222反证法试题

[答案] 质数只有有限多个 除 p1、p2、…、pn 之外 [解析] 由反证法的步骤可得． 三、解答题
15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. [证明] 用反证法： 假设 a，b，c 不都是正数，由 abc>0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设 a<0，b<0，c>0，则由 a＋b＋c>0， 可得 c>－(a＋b)， 又 a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b) ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即 ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2 ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即 ab＋bc＋ca<0， 这与已知 ab＋bc＋ca>0 矛盾，所以假设不成立．
(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32， 即 32＞32，矛盾． 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a 不能都大于 14. 证法 2：假设三个式子同时大于 14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得 (1－a)b(1－b)c(1－c)a>143① 因为 0<a<1，所以 0<a(1－a)≤1－a＋a22＝14. 同理，0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________． [答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形 [解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”． 12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”， 那么反设的内容是________________． [答案] a，b 都不能被 5 整除 [解析] “至少有一个”的否定是“都不能”． 13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内ห้องสมุดไป่ตู้和为 180°相矛盾，则∠A＝ ∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；
少有两个偶数”．故应选 B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，反设正确的是( ) A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60° [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60°”．故应选 B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么 a，b， c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a、b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 至多有一个偶数 D．假设 a，b，c 至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为 a，b，c 都不是偶 数．
[解析] 假设数列{bn}存在三项 br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首 项为 14，公比为 23 的等比数列，于是有 bt>bs>br，则只可能有 2bs＝br＋bt 成立． ∴2•1423s－1＝1423r－1＋1423t－1. 两边同乘 3t－121－r，化简得 3t－r＋2t－r＝2•2s－r3t－s， 由于 r<s<t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．
论时，应为( ) A．对任意的正整数 n，都有 xn＝xn＋1 B．存在正整数 n，使 xn＝xn＋1 C．存在正整数 n，使 xn≥xn＋1 且 xn≤xn－1 D．存在正整数 n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 [答案] D [解析] 命题的结论是“对任意正整数 n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存 在正整数 n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选 D. 二、填空题
因此 a>0，b>0，c>0 成立． 16．已知 a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 14. [证明] 证法 1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a 都大于 14.∵a、b、c 都是小于 1 的正数，∴ 1－a、1－b、1－c 都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12， 同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12. 三式相加，得
17．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R. (1)若 a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． [解析] (1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b. 由已知 f(x)的单调性得 f(a)≥f(－b)． 又 a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)． 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)逆命题： f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0. 下面用反证法证之．
四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 [答案] C [解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了， 假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，
从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选 C. 10．已知 x1>0，x1≠1 且 xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意 正整数 n 都满足 xn<xn＋1，或者对任意正整数 n 都满足 xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结
选修 2-2 2.2.2 反证法 一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 n＋1 个”，所以“至多有两个解”的否 定为“至少有三个解”，故应选 C. 2．否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) A．a、b、c 都是奇数 B．a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c 都是偶数 D．a、b、c 中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c 三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶 数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至
假设 a＋b<0，那么： a＋b<0⇒a<－b⇒f(a)<f(－b)a＋b<0⇒b<－a⇒f(b)<f(－a) ⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 这与已知矛盾，故只有 a＋b≥0.逆命题得证． 18．(2010•湖北理，20 改编)已知数列{bn}的通项公式为 bn＝1423n－1.求证：数列{bn}中的 任意三项不可能成等差数列．
5．命题“△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定应该是( ) A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b [答案] B [解析] “a>b”的否定应为“a＝b 或 a<b”，即 a≤b.故应选 B.
6．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的位置关系为( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 [答案] C [解析] 假设 c∥b，而由 c∥a，可得 a∥b，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直 线．故应选 C. 7．设 a，b，c∈(－∞，0)，则三数 a＋1b，c＋1a，b＋1c 中( ) A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 [答案] C [解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c ＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c ∵a，b，c∈(－∞，0)， ∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2 b＋1b＝－－b＋－1b≤－2 c＋1c＝－－c＋－1c≤－2 ∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6 ∴三数 a＋1b、c＋1a、b＋1c 中至少有一个不大于－2，故应选 C. 8．若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则( ) A．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 [答案] B [解析] 对于 A，若存在直线 n，使 n∥l 且 n∥m 则有 l∥m，与 l、m 异面矛盾；对于 C，过点 P 与 l、m 都相交的直线不一定存在，反例如 图(l∥α)；对于 D，过点 P 与 l、m 都异面的直线不唯一． 9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说： “是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，
③假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为____________． [答案] ③①② [解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论 即②，即顺序应为③①②. 14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下： 假设______________．设全体质数为 p1、p2、…、pn，令 p＝p1p2…pn＋1. 显然，p 不含因数 p1、p2、…、pn.故 p 要么是质数，要么含有______________的质因数．这 表明，除质数 p1、p2、…、pn 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多 个．