、y= x 22、如果y=kx+b ，当 时，y 叫做x 的正比例函数3、一次函数y=kx+k+1，当k= 时，y 叫做x 正比例函数4、下列函数关系中，是一次函数的个数是( ) ①y=1x ②y=x 3 ③y=210－x ④y=x 2－2 ⑤ y=13x +1A 、1B 、2C 、3D 、45、若函数y=(3－m)x m -9是正比例函数，则m= 。
6、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n) （1）是一次函数 （2）是正比例函数7、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；8、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 9、当m_____________时，()21445m y m xx +=-+-是一次函数；10、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型三、一次函数与坐标系1.一次函数y=－2x+4的图象经过第 象限，y 的值随x 的值增大而 （增大或减少）图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ．2. 已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ．3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限．4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( ) A. 1- B. 1 C. 41-D. 41 5.如图，表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y=mnx(m ，n 是常数，且 mn ≠0)图像的是( ).6、（2007福建福州）已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图1所示，那么a 的取值图1Ox y范围是（）AA．1a>B．1a<C．0a>D．0a<7．一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（）8、点B（2，-2）到x轴的距离是_________；到y轴的距离是____________；9、点C（0，-5）到x轴的距离是_________；到y轴的距离是____________；到原点的距离是____________；10、点D（a,b）到x轴的距离是_________；到y轴的距离是____________；到原点的距离是____________；题型四、函数图像及其性质方法：函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）k＞0b＞0b=0b＜0k＜0b＞0b=0b＜0☆一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的，也表示直线在y轴上的。
☆同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行。
当时，两直线垂直。
当时，两直线相交。
当时，两直线交于y轴上同一点。
☆特殊直线方程：X轴 : 直线 Y轴 : 直线与X轴平行的直线与Y轴平行的直线一、三象限角平分线二、四象限角平分线1、对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而___________。
2、对于函数1223y x=-, y的值随x值的________而增大。
3、一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。
4、直线y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是_________。
5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_______象限。
6、无论m为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
7、已知一次函数（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？（2）当m取何值时，函数的图象过原点？题型五、待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。
☆已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；☆若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0）求解析式。
5、已知直线经过点（1,2）和点（3,0），求这条直线的解析式.6.如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴相交于C点．求：(1)直线AC的函数解析式；(2)设点(a，－2)在这个函数图象上，求a的值；7、如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？8、东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段1y、2y分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。
⑴试用文字说明：交点P所表示的实际意义。
⑵试求出A、B两地之间的距离。
题型六、平移方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，123456yxOABC(2,4)23451Oy(千米)x(小时)y1y21232.547.5P4、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；（1）求△COP的面积；（2）求点A的坐标及p的值；（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。
5、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D （1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点P，求的值。
6. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。
7、如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B .⑴求A，B两点的坐标；⑵过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求ΔABP的面积(2,p)yxPO FEDCBA.题型八：一次函数与二元一次方程的关系1、已知一次函数y kx b=+的图象如图（6）所示，当1x<时，y的取值范围是（）Ａ．20y-<<Ｂ．40y-<<Ｃ．2y<-Ｄ．4y<-2、一次函数1y kx b=+与2y x a=+的图象如图，则下列结论①0k<；②0a>；③当3x<时，12y y<中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33、方程组⎩⎨⎧+==-3214xyyx的解是，则一次函数y=4x－1与y=2x+3的图象交点为。
4、如图，直线y1＝kx＋b过点A（0《2），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是．5、若点A(2，-3)、B(4，3)、C(5，a)在同一条直线上，则a的值是（）A、6或-6B、6C、-6D、6和36、如图，直线1l：1y x=+与直线2l：y mx n=+相交于点P（a，2），则关于x的不等式1x+≥mx n+的解集为．yxOP2a（第13题）1l2lxyO 32y x a=+1y kx b=+第2题图10 2－4xy。