人教新课标版(A)高二选修1-1 1.4.1全称量词与存在量词同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.4.1 全称量词与存在量词同步练习题
【基础演练】
题型一：全称量词与存在量词
短语“对所有的”，“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，短语“存在一个”，“至少有一个”，在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 用符号“∀”、 “∃”表达下列命题。

（1）实数都能写成小数形式；
（2）凸n 边形的外角和都等于2π；
（3）任一个实数乘-1都等于它的相反数；
（4）存在实数x ，使得23x x >；
（5）对任意角a ，都有1cos sin 22=+a a
2. 把下列命题写成含有量词的命题。

（1）余弦定理；
（2）正弦定理。

3. 试用不同的全称量词表达命题“四边形x 的内角和为360°”。

4. 试用不同的存在量词表达命题“存在实数x 使得x x =2成立”。

题型二：全称命题与特使命题
含有全称量词的命题叫全称命题，可用符号简记为“)(,x P M x ∈∀”，含有存在量词的命题叫特称命题，可用符号简记为“)(,x P M x ∈∃”,请根据以上知识解决以下5~7题。

5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。

（1）对数函数都是单调函数；
（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
（3）{}是无理数︱x x x ∈∀，2x 是无理数。

（4） {}
Z x x x ∈∈∃︱,0log 2>x
6. 判断下列语句是不是全称命题或者特称命题，如果是，用量词符号表达出来：
（1）中国的所有江河都流入太平洋；
（2）0不能作除数
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数。

（4）每一个向量都有方向吗？
7. 判断下列命题的真假：
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x,y ）都对应一点P ；
（2）存在一个函数，既是偶函又是奇函数；
（3）每一条线段的长充考取有用正有理数表示：
（4）存在一个实数，使等式082=++x x 成立。

【互动探究】
［学科内综合］
8. 判断下下命题的真假：
（1） R x ∈∀，012>++x x ；
（2） Q x ∈∀，12
1312++x x 是有理数； （3）R 、∈∃βα，使βαβαsin sin )sin(+=+
（4）Z y x ∈∃，使1023=-y x ；
（5）α∀、R b ∈，方程ax+b=0恰好有一个解。

9. 设语句)(x q ：x x cos )2sin(=-π
（1）写出)2
(πq ，并判定它是否是真命题？
（2）写出)(,a q R ∈∀α，并判定它是否是真命题？
[新型题]
10. 考察以下推导：
设a=b,则有ab a =2 222b ab b a -=-⇒
)())((b a b b a b a -=-+⇒
1
22=⇒=⇒=+⇒b
b b
b a 请从逻辑角度以去找出问题并分析原因。

[探究题]
11. 设22:)(x x p x >，试问：
（1）当x=5时，p （5）是真命题吗？
（2）p （-1）是真命题吗？
（3）x 取哪些整数值时，p （x ）是真命题？
12. 下列命题中的假命题是（ ）
A. 存在实数α和β,使βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+
B.不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+
C. 对任意α和β，使βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+
D. 不存在这样的α和β，使βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+
13. 已知圆1)sin ()cos (221=-++θθy x M ，直线kx y l =:，下面四个命题
A. 对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 相切
B. 对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点
C. 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；
D. 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切。

其中真命题的代号是________（写出所有真命题的代号）。

参考答案：
1. 解：（1）R ∈∀,x 能写出小数形式；
（2）n A A A ∠∠∀∠,,,21 为凸边形的外角，π221=∠++∠+∠n A A A
（3）R x ∈∀ x ·（-1）=-x
（4）23,x x R x >∈∃
（5）1cos sin ,22=+∀a a a
2. 解：（1）任意一个三角形的三边a 、b 、c 和三内角A 、B 、C
ab
c b a C 2cos 2
22-+= （2）任意一个三角形的三边a 、b 、c 和三内角A 、B 、C
C
c B b A a sin sin sin == （3）解：对所有的四边形x,x 的内角和为360°。

对一切四边形x 的内角和为360°。

每一个四边形x 的内角和为360°。

任一个四边形x 的内角和为360°。

凡是四边形x ，x 地内角和都为360°。

4. 解：至少有一个R x ∈，使x x =2
成立。

对有些实数x ，使x x =2成立；
有一个R x ∈，使得x x =2成立。

对某个R x ∈，使x x =2成立。

5. 解：（1）全称命题，真命题；
（2）特称命题，真命题；
（3）全称命题，假命题，例如3=∃x ，但有32=x 是有理数；
（4）特称命题，真命题
6. 解：（1）全称命题，设集合{}是中国的江河︱x x S =，
P （x ）:流入太平洋，则命题可写为：)(,x P S x ∈∀；
（2）既不是全称命题，也不是特称命题
（3）全称命题，可写为x x R x =∈∀1
,
（4）不是命题
7. 解：（1）真命题；
（2）因为y=0，]1,1[-∈x ，既是奇函数，又是偶函数，所以命题为真。

（3）假命题：如直角边长为1的三角形的斜边长为2 （4）因为04
3121822
>++=++）（x x x ，所以为假命题。

8. 解：（1）∵043)21(122>++=++x x x ，∴命题为真命题； （2）真命题；
（3）∵0==βα时，0sin sin ,0)sin(=+=+βαβα
∴βαβαsin sin )sin(+=+ ∴命题为真；
（4）∵x=y=10时，3x-2y=10;
∴命题为真；
（5）∵a=0,b=1时，ax+b=1≠0
∴a=0,b=1时，ax+b=0无解。

∴命题为假。

9. （1）2cos )22sin(:)2(π
ππ
π=-q 既2cos 0sin π
=是真命题。

（2）a a R a cos )2sin(,=-
∈∀π ∵当a=0时，02cos ,1)20sin(=-=-
ππ而 ∴2
cos )20sin(π
π
≠- ∴“)(,ααq R ∈∀”是假命题。

10. 解：由a=b 命题真，可以导出以下三个命题真：ab a =2，222b ab b a -=-，)())((b a b b a b a -=-+，但下一步导出b b a =+是错误的，由于它引用了一个不真的全
称命题“R d ∈∀，等式两边可以除以d ”，（因为d=0时它是假命题），同样的错误是由2b=b 导出2=1。

提示：全称命题真，意 味着对限定集俣中的每一个元素都能具有某性质，使所给语句真，因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”（这类似于“代入”思想）；例如：正由于“R b a ∈∀，3322))((b a b ab a b a +=+-+”真，因此当a=3，b=5时，（3+5）（9-15+25）=3
353+自然是正确的，以上思想要注意准确理解并运用。

11. 解：（1）∵3225＝，2552＝
∵2552>是真命题。

（2）∵112122
1＝）（
＝-⋅- ∴2112）（->-不是真命题。

（3）如图，由242242,22==及（1）和（2）过程得{}{}Z x x x x ∈≥⋃∈且︱51.0时，22x x >，即p （x ）为真。

12. B
13. BD 提示：A 显然错误，如k=0，0＝θ，B 正确，圆M 与线段恒过定点（0，0），C 错误，如0＝θ过（0，0）的切线，斜率不存在，D 显然正确，R ∈θ。