山东建筑大学线性代数试卷及答案
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
山东建筑大学高等数学答案
一、填空(每小题3分，共15分)1•设zm.x ”，则疙疗冷2.已知 H I f x 2y 2 z 2 d^n =(r)dr ，则「(r)二 4二 r 2f(r 2)x2出2卡2圭 2 03.已知L y cosxdx a sin xdy 在整个xOy 面内与路径无关，则a =1 4•设f x 是以2二为周期的函数，它在区间(-二，二］上的表达式为、选择(每小题3分共15分)2.函数u =1 nx 2，y 2，z 2在点M(1,2,-2)处正确的是(B )3.设D 1是以原点为中心 1为边长的正方形，D 2是D 1的内切圆，D 3是D 1的外接圆，记2 2I 2 二 e 」dxdy;l 3 二 e* dxdy.贝 U I 1, I 2, I 3 的大小顺序为(B )•D 3•f x解 Z = _ 丐 f (xy) — f (xy) y ' (x y) x x 2x■ z - f (xy) - f (xy) yf (xy)」(x y) y ,x y) .x ；y x xC 丨3乞丨2岂I 1D 丨3乞11乞丨2□04.级数7 U n 在满足条件(B )时,n 生疋疋收敛.QO旳1:c丄收敛；n# Un-bo(A ”孳片=0；B 7 U n 收敛n 理D U 2n 收敛n d三、计算下列各题 (每小题6分，共12分)A l i _ I 2 _ I 3B I 2 _ li _ I3j 2z则f X 的傅里叶系数中 b 33 ■: xy1•二元函数 f(x, y)=』x 2 +y 2 b ， (A) 连续，偏导存在； (C)不连续，偏导存在；(x,y) =(0,0) 在点(0,0)处(C_).(X,y) =(0,0)(B) 连续，偏导不存在；(D)不连续，偏导不存在2Agod% =9；(B) du =| dx 2dy -2dz ；(C )divu 皿(D)以上三项都不对.D 21-设z =丄f(xy) y (x y), f,:具有二阶连续导数，求 xfX 二-■: ::: x 三 0=yf （xy ） - y （x - y ） •」（x - y ）2.在曲面z=xy 上求一点，使这点的法线垂直于平面x 3y z 0，并写出这条法线的方程.解 设所求点为（x 0, y 0, Z 0），则过曲面z=xy 上点（X 0,y 0,z °）的法线的方向向量为 "y 0, x 0, 一1 !.由已知1，得 x 0 - -3, y 0 - -1, z 0 = 3 .131过曲面上点（X 0,y °,z 0）的法线方程为x 3 _y 1 _z-3四、（6分）求由旋转抛物面 z=6-x 2-y 2，平面y=0, z=0,x=1及y=x 所围成的立体对 z轴的转动惯量（设体密度p =1）.解 设「是由旋转抛物面 z =6-X 2 —y 2，平面y=0,z=0,x=1及y=x 所围成的区域.1 x6 _x2』2I z = x 2 y 2 dxdydz dx dy-0 J 0 J 0Q‘ yds,其中L 是抛物线y 2 =4x 上介于点O 0,0与点B 1,2之间的一段弧.2.xyds =L3. =2 1------- 4oT xdx H （1 X ） -2.2 -1:-y d x x dy 其中L 为一条无重点、x 2 y 2令卩=卄2=2 y 2x.则当分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， L 的方向为逆x 2 ■ y 2 =0 时，有y 2-x 2记L 所围成的区域为 D.当（0,0）「一 D 时，-JL-ydx 亠xdy x 2y 2=0x 2 y 2 dz五、 1.1 x22「0dx.06-x_yx 2 y 2 dy =8x 3“ ” -028x 5 dx=Z615 45计算下列积分（每小题6分，共24分） 1 1 2 2 dx x e y dy.xdx1io1 2 x 2e ydyxi y 22二 dy x e y dx0 -0=-3 0t-2 163e 『dy 」1 6 oy 2e ，dy 2i1t—e 」0 二当（0,0） • D 时，记L i : x 2y 2 =r 2,其中L i 包含在L 内，并取其顺时针方向4 / 44.丹xdydz^ydzdx 兰dxdy 其中瓦是球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2的外侧. 丈 +y 2 +z 2 j解 xdydz 亠 ydzdx 亠zdxdyxdydz 亠 ydzdx 亠 zdxdy ・a3当a =1时，级数J -发散.n±na =-1时，级数上九条件收敛•心n七、（7分）将函数ln 2 x 展开成x 的幕级数,并求其收敛区间•Q n2-beln(2 x) =1 n2 'n =02n z0十 _ydx +xdy 十 _ydx +xdy■| 2 2 - - 2 2L L 1x y L 1 x y2 _ . 2 . 2 _._ydx +xdyLx : ：；-yr cos ' r sin •d v 二 2 二JI=0 -r 2x。
山东建筑大学2019-2020学年第一学期《线性代数》期末试卷A及答案
···········································································································装订线山 东 建 筑 大 学 试 卷 共 4 页 第 1 页2019 至 2020学年第 1 学期 线性代数 （本科）试卷 A 卷 专业： 全校修线性代数的各专业试卷类别：考试 考试形式：闭卷 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 四 五六七总分 分数说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
山建修订线性代数作业答案
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）=baca cb cb accc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（2）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）2 4 1 3；（2）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （3）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为3. （2）逆序数为2)1(-n n .（3）逆序数为)1(-n n . 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：解(1)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(2)ef cf bfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e cb adf--- =111111111---adfbce =abcdef 4(3)dcb a10110011001---21ar r +d cb a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+23dc c +01111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5、证明：(1)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bxaz zbx az bz ay y b +++++++++++++002y by ax zx bx az yz bz ay x a 分别再分bzay yxbyax x z bxaz z y b +++zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z y zy x b yxzx z yz y x a (2) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d d d c c c b bb a a a(3) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d ac ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a-----))((d c b a d c +++-(4) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a xD n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-xx a xD D n n n n右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=)1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aann n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a x D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)nna a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221nn n a a a a a a a a ----+--000000000000001133221 ++nn n a a a a a a a a -------000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑+==ni in a a a a(4) nnnnnd c d c b a b a D 00011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 000000011111111----展开按第一行000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式： 222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij-=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n7.用克莱姆法则解下列方程组：解11213513241211111----=D 812073503211111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----=112123313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14238100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----=42611135232422115113-=----=D14202132132********4=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x D D x 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ, 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1﹑已知两个线性变换,zz y z z y z z y ,yy y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32331221132133212311323542322 求从变量321z ,z ,z 到变量321x ,x ,x 的线性变换。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n，则行列式等于（）A. m+nB. -（m+n）C. n-mD. m—n2。
设矩阵A=，则A—1等于( ）A. B。
C。
D.3。
设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A＊中位于(1，2)的元素是( )A. –6B. 6C. 2 D。
–24。
设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A。
A =0 B. BC时A=0C. A0时B=CD. ｜A｜0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T）等于（)A。
1 B。
2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2,…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2(α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0 C。
有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-β）=0sD.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsα=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0s7.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r—1阶子式都不为0 B。
所有r—1阶子式全为0C。
至少有一个r阶子式不等于0 D。
所有r阶子式都不为08。
设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解,则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C。
η1—η2是Ax=0的一个解D。
2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（)A。
山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化2010~2011-2-线代A卷+答案
1 2 1 r 1 2 1 r 0 1 1 r 0 1 1
1 1 2
2 1 1
0 0 0
0 0 0
1 得基础解系： 3 1 ； 1
分）
单位化得
1
3
p3
1
3 1
3
；
………………（10
1
2
得到正交矩阵
P
1 2
0
1 6
1
6 2
6
1
3
1
3 1
3
量的个数为
。
５．已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) (k 1)x12 (k 1)x22 (k 3)x32 正定，则数 k 的
取值范围为________。 三、综合题（60 分）
1 234 2341 1.（10 分）计算行列式： D 3412 4123
姓名 装订线
班级
考场 装订线
4. 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 A2 1 必有一个特征值等于
（
）
装订线
山东建筑大学试卷
3.（10 分）设向量组
共 4 页第 2 页
1 2,3,1,2T ,2 1,1,4,0T ,3 3,3,12,0T ,4 5,10,1,6T ；
求该向量组的秩 R1 , 2 , 3 , 4 ，并求出该向量组的一个最大无关组.
学号
1 0 1
2．（10 分）设 A 和 B 都是 3 阶方阵 AB E A2 B ，若 A 0 2 0 ，
4.解
A,
b
1
1
1
3 r 1
1
1
3
1 1 1
1 1
1 0
1 1
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
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···········································································································装订线山 东 建 筑 大 学 试 卷 共 4 页 第 1 页2009 至 2010学年第 1 学期 线性代数 （本科）试卷 B 卷 专业： 全校修线性代数的各专业 试卷类别： 考试 考试形式： 闭卷 考试时间120 分钟 题号 一 二 三 四 五六七总分 分数说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
得分 评卷人一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n 阶行列式D =ij a ,j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式,则下列各式中正确的是( ).A. 01=∑=n i ij ij A a ； B. 01=∑=n j ij ij A a ；C. D A a n j ij ij =∑=1；D.D A a ni i i =∑=121.2．已知A 为n 阶方阵，且满足E A 22=，则=--1)(E A ( ). A.A E +; B.A E -; C.E A -; D.A .3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A ，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t ( ). A. -4; B. -5; C. -6; D. 4.4．设B A ,分别是n m ⨯与1⨯n 矩阵，且0=AB ，则)(),(B R A R 与n 的关系是( ). A. n B R A R <+)()(; B. n B R A R >+)()(;C. n B R A R ≤+)()(;D. n B R A R ≥+)()(.5.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可以相似对角化，则x 为( ).A. -3;B. 3;C. 0;D. 5.6．设矩阵11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则必有（ ）. A ．12PP A B = B ．21P P A B = C ．12APP B =D ．21AP P B =.7．设向量组1234,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）. A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合; B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合; C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合; D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合.8．对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=，设()m n R A ⨯=r ，则（ ）. A ．r m =时，方程组m n A x b ⨯=有解;B ．r n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;C ．m n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;D ．r n <时，方程组m n A x b ⨯=有无穷多解. 9．设2元二次型T 12(,)f x x x Ax =正定，则矩阵A 可取为（ ）. A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112; B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112; C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221; D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221. 10．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件;B ．充分而非必要条件;C ．必要而非充分条件;D ．既非充分也非必要条件.班级 _________ 姓名 _________学号 ______________二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11. 已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为 .12. 设A 为34⨯的矩阵且秩为2，又3维向量21ηη,是方程组b Ax =的两个不等的解，则对应的齐次方程组0=Ax 的通解为 .13. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A ，*A为A 的伴随矩阵，则=-*1)(A _____. 14、 设21αα,是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321βββ,,的线性相关性是 .15、设3阶方阵A 和B ，且它们的秩为32==)()(B r A r ，，则秩 =)(**B A r __________. 16．设矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则必有（ ）.A ．12PP AB =； B ．21P P A B =；C ．12APP B =；D ．21AP P B =. 17、已知向量(1,,1)x α=-与向量(0,1,1)β=正交，则x = .18、已知函数111111()111111x x f x x x=，则4x 的系数为 .19.已知12,αα为2维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-，12(,)B αα=.若行列式||6A =，则||B = .得分 评卷人20．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件；B ．充分而非必要条件；C ．必要而非充分条件；D ．既非充分也非必要条件.三、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共计20分）21、设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明：得分 评卷人···········································································································装订线22、设BA,都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是BAAB=. 证明：。
四、求解题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）23、设3阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E=-+其中E为3阶单位矩阵（1）验证1α是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量；（2）求矩阵B.解：得分评卷人···········································································································装订线24、问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-154224521222321321321λλλλx x x x x x x x x )()()((1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解； 并在无穷多个解时，求方程组的通解. 解:25、求实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值和特征向量，并用正交矩阵将矩阵A 化成对角矩阵. 解：···········································································································装订线。