2019年高考数学一轮复习 简单的线性规划问题
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3．利用线性规划求最值的一般步骤： (1)根据线性约束条件画出可行域； (2)设 z＝0，画出直线 l0； (3)观察、分析、平移直线 l0，从而找到最优解； (4)求出目标函数的最大值或最小值．
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1．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的
且 zmax＝2×2＋3×1＝7.
答案：7
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求线性目标函数的最值 求非线性目标函数的最值 线性规划在实际问题中的应用
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考点一·求线性目标函数的最值
【例 1】 (2017·新课标卷Ⅱ)设 x，y 满足约束条件
2x＋3y－3≤0， 2x－3y＋3≥0， 则 z＝2x＋y 的最小值是( ) y＋3≥0，
第七单元 不等式与推理证明
第45讲 简单的线性规划问题
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1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组．
2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划 问题，并能加以解决．
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1．二元一次不等式(组)表示平面区域
2x＋y＋1＝0，
所以 zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.
答案：-5
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点评：(1)对线性目标函数 z＝Ax＋By 中的 B 的符号一 定要注意．当 B＞0 时，当直线过可行域且在 y 轴上截距 最大时，z 值最大，在 y 轴上截距最小时，z 值最小；当 B ＜0 时，当直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最 小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大．
表示该直线的纵截距的 2 倍．
答案：C
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5．(2015·北京卷)如图，△ABC 及其
内部的点组成的集合记为 D，P(x，y)为 D 中任意一点 ，则 z＝2x＋3y 的最大值
为
.
解：把 z＝2x＋3y 变形为 y＝－23x＋31z，通过平移直 线 y＝－32x 知，当过点 A(2,1)时，z＝2x＋3y 取得最大值
答案：B
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x≥0，
3．不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平面区域的面积
等于( )
3
2
A.2
B.3
4
3
C.3
D.4
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解：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平 面区域的交集，作出不等式组表示 的平面区域如图：
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【变式探究】
1 ． (2017·新 课 标 卷 Ⅰ ) 设 x ， y 满 足 约 束 条 件
x＋2y≤1，
2x＋y≥－1， 则 z＝3x－2y 的最小值为
.
x－y≤0，
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解：作出可行域如图阴影部分所示． 由 z＝3x－2y，得 y＝32x－2z. 作出直线 l0：y＝32x，并平移 l0，知当直线 y＝32x－2z过 点 A 时，z 取得最小值． 由x＋2y－1＝0， 得 A(－1,1)，
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2．线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式 组； (2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式； (3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下 的 最大值或最小值 问题，称为线性规划问题． (4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解 (x，y)叫作 可行 解，由所有 可行 解组成的 集合叫作可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的 可行解叫作 最优 解．
(1)二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线 Ax ＋By＋C＝0 某一侧所有点 组成的平面区域．
(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面点集的 交集 ，即各个不等式所 表示的平面区域的 公共部分 .
(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用 直线 定界， 特殊点 定“域”．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确， 否则观察结果就可能有误．
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考点二·求非线性目标函数的最值
【例 2】(2015·新课标卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件
x－1≥0， x－y≤0， x＋y－4≤0，
则yx的最大值为____________．
A．－15 C．1
B．－9 D．9
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解：作出可行域如图中阴影部分所示． 将目标函数 z＝2x＋y 化为 y＝－2x＋z，作出直线 y＝ －2x，并平移该直线，知当直线 y＝ －2x＋z 经过点 A 时，z 有最小值． 由2x－3y＋3＝0，
y＋3＝0， 解得 A(－6，－3)． 所以 zmin＝2×(－6)－3＝－15. 答案：A
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2．如图所示，不等式 2x－y＜0 表示的平面区域是( )
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解：直线定界，因为 2x－y＝0 不经过(2,1)点排除 D,2x －y<0 不包括边界，排除 A，再取特殊点(1,0)代入得 2－0>0， 故(1,0)不在 2x－y<0 表示的区域内，故排除 C，选 B.
点是( )
A．(0,0)
B．(－1,1)
C．(－1,3)
D．(2，－1)
解：将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点
在所表示的平面区域内，否则，不在．
因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点
都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选 C. 答案：C
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所以 S 阴＝12×4－43×1＝34.
答案：C
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4．目标函数 z＝x＋2y，将其看成直线方程时，z 的意
义是( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线纵截距的 2 倍 D．该直线纵截距的21 解：将 z＝x＋2y 化为 y＝－21x＋2z，可知 z＝2b，
(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。
2019年高考试题分类汇编：线性规划
2019年高考文科数学新课标Ⅱ卷第13题632≥-+yx若变量x，y满足约束条件03≤-+yx，则yxz-=3的最大值是。
2≤-y本题解答：约束条件一：0632≥-+yx。
直线方程0632=-+yx。
令)2,0(2630⇒=⇒=-⇒=yyx；令)0,3(3620⇒=⇒=-⇒=xxy。
验证点)0,0(，验证不等式06632≥-⇒≥-+yx不成立。
约束条件二：03≤-+yx。
直线方程03=-+yx。
令)3,0(330⇒=⇒=-⇒=yyx；令)0,3(330⇒=⇒=-⇒=xxy。
验证点)0,0(，验证不等式033≤-⇒≤-+yx成立。
约束条件三：22≤⇒≤-yy在直线2=y的下方。
如下图所示：端点)2,0(A；端点)0,3(B；端点C：联立2=y和03=-+yx得到端点)2,1(C。
目标函数yxz-=3。
端点)2,0(A端点)0,3(B端点)2,1(C223-=-⨯=Az933=-⨯=Bz1213=-⨯=Cz所以：目标函数yxz-=3的最大值为9。
2019年高考文科数学新课标Ⅲ卷第11题6≥+yx记不等式组表示的平面区域为D。
命题:p Dyx∈∃),(，92≥+yx；命题q：Dyx∈∀),(，02≥-yx122≤+y x 。
下面给出了四个命题：①q p ∨ ②q p ∨⌝ ③q p ⌝∧ ④q p ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的标号是（ ）A.①③B.①②C.②③D.③④ 本题解答：约束条件一：6≥+y x 。
直线方程6=+y x 。
令)6,0(60⇒=⇒=y x ；令)0,6(60⇒=⇒=x y 。
验证点)0,0(，验证不等式606≥⇒≥+y x 不成立。
约束条件二：02≥-y x 。
直线方程02=-y x 过原点)0,0(；令)2,1(20121⇒=⇒=-⨯⇒=y y x 。
验证点)0,1(，验证不等式02001202≥⇒≥-⨯⇒≥-y x 成立。
命题p ：92≥+y x 。
直线方程：92=+y x 。
高考数学一轮复习第七章7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文北师大版
1
m∈(0,2].
√2
,
2
考点2
求目标函数的最值问题 (多考向探究)
考向1 求线性目标函数的最值
2 + -2 ≤ 0,
【例 2】(1)(2020 全国 1,文 13)若 x,y 满足约束条件 --1 ≥ 0, 则 z=x+7y
+ 1 ≥ 0,
的最大值为
.
2 + -2 ≥ 0,
(2)(2020 福建福州模拟,理 13)设 x,y 满足约束条件 -2 + 4 ≥ 0,则 z=x-3y
(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不
等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则
就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不
带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于
(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( × )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( √ )
(5)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截
距.( × )
-3 + 6 < 0,
2.不等式组
表示的平面区域是(
- + 2 ≥ 0
.
思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
答案 (1)A
11
(2)
2
解析 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.
由于
又
+1
k= 表示动点
2019年高考数学一轮复习 简单的线性规划问题
第45讲 简单的线性规划问题1．(2016·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y的最小值为(B)A ．－4B ．6C ．10D ．17由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， 所以z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.2．(2016·广州市二模)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2 的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最小值是(A)A. －4B. －1C. 1D. 4画出可行域如图中阴影部分所示，平移2x －3y ＝0，则目标函数z ＝2x －3y 在点A 处取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－2，x ＋y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，所以A (－2,0)，所以z min ＝－2×2－3×0＝－4.3．(2016·深圳市二模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，4x －y ＋1≥0. 则目标函数z ＝y ＋1x ＋3的最大值为(C)A.14B.23C.32D ．2目标函数z ＝y ＋1x ＋3表示可行域内的点(x ，y )和点(－3，－1)连线的斜率，由图可知：当其经过点A (1,5)时，直线的斜率最大， 即z max ＝5＋11＋3＝32.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱设甲车间加工x 箱原料，乙车间加工y 箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z 元． 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≤480，x ＋y ≤70，x ，y ∈N *，z ＝7×40x ＋4×50y ＝280x ＋200y ，画出可行域如图阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋6y ＝480，x ＋y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝55.知z 在A 点处取得最大值，故选B.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为 －1.不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以A (1,1)． 所以z min ＝3－4＝－1.6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则(1)yx的取值范围为 [2，＋∞) ； (2)x 2＋y 2的取值范围为 (1,5].作出可行域，其可行域是顶点分别为A (0,1)，B (1,2)，C (0,2)的三角形及其内部(但不包括AC 边)．(1)因为yx表示可行域内的点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，可知其取值范围为[2，＋∞)．(2)因为x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到(0,0)的距离的平方，可知其取值范围为(1,5]． 7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，问T 中的点共确定多少条不同的直线？画出不等式组所表示的平面区域(如下图所示)．令z ＝0，得直线l ：x ＋y ＝0，平移直线l ，由图象可知当直线经过整点A (0,1)时，z 取最小值，当直线经过整点B (0,4)，C (1,3)，D (2,2)，E (3,1)，F (4,0)时，z 取最大值．所以T ＝{(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，所以T 中的点可确定的直线有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．8．(2016·湖北省八校第二次联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －8≥0，x ＋y －5≤0，y －1≥0， 若目标函数z＝ax ＋y (a >0)取到最大值6，则a 的值为(B)A ．2 B.54C.54或2 D ．－2作出不等式组满足的平面区域，如图中阴影部分所示．因为a >0，结合图象，可知：当－a >－1，即0<a <1时，z ＝ax ＋y 在点B (1,4)处取得最大值，即a ＋4＝6，a ＝2∉(0,1)，故a ≠2；当－a <－1，即a >1时，z ＝ax ＋y 在点A (4,1)处取得最大值6，即4a ＋1＝6，解得a ＝54.即所求a 的值为54.9．(2015·浙江卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是 15 .画出区域x 2＋y 2≤1，利用数形结合思想求解．因为x 2＋y 2≤1，所以2x ＋y －4＜0,6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y .令z ＝10－3x －4y ， 如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，所以直线OA 的方程为y ＝43x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A (－35，－45)，所以当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×(－35)－4×(－45)＝15.10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为z ，则z ＝2.5x＋4y ，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，y ≥0.画出可行域：(如图)将目标函数变形为y ＝－58x ＋z4，当目标函数过点A ，即直线x ＋y ＝7与3x ＋5y ＝27的交点(4,3)时，z 取最小值． 即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．。
线性规划问题的求解策略
结合(∗)得到ｋ１＋ｋ２＝２ｋ(１－ｋ１ｋ２)１－ｋ２ꎬ代入上式有:(２ｋｙ－(ｋ２－１)ｘ)ｋ１ｋ２＝２ｋｙ＋２ｐ(ｋ２－１).上式对于任意ｋ１ꎬｋ２都成立ꎬ故有:２ｋｙ－(ｋ２－１)ｘ＝０ꎬ２ｋｙ＋２ｐ(ｋ２－１)＝０.{由此得到:ｘ＝－２ｐꎬｙ＝－ｐ(ｋ２－１)ｋꎬ即直线过定点(－２ｐꎬ－ｐ(ｋ２－１)ｋ).本次问题的探究结果可谓是让人惊叹不已ꎬ同一个背景的问题恰是两种不同的结果ꎬ一个是定值问题ꎬ一个是定点问题ꎬ定值问题是定点问题的特殊情形.同时该题的探究体现圆锥曲线完美的统一性质ꎬ在研究的过程中借助了几何画板软件观察定点结果ꎬ在推广的过程中也凸显了数学的核心素养ꎬ对数学直观㊁数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算有着深刻的理解.当然本题也可以继续思考:圆锥曲线上的点是否可以是任意点ꎬ而不在顶点呢?这个问题还需要继续探究ꎬ希望有兴趣的读者一起继续探究ꎬ感受数学之美.㊀㊀参考文献:[１]徐明.２００９年高考数学辽宁卷解析几何综合题的解题研究[Ｊ].中学数学教育ꎬ２００９(１０):３５－３７.[责任编辑:李㊀璟]线性规划问题的求解策略吴维峰(山东省青州市潍坊工程职业学院㊀２６２５００)摘㊀要:线性规划问题是解析几何与代数结合的典型实例ꎬ是历年高考中比较常见的考点之一ꎬ一般以约束条件为前提ꎬ通过合理设置ꎬ来确定目标函数的最值问题ꎬ参数的取值问题ꎬ最优解问题以及与其他相关知识交汇的综合问题等ꎬ难度比较简单或中等ꎬ经常以选择题或填空题的形式出现.关键词:线性规划ꎻ约束条件ꎻ目标函数ꎻ最值ꎻ参数ꎻ最优解ꎻ综合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００４６－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:吴维峰(１９６３－)ꎬ男ꎬ山东省临朐县人ꎬ本科ꎬ从事高等数学与中职数学教学研究.㊀㊀一㊁最值问题例１㊀(２０１９年高考数学天津卷文㊁理科第２题)设变量ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙ－２ɤ０ｘ－ｙ＋２ȡ０ꎬｘȡ－１ｙȡ－１ꎬìîíïïïï则目标函数ｚ＝－４ｘ＋ｙ的最大值为(㊀㊀)Ａ.２㊀㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.５㊀㊀㊀Ｄ.６分析㊀根据条件作出相应的可行域ꎬ利用目标函数所对应的一族直线的平移来确定目标函数取得最大值时的点的坐标ꎬ代入即可确定目标函数的最值.解析㊀作出变量ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙ－２ɤ０ꎬｘ－ｙ＋２ȡ０ꎬ{ｘȡ－１ꎬｙȡ－１ꎬ对应的可行域ꎬ如图１所示ꎬ将目标函数ｚ＝－４ｘ＋ｙ变形为ｙ＝４ｘ＋ｚꎬ这是斜率为４ꎬ随着ｚ变化的一族直线ꎬ这里ｚ是直线在ｙ轴上的截距ꎬ当ｚ取得最大时满足条件ꎬ但直线要与可行域相交ꎬ图１结合图象ꎬ可知目标函数ｚ＝－４ｘ＋ｙ取得最大值的(ｘꎬｙ)是两直线ｘ－ｙ＋２＝０与ｘ＝－１的交点Ｄ(－１ꎬ１)ꎬ此时ｚ＝－４ˑ(－１)＋１＝５ꎬ故答案:Ｃ.点评㊀破解此类在约束条件下目标函数的最值的线性规划问题ꎬ关键是根据题目条件作出约束条件所对应的可行域ꎬ利用图象在可行域所对应的平面区域下找出决策变量使得目标函数达到最值时的点ꎬ结合两直线的交点的求解并代入目标函数来确定相应的最值问题.㊀㊀二㊁参数问题例２㊀(２０１５高考数学山东卷理科题６)已知ｘꎬｙ满足约束条件ｘ－ｙȡ０ꎬｘ＋ｙɤ２ꎬｙȡ０ꎬ{若ｚ＝ａｘ＋ｙ的最大值为４ꎬ则ａ＝(㊀㊀).６４Ａ.３㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀Ｃ.－２㊀㊀㊀Ｄ.－３分析㊀根据条件作出相应的可行域ꎬ结合图象ꎬ利用对应直线族中斜率－ａ的取值情况加以分类讨论ꎬ结合截距的最大值来建立关系工ꎬ从而得以确定参数值问题.图２解析㊀作出ｘꎬｙ满足约束条件ｘ－ｙȡ０ꎬｘ＋ｙɤ２ꎬｙȡ０{所对应的可行域ꎬ如图２所示ꎬ将目标函数ｚ＝ａｘ＋ｙ变形为ｙ＝－ａｘ＋ｚꎬ这是斜率为－ａꎬ随着ｚ变化的一族直线ꎬ这里ｚ是直线在ｙ轴上的截距ꎬ当ｚ取得最大值４时满足条件ꎬ但直线要与可行域相交ꎬ当０<－ａɤ１时ꎬ即－１ɤａ<０时ꎬ以及当－１ɤ－ａ<０时ꎬ即０<ａɤ１时ꎬ均无选项满足相应的参数取值范围ꎻ当－ａ>１时ꎬ即ａ<－１时ꎬ结合图象ꎬ可知此时最优解为Ｏ(０ꎬ０)ꎬ此时ｚｍａｘ＝０ꎬ不合题意ꎻ当－ａ<－１时ꎬ即ａ>１时ꎬ结合图象ꎬ可知此时最优解为Ａ(２ꎬ０)ꎬ此时ｚｍａｘ＝２ａ＋０＝４ꎬ解得ａ＝２.综上分析可得ａ＝２ꎬ故选择答案:Ｂ.点评㊀破解此类在约束条件下相关参数求值或取值范围的线性规划问题ꎬ根据参数所在的位置(约束条件或目标函数)ꎬ若在约束条件中ꎬ利用目标函数的相关信息来确定约束条件所对应的大致可行域ꎬ进而得以处理ꎻ若在目标函数中ꎬ利用直线的斜率的取值情况加以分类讨论ꎬ从而得以破解.㊀㊀三㊁最优解问题例３㊀(２０１４年高考数学安徽卷理科第５题)ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙ－２ɤ０ꎬｘ－２ｙ－２ɤ０ꎬ２ｘ－ｙ＋２ȡ０ꎬ{若ｚ＝ｙ－ａｘ取得最大值的最优解不唯一ꎬ则实数ａ的值为(㊀㊀)Ａ.１２或－１㊀㊀Ｂ.２或１２㊀㊀Ｃ.２或１㊀㊀Ｄ.２或－１分析㊀根据条件作出相应的可行域ꎬ并分别求解平面区域所对应的三角形的三个顶点坐标以及相应的截距值ꎬ结合ｚ＝ｙ－ａｘ取得最大值的最优解不唯一来确定对应截距值之间的关系ꎬ从而得以分析与求解.解析㊀作出ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙ－２ɤ０ꎬｘ－２ｙ－２ɤ０ꎬ２ｘ－ｙ＋２ȡ０.{对应的可行域ꎬ如图３所示ꎬ结合相应两直线联立ꎬ分别可求得对应的交点Ａ(０ꎬ２)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＣ(－２ꎬ－２)ꎬ将目标函数ｚ＝ｙ－ａｘ变形为ｙ＝ａｘ＋ｚꎬ这是斜率为ａꎬ随着ｚ变化的一族直线ꎬ这里ｚ是直线在ｙ轴上的截距ꎬ当ｚ取得最大时满足条件ꎬ但直线要与可行域相交ꎬ由于斜率ａ是变化的ꎬ而直线过交点时对应的截距值分别为ｚＡ＝２ꎬｚＢ＝－２ａꎬｚｃ＝２ａ－２ꎬ要使ｚ＝ｙ－ａｘ取得最大值的最优解不唯图３一ꎬ即有无数组ꎬ只须满足ｚＡ＝ｚＢ>ｚＣ或ｚＡ＝ｚＣ>ｚＢ或ｚＢ＝ｚＣ>ｚＡꎬ解得ａ＝－１或ａ＝２ꎬ故选择答案:Ｄ.点评㊀破解此类在约束条件下相应的最优解的线性规划问题ꎬ关键是根据题目条件作出约束条件所对应的可行域ꎬ则在封闭区间中最优解有无数组时ꎬ其对应的目标函数的直线与可行域中的对应边平行即可ꎬ从而得以数形结合ꎬ合理转化.㊀㊀四㊁综合问题例４㊀(２０１９年高考数学全国卷Ⅲ文科第１１题)记不等式组ｘ＋ｙȡ６ꎬ２ｘ－ｙȡ０{表示的平面区域为Ｄꎬ命题ｐ:$(ｘꎬｙ)ɪＤꎬ２ｘ＋ｙȡ９ꎻ命题ｑ:"(ｘꎬｙ)ɪＤꎬ２ｘ＋ｙɤ１２.下面给出了四个命题:①ｐÚｑꎻ②ØｐÚｑꎻ③ｐÙØｑꎻ④ØｐÙØｑ.这四个命题中ꎬ所有真命题的编号是(㊀㊀)Ａ.①③㊀㊀Ｂ.①②㊀㊀Ｃ.②③㊀㊀Ｄ.③④分析㊀根据条件作出相应的可行域ꎬ利用相关命题并结合特殊点的坐标来判定其真假ꎬ再利用复合命题的性质来判断各相关复合命题的真假情况ꎬ从而得以正确判定.解析㊀作出不等式组ｘ＋ｙȡ６ꎬ２ｘ－ｙȡ０{表示的平面区域Ｄꎬ图４如图４所示ꎬ可以看出该平面区域位于第一㊁四象限ꎬ对于命题ｐꎬ在平面区域Ｄ内取一点Ｂ(４ꎬ２)ꎬ显然满足２ｘ＋ｙȡ９ꎬ则知命题ｐ是真命题ꎻ对于命题ｑꎬ在平面区域Ｄ内取一点Ｃ(６ꎬ１)ꎬ显然不满足２ｘ＋ｙɤ１２ꎬ则知命题ｑ是假命题ꎻ结合复合命题ꎬ可知①ｐÚｑ是真命题ꎬ②ØｐÚｑ是假命题ꎬ③ｐÙØｑ是真命题ꎬ④ØｐÙØｑ是假命题ꎬ故选择答案:Ａ.点评㊀破解此类在约束条件下与其他知识交汇的综合的线性规划问题ꎬ关键是根据题目条件作出约束条件所对应的可行域ꎬ综合其他知识加以合理分析与综合ꎬ多知识交汇ꎬ综合来解决相关问题.㊀㊀参考文献:[１]俞仁宗.解一题ꎬ拓一类 一道２０１７年全国卷Ⅱ线性规划的变式问题[Ｊ].中学数学ꎬ２０１８(１１):４１－４２.㊀[２]蒋力.课堂上的火花 从特殊到一般 谈谈用线性规划的方法解决平面向量的系数问题[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１７(３０):６８－７０.[责任编辑:李㊀璟]７４。
高考数学培优复习：第7章 3 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题新题培优练
[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C.用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.2．(2019·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( )A.132 B.116 C ．32D ．64解析：选C.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u ＝x －2y ,由图知,当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min ＝1－2×3＝－5,此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值,即z max ＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32,故选C.3．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A解析：选D.若(2,1)∈A ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32,所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知动点M (x ,y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，5x ＋y －8≤0，定点N (3,1),则直线MN 斜率的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.不等式组表示的平面区域为△ABC 内部及边界,如图所示,数形结合可知,当M 点与B 点重合时,MN 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y －8＝0，x ＋y ＝0，得B (2,－2)．MN 斜率的最大值为1＋23－2＝3.5．(2019·陕西省质量检测(一))若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y ＝1,x ＋y ＝0,x －y －2＝0,则边界的交点分别为(－1,1),(3,1),(1,－1),分别代入z ＝x －2y ,得对应的z 分别为－3,1,3,可得z 的最大值为3.法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线x －2y ＝0并平移,由图可知,当直线过点(1,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：36．(2019·广东茂名模拟)已知点A (1,2),点P (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点,则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,作出可行域如图阴影部分,作直线l 0：y ＝－12x ,当l 0移到过A (1,2)的l 的位置时,z 取得最大值,即z max ＝1＋2×2＝5.答案：57．(2019·石家庄市质量检测(二))设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．解析：作出可行域,如图中阴影部分所示,而y ＋1x 表示区域内的动点(x ,y )与定点(0,－1)连线的斜率的取值范围,由图可知,当直线过点C (1,2)时,斜率最大,为2－（－1）1－0＝3.答案：38．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A (3,4)时z 取最小值－2,过C (1,0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ,y )∈D ,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ,y )∈D ,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A.通解 作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示,直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ,不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域,所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.优解 在不等式组表示的平面区域D 内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x ＋y ≥9,所以命题p 正确；点(7,0)不满足不等式2x ＋y ≤12,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.2．(2019·重庆六校联考)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D.画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示．令z ＝0,画出直线y ＝ax ,a ＝0显然不满足题意．当a <0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行,此时a ＝－1；当a >0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行,此时a ＝2.综上,a ＝－1或2.3．(2019·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时．A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千克B ．360千克C ．400千克D ．440千克解析：选 B.设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润z 千元,则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ,作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ,y ∈N )时,z 取得最大值,为360.4．(综合型)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5,其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7,9),显然点B到直线x ＋2y －4＝0的距离最大,此时z max ＝21.答案：21。
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题（含答案）一、单选题1．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则4z x y =-的最小值为（ ）A ．-6B ．-5C ．-4D ．12．已知x ，y 满足不等式组240,3260,20,x y x y x y --≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则23z x y =+的取值范围为（ ）A ．32,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．325,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[)6,-+∞D ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．设变量,x y 满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．0B ．32C ．3D ．44．已知实数,x y 满足2030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．112B ．5C ．52D ．35．若实数x ，y 满足约束条件110x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26．若,x y 满足约束条件310x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．不等式44x y +<表示的区域在直线440x y +-=的（ ） A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方8．已知实数x ，y 满足210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则z =2x -y 的最小值是（ ）A ．5B ．52C ．0D ．-19．若实数x ，y 满足约束条件23023020x y x y x ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值是（ ）A ．6-B ．2C ．4D ．610．已知动点(),P m n 在不等式组400x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域内部及其边界上运动，则35n z m -=-的最小值（ ） A ．4 B ．13C ．53D ．311．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ） A ．1116B ．916C ．716D ．51612．若实数,x y 满足约束条件10210y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则z ）A ．1BCD二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件1000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为_________．14．已知x 、y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则21x y z x ++=+的最小值是__________．15．在等差数列{}n a 中，125024a a a ≤≥-≤，，，则4a 的取值范围是______． 16．若实数,x y 满足约束条件102310y x x x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围是__________ .三、解答题17．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.(1)设投资人用x 万元、y 万元分别投资甲、乙两个项目，列出满足题意的不等关系式，并画出不等式组确定的平面区域图形；(2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18．若变量x ，y 满足约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求目标函数z =y +x 的最大值和最小值.19．已知点(),P x y 在圆()2211x y +-=上运动，(1)求12y x --的取值范围； (2)求2x ＋y 的取值范围．20．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l ：30mx y m -+-=()m R ∈与圆C 相交于A ､B 两点.(1)已知点(,)x y 在圆C 上，求34x y +的取值范围： (2)若O 为坐标原点，且2AB OC =，求实数m 的值.21．已知命题p ：0x ∃∈R ，()()2011(0)m x a a ++≤>，命题q ：x ∀，y 满足+1002x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，m .(1)若q 为真命题，求m 的取值范围.(2)判断p ⌝是q 的必要非充分条件，求a 的范围22．2021年6月17日9时22分，我国“神舟十二号”载人飞船发射升空，展开为期三个月的空间站研究工作，某研究所计划利用“神舟十二号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品,A B 、要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表:（1）试用搭载,A B 产品的件数,x y 表示收益z (万元);（2）怎样分配,A B 产品的件数才能使本次搭载实验的利润最大，最大利润是多少?23．设函数(),()x f x e g x ax b ==+，其中, a b R ∈．（Ⅰ）若1,1a b ==-，当1x ≥时，求证：()()ln f x g x x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求()2223a e b -+的最小值．24．对于函数()f x 和()g x ，设集合(){}0,R A x f x x ==∈，(){}0,R B x g x x ==∈，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得12(0)x x k k -≤≥，则称函数()f x 与()g x “具有性质()M k ”.(1)判断函数()sin f x x =与()cos g x x =是否“具有性质1()2M ”，并说明理由；(2)若函数1()22x f x x -=+-与2()(2)24g x x m x m =+--+“具有性质(2)M ”，求实数m 的最大值和最小值；(3)设0a >且1a ≠，1b >，若函数1()log x bf x a x=-+与()log x b g x a x=-+“具有性质(1)M ”，求1212x x -的取值范围。
2019年高考数学高频考点全突破专题10 线性规划问题(精讲深剖)
线性规划问题为高考的高频考点，试题在选择，填空都有出现。
由于问题解法固定，只要要学生具有一定的作图能力和运算能力，都可掌握。
体现了对直观想象，数学运算和数学建模等核心的考查。
近3年全国卷古典概型与几何概型试题统计表【2018 全国卷Ⅲ第15题】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值________．【答案】3【解析】由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故12333z =+⨯=.【解题反思】本题为常规的线性规划问题可按照一画，二移，三求值的步骤进行求解。
体现了直观想象和数学运算的核心素养；1.（必修5第88页例5）营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg的脂肪．1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14g脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？【解题反思】例题以实际问题为背景，需要分析出两个变量需要满足的数量关系，确定目标函数，从而转化为线性规划问题解决。
利用图解法解决线性规划问题的一般步骤为：一画、二移、三求：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)； (3)求出最终结果．一、知识梳理1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2以上简称为“直线定界，特殊点定域”. 3．简单的线性规划中的基本概念二、解题指南：1．判断二元一次不等式(),,0Ax By C ++><≥≤表示的平面区域的方法： （1）特殊点法（线定界，点定域）；（2）符号判断法（同上异下）． 2．求解线性规划问题的一般步骤： （1）列出线性约束条件及线性目标函数；（2）作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线；（3）平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；（4）求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．3.不等式中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时这个不等式表示的区域的分界线就是一条变动的直线，此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，确定区域的可能形状；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点观察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中寻找使问题成立的条件解决问题．4.常见代数式的几何意义（1(),x y 与原点()0 0，之间的距离；（2）表示点(),x y 与点() a b ，之间的距离；（3）yx 表示点(),x y 与原点()0 0，连线的斜率； （4）y b x a--表示点(),x y 与点() a b ，连线的斜率．考点1、二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1.（1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大 【答案】B（2）．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 【答案】A解题反思：解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．（3）在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．考点2、求线性目标函数的最值及范围例2.（1）若实数x ，y 满足110 220x x y x y ≥-+≤--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则21z x y =+-的最小值 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．9 【答案】B【解析】作出可行域如图所示：作直线21y x z =--+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小，z 最大为3，故选：B ．(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 【答案】D解题反思：求目标函数最值的一般步骤考点3、求非线性目标函数的最值及范围例3.（1）】若实数x ，y 满足约束条件202400x y x y x -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）AB ．2 C．5D ．4 【答案】B【解析】作出可行域如图所示，设22z x y =+，则z 表示可行域内的点(),P x y 与原点()0,0O 的距离的平方．由图知min OP ==min 2z =．故选：B ．（2）已知点(),P x y ，若实数,x y 满足330103x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D（3）若,x y 满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量()()3,2,,a b x y ==，则a b ⋅的取值范围是( )A ．544⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．752⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．742⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．554⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】D解题反思：常见的非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2，表示区域内的动点(x ，y)与定点(a ，b)的距离的平方； (2)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，表示区域内的动点(x ，y)与定点(a ，b)连线的斜率．考点4、线性规划中的参数问题例4.（1）已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若02≥++k y x 恒成立,则实数k 的取值范围为 .【答案】6≥k【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(2,0),(2,2),(0,2)A B C --,直线2z x y =--过点B 时 取最大值6,而02≥++k y x 恒成立等价于max [(2)]6k x y ≥-+=（2）已知x , y 满足约束条件220 20220x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩,若z ax y =+取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为__________． 【答案】2-或1（3）若,x y 满足约束条件0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩,且2z x y =-的最大值为4,则实数k 的值为 ．【答案】32-【解析】由题意可知,可行域如图所示,可知目标函数2z x y =-,经过点,03k ⎛⎫-⎪⎝⎭时,取到最大值,所以23432k z k -==⇒=-（4）设1m >,变量,x y 在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值为2,则m = .【答案】1m =【解析】作出可行域如图所示,当直线z x my =+经过点B 时,z 有最大值,此时点B 的坐标为1(,)11m m m ++,1211m z m m m =+⋅=++,解之得1m =+1m =,所以1m =+解题反思：求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．考点5、线性规划的应用性问题例5.（1）某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元【答案】C可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．（2）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（Ⅱ）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．解题反思：1.解线性规划应用题3步骤2.(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．1.已知变量,x y 满足不等式组10{35250 430x x y x y -≥+-≤-+≤，则目标函数23z x y =--的最大值是 （ ）A ．-3B ．-5C ．195D ．5 【答案】B【解析】作出不等式所表示的平面区域，由图可以看出，当直线233zy x =--经过可行域上的点B 时，z 取得最大值由1{ 430x x y =-+=得点B 的坐标为()11，， ∴函数23z x y =--的最大值为21315-⨯-⨯=-，故选B ．2．在由不等式组2140,{3,2,x y x y -+≥≤-≥所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( ) A ．92π-B ．9π-C ．19π-D ．118π－ 【答案】D3.记不等式组220,{1, 2x y x y +-≥≤≤的解集为D ，若(),,1x y D y a x ∀∈≤+，则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】C4.已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A.3B.2C.2-D.3- 【答案】5.已知函数()32(0)f x ax bx x a =++>的导函数()'f x 在区间(],1-∞内单调递减，且实数a ，b 满足不等式2220b a a -++≥，则32b a --的取值范围为（ ） A ． 3,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()32f x ax bx x =++可得()2321,f x ax bx =++'因为a>0，所以由()'f x 在区间(],1-∞内单调递减，可知1,30,3ba b a-≥∴+≤又实数a ，b 满足不等式2220b a a -++≥，故实数满足不等式组230{220 ,0a b b a a a +≤-++≥>在直角坐标系aOb 中作出上述不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，又32b a --的几何意义是表示平面区域内的动点Q(a ，b)与定点P(2，3)连线的斜率，数形结合易知PB k 最大，PO k 最小，由方程组()23033{,1,36,22012PB a b B k b a a +=--∴-∴==-++=-，33.22POk -==-所以32b a --的取值范围为3,62⎛⎤⎥⎝⎦，故选C ． 6．已知不等式组210{210x y x x y -+≥≤+-≥表示的平面区域为D ，则（1）22z x y =+的最小值为_____________．（2）若函数y =|2x -1|+ m 的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】12 34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由题意可知，当V 型图过A 点是m=-4，取最小值．当(1,2m )在直线x-2y+1=0上时，m=34时，取最大值，所以34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．7．已知函数()()322331f x x mx m n x =++++的两个极值点分别为12,x x ，且()()120,1,1,x x ∈∈+∞，若存在点(),P m n 在函数()()log 41a y x a =+>的图象上，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()1,3 (或13a <<)8.络同时提供A 、B 两套校本选修课程．A 套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分B 套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？ 【答案】175【解析】设选择A 、B 两套课程分别为X 、Y 次，z 为学分，则x y 4040x 32y 1400{ 20x 40y 1000x y N+≤+≤+≥∈、目标函数 z 5x 4y =+，由方程组解得点A(15，25) ，B(25，12．5)，由于目标函数的斜率与直线AB 的斜率相等，因此在图中阴影线段AB 上的整数点A （15，25）、C （19，20）、D （23，15）都符合题意，使得学分最高为175分．9.已知点()1,2P ，点(),M x y 满足0{20 10x y x y x y -≤+≥+-≤，则OM 在OP 方向上的投影的最大值是__________．10．已知实数,x y 满足220{220 0x y x y x y --≥++≥-≥，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为__________． 【答案】9【解析】作可行域，则直线32z x y =-过点A(2，2)时z 取最小值，此时最优解为(2，2)，即。
高考数学第一轮知识点 第3课时 二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时复习课件 理
作出可行域如图，让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知 z ＝2.5x＋4y 在 B(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和
3 个单位的晚餐，就可满足要求．
【变式训练】 3.某家具厂有方木料 90 m3，五合 板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生 产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生 产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2，出 售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利 润 120 元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
.D
恰为
AC
的中点，直线
y＝x＋2
将△
ABC 的面积平分．故选 A.
答案： A
【变式训练】 1.(2011·吉林延边州一模)若不
x－y＋5≥0，
等式组y≥a， 0≤x≤3
表示的平面区域是一
个三角形，则 a 的取值范围是( )
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5 或 a≥8
D．5≤a＜8
解析： 作出如图所示的可行域，要使该平面 区域表示三角形，需满足 5≤a＜8.
答案： D
求目标函数的最值 1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线 性可行域再作出目标函数对应的直线，据题 意确定取得最优解的点，进而求出目标函数 的最值． 2．线性目标函数 z＝ax＋by 取最大值时的最 优解与 b 的正负有关，当 b>0 时，最优解是将 直线 ax＋by＝0 在 2y－1＝0
得 D(1,0)，
∴kCD＝0，kCA＝1212－＋01＝13，∴z 的范围是0，31；
(3)z＝
2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题31 数形结合之——简单线性规划
专题31 数形结合之----简单线性规划【热点聚焦与扩展】从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，或在目标函数的最值已知的条件下确定参数的值，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．本专题重点说明利用数形结合法解答此类问题.（一）简单线性规划问题1、相关术语：（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：①竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断②一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域.例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方③过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断.例如：：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧.考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中.（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）①线性表达式——与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关.②分式——与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率.③含平方和——与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方.（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取.（1）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点.（二）非常规线性规划问题解答策略第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算.【经典例题】例1. 【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】例2. 【2017课标3，理13】若，满足约束条件，则的最小值为__________. 【答案】【解析】【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.例3. 【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以．故选A．例4.【2018年5月2018届高三第三次全国大联考】已知实数满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B例5.【2018届宁夏银川市第二中学二模】设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( ) A. B. 4 C. D. 2【答案】B【解析】分析：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．详解：故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.例6.【2018届云南省曲靖市第一中学4月监测（七）】若不等式，表示的平面区域为三角形且其面积等于，则的最小值为（）A. -2B.C. -3D. 1【答案】A【解析】分析：先做出不等式组对应的平面区域，求出三角形的各顶点坐标，利用三角形的面积公式确定值，再利用平移目标函数直线确定最优解．详解：作出不等式组表示的平面区域（如图所示），由图象，得当直线过点时，取得最小值为.故选A．例7．【2018届湖南师范大学附属中学高三月考六】已知满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为( )A. 或-1B. 2或C. -2或1D. 2或-1【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线的斜率的变换，从而求出的值.详解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则直线与直线平行，此时；综上或，故选C.例8.【2018届百校联盟TOP20四月联考】已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C例9.【2018届山西省孝义市一模】已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C由可解得，即B（2，﹣1）此时有﹣1=|2﹣1|+m，解得m=﹣2；由可解得，即B（1，1）此时有1=|1﹣1|+m，解得m=1；故实数m的取值范围为[﹣2，1]，故答案为[﹣2，1]．故选C.例10.【2018届北京市海淀区二模】两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：小区小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且小区参加献爱心活动的同学比小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有____人.【答案】【解析】分析：设两区参加活动同学的人数分别为，受到服务的老人人数为，找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域,平移直线可求得满足题设的最优解.详解：当时，取得最大值为，即接受服务的老人最多有人，故答案为.【精选精练】1.【2018届辽宁省丹东市模拟二】若点满足不等式组，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：将不等式组的可行域表示在平面直角坐标系中，进而利用，即，转化为区域内的点和定点连线的斜率即可.详解：故选A.2.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】设点满足约束条件,且,则这样的点共有( ）个A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】A【解析】分析：由约束条件画出可行域，根据可行域，利用,可逐一写出满足条件的点，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，由图可知，满足，得，共有，，共个，故选A.3.【2018届陕西省咸阳市三模】已知实数，满足给，中间插入5个数，这7个数构成以为首项，为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：实数x，y满足，如图所示，画出可行域△ABC．给x，y中间插入5个数，这7个数构成以x为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和=，令x+y=t，则y=﹣x+t．利用线性规划因此这7个数和=的最大值为，故答案为：D4．【2018届相阳教育“黉门云”高考模拟】已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（）A. 2 B. 1 C. D.【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C.5．【2018届第三次全国大联考】已知不等式组表示的平面区域为，若以原点为圆心的圆与无公共点，则圆的半径的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知当圆的半径小于原点到直线的距离或大于时，圆与无公共点，而原点到直线的距离为，，故圆的半径的取值范围为.6．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知实数，满足不等式组，则的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 8【答案】C|x﹣y|的几何意义：表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍，由图可知点A(4,0)到直线x-y=0距离最大，所以|x﹣y|的最大值为故答案为：C．点睛：本题解题的关键是发现|x-y|的几何意义，|x-y|它表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍，利用数形结合分析解答，可以提高解题效率.所以在今后的解题过程中，看到|ax+by|要联想到点到直线的距离公式.7．【2018届广东省佛山市检测二】已知，设满足约束条件，且的最小值为-4，则 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C故选C.8.【2018届安徽省“皖南八校”第三次（4月）联考】已知函数，若满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.9.【2019届高考全程训练】某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：因素产品产品备注研制成本、搭载费用之20 30 计划最大投资和/万元金额300万元产品质量10 5 最大搭载/千克质量110千克预计收益80 60 ——/万元则使总预计收益达到最大时，两种产品的搭载件数分别为( )A. 9,4B. 8,5C. 9,5D. 8,4【答案】A由解得,故M(9,4)．所以目标函数的最大值为z max＝80×9＋60×4＝960，此时搭载产品A有9件，产品B有4件．故选A.10.【2018届第二次全国大联考】若满足不等式组，则目标函数的取值范围是_____．【答案】【解析】，令，并作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，11．【2018届辽宁省丹东市测试二】设实数，满足约束条件，则的取值范围为_______．【答案】【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，将变形为，然后平移直线确定取最小和最大值时的最优解，进而可得所求范围．详解：画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．12．【2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】若实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：画出可行域，设,化为，平移直线，由可行域可得的取值范围，从而可得的取值范围.详解：设,化为，画出，表示的可行域，平移直线，如图，故答案为.。