中考数学各种题型的突破方法

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1 均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl． 求证：△ABC≌△A1B1C1． (请你将下列证明过程补充完整．)
证明：分别过点 B，B1 作 BD⊥CA 于 D，
例 3 如图 10-5，已知矩形 ABCD 的边长 AB 3cm，BC 6cm ．某一时刻， 动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以1cm / s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm / s 的速度向 A 点匀速运动，问：
（1）经过多少时间， △AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 1 ？ 9
方法点拨：归纳猜想题最忌讳毫无章法，胡乱猜测，归纳猜想题往往是有
章可循的，只要你循序渐进，仔细观察和分析，一定可以从题目的条件中发现
重要信息，从而实现轻松解题．本题要求从现有的三个图形中，找出规律，然
后分析出再一次闪烁后出现的图形．
2．数形结合法
例 2 探索规律：根据图 10-4 中箭头指向的规律，从 2004 到 2005 再到
2
9
解方程，得 x1 1，x2 2 ．
经检验，可知 x1 1，x2 2 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后， △AMN 的
面积等于矩形 ABCD 面积的 1 ． 9
（2）假设经过 t 秒时，以 A，M， N 为顶点的三角形与 △ACD 相似，
由矩形 ABCD ，可得∠C∠DA MAN 90 ，因此有 AM DC 或 AN DA
种三角形．
答案：（1）又∵AB＝ A1B1 ，∠ADB＝∠△ A1D1B1 ， ∴∠A＝∠ A1
又∵∠C＝∠ C1 ，BC＝ B1C1
∴△ABC≌△ A1B1C1
（2）若△ABC、△ A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三
角形，AB＝ A1B1 ，BC＝ B1C1 ，∠C＝∠ C1 ，则△ABC≌△ A1B1C1
3 读完这段材料，请你思考后回答： （1）1 2 2 3 100 101
（2）1 2 3 2 3 4 nn 1n 2
（3）1 2 3 2 3 4 nn 1n 2
（只需写出结果，不必写中间的过程）
1
答案：（1） 1 100101102 或 343400；（2） 1 n(n 1)(n 2) ；（3）
2006，箭头的方向是（ ）
1
2
5
6
9
10
……
0
3
4
7
8
A
B
C
D
图 10-4
解析：仔细观察分析，本题是通过图形的方式反映数字重复出现的规律，
通过观察，可以看出，每隔 4 个数是一个循环，从图形上体现出相同的规律，
并且 4 既是终了位置同时又是下一个新的循环的起始位置．要找出 2004 至
2005 再到 2006 的箭头方向，计算 2004 4 501 ，说明第 2004 个数刚好是完成
3
3
1 n(n 1)(n 2)(n 3) 4
方法点拨：当有的阅读理解材料中，无法找到明显的书本知识进行解题
时，一定要紧紧抓住试题中所提供的材料与信息，靠船下篙，从题目本身去发
现解题方法．就本题而言，要有一定的数字感知能力，能从三个特殊的等式得
到的式子中发去发现式子的特征，从而找出规律，写出最终结果．
通过设定经过的时间为未知数，把 △AMN 面积用含未知数的式子表示出来，然
后解方程即可．（2）利用相似得到比例式，从而得到相关方程并求解．
3．举一反三法
例 4 如图 10-6，将 n 个边长都为 1cm 的正
方形按如图所示摆放，点 A1、A2、…、An 分别 是正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部 分的面积和为（ ）
中考数学各种题型的突破方法
一、阅读理解题型解题方法
1．联系教材法
例 1 我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而
大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边
长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列 4 对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两
烁，下一个呈现出来的图形是（ ）
A
B
C
D
图 10-3
解析：观察上面三个正方形，可以看出每个五角星中有三个深色的三角
形，其中一个单独的与另两个相邻的三角形相对，闪烁一次，三个深色三角形
作为一个整体，可看作是顺时针旋转 144 度（也就是与原来的隔一角）．按此规
律，容易找出下一次闪烁后呈现出来的图形．
答案：A
形，因此在解决这类问题时，也可采用教材中的相关概念或性质等．相似图形
根据定义要求各边对应成比例，各角对应相等，由此可推出各对角线也与各边
对应成比例．所以判断时，也可判断各角是否对应相等．
2．靠船下篙法
例 2 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+…+ n 1 nn 1
方法点拨：本题所提到“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角 形”，在一般情况下是不可以直接判定为全等的，只有当特殊情况，如两个直角 三角形时，可直接判定全等，如果是两个锐角或钝角三角形时，需要证明．如 果不是同一种三角形则不能全等．
3
二、归纳猜想题型解题方法 1．循序渐进法 例 1 如图 10-3，是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形．照此规律闪
相等，从而导致对角线不一定能与边长对应成比例，所以两个菱形不一定是相
似图形；两个长方形的边长与对角线也不一定对应成比例；正六边形的边长全
部相等，并且其对角线等于边长的 2 倍，所以两个正六边形的边长与对角线对
应成比例，即两个正六边形是相似图形．
答案：①、④
方法点拨：有的阅读理解题所提供的材料也可从书本知识上找到相关原
cm2
答案：选择 C
方法点拨：归纳猜想题中，有许多试题是通过局部反映整体的．这时，要
求能通过观察，发现这种特点，然后只需分析或者解决其中部分问题，再通过
举一反三，达到通盘解决问题的目标．利用旋转或三角形全等知识可证明每两
个相邻正方形重叠部分的面积等于一个正方形面积的四分之一，再通过观察，
发现后面全部具有相同的规律，容易求出结果．
第 501 个循环，同时又将开始下一个循环．
答案：A
4
方法点拨：在许多数学试题中，数形结合思想至关重要，在归纳猜想题里 也不例外．有时单从数字中很难看出什么眉目，但如果能有意识的从“形”的 角度联系起来进行分析，往往会收到出奇制胜的效果．本题是数形结合反映规 律，重复出现的图形反映出数字所具有的规律，要求解数字问题，关键还在于 找出图形体现出的规律．
AM DA AN DC
即 t 3 ①，或 t 6 ②．
6 2t 6
6 2t 3
解①，得 t 3 ；解②，得 t 12
2
5
经检验， t 3 或 t 12 都符合题意，所以动点 M，N 同时出发后，经过 3
2
5
2
秒或 12 秒时，以 A，M， N 为顶点的三角形与 △ACD 相似 5
个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形
________________
．
解析：通过对材料的阅读，能称为相似图形的条件是边长，对角线等元素 对应成比例．因为圆的周长等于 2 r ，所以两的圆的周长比等于半径比，因此
两个圆是相似图形；两个菱形的各边长可以对应成比例，但其角度不一定对应
十平均每场失误×(－1．5)，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评
价方法，来比较姚明在分别与“超音速”和“快船”的各四场比赛中，对阵哪
一个队表现更好?
解析：（1）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中，平均每场得分为 x1 ＝ 25．25
姚明在对阵“快船”队的四场比赛中，平均每场得分为 x2 ＝23．25
A2 A3
A1
A． 1 cm2 4
C． n 1 cm2 4
B． n cm2 4
D． (1 )n cm2 4
A4
）
图 10-6
解析：通过观察，不难发现，每两个连续的这样摆放的正方形中互相重叠
的部分的面积刚好是一个正方形面积的四分之一，而三个连续这样摆放的正方
形有两个这样的重叠的部分．所以 n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 n 1 4
例 3 姚明是我国著名的篮球运动员，他在 2005－2006 赛季 NBA 常规赛中表
现非常优异．下面是他在这个赛季中，分期与“超音速队”和“快船队”各四
场比赛中的技术统计．
对阵超音速
对阵快船
场次 得 篮 失 得 篮 失
分板误分板误
第一场 22 10 2 25 17 2
第二场 29 10 2 29 15 0
（2）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中得分的方差为 S12 ＝6．6875
姚明在对阵“快船”队的四场比赛中得分的方差为 S22 ＝19．1875
（3）姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中的综合得分为
p1
＝25．25+11×1．5＋
11 4
×（－1．5）＝37．625
姚明在对阵“快船”队的四场比赛中的综合得分为
B1 D1⊥C1 A1 于 D1．
则∠BDC=∠B1D1C1=900，
∵BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD=B1D1．
(2)归纳与叙述：
C