第五章数字信号的基带传输(1)

第五章 数字信号的基带传输5.错误!未定义书签。

设一数字传输系统传送八进制码元，速率为2400波特，则这时的系统信息速率为多少？ 解：22log 2400log 87200bps b s R R M ==⨯=5. 错误!未定义书签。

已知：信息代码 1 1 1 0 0 1 0 1 (1)写出相对码： 1 (2)画出相对码的波形图（单极性矩形不归零码）。

解：(1)写出相对码：1 0 1 0 0 0 1 1 0 (2)画出相对码的波形图（单极性矩形不归零码）。

5.错误!未定义书签。

独立随机二进制序列的“0”、“1”分别由波形()1s t 及()2s t 表示，已知“0”、“1”等概出现，比特间隔为b T 。

（1）若()1s t 如图(a )所示，()()21s t s t =-，求此数字信号的功率谱密度，并画出图形；（2）若()1s t 如图(b )所示，()20s t =，求此数字信号的功率谱密度，并画出图形。

解：(1)此时这个数字信号可表示为PAM 信号()()nbn s t a g t nT ∞=-∞=-∑其中序列{}n a 以独立等概方式取值于1±，[]0a n m E a ==，221a E a σ⎡⎤==⎣⎦；()()1g t s t =，其傅氏变换是()()sinc b b G f T fT =所以()s t 的功率谱密度为()()()222sinc as b b bP f G f T fT T σ==。

（2）此时这个数字信号可表示为()()nbn s t a g t nT ∞=-∞=-∑其中序列{}n a 以独立等概方式取值于()0,1；()()1g t s t =，其傅氏变换是()sinc 22b b T T G f f ⎛⎫=⎪⎝⎭由于1122n n a b =+，其中n b 以独立等概方式取值于1±，所以 ()()()1122n b b n n s t b g t nT g t nT ∞∞=-∞=-∞=-+-∑∑()()12n b n u t b g t nT ∞=-∞=-∑一项的功率谱密度是()()22sinc 4162b b u bG f T T P f f T ⎛⎫==⎪⎝⎭()()12b n v t g t nT ∞=-∞=-∑是周期信号，可展成傅氏级数：()()212bmj t T b m n m v t g t nT c e π∞∞=-∞=-∞=-=∑∑其中()()222222111221212sin 21102240other 2b b bbbb mmj t j t T T T T m b T T n bb b b b b b bc g t nT e dt g t edtT T m k T m m T m G m T T T m mT πππππ∞----=-∞=-=⎧±=±⎪⎛⎫⨯⎪⎪⎛⎫⎪⎝⎭====⎨⎪⎛⎫⎝⎭⎪⨯ ⎪⎪⎝⎭⎪⎩∑⎰⎰所以()()12b n v t g t nT ∞=-∞=-∑的功率谱密度是()()()222111214421v nn k b b n k P f c f f f T T k δδδπ∞∞=-∞=-∞⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑于是()s t 的功率谱密度为：()()()22211121sinc 1624421b b s k b T T k P f f f f T k δδπ∞=-∞⎛⎫-⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭∑5. 错误!未定义书签。

假设信息比特1、0以独立等概方式出现，求数字分相码的功率谱密度。

解一：数字分相码可以表示成二进制PAM 信号的形式()()nbn s t a g t nT ∞=-∞=-∑其中序列{}n a 以独立等概方式取值于1±，[]0a n m E a ==，221a E a σ⎡⎤==⎣⎦；()g t 如下图所示其傅氏变换是()2244sinc sinc 2222sin sinc 22b bT Tj f j f b b b b b b b AT T AT T G f f e f efT fT jAT πππ-⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()()22222sin sinc 22abb s b b fT fT P f G f A T T σπ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解二：假设二进制0映射为-1，1映射为-1。

记信息码序列为{}n a ，{}1n a ∈±，编码结果为{}k b ，{}1k b ∈±，{}n a 中的第n 个n a 对应{}k b 中的221,n n b b +。

则数字分相码波形可以写成()()k s s t b g t kT ∞-∞=-∑其中2bs T T =，()00s A t T g t else ≤<⎧=⎨⎩。

按照数字分相码的编码规则，有下面的关系221n nn n b a b a +=⎧⎨=-⎩因而()()()()()()is evenis odd 22ksk s k s k k k k k nsnss n n s t b g t kT b g t kT b g t kT a g t nT a g t nTT ∞∞∞=-∞=-∞=-∞∞∞=-∞=-∞=-=-+-=----∑∑∑∑∑令()()2nsn u t a g t nT ∞=-∞=-∑，则()()()s s t u t u t T =--所以()()()()()222214sin 2s sssj fT j fT j fT j fT s u u b u P f P f eP f eeefT P f πππππ-=-=-⎛⎫= ⎪⎝⎭而()u t 是速率为112s b T T =的双极性RZ 码，所以()()2221sinc 42b b u b A T fT P f G f T ⎛⎫== ⎪⎝⎭故()222sinc sin 22b b s b fT fT P f A T π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解三：假设二进制0映射为-1，1映射为-1。

记信息码序列为{}n a ，{}1n a ∈±，编码结果为{}k b ，{}1k b ∈±，{}n a 中的第n 个n a 对应{}k b 中的221,n n b b +。

则数字分相码波形可以写成()()k s s t b g t kT ∞-∞=-∑其中2bs T T =，()00s A t T g t else ≤<⎧=⎨⎩。

按照数字分相码的编码规则，有下面的关系221n nn n b a b a +=⎧⎨=-⎩{}k b 的自相关函数为()[],b i i m R i i m E bb ++=若i 为偶数，即若2i n =，则有()[]2102,2110b n n m m R n n m E a b m else +=⎧⎪+==-=⎨⎪⎩若i 为奇数，即若21i n =+，则有()[]211021,21110b n n m m R n n m E a b m else ++=⎧⎪+++=-=-=-⎨⎪⎩可见序列{}k b 是非平稳的，是周期为2的循环平稳。

求其平均自相关函数得()()()12,221,212101120b b b R m R n n m R n n m m m else =+++++⎡⎤⎣⎦=⎧⎪⎪=-=±⎨⎪⎪⎩求其离散时间傅氏变换()()22111221cos 2sin 2sb b j fmT j fT j fT b bm b b P f R m e e e fT fT πππππ∞--=-∞==--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑于是()()()222222112sin sinc 2222sin sinc 22b b b s b s b b b b fT AT fT P f P f G f T T fT fT A T ππ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 错误!未定义书签。

已知信息代码为：1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 00 0 1 0，请就AMI 码、HDB3码、Manchester 码三种情形，(1)给出编码结果； (2)画出编码后的波形； (3)画出提取时钟的框图。

解：(1)信息代码： 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 AMI 码： +1 0 0 0 0 0 0 0 0-1+1-1 0 0+1 0 0 0 0-1 0 HDB3码： +1 0 0 0+V-B 0 0-V+1-1+1 0 0-1+B 00+V-1 0(2)波形如下：(3)AMI 码和HDB3码可以看成是一种双极性的RZ 信号，经过全波整流后成为单极性RZ 信号，它包含时钟的线谱分量，故此可直接提取。

提取时钟的框图如下：Macnshester 码经过全波整流后是直流，不能用上述办法。

需要先微分，使之成为一种双极性RZ 信号，然后再用上述办法，不过注意这里提出的二倍频时钟，故需要二分频。

提取时钟的框图如下：5. 错误!未定义书签。

已知二进制序列的“1”和“0”分别由波形()100bA t T s t else ≤≤⎧=⎨⎩及()20s t =表示，“1”与“0”等概出现。

此信号在信道传输中受到功率谱密度为02N 的加性白高斯噪声()n t 的干扰，接收端用下图所示的框图进行接收。

图中低通滤波器的带宽是B ，B 足够大使得()i s t 经过滤波器时近似无失真。

（1）若发送()1s t ，请写出()y t 表示式，求出抽样值y 的条件均值[]1|E y s 及条件方差[]1|D y s ，写出此时y 的条件概率密度函数()()11|p y p y s =；（2）若发送()2s t ，请写出()y t 表示式，求出抽样值y 的条件均值[]2|E y s 及条件方差[]2|D y s ，写出此时y 的条件概率密度函数()()22|p y p y s =；（3）画出()1p y 及()2p y 的图形； （4）求最佳判决门限TV 值； （5）推导出平均误比特率。

解：（1）此时在0b t T ≤≤时间范围内，()()y t A t ξ=+，()t ξ是白高斯噪声()n t 通过低通滤波器后的输出，显然()t ξ是0均值的高斯平稳过程，其方差为20N B σ=。

于是抽样值y 的条件均值是A ，条件方差是0N B ，条件概率密度函数是()()202101y A N Bp y eN Bπ--=2。

（2）此时在0b t T ≤≤时间范围内，()()y t t ξ=，()t ξ是白高斯噪声()n t 通过低通滤波器后输出的0均值高斯平稳过程，其方差为20N B σ=。