八下图形的面积等分问题
面积
中考试题中有关面积问题的解法举例知识点：1.运用面积公式2.相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）；3.同（等）底的三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比；4.利用割补法；5.利用等积变换：同（等）底同（等）高面积相等；6.利用图形变换：平移变换、旋转变换；7.结合特值法.（适合填空题、选择题）8.和函数图象结合。
平分图形面积：1、三角形的中线将三角形面积平分（任意四边形可以转换为三角形，连对角线，利用平行线间距离相等，同（等）底的三角形面积相等）2、过对称中心的任意一直线将中心对称图形面积平分；3、对称轴将轴对称图形面积平分4、过梯形中位线中点的直线将梯形面积平分1、 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ）D（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个2、如图小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高是 ．3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 .4、如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积是1，则红色的面积是______________________．5、如图图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．（1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′； （2）△A ′B ′C ′向左平移5个单位后得到的△A ″B ″C ″； （3）△A ′B ′C ′和△A ″B ″C ″重叠部分的面积是 ．【考点】图形的变换位似、平移、相似6、如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC 的面积是________________2cm7、在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。
奥数——平面图形的面积一
平面图形的面积(一)——图形的等分例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。
练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。
例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。
求阴影部分面积。
练习AC是CD的3倍，E是BC的中点，三角形CDE的面积为2平方厘米。
求三角形ABC的面积。
练习如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形EFGD的长是5厘米，DE长几厘米？例4 在一块长方形的地里有一口长方形的水井，试画一条线把除井处的这块地平分成两块。
练习下图为5个面积为1的正方形拼成的。
试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。
例5 将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小黑圈。
练习将下图分成4个形状相同、面积相等的小块。
作业1、三角形的面积公式：________________。
同底等高的三角形面积___________。
平行线间的距离处处___________。
2、甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的_____倍。
3、甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的4倍，则甲的面积就是乙面积的______倍。
4、把一个等边三角形分成面积相等的三个三角形，有________种不同的方法。
5、如图1，该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有_________组，请分别写出________________ __________________________________。
6、如图2，AD与BC平行，AD=5，BC=10，三角形ADC面积为10，则三角形ABC的面积是_______________。
初中数学中中心对称图形中的面积等分
初中数学中中心对称图形中的面积等分中心对称图形属于图形变换中旋转的特殊形式，它具有独特的一些性质，下面仅从图形的面积角度对中心对称图形进行研究。
一、中心对称图形的相关知识定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，能够重合的顶点叫做对应点（或对称点）。
常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等。
一般地，中心对称图形的对称中心是唯一的，在图形的内部。
如线段的对称中心为线段的中点；平行四边形、矩形、菱形、正方形这些图形的对称中心为对角线的交点；边数为偶数的正多边形的对称中心为图形的中心；圆的对称中心是圆心。
由定义易得中心对称图形的性质：每组对应点的连线段经过对称中心且被对称中心平分。
在判断一个图形是否是中心对称图形，可以先初步确定对称中心的位置，再由图形的一个顶点与对称中心连线并延长（构建1800），延长线是否经过图形的另外的顶点，若经过，再判断顶点到对称中心的距离是否相等，若都具备，在判断另外的几对对应点是否具有这些性质。
若均具备则是中心对称图形，否则，不是。
二、中心对称图形中的面积等分线中心对称图形中，经过对称中心的任意一条直线将图形的面积被平分。
例1：人教版八年级数学教材 51页 14题如图，用硬纸板剪一个平行四边形，做出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，使随意停留在任意位置，观察几次拨动的结果，你发现了什么?解：如图，木条和平行四边形组合成图形，该图形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O。
当木条绕点O旋转过程中，可以与一组对边AD、BC相交，也可与对边AB、CD相交，此时木条和对角线把平行四边形ABCD分割成六个基本的三角形，三角形①和三角形④、三角形②和三角形⑤、三角形⑥和三角形③分别关于点O中心对称，它们分别全等，且三角形⑥①②在木条一侧，三角形③④⑤在木条另一侧，利用面积割补法易得S⑥+S①+S②=S③+S④+S⑤即木条平分平行四边形ABCD的面积。
第四节 图形的面积(含答案)...八年级数学 学而思
第四节 图形的面积1.一些常见的面积公式正方形面积2边长×边长； 长方形（矩形）面积=长×宽； 平行四边形面积=底×高： 三角形的面积21=×底×高； 梯形面积⨯=21（上底+下底）×高， 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分1.计算面积常用的方法(1)和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示，通过常规图形面积公式计算． (2)割补法：有时直接求图形的面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解．(3)等积变形法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换为易求图形的面积．(4)等比法，将面积比转化为线段的比． 2.两个三角形的面积关系同（等）高时，面积之比等于底之比；同（等）底时，面积之比等于高之比， 3.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 4.常见的基本模型续表例1．如图1-4-1所示，△ABC 中，已知点F E D ,,分别是CE AD BC ,,边上的中点，且24S cm ABC =∆则BEF ∆S 的值为（ ）22.cm A 21.cm B 25.0.cm C 225.0.cm D141-- 241-- 341--检测1．如图1-4-2所示，AD 是△ABC 边BC 的中线，F E ,分别是BE AD ,的中点，若△BFD 的面积为6，则△ABC的面积等于( )18.A 24.B 48.C 36.D例2．如图1-4-3所示，在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，0是AD 上任意一点，=∆ABO S ,12S ,3CO BO ==∆∆A D S那么=∆COD S检测2．如图1-4-4所示，三角形ABC 的面积是30平方厘米，,32,BC BD FD AE ==则三角形BED 的面积为 平方厘米．例3．如图1-4-5所示，已知AE AD ,分别是△ABC 的高和中线，,12,9cm AC cm AB ==.90ο=∠CAB(1)求△ABE 的面积．(2)求AD 的长度．(3)求△ACE 和△ABE 的周长的差，441-- 541-- 641--检测3.如图1-4-6所示，在△ABC 中．,3,8,5,cm BE cm AC cm BC AC BE ===⊥(1)则△ABC 的面积为(2)画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值例4．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为检测 4.（安徽桐城市模拟）已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,,c b a h h h 且,6:5:4::=c b a 那么c b a h h h ::等于( )6:5:4.A 4:5:6.B 10:12:15.C 15:12:10.D第四节 图形的面积(建议用时:30分钟)实战演练1．（湖南衡阳期末）能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条( ) A ．角平分线 B ．中线 C ．高线 D ．既垂直又平分的线段2．如图1-4-1所示，4x4的方格中每个小正方形的边长都是1，则⋅ABCD 四边形S 与DF E C S 四边形的大小关系是( )DFABDC A EC S S .四边形四边形=DFABDC B EC S S .四边形四边形<1S S .EC +=DF ABDC C 四边形四边形 2S S .EC +=DF ABDC D 四边形四边形141-- 241-- 341--3．（江苏沭阳期末）如图1-4-2所示，在CE AD ABC ,,中∆分别是△ABC 的高，且,4,2==CE AD 则=BC AB :4:3.A 3:4.B 2:1.C 1:2.D4．如图1-4-3所示，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为CDQ a ∆,的面积为6．则阴影四边形的面积等于( )b a A +. b a B -. 2.ba C + D ．无法确定441-- 541-- 641--5．如图1-4-4是3个边长为1的正方形拼成的，则图中共有( )个面积为0.5的三角形．7.A 6.B 5.C 4.D6．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如图1-4-5所示，两条线段EF ，MN 将大长方形AB-CD 分成四个小长方形，已知,,b AE a DE ==,,d BN c AN ==且1S 的面积为2S ,8的面积为3S ,6的面积为5，则阴影三角形的面积为( ) 310.A 3.B 4.C 25.D 7．如图1-4-6所示，,7S ,4S ,5S a a a BFG ACG AFG ===∆∆∆则=∆AEG Sa A 1127.a B 1128. a C 1129. a D 1130.8．有三条线段a c b a ,,,长2.12米，6长2.71米，c 长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，如图1-4-7所示，第 个梯形的面积最大．741--9．如图1-4-8所示，图④③②①,,,都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为321S ,,S S 和⋅4S 则321,S ,S S 和4S中最小的与最大的和是 平方厘米．841--10.如图1-4-9所示，两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠部分面积是11．如图1-4-10所示，将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积在图中已标明，则△ABC 的面积为941-- 1041-- 1141-- 1241--12.如图1—4- 11所示，四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,上的点，且,31AD AH =,31AB BE =,31BC CF =,31CD DG =如果阴影部分的面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于 平方厘米．13．等边△ABC 的面积为G F E ,,,1是其各条边上的5等分点，其位置如图1-4- 12所示，那么△EFG 的面积为 14.梯形的上底a 、下底b 和高h 都是整数，下底比上底长10 cm ，h 小于a ，梯形面积是,5612cm 请写出三元整数组),,(h b a 的所有可能15.如图1-4 - 13所示，AD 为△ABC 的中线．BE 为△ABD 的中线．,15)1(ο=∠ABF ,26ο=∠BAD 求BED ∠的度数：(2)若△ABC 的面积为,5,40=BD 则△BDE 中BD 边上的高为多少．16.如图1-4 - 14所示，△ABC 内的线段BD ．CE 相交于点O.已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆,, 和四边形AEOD 的面积分别为4321S ,S ,,S S1341--(1)求31:S S 的值； (2)如果,22=S 求4S 的值．17．(1)如图1-4 - 15所示，已知△ABC 的面积为a ，1541--① 如图①所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1S 则=1S（用含a 的代数式表示）； ② 如图②所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使==AE BC CD ,,CA 连接DE.若△DEC 的面积为,2S 则=2S （用含a 的代数式表示）；③ 在图②所示的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接,,FE FD 得到△DEF(如图③所示）．若阴影部分的面积为,S 3则=3S（用含a 的代数式表示）；(2)像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍， 拓展创新18.（江苏南京秦淮区期末）如图1-4 -16所示．(1)如图①．AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系，为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为如图②，已知,ABC S ∆△ABC 的中线AD ，CE 相交于点0，求四边形BDOE 的面积，,1S =∆ABC拓展1．如图③，已知1441--1641--是BC 边上的三等分点，F ，G 是AB 边上的三等分点，E D ABC ,,1S =∆AD ．CF 交于点0，则四边形BDOF 的面积为 拓展2．如图④，已知F E D ,,,1S ABC =∆是BC 边上的四等分点，G ，H ，I 是AB 边上的四等分点，AD ．CG 交于点0，则四边形BDOG 的面积为极限挑战19.设一个三角形的三边分别是.8,31,3m -(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数？若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图1-4 -17所示，在(2)的条件下，当3,31,8=-==BC m AC AB 时，若D 是AB 的中点，连接CD ，P 是CD 上动点（不与C ，D 重合，当P 在线段CD 上运动时，有两个式子）：;S S S BPD APC ABC ∆∆∆+①,ABPBPA +②其中有一个的值不变，另一个的值改变．问题：请判断出谁不变，谁改变；若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围，1741--答案。
初中几何题解题技巧(带例题)
练一练 7： 如图 19 所示，已知平行四边形 EFGH 的底是 8 厘米，高是 6 厘 米，阴影部分的面积是 16 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
八、两次求差法 两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方 法。 例 8 如图 20，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：通过作辅助线，可以将三角形 ABC 平均分成 16 个完全一样的小 三角形（如图 11 所示），阴影部分为其中 3 个小三角形，即阴影部分的面积占 三角形 ABC 的面积的。阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。
练一练 4： 如图 12 所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点，求阴影部分的面积。
七、等量代换法 等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换， 从而求出面积的方法。 例 7 如图 18，长方形 ABCD 的面积为 1500 平方厘米，阴影部分的面积为 880 平方厘米，求四边形 EFGO 的面积。
分析与解：在长方形 ABCD 中，△ABF 与△DBF 同底（即 BF 的长）、等高（即 长方形的宽），所以 S△ABF＝ S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF， 则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。这样 S 阴影＝S 四边形 EFGO＋
分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影 Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有 4 个，其中阴影 1 个，空白 3 个。要求阴影部分 的面积，就相当于把大圆的面积平均分成 4 份，求其中一份的面积，列式为： 3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。
初中数学专题---------直线等分面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
圆的八等分计算公式
圆的八等分计算公式圆是数学中最基本的几何图形之一，它的性质和应用十分广泛。
在圆的研究中，圆的八等分是一个重要的问题。
圆的八等分是指将一个圆分成八个相等的部分，每个部分的角度为45度。
本文将介绍圆的八等分计算公式。
首先我们需要了解一些基本知识。
圆是由无数个点组成的，其中心是圆的重要部分。
圆的半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它等于半径的两倍。
圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，它等于直径乘以π（圆周率）。
圆的面积是圆内所有点到圆心距离的平均值乘以π的平方。
这些基本知识将为我们后面的计算提供帮助。
圆的八等分计算公式可以分为两个部分：圆的周长和圆的面积。
圆的周长首先我们需要计算圆的周长。
由于我们要将圆分成八等分，因此每个等分的弧度为45度，也就是π/4。
根据圆的周长公式，圆的周长等于直径乘以π。
因此，我们可以得到以下公式：周长 = 直径×π我们需要将直径分成八份，因此每个等分的长度为直径的1/8。
根据这个长度可以计算出每个等分的弧长。
弧长等于圆的周长乘以弧度，因此我们可以得到以下公式：弧长 = 周长×弧度将上面两个公式结合起来，我们可以得到圆的八等分计算公式：圆的周长 = 直径×π每个等分的长度 = 直径的1/8每个等分的弧长 = 直径的1/8 ×π/4圆的八等分的周长 = 直径的1/8 ×π× 8 = 直径×π因此，圆的八等分的周长等于圆的直径乘以π。
圆的面积接下来我们需要计算圆的面积。
由于我们要将圆分成八等分，因此每个等分的角度为45度。
根据圆的面积公式，圆的面积等于圆的半径的平方乘以π。
因此，我们可以得到以下公式：面积 = 半径×π我们需要将半径分成八份，因此每个等分的长度为半径的1/8。
根据这个长度可以计算出每个等分的面积。
每个等分的面积等于扇形面积减去三角形面积。
扇形面积等于圆的面积乘以弧度除以2，三角形面积等于底乘以高除以2。
[说明]多边形面积二等分问题
![[说明]多边形面积二等分问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1bef354a3a3567ec102de2bd960590c69ec3d8ed.png)
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。
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《图形的面积等分问题》教案
开发区实验中学张文敏
一、背景分析
二、教学目标
1.知识与技能：了解几类特殊图形用一条直线将其面积两等分，掌握三类一般图形用一条直线将其面积两等分的方法，并能运用解决相关的实际问题。
2.过程与方法：培训学生类比，转化的数学思想方法，以及一般与特殊的辩证思想
3.情感态度与价值观：让学生体验知识等于“财富”、“成功”，以及知识的价值，并产生巨大的求知动力。
教学重点：任意三角形、平形四边形、梯形等几类图形用一直线将其面积两等分的方法，并能灵活运用。
教学难点：任意梯形用一条直线将其面积两等分的方法及其应用。
三、教法与学法
实践法，小组合作法
四、教学过程
(一)创设情境，引入新课
问题：在我家小区内，物业公司要对一块三角形区
域进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角
形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块
用来植绿色植被，让我们来帮助他们解决这个问题，
同学们你们是否能用你们学的知识来帮镇政府解决
这个问题呢？
要解决这个实际问题，它的实质就是我们几何学中
的“一直线两等分图形面积”的问题。
今天我就和同学们一起来探索研究这类问题。
(二)实验引导
问题：
你能在下列图形中作一直线将其分成面积相等的两块吗？
（请同学们借助准备好的纸片进行操作，同学间进行交流，最后得出结论）
2 教师提问：
通过刚才的实验操作，你们发现了什么？有何疑问？
（这些图形都是特殊的三角形、四边形，都能通过折叠，剪切分成两个面积相等的部分；这些图形都是轴对称图形，只要画出对称轴就能分成面积相等的两块了）学生或教师提问：
是不是任何一个图形都能作一条直线将其面积两等分呢？
今天我们主要来探讨一下一般三角形、平形四边形和梯形中能不能作一条直线将其面积两等分？
(三)问题引导
问题：
如图，在△ABC中，能作一直线将其分成面积相等的
两部分吗？（只要作它一边上的中线所在的直线就
可以了，因为中线分面的两个三角形等底同高）
问题：
如图，矩形ABCD中，能作一直线将其分成面积相等的两部分吗？
（1）画出它的任一条对角线，因为对角线
分成的两个三角形全等。
（2）还可以作过对边中点的直线，这样分成
的两个四边形都是矩形且等底等高。
（3）过对角线的交点的任一条直线，就能把
面积两等分
[因为平行四边形是中心对称图形，根据中心
对称图形的性质，经过对称中心的任一条直
线都把它分成两个全等形，面积当然相等。
]
教师点拨：
如果把上述问题中的平行四边形换成矩形、菱形、正方形是否也有类似的方法？（是的，因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形，也是中心对称图形）
问题：
3 如图，在梯形ABCD中，AD／／BC，能作一条直线将其分成面积相等的两部分吗？
注意：①这里可能有的学生会提出连结对角线，这是不正确的。
②也有可能有的同学提出作中位线，这也是不正确的。
（1）作过两底中点的连线。
（由在平行四边形中作过对边中点的直线可两等分面积联想而得）。
（2）先把梯形问题转化为三角形问题，取CD的中点E延长AE交BC的延长线与F，再取BF的中点G，作直线AG，则AG将梯形面积两等分。
（3）再将梯形问题转化为平行四边形问题：取CD的中点E，过E作PQ//AB，交AD的延长线与点D，AC于Q，这时只要作直线AQ，则可将梯形面积两等分了。
注意：这里有一种错误的作法，那就是过四边形ABQP对角线的交点任作一直线就可以了，这条直线应保证与两底相交，而不能与两腰相交。
点评：
①同学们可将未知的问题转化为我们所熟悉的问题，这是解决数学问题的重要思想方法。
②同学们在思考问题时很仔细能从不同的角度思考问题很好。
那么是否还有其他什么方法呢？是否还有比较简单的方法呢？
（4）只要过中位线的中点D，画一条直线MN，且只要MN与上下底相交，就可以了。
（因为MN把梯形分成两部分，左边部分的面积等于OE·h，右边的面积等于OF·h，而OE＝OF，所以左右两部分的面积相等）
（此法主要联想到经过平行四边形对角线交点的任一直线能将平行四边形分成面积相等的两部分）
（这里应用到类比思想，通过类比发现然后验证）
（四）拓展引导：
1.关于三角形、梯形的面积等分还有很多方法，待我们所学的知识逐步完善后可进一步探究。
2.今天接触的这类问题的解决，我们应从中体会到类比与化归在研究问题（数学）中的作用，我们还可以继续探索任意四边形和其它一些多边形的面积两等分的方法。
3.这类问题的解决非常有用，我们可以用来平分一块蛋糕，均分一块土地，进行有关规划。
4.最后请同学们完成前面我们提出过的问题。
(五)作业：
要求用一条直线为分界线把下图形分成面积相等的两部分。
五、教学反思
数学学习对学习者而言是一个发现和创造的过程，在教学学习过程中，如何寻找和形成适合学习者的自身的特点的有方法，如何培养举一反三，触类旁通的迁移能力，如何感悟、提炼基本的数学思想方法，如何培养解决教学问题的策略知识，思维障碍之处如何进行有效的预防和排除等。
这些都是教师应该关心的问题，这节课在设计安排和组织教学过程中，以问题为中心赋予学生观察实验，猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的教学活动，真正使学生成为学习的主人，而教师则是学生学习的组织者、引导者、合作者和促进者，而学生经历的不仅仅是自主设计、自主探索的思维训练，通过课堂教学，把学生带入到经济生活之中，体验到知识等于“财富”，等于“成功”，知识是有价值的，从而使学生产生巨大的求知动力。