数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
数学期望与方差的运算性质
数学期望与方差的运算性质教程一：复习公式离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i jP X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑连续随机变量()()()2,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=⎰⎰二：期望运算性质()E aX bY c aEX bEY c ++=++应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ⎧=⎨⎩１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1由于()()1101,111,n ni i P X P X m m ⎛⎫⎛⎫==-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()111/ni EX m =--，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()EYEX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ⨯-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμθμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!ii jj j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-!(1)(1)!!()!!()!i ij i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=--- 000(,)(1)!()!iij i ji j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑ clearclcsyms i j p lamda positiveEXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)cov=simple(EXY-EX*EY);covEXY =p*lamda*(lamda+1)EX =lamdaEY =lamda*pcov =lamda*p可以看到，协方差不为０例题：P180 3.4.8()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη⨯=+，求(238)Var X Y -+ syms x y positivemoment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);Var=moment2-moment1^2Var =245/81协方差计算公式()()()(),cov(,)EX a EY b X Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=-- ()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+()E XY ab ba ab =--+()()()E XY E X E Y =-注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立 ()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-⨯-=⎡⎤⎣⎦注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立四、协方差和方差性质１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X = 1111cov(,)cov(,)m n m ni i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑ 特殊地11111()cov(,)cov(,)m m m m mi i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1cov(,)()mi j i i j i X X Var X =≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑11cov(,)()m m i j i i i j i X X Var X ==≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑12cov(,)()mi j i i j i X X Var X =>=+∑∑特别地121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =----1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和定理：若随机变量1,,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()nn n i i j i i i i i j i Var X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑。
协方差公式性质证明过程_期望方差协方差及相关系数的基本运算
协方差公式性质证明过程_期望方差协方差及相关系数的基本运算期望（Expected Value）是概率论与数理统计中的重要概念之一，表示随机变量的平均值。
设X是一个随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差（Variance）是测量随机变量离其期望的平均距离的指标。
设X是一个随机变量，其期望为μ，则X的方差定义为：Var(X) = E((X-μ)²) = E(X²) - (E(X))²协方差（Covariance）衡量两个随机变量之间的线性相关性。
设X和Y为两个随机变量，其期望分别为μX和μY，则X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E((X-μX)(Y-μY)) = E(XY)-μXμY相关系数（Correlation Coefficient）是用来刻画两个随机变量之间相关关系的指标，它是协方差标准化的结果。
设X和Y为两个随机变量，其协方差为Cov(X, Y)，则X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) * √(Var(Y)))现在我们来证明协方差的一些性质。
性质1：Cov(X, X) = Var(X)证明：Cov(X, X) = E((X-μX)(X-μX)) = E((X-μX)²) = Var(X)性质2：Cov(X, Y) = Cov(Y, X)证明：Cov(X, Y) = E((X-μX)(Y-μY)) = E((Y-μY)(X-μX)) = Cov(Y, X)性质3：Cov(aX, Y) = aCov(X, Y)，其中a为常数证明：Cov(aX, Y) = E((aX-μ(aX))(Y-μY)) = E(a(X-μX)(Y-μY)) =aE((X-μX)(Y-μY)) = aCov(X, Y)性质4：Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z)证明：Cov(X, Y + Z) = E((X-μX)(Y+Z-μ(Y+Z))) = E((X-μX)(Y-μY+Z-μZ))=E((X-μX)(Y-μY))+E((X-μX)(Z-μZ))= Cov(X, Y) + Cov(X, Z)性质5：Cov(aX + b, Y) = aCov(X, Y)，其中a和b为常数证明：Cov(aX + b, Y) = E((aX + b - μ(aX + b))(Y-μY)) = aE((X-μX)(Y-μY)) = aCov(X, Y)性质6：Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)证明：Cov(X + Y, Z) = E(((X + Y)-μ(X + Y))(Z-μZ)) = E((X-μX)(Z-μZ) + (Y-μY)(Z-μZ))=E((X-μX)(Z-μZ))+E((Y-μY)(Z-μZ))= Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)以上就是协方差的一些性质的证明过程。
第四章方差与协方差
随机变量的数学期望(均值), 它体现了随机 变量取值的平均水平, 是随机变量的一个重要的 数字特征.
但是在很多场合, 仅仅知道平均值是不够的.
例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙 两台仪器各测量10次, 并将测量结果 X 用坐标上的 点表示如图：
测量结果的 均值都是 a
为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量 随机变量在其中心 (即均值) 附近取值的离散程度 (或集中程度). 这个数字特征就是: 方差.
我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?
X − E(X) ? E[ X − E(X) ] ? E{ [ X − E(X) ]2 }
E[ | X − E(X) | ] ?
若 X 的取值比较集中, 则方差较小； 若 X 的取值比较分散, 则方差较大 .
如: 据以往记录, 甲乙两射手命中环数 X、Y 的分布律为
X
6
7
8
9
10
0.1
P 0.1 0.2 0.4 0.2 可以算出:
及
Y
6
7
8
9
10
0.2
P 0.2 0.2 0.2 0.2
8.0, 6 0 . 1 7 0 . 2 8 0 . 4 9 0 . 2 10 0 . 1 E (X) E ( Y ) 8 . 0 , 两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的 高低; 2 1 )20 .2 ( 2 )20 .1( ( X ) E {[ X E ( X )] } 但 D
一、方差( variance )的定义
随机变量 X 的平方偏差 [ X − E(X) ]2 的均值
E { [ X E ( X ) ]}
期望 方差 标准差
期望方差标准差期望、方差和标准差是统计学中常用的概念，它们在描述和分析数据分布特征时起着重要作用。
在本文中，我们将对这三个概念进行深入探讨，帮助读者更好地理解它们的含义和用途。
首先，让我们来了解一下期望。
期望是描述随机变量平均取值的概念，它可以简单地理解为随机变量的平均值。
在数学上，期望值可以通过对随机变量的所有取值进行加权平均来计算，其中每个取值的权重由该取值发生的概率决定。
期望值的计算可以帮助我们了解随机变量的集中趋势，对于评估随机变量的平均水平具有重要意义。
接下来，我们来讨论方差。
方差是衡量随机变量离散程度的指标，它可以反映随机变量取值的波动情况。
在数学上，方差的计算是通过随机变量的每个取值与期望值的差的平方进行加权平均得到的。
方差值越大，表示随机变量的取值波动越大，反之则表示波动越小。
方差在统计分析中具有重要作用，它可以帮助我们评估随机变量的稳定性和波动程度。
最后，让我们来谈谈标准差。
标准差是方差的平方根，它也是衡量随机变量离散程度的重要指标。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它的数值与随机变量的原始数据具有相同的量纲。
标准差的计算可以帮助我们更直观地理解随机变量取值的波动情况，对于比较不同随机变量的离散程度也非常有帮助。
综上所述，期望、方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们在描述和分析数据分布特征时具有重要作用。
期望可以帮助我们了解随机变量的平均水平，方差和标准差则可以帮助我们评估随机变量的离散程度。
通过深入理解这三个概念，我们可以更好地进行数据分析和统计推断，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对读者能够有所帮助，如果您对期望、方差和标准差还有其他疑问或者需要进一步了解，欢迎随时与我们联系，我们将竭诚为您解答。
方差协方差均值
方差协方差均值是统计学中的基本概念，它们描述了数据分布的离散程度和相关程度。
在某些情况下，这些概念可能会对数据分析和决策制定产生重要影响。
首先，我们来了解一下方差（Variance）和协方差（Coefficient of Variation）。
方差描述了一组数据值与其平均值之间的离散程度，通常用希腊字母σ2表示。
如果一组数据的变化范围很大，则该组的方差可能较高。
相反，如果数据相对较稳定，则方差较低。
在某些情况下，方差可用于评估风险或不确定性。
协方差描述了两组数据之间的相关程度。
它表示每个数据点与其平均值之间的差异的平均值。
如果两组数据具有相同的方向变化趋势，则它们之间的协方差为正；如果两组数据相反方向变化，则协方差为负。
协方差的绝对值表示了两组数据之间的相关程度的强度。
如果绝对值较大，则说明两组数据之间的相关性较强；如果绝对值较小或接近于零，则说明两组数据之间可能没有明显的相关性。
均值（Mean）是描述一组数据集中趋势的统计量，通常用数学符号μ表示。
均值可以反映数据的分布情况，因为它是所有数据点的平均值。
在决策过程中，均值可用于评估某个方案或选择的结果的平均水平或效果。
将方差、协方差和均值结合起来，我们可以更好地理解数据的分布和相关性，以及如何根据这些信息做出决策。
例如，在风险评估中，我们可以使用方差和协方差来评估投资组合的风险水平，并确定如何分散风险以获得更好的回报。
在市场研究中，我们可以使用协方差和均值来评估不同市场趋势之间的相关性，并确定如何调整研究策略以获得更好的结果。
然而，需要注意的是，方差、协方差和均值并不是万能的统计指标。
它们都有其局限性，需要与其他统计指标和方法结合使用，以获得更全面和准确的数据分析结果。
此外，不同的应用场景可能需要不同的统计指标和方法来评估数据和决策制定过程。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的统计指标和方法来进行分析和决策。
总之，方差、协方差和均值是统计学中的基本概念，它们描述了数据的分布和相关性，并可用于评估决策制定过程中的平均水平或效果。
数学期望方差协方差
31
解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则
若Y X 1000Y , Z g( X ,Y ) 500(X Y ), 若Y X
24
i 1 j 1
定理：设Z 是随机变量X , Y的函数： Z h( X , Y ) h是连续函数 ,
若二元连续型随机变量 X , Y 的概率密度为f ( x, y)，
则有E ( Z ) E (h( X , Y ))
h( x, y) f ( x, y )dxdy
2 e x 2e2 x , x 0, 因此，密度函数为f M ( x) x 0. 0,
由上例，E (M ) xf M ( x)dx
0
2 xe
0
x
dx x2e2 x dx
0
2 1 3 . 2 2
15
例：某厂生产的电子产品,其寿命(单位:年)服从指 数分布,概率密度函数为
解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x))2 ,
3 ( 1 1) 3 4 5 5
30
例：
某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从在区间[10,20] 上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元； 若需求量超过进货量，商店可从他处调剂供应， 这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销 该种商品每周所获得利润的数学期望。
期望，方差，均值以及均方差
期望，⽅差，均值以及均⽅差 ⼀组数求期望（均值），不是对每个数求均值，⽽是第⼀轮是将元素以及重复次数整理出来， ⼆轮才是将求元素的均值：1import numpy as np23 arr = np.array([1, 3, 1, 4])4 arr = arr.reshape(2, 2)5print(arr)6print(arr.mean())78 mean = 1*(2/4) + 3*(1/4) + 4*(1/4)9print(mean) 如上，可以看到mean的值和arr.mean是⼀致的。
重复的元素其实只是会计算⼀次。
概率中的讲的元素也是特征元素（重复的元素只算⼀个特征元素）；这是按照概率定义那种⽅式来计算（元素*概率再求和），需要⾸先计算出来概率；这⾥关键要区别“事件”和样本；对于arr ⽽⾔，它⾥⾯的元素就是样本；⽽概率定义中公式则是事件，即不重复的元素（1,3,4）。
另外⼀种算法就是直接求和取平均值：1import numpy as np2 arr = np.array([1,2,3,4])3 sum = 04for i in arr:5 sum += i6 mean_manual = sum / len(arr)7print("manual mean: ", mean_manual)8print("numpy mean: ", arr.mean())910 arr2 = arr.reshape(-1, 2)11print("axis=1:",arr2.mean(axis=1))12print("axis=0:", arr2.mean(axis=0))>>> output:manual mean: 2.5numpy mean: 2.5axis=1: [1.5 3.5]axis=0: [2. 3.]另外关于axis=0和axis=1见下⾯的解释。
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均值、方差和协方差的定义和基本性质
1 数学期望（均值）的定义和性质
定义：设离散型随机变量X 的分布律为
{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数
1k k k x
p ∞=∑
绝对收敛，则称级数1k k k x
p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即
()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分
()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分
()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞
−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质
（1）设C 是常数，则有()E C C =；
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；
（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推
广至任意有限个随机变量之和的情况；
（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质
定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X
的方差，记为()D X 或()Var X ，即
性质：下面给出方差的几个重要性质
（1）设C 是常数，则有()0D C =；
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有
()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；
（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有
()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−
特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
3 协方差的定义和性质
定义：量()(){}
E X E X Y E Y −−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦称为随机变量X 与Y 的协方差。
记为(),Cov X Y ，即
()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质：下面给出协方差的几个重要性质
（1）()(),,Cov X Y Cov Y X =
（2）()(),Cov X X D X =
（3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =−
（4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数
（5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献
[1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学。