三角形的内切圆.习题集(2014-2015)-教师版
三角形的内切圆练习题
三角形的内切圆练习题三角形的内切圆练习题在数学中，三角形是一个基础而重要的概念。
而在三角形的内部，有一个特殊的圆形，称为内切圆。
内切圆是可以与三角形的三条边都相切的圆形，它有着许多有趣的性质和应用。
在本文中，我们将通过一些练习题来探索三角形的内切圆。
练习题1：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，内切圆的半径为r。
证明：三角形ABC的面积S等于内切圆的半径r与三角形ABC三边长之和的乘积的一半，即S = r × (AB + BC + AC) / 2。
解答：我们可以通过两种方法来证明这个结论。
方法一：利用三角形的高度我们知道，三角形的面积可以通过底边与高度的乘积来计算。
考虑三角形ABC，假设内切圆的圆心为O，与三边AB、BC和AC分别相切于点D、E和F。
连接AO、BO和CO，分别延长到与内切圆相交于点P、Q和R。
由于AO与DO垂直且相等，所以DO是三角形ABC的高度。
同样地，EO和FO也是三角形ABC 的高度。
因此，我们可以得到三角形ABC的面积S = DO × AB / 2 + EO × BC /2 + FO × AC / 2。
另一方面，根据内切圆的性质，我们知道DO = EO = FO = r。
将这个结果代入到上面的等式中，我们可以得到S = r × (AB + BC + AC) / 2，证明完成。
方法二：利用三角形的面积公式我们知道，三角形ABC的面积可以通过海伦公式来计算，即S = √[s(s - AB)(s- BC)(s - AC)]，其中s是三角形的半周长，即s = (AB + BC + AC) / 2。
我们将这个面积公式代入到S = r × (AB + BC + AC) / 2中，可以得到S = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)] = r × (AB + BC + AC) / 2。
通过对等式两边进行平方操作，我们可以得到等式两边的平方相等，从而证明了这个结论。
三角形的内切圆-练习题 含答案
三角形的内切圆副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.下列语句正确的个数是过平面上三点可以作一个圆；平分弦的直径垂直于弦；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆，错误；平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，错误；三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确，正确的有1个，故选A．利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项；本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识，解题的关键是能够了解有关的定义及定理，难度不大．2.如图，在中，，点I是内心，则的大小为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，点I是内心，，，，，故选：C．根据三角形内角和定理求出，根据内心的概念得到，，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心的概念、三角形内角和定理是解题的关键．二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）3.如图，O是内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离相等，若，则______度【答案】125【解析】解：点O到三边AB、BC、CA的距离相等，点O是三角形的内心，．根据点O到三边AB、BC、CA的距离相等，知三角形是内心，从而结合角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可得到．熟悉三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形的三边的距离相等；当O是内心时，则．。
《三角形的内切圆》专题练习
《三角形的内切圆》专题练习一、选择题1．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）A．130° B．60° C．70° D．80°2．下列图形中一定有内切圆的四边形是（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形3．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（） A．45° B．55° C．65° D．70°二、填空题1．一个直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的内切圆半径为。
2．一个等边三角形的边长为4，则它的内切圆半径为。
3．在△ABC中， AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则它的内切圆半径为。
4．顶角为120°的等腰三角形的腰长为4cm，则它的内切圆半径为。
三、解答下列各题1．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求AD、BE、CF的长。
2．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AB、AC分别相切于点D、E、F，⑴探求∠EDF与∠A的度数关系。
⑵连结EF，△EDF按角分类属于什么三角形。
⑶I是△EDF的内心还是外心？r。
（4）圆M的半径4．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。
5．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n-1均与AB 边相切，求r n 。
三角形内切圆练习题
三角形内切圆练习题三角形内切圆练习题三角形是几何学中的基本形状之一，而内切圆则是与三角形密切相关的概念。
在几何学中，内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
研究三角形内切圆的性质和问题，不仅能够加深对几何学的理解，还能够培养逻辑思维和问题解决能力。
下面，我们来通过一些练习题来深入探讨三角形内切圆的特性。
练习题一：已知三角形的三边长为a、b、c，内切圆的半径为r，求内切圆的面积。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
其中，半周长s等于三角形的周长的一半，即s = (a + b + c)/2。
所以，内切圆的面积可以表示为S = rs。
练习题二：已知三角形的内切圆的半径r，求三角形的面积S。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的面积可以表示为S = rs。
练习题三：已知三角形的内切圆的半径r，求三角形的周长。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的周长可以表示为s = S/r。
练习题四：已知三角形的内切圆的半径r和面积S，求三角形的周长。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的周长可以表示为s = S/r。
结合已知条件，我们可以得到s = S/r，进而求得三角形的周长。
练习题五：已知三角形的两边长a和b，以及内切圆的半径r，求三角形的第三边长c。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的面积可以表示为S = rs。
根据海伦公式，我们知道三角形的面积S可以表示为S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s = (a + b + c)/2。
(整理版)《三角形的内切圆》练习题
《三角形的内切圆》练习题
一、复习回忆
判断直线是圆的切线有哪些方法？
二、探索活动
活动一：如图1，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线.
活动二：如图2，点D、E、F在⊙O上，分别过点D、E、F作⊙O的切线，3条切线两两相交于点A、B、C.
活动三：△ABC，如何作⊙O，使它与△ABC的3边都相切呢？
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
问题1:分别作出以下三角形的内切圆，并观察内心的位置，你有什么发现？
问题2:比拟三角形的外心和内心，完成以下表格.
名称确定方法“心〞的性质“心〞的位置
外心〔三角形外接圆
的圆心〕
内心〔三角形内切圆
的圆心〕
三、达标训练
1．如图，I 是△ABC 的内心.根据以下条件,求∠BIC 的度数. 〔1〕∠B=50°，∠C=60°； 〔2〕∠A=50°.
2．如图，在△ABC 中，内切圆O 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F.
〔1〕当∠B=60°，∠C=70°，求∠EDF 的度数.
〔2〕假设连结EF ，那么△DEF 是什么三角形〔从角的方面考虑〕？并说明理由.
3．如图，等边△ABC 的边长为a ．求它的内切圆与外接圆的半径.
四、延伸拓展
1．如图，Rt △A BC 中，∠C=90°，内切圆⊙I 分别切A C ，BC 于D ，E. 〔1〕四边形CDIE 是什么特殊四边形？为什么？ 〔2〕如果AC=8，BC=6，求⊙I 的半径．
A
B
C I
D
E。
专题34 三角形的内切圆问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题34 三角形的内切圆问题【规律总结】1、“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”2、“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”【典例分析】例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒其周长为20，I是ABC ∆BIC ∆的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D ． 【答案】D【分析】过C 作CD⊥AB 于D ，由60BAC ∠=︒结合面积求出BC 的长，由内心可以求出120?BIC ∠=，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE⊥BC 于E ，求出圆心角2120BOC F ∠=∠=︒，最后由垂径定理求出半径OB【详解】过C 作CD⊥AB 于D ，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE⊥BC于E ，设,,AB c AC b BC a ===，⊥60BAC ∠=︒，⊥11,,22AD b DC BD c b ===-，⊥在ABC ∆周长为20⊥112022ABC S CD AB =⨯=，⊥20c =⊥=40bcRt BDC 中，222BD CD BC +=⊥2221())2c b a -+= 222c b bc a +-=⊥在ABC ∆周长为20，⊥+=20c b a +⊥22222()3(20)340a c b bc b c bc a =+-=+-=--⨯解得7BC a ==⊥I 是ABC ∆的内心⊥BI 、CI 分别平分⊥ABC 、⊥ACB ⊥11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠= ⊥60BAC ∠=︒⊥120?ABC ACB ∠+∠= ⊥1180180()120?2BIC IBC ICB ABC ACB ∠=-∠-∠=-∠+∠= ⊥+180BIC F ∠∠=°⊥60F ∠=︒⊥2120BOC F ∠=∠=︒⊥OE⊥BC ⊥1602BOE BOC ∠=∠=︒,1722BE BC ==⊥72OB BE ===故选D【点睛】 本题综合考察三角形的内心和外心，熟记内心和外心的性质是解题的关键例2．（2019·广东广州市·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，⊙O 为ABC ∆的内切圆，OA ，OB 与⊙O 分别交于点D ，E ．则劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==，接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB ∴==， O 为ABC 的内切圆，681022OD +-∴==，OA 平分BAC ∠，OB 平分ABC ∠， 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒， ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．例3．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）如图1，设ABC ∆是一个锐角三角形，且AB AC ≠，Γ为其外接圆，O H 、分别为其外心和垂心，CD 为圆Γ直径，M 为线段BC 上一动点且满足2AH OM =．（1）证明：M 为BC 中点；（2）过O 作BC 的平行线交AB 于点E ，若F 为AH 的中点，证明： EF FC ⊥；（3）直线AM 与圆Γ的另一交点为N （如图2），以AM 为直径的圆与圆Γ的另一交点为P ．证明：若AP BC OH 、、三线共点，则AH HN =；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ， EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【详解】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC ⊥又H 为ABC ∆垂心⊥BH AC ⊥，AH BC ⊥⊥//,//AD BH BD AH⊥四边形ADBH 为平行四边形⊥2DB AH OM ==，又O 为CD 中点⊥M 为BC 中点（2）过E 作EG BC ⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形 ⊥,CH AB AB GF ⊥⊥CH GF ⊥⊥H 为FGC ∆垂心⊥,GH GH CF EF ⊥而⊥EF FC ⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形⊥I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP⊥,OF AP MH OF ⊥而⊥MH AP ⊥设,MC AP Q 交于则H 为AMQ ∆垂心⊥QH AM ⊥AP BC OH 、、三线共点⇔,,O H Q 三点共线⇔OH AN⊥⇔AH HN=【点睛】本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江金华市·九年级学业考试）如图，⊙O是等边⊙ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则⊙EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°【答案】B【分析】连接OE，OF．求出⊥EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．⊥⊥O是⊥ABC的内切圆，E，F是切点，⊥OE⊥AB，OF⊥BC，⊥⊥OEB=⊥OFB=90°，⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥⊥B=60°，⊥⊥EOF=120°， ⊥⊥EPF=12⊥EOF=60°， 故选：B ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2020·浙江温州市·九年级二模）如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若37AECF ABCD S S =四边形矩形，则EF 的长为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式，再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系，从而分别求出r ，xy 、22xy +的值，最后由勾股定理求得EF 值. 【详解】如图，设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，则⊥矩形ABCD 的周长为16，⊥x+y=8①⊥E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，⊥11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形， ⊥37AECFABCD S S =四边形矩形， ⊥247ABCE ABCD S S =四边形矩形， ⊥112()4227xr yr xy +=， 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236x y +=，作EH⊥FH 于H ，由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12，⊥EF=故选：B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.二、填空题3．（2019·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若108AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图，设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，根据这8个角和为360°，⊥1+⊥8=108AOB ∠=︒，即可求出COD ∠=⊥5+⊥4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，则OE AB ⊥，OF CB ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥且OE OF OG OH ===， 在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ⊥Rt BEO Rt BFO ∆∆≌，⊥12∠=∠，同理可得：34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点睛】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法．4．（2019·湖南广益实验中学九年级月考）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF 折叠，使点C落在AB边的中点M处。
北师大版九年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆(含答案)
A．130°
B．60°
C．70°
D．80°
3．下列图形中一定有内切圆的四边形是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
4．如图，⊙O 内切于△ABC，切点为 D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结 OE，OF，
DE，DF，∠EDF 等于（ ）
A．45°
B．55°
C．65°
D．70°
5.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线 AD 与⊙O 的位置关系， 并说明理由。
3.6 直线和圆的位置关系
第 2 课时 切线的判定及三角形的内切圆
1．OA 平分∠BOC，P 是 OA 上任意一点（O 除外），若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相切，那
么⊙P 与 OB 的位置位置是（ ）
A．相交
B．相切
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．相离 D．相交或相切
2．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为 130°，则∠A 的度数为（ ）
6.如图，BC 与⊙O 相切于点 B，AB 为⊙O 直径，弦 AD∥OC，求证：CD 是⊙O 的切线。
7.如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.
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8.已知如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以 AB 为直径作 ⊙O，求证：⊙O 和 CD 相切.
9.如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且 OA2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.
10.如图，⊙O 分别切△ABC 的三条边 AB、BC、CA 于点 D、E、F、若 AB＝7，AC＝5，BC＝6， 求 AD、BE、CF 的长。
九年级数学下册 第2章 2.5.4 三角形的内切圆练习 (新版)湘教版
2.5.4 三角形的内切圆知|识|目|标1．经过观察、讨论、猜想教材“议一议”与“动脑筋”，理解三角形的内切圆的概念及其作法．2．结合方程思想，会求直角三角形内切圆的半径.目标一 掌握三角形的内心的性质与内切圆的画法例1 教材补充例题某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．(1)若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域(如图2－5－17)内确定圆形花坛的圆心P ； (2)若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．图2－5－17【归纳总结】对三角形的内切圆的理解及内切圆的作图步骤：(1)任何一个三角形都只有唯一的内切圆，而一个圆可以有无数个外切三角形． (2)三角形内切圆的作图步骤：①分别作三角形任意两个内角的平分线，设两条内角平分线相交于点I ； ②过交点I 作三角形任意一边的垂线段；③以交点I 为圆心，以②中垂线段长为半径作圆，则所作的圆为三角形的内切圆． (3)三角形的内切圆是三角形内所作的最大的圆，也是三角形能够覆盖的最大的圆，在材料的使用率最大上直接得到体现．目标二 会进行三角形内切圆的有关计算例2 教材例6针对训练如图2－5－18，在△ABC 中，内切圆I 和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，F ，E.求证：(1)∠FDE ＝90°－12∠A ；(2)∠BIC ＝90°＋12∠A.图2－5－18【归纳总结】三角形内切圆的有关计算： (1)三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此三边所在直线均是内切圆的切线，连接圆心与切点，即可构造直角三角形；图2－5－19(2)设三角形的内心为I ，则内心I 向三角形一边张开的角的度数等于这边的对角的一半加上90°.即如图2－5－19，∠I ＝∠A2＋90°.例3 高频考题如图2－5－20，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5.⊙O 是△ABC 的内切圆，与三边分别相切于点E ，F ，G. (1)求证：内切圆的半径r ＝1； (2)连接OA ，求tan ∠OAG 的值．图2－5－20【归纳总结】三角形内切圆半径的计算方法：(1)若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r 内，三角形的面积为S ，则有： ①S ＝12(a ＋b ＋c)·r 内；②r 内＝2Sa ＋b ＋c.(2)直角三角形中，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，内切圆半径为r 内，则有r 内＝a ＋b －c2.知识点 三角形的内切圆、内心1．三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆；三角形内切圆的圆心是三角形______________的交点，叫作三角形的内心．2．(1)“内切”“外切”只不过是相对位置的内与外，“内”是相对三角形而言，“外”是相对圆而言．(2)正确区分三角形的外接圆与内切圆、接与切、外心与内心这三组概念：①若三角形的三个顶点在圆上，则圆在三角形的外部，这个圆叫作三角形的外接圆．②若三角形的三边都和圆相切，则圆在三角形的内部，这个圆叫作三角形的内切圆．三角形的顶点都在圆上叫作“接”，三角形的边都与圆相切叫作“切”．③内心是三角形三条角平分线的交点，而外心是三角形三边垂直平分线的交点．3．三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的性质对比如下：如图2－5－21，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，小明认为剪下的三角形的周长随直线MN的变化而变化．你认为他的看法正确吗？如果你有不同的意见，请说出你的理由．图2－5－21教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 由题意可知三角形为正三角形，设计方案可根据内切圆性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆使圆形花坛面积最大，然后由圆的性质求出内切圆的半径，再求出其面积．解：(1)要使花坛面积最大，需在△ABC 内作一个内切圆，则此圆面积最大，图①中的点P 即为所求．(2)如图②，过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，连接PB.由题意，知在Rt △BPD 中，BD ＝9米，∠PBD ＝30°，∴tan 30°＝PD BD ，∴PD ＝BD·tan 30°＝9×33＝3 3，∴花坛的面积为π×(3 3)2＝27π(米2)．例2 [解析] (1)欲证∠FDE ＝90°－12∠A ，观察图形，联想切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和定理，需连接IE ，IF ，则∠AEI ＝∠AFI ＝90°.因此，在四边形AEIF 中，有∠EIF ＝180°－∠A ，所以∠FDE ＝12∠EIF ＝12(180°－∠A)，问题得证；(2)在△IBC 中，∠BIC ＝180°－(∠1＋∠2)．因为BI ，CI 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，所以∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠ACB.再根据三角形内角和定理可得结论．证明：(1)如图，连接IE ，IF.∵AB ，AC 是⊙I 的切线， ∴∠AEI ＝∠AFI ＝90°.∵∠A ＋∠AEI ＋∠EIF ＋∠AFI ＝360°， ∴∠A ＋∠EIF ＝180°， ∴∠EIF ＝180°－∠A. ∵∠FDE ＝12∠EIF ，∴∠FDE ＝12(180°－∠A)，∴∠FDE ＝90°－12∠A.(2)∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠ACB.∵∠1＋∠2＋∠BIC ＝180°， ∴∠BIC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)．∵∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ， ∴∠BIC ＝180°－12(180°－∠A)，即∠BIC ＝90°＋12∠A.例3 [解析] (1)如图，连接OE ，OF ，OG.由⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，得到四边形CEOF 是正方形，根据切线长定理列方程得到结果；(2)连接OA ，在Rt △AOG 中，由锐角三角函数得到结果．解：(1)证明：如图，连接OE ，OF ，OG. ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C ＝90°， ∴易证四边形CEOF 是正方形， ∴CE ＝CF ＝r.由切线长定理知AG ＝AE ＝3－r ，BG ＝BF ＝4－r. ∵AG ＋BG ＝5，∴(3－r)＋(4－r)＝5，解得r ＝1.(2)连接OA.在Rt △AOG 中，∵r ＝1，AG ＝3－r ＝2，∴tan ∠OAG ＝OG AG ＝12.备选目标 三角形的内心与各顶点的连线平分三角形内角性质的应用例 如图所示，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∠C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a.设⊙O 的半径为r.求证：r ＝aba ＋b ＋c.[解析] 连接OA ，OB ，OC ，则S △ABC ＝S △OAC ＋S △OBC ＋S △OAB ＝12AC·BC.证明：连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ， 则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OF ⊥AB. ∵OD ＝OE ＝OF ＝r ， ∴S △OAC ＝12AC·OD＝12br.同理S △OBC ＝12ar ，S △OAB ＝12cr.∴S △ABC ＝S △OAC ＋S △OBC ＋S △OAB ＝12(a ＋b ＋c)r.又∵S △ABC ＝12AC·BC＝12ab ，∴12(a ＋b ＋c)r ＝12ab ，∴r ＝aba ＋b ＋c. [归纳总结] (1)内心是三角形三个内角平分线的交点，因此，①内心与各顶点的连线一定平分该内角；②内心到各边的距离相等，这个距离即是内切圆的半径．(2)若在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，由以上性质可推出S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r ；直角三角形内切圆的半径r ＝a ＋b －c 2＝aba ＋b ＋c (a ，b 分别是直角三角形两直角边的长，c 为斜边长)．【总结反思】[小结] 知识点 1.三条角平分线 [反思] 小明的看法错误，理由略．。
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【例1
】 如图所示，ABC △中，内切O ⊙和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F .若70FDE ∠=︒，
求A ∠的度数.
O
F
E
D C B A
O F
E
D C B
A
【解析】 分别连接OE ，OF ，则OF AB ⊥，OE AC ⊥
∴3609090180A EOF ∠+∠=︒-︒-︒=︒
而EOF ∠与FDE ∠是同弧所对的圆心角和圆周角 ∴2EOF FDE ∠=∠
∴180240A FDE ∠=︒-∠=︒.
【例2】 如图，O ⊙是ABC △的内切圆，D E F 、、是切点，18cm AB =，20cm BC =，12cm AC =，又直
线MN 切O ⊙于G ，交AB BC 、于M N 、，则BMN △的周长为______________．
O N M G
F E
D
C B
A
【答案】26cm
【例3】 Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=︒==，
，，则ABC △的内切圆半径r =________． 【答案】2
【例4】 如图，
O 为Rt ABC ∆的内切圆，9043ACB AC BC ∠=︒==，，，求内切圆半径r ．
4
3O
C
B
A
4
3
O
C
B
A
P
N
M
O C
B
A
【答案】方法一：
连接OA OB OC ，，， ∵43AC BC ==，， ∴5AB =
∵BOC AOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，
设三角形的底BC AB AC ，，各为a b c ，，，
课堂练习
三角形的内切圆学案
即11112222ar br cr ab ++=，∴341345r ⨯==++ 方法二：
设O 切BC AC ，，AB 于M N ，，P 三点， 由切线长定理可知：CN CM AN AP BM BP ===，， ∴()()CM CN CB BM AC AN +=-+- BC AC BP AP =+--
3452BC AC AB =+-=+-= ∵CM CN =，∴1CM =， 由90C OM BC ON AC ∠=︒⊥⊥，，可证得四边形OMCN 为正方形． ∴1OM MC ==，即O 的半径1r =．
【例5】 如图，1O 和2O 为Rt ABC ∆的内切等圆，43AC BC ==，，求1O 的半径r ．
O 2
O 1C
B
A
【答案】连接1212BO AO CO CO ，，，．
则121212ABC BCO ACO CO O ABO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形， 即34(25)(2.4)234r r r r r r ++++-=⨯，解得5
7
r =
． O 2
O 1
C
B
A
【例6】 如图，12
n O O O ，为Rt ABC ∆的内切等圆，43AC BC ==，，求1O 的半径r ．
O n
O 2
O 1C
B
A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【答案】参见前一变式的解法，由面积易得，
∵111n n n ABC BO C CO O ACO BAO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形，
即1111121
3434(22)()[2(1)5]222252
r r n r r n r r ⨯⨯=⨯+⨯+-⨯-+-+， ∴65
12236(1)5
r n n ==++-．
【例7】 如图，若两等圆12O O ，与Rt ABC ∆的边BC 及AC AB ，的延长线相切，且两等圆外
切，求此时两等圆的半径r ．
O 2
O 1B
A
C
【答案】连接121122O O O C O A O B O A ，，，，，
∵112212ABC ACO O O A AO B O O BC S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形， 即()()12424523r r r r r r =+⋅++-+，解得，6
7
r =
． 【例8】 若将上面变式中的n 个等圆，放到ABC ∆外相邻两圆相外切，且与线段BC 相切，与线
段AB AC ，的延长线相切，求这些圆的半径r ．
O n
O 1C
B
A
分析：连接111n n n O C O A O O O B O A ，，，，，
则111n n n ABC AO C AO O ABO BCO O S S S S S ∆∆∆∆=++-梯形，
即4(22)(4)5[(22)3]12r n r r r n r r +-⋅++--+=，解得6
41
r n =
-． 【例9】 圆外切四边形的对边和相等：BC AD CD AB +=+；
O
D
C
B
A
【答案】由切线长定理可设线段长度如图所示；
则BC AD d c b a CD AB +=+++=+；
d d c
c
b
b a
a O
H
G F E D
C B A
【例10】 如图1,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,点P 为BC 上一动点.
(2)如图2,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,点P 为BC 上一动点. (3)如图3,六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形,点P 为BC 上一动点. 请探究P A 、PB 、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明.
【答案】（1）PA PB PC =+（2）2PA PC PB =+（3）3PA PC PB =+
【例11】 如图，在边长为
103的等边三角形纸片上剪下一块圆形和一块扇形纸片，使它们恰好作成一个圆
锥模型，它的底面半径是___________.
【答案】1017
【练1】已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8.
(1) 如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；
(2) 如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC
、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，
求r 2；
(3) 如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且 ⊙
课后作业
O1 与AC、BC相切，⊙O n与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙O n－1均与AB边相切，求r n.
【答案】
12
r=，
210 7
r=，。