第三章矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。
理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。
了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。
掌握用初等变换求解线性方程组。
本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。
本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
矩阵的初等变换
0 6
B2
3
1 1 2 1 4
r2 2
0 r3 5r2
r4
3r2
0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 6
B3
3
1 1 2 1 4
r3
r4
0
r4
2
r3
0 0
1 0 0
1 0 0
1 1 0
（1）
x1 x2 2x3 x4 4, ①
（1）
①② ③2
2
x1
2x1
x2 3x2
x3 x3
x4 2, x4 2,
② ③
3x1 6x2 9x3 7x4 9, ④
②③
③2①
x1
x2 2x2
矩阵之间的等价关系具有如下性质： （ⅰ）反身性 A A ；
（ⅱ）对称性 若 A B ，则 B A ；
（ⅲ） 若 A B, B C, 则 A C.
下面用矩阵的初等行变换来解方程组（1），其过程可
与方程组（1）的消元过程一一对照：
2 1 1 1 2
B
1
1
2
1
4
4 6 2 2 4
1
可以验证：以 Em ij k 左乘矩阵 A ，其结果相当于
把 A 的第 j 行乘 k 加到第i 行上；以 En ij k 右乘
矩阵 A ，其结果相当于把 A 的第i 列乘k 加到第 j 列上.
推论 方阵 A 可逆的充要条件是 A r E .
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
2 2
x1 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 2, x4 2,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
②－③
③－2×① ④－3×①
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
A34
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
1 0 0 0
E4
(
2,
3)
0 0
0 1
1 0
0
0
0 0 0 1
1 0 0 0
A34 E4 (2, 3)
a11 a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
0 0 0
0 1 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0 0 0 0 1
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0
(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 Em(i(k))．
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
E5
0
0
1
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
r3 k
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
0
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
矩阵的初等变换与线性方程组
42 94
B1
1 2 4 3
1 1 6 6
2 1 2 9
1 1 2 7
24 94
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
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❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一
个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
112
1 0 2
0 1 0
100
552
0 1 1
112
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❖定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在
A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
❖定理2(矩阵可逆的充要条件) 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2
94
r
01
1 1
2 1
1 1
04
00
0 0
0 0
1 0
03
r
0001
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0433
❖行最简形矩阵与线性方程组的解
因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2 x1
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.２ 初等矩阵教学目的和要求：了解矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念. 教学重点:矩阵的初等变换、初等矩阵 教学难点：矩阵的初等变换. 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排:2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过三种变换——“初等变换”． 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→.定义２ 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅. 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ （２） 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(３) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为１,且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ,利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§２ 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵． １. ２.),()()(0110Δj i E j i E E E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ )]([Δk i E E k E E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E E k E E j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i αααα 1[]n j i n m A ββββ,,,,,,1 =⨯ 性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j αααα 1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k ααααα 1 由此可得:对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []n i j ββββ,,,,,,1=)]([k i E A n []n j i k ββββ,,,,,,1 =)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意:3B A ij c k c +→因此可得:对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵. 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =-0)]([det ≠=k k i E ， )]1([)])(([1ki E k i E =- 1)](,[det =k j i E ， )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=-定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒， 故存在初等矩阵 Ps P ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21,因初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理２ 设n m A ⨯，n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵Ps P ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅,使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =.充分性 已知B PAQ =， 则由定理１知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积， 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11， 也就是n m n m B A ⨯⨯≅. 由此可得矩阵求逆方法之二(初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A 21=⇒ (i P 都是初等矩阵）⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列(A 的位置)成为E 时,则后n 列(E 的位置)为1-A .例２ 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a aA ,试用初等变换法求1-A 解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232a a aa a a依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -， 12ar r -可得[]E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001a a a 故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A . 例４ 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424 r r r r r r E A因为233023323301111-------,所以0||=A ，故A 不可逆,即1-A 不存在.［注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中,即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B 解:()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100010001523012101 E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业: 习题三 P79:１(1)（4)４, 5讲授内容§3.３ 矩阵的秩教学目的和要求:理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩． 教学重点:矩阵的秩.教学难点:矩阵的秩的定义及计算. 教学方法与手段:传统教学,教练结合 课时安排:2课时矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式:在n m A ⨯中， 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式， 称为A 的一个k 阶子式， 记作k D .对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k n k m C C 个.定义5． 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(.规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ,而A 的所有三阶子式(4个)0312101011=-,0312101011=-,332111001=,331110001=-所以2)(=A R362013013112011-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=036900140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论 性质：1. O A A R =⇔=0)(;2. 对于n m A ⨯,有);,min()(0n m A R ≤≤3. 若r A R =)(，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, )()(A R kA R =5. )()(A R A R T=6. A 中的一个r A R D r ≥⇒≠)(07. A 中所有的r A R D r ≤⇒=+)(01８. )()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤ 9. )}(),(min{)(B R A R AB R ≤10．若O B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()( [注] n m A ⨯, 若m A =rank ， 称A 为行满秩矩阵; 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵(可逆矩阵, 非奇异矩阵）; 若n A <rank ， 称A 为降秩矩阵(不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵,0≠⇔A (A 可逆 A ⇔为满秩方阵). 判断1,,,=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛bc ad d c b a d c b a 满足是否可逆，其中． 因为,01≠=-=bc ad dc b a 所以可逆.定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒.证明： 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒. 设r A =rank , 仅证行变换之（３)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <， 则有 )(1B r D +不含i r :0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r :0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒ A B ji r k r -→B A rank rank ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． （2) 若m r =或者n r =， 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A ， )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似.定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r , 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩， 则n E A ≅． 推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇔.三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算,其常用的方法有: 1. 只用初等行变换,可把A 变成阶梯形矩阵. 例７ 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r (阶梯形)，有此可看出 .3)(=A R２.进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .在例7中,IA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形.例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R （B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A错误解答⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-113011A错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A 来求1-A 时，要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换.正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业:习题三 P79：6,7,10⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn n m m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：线性方程组的解.教学难点:线性方程组有解的条件及应用. 教学方法与手段:传统教学,教练结合 课时安排:2课时设有n 个未知数m 个方程的线性方程组(1)(1）式可以写成以向量x 为未知元的向量方程b Ax =引例 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x )1()3()1(2)2(-- ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-)6(5)5(24)4(1323232321x x x x x x x )6()5()6(4)5(↔- ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-)9(183)8(5)7(132332321x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x解线性方程组的初等变换： (１) 互换两个方程的位置(2） 用非零数乘某个方程(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=620245241312b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→511021401312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1830051101312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→610010109001行方程组： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21 或者 b Ax = 增广矩阵:[]b A A =~设r A =rank , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→++++000000000100010001~11,221,2111,1r r rn r r n r nr d d b b d b b d b b A 行: 行最简形 b Ax =的同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d dx b x b x dx b x b x d x b x b x（３.4） 若01≠+r d , 则方程组（3．４)无解：=>+=r r A 1~rank A rank若01=+r d ， 则方程组(３.４)有解：==r A ~rank A rank （1) n r =时， 方程组(3.4)成为11d x =， 22d x =, …, n n d x = 是其唯一解(2) n r <时, 方程组(3.4)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n nr r n rn r r r r r n n r r n n r k x k x k b k b d x kb k b d x k b k b d x 1111,211,222111,111其中r n k k k -,,,21 为任意常数． 定理5 n m A ⨯, []b AA =~(增广矩阵)(1） b Ax =有解=⇔A ~rank A rank ；(２) b Ax =有解时, 若n A =rank ， 则有唯一解; 若n A <rank , 则有无穷多组解. 证明 设r A =rank , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→++++00000000000100010001~11,221,2111,1r r rn r r n r nr d d b b d b b d b b A 行 （行最简形) b Ax =的同解方程组为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d dx b x b x dx b x b x d x b x b x （2) (1）若01≠+r d ， 则方程组(2)无解，=>+=r r A 1~rank A rank（２)若01=+r d , 则方程组(2)有解，==r A ~rank A rank当n r =时, 方程组(２)成为n n d x d x d x =⋅⋅⋅==,,,2211，故有唯一解. 当n r <时， 方程组(2)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111其一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n nr r n rn r r r r r n n r rn n r k x k x k b k b d x kb k b d x k b k b d x 1111,211,222111,111 （其中.,,21r n k k k -⋅⋅⋅为任意常数) 定理６ (１) 0=⨯x A n m 有非零解.)(n A R <⇔; (２) 0=⨯x A n m 有非零解0det =⇔A . 例10用初等行变换法解引例方程的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x 解法二 (初等行变换法）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6100101090011830051101312511021401312620245241312]|[行行行b A得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x例11 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=212164424321A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=385b解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321218644254321~A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→222002220054321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000001110054321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000001110021021行⇒<==42rank ~rank A A b Ax =有无穷多解同解方程组:⎩⎨⎧-=--=43421122x x x x x一般解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==--=242312211122k x k x k x k k x （21,k k 为任意常数）例12 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111λλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21λλb 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21111111111~λλλλλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→101011001111112λλλλλλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→≠101011001111111λλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+→1001110101)1(1002λλλ行(1)1≠λ同解方程组:⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=++=+=141312)2()1()1(1xx x x x x λλλ一般解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=++=+==kx k x k x k x )2()1()1(14321λλλ (k 为任意常数）(２) 1=λ同解方程组:)(14321x x x x ++-=一般解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===---=34231232111k x k x k x k k k x （321,,k k k 为任意常数）例13 讨论方程组b Ax =何时有唯一解， 无穷多解, 无解? 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112111μλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=443b 解 计算可得)1(det μλ-=A(1） 0≠λ且1≠μ时,根据C ｒamer 法则, 方程组有唯一解. (２) 0=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41141013101~μA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→μμ3411010003101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→1000341103101ημ行因为3)~(,2)(==A R A R , , 故方程组无解. (３) 1=μ且0≠λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41114121311~λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→4111100311λλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→41111002101λ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→411110102101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλ1200010102101行当21≠λ时, 3)~(,2)(==A R A R ， 故方程组无解. 当21=λ时, 32)~()(<==A R A R , 故方程组有无穷多解.思考与作业:习题三 Ｐ80:１１，12教学后记:。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性
方程组是最简单的 而且是最容易求解的.
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§3.2 初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用.
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初等矩阵
例如
由单位矩阵E经过一次初等变 换得到的矩阵称为初等矩阵.
E(i j)表示对调单位矩阵E的第 i j两行(列)得到的初等矩阵.
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
天
津
师 范
§3.1 矩阵的初等变换
大
学 计 算
§3.2 初等矩阵
机
与 信
§3.3 矩阵的秩
息
工 程 学
§3.4 线性方程组的解
院
郑 陶 然
§3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换一. 初等变换1.交换矩阵的两行或两列2.以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）3.把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。
二. 等价1.若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。
2..等价关系具有的性质：(i)反身性A~A;(ii) 对称性若A~B,则B~A;(iii) 传递性若A~B,B~C,则A~C;第二节矩阵的秩一. 数学概念定义2.1在矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
定义2.1设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
1. 零矩阵的秩为0；2.；3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。
二. 原理公式和法则定理2.1若A~B，则R(A)= R(B)。
根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。
显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。
这就给出求矩阵秩的方法。
第三节线性方程组的解一.数学概念根据矩阵的乘法，可以将线性方程组写成矩阵形式。
1.n元齐次线性方程组；2.n元非齐次线性方程组；3. 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。
二．原理、公式和法则定理3.1n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩R(A)<n。
定理3.2n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。
显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。
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以数 k 0 乘单位矩阵的第 j 行加到第 i 行上（ ri krj ） （或以 数 k 0 乘单位矩阵的第 i 列加到第 j 列上（ c j k ri ），得到初等矩 ） 阵：
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1 第 i行 1 k E ij(k ) ＝ 1 第 j行 1
c4 2c2
批注
1 2 3 1 0 1 0 0 2 9 7 1
5 1 2 3 2 0 1 0 2 9 7 17
值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一 般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只 能用 来表示，而不能用等号。另外，矩阵的初等变换可以逆向操
E 定理 任意矩阵 A aij mn 都与形如 r 0 0 的矩阵 0
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E 等价。矩阵 r 0 0 称为矩阵 A 的标准形。 数 r 满足 （ 0
批注
1 r min( m, n) ）
证
分两种情况讨论：
（１）若 A 0, 则 r 0 ，结论显然成立； （２）若 A 0, 则总可以通过第一种初等变换将 A 变换成左上角位 于第一行第一列的元素不 为零的矩阵。故不失一般性，不妨假设 a11 0 ，对 A 施行初等 变换如下：
也成立
此式表明 E 可经这同一系列初等行变换变成 A1 。若构造一个
n 2n 矩阵 A E ，则有
Ps Ps 1 P1
1 1 1
A E = E A 1
即对 n 2n 矩阵 A E 作初等行变换，当 A 变成 E 时，原来的 E 就 是 A1 了。 当 A 为可逆矩阵时，用初等行变换求逆矩阵的方法可简记为
1 1 E (i, j ) 1 E (i, j ) ， E i (k ) ＝ E i ， k
E ijk ＝ E ij k 。
1
定理 矩阵 A 可逆 A 可分解成若干个初等矩阵之积 （证明过程要讲一下） 推论 矩阵 A 可逆 A 与单位阵等价； 推论 设 A 和 B 都是 m n 矩阵，则 A 等价于 B 的充分必要条件为 存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ，使得
批注
§1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方 程组、求解逆矩阵以及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用。为引 进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子。 1、 引例 求解线性方程组
2 x1 x 1 4 x1 3x1 2、 定义
换：
x2 x2
r j kri 。
若把定义中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分 别为 ci c j ； k ci ； c j k ci 。 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。 例如：
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2 9 7 1 r1 r 0 1 0 0 3 1 2 3 1
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批注
在矩阵方程 AX B 中，如果 A 是可逆阵，则有唯一解： X A1 B 若构造矩阵 A B ，同上述讨论可得：当对其进行初等行变换时， 化 其 中 的 A 为 E 时 ， B 就 变 为 A 1 B 了 。 即
x3 2 x3
x4 2 x4 4 2 x4 4 x2 9 x3
初等变换（行、列） 设 A 是 m n 矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变
（1） 交换 A 的第 i 行和第 j 行的位置，记为 ri r j ； （2） 用非零常数 k 乘以 A 的第 i 行各元素，记为 k ri ； （3） 将 A 的第 i 行各元素的 k 倍加到第 j 行对应元素，记为
k 作，即若矩阵 A 经过 ri rj 、 ri 、c j k ci 变换成了矩阵 B ，那么对
1 B 施以 ri rj 、 ri 及 c j k ci ，就可以将矩阵 B 复原为矩阵 A 。 k 3、矩阵的等价 定义 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则称 A 与矩阵 B 行等价，简记为 A ~ B 。如果矩阵 A 经过有限次初等列 变换变成矩阵 B ，则称 A 与矩阵 B 列等价，简记为 A ~ B 。如果矩 阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ，则称 A 等价于矩阵 B ，简记 为 A~ B。 由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质： (1) 反身性： A ~ A ；
批注
不难验证：以 E ij(k ) 左乘矩阵 A aij mn ，结果相当于把 A 的 第 j 行乘数 k 加到 A 的第 i 行上， 右乘矩阵 A aij mn 相当于把 A 的 第 i 列乘数 k 加到 A 的第 i 列上。 综上所述，得到矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系如下： 二、初等矩阵的应用 定理 对 m n 矩阵 A ，施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边 乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。 显然，初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵，容易 验证：
b22 b2 n A1 b m 2 bmn
b1n a2 n amn
令
若 A1 0, 则已经是标准形了。若 A1 0, 同样不妨可以假设 b22 0 ， 继续对 B 进行初等变换，得
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0 1 1 0 1 r2 b22 0 b B 32 0 b m2
章节 计划课时数 教 学 目 的 教 学 重 点 教 学 难 点 教 学 方 法 和 手 段 备 注
Ch3
课题 授课班级
矩阵的初等变换与线性方程组
10
04 级计算机系专升本 10-13
能熟练进行初等变换；掌握初等矩阵、初等矩阵与初等变换的联系； 理解矩阵等价的概念；熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法；理解矩 阵秩的概念；掌握其求法；掌握秩的一些基本性质；理解线性方程组 的有解判别定理；掌握求通解的第一种方法。
批注
用 m 阶初等矩阵 E m i, j 左乘矩阵 A aij mn ，得
a11 a j1 E m i, j A = a i1 a m1 a12 a j2 ai 2 am2 a1n 第 i行 a jn ain 第 j行 a mn
用初等变换求逆矩阵的方法；理解矩阵等价的概念；秩的概念及求法； 线性方程组的有解判别定理；求通解的第一种方法。
初等矩阵与初等变换的联系；秩的性质及其证明方法；计算准确性的 保证。
讲授、习题课、答疑
教 学 内 容 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换和初等矩阵，建立矩阵的秩的概 念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质讨论线性方程组无解、有 惟一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方 程组的方法。
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很显然，其结果相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换。类似
批注
上述做法，以 n 阶初等矩阵 E n i, j 右乘矩阵 A aij mn ，其结果相 当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换。 2、以数 k 0 乘某行或者某列 以数 k 0 乘单位矩阵的第 i 行（ k ri ) 得到初等行矩阵：
一、初等矩阵 定义 单位矩阵经过一次初等变换后所得矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵，它们分别为： 1、对调两行或者两列 把单位矩阵中第 i ， j 两行对调（ ri r j ） ，得到初等矩阵：
1 1 0 1 第 i行 1 E (i, j ) 1 第 j行 1 0 1 1
时， A 的标准形为
Em ,0
当 r n m 时， A 的标准形为 当 r n m 时， A 的标准形为
En 0
En
例：把 A E 化成行最简形，其中
0 2 1 A 3 0 2 2 3 0
教 学 内 容 §2 初等矩阵
ri bi 2 r c j c2 j c2 i 3, 4 ,, m j 3, 4 ,, n
批注
0 c 23 b33
bm 3
0 c2n b3n bmn 0 0 c3 n c mn
A E 初等行变换 E A 1
例
1 0 1 用初等行变换法求矩阵 A = 2 1 0 的逆矩阵。 3 2 5
5 2 1 A 5 7 2
1 2 1 1 1 1 2 1
(2) 对称性： A ~ B, 则 B ~ A ； (3) 传递性： A ~ B 且 B ~ C ，则 A ~ C 。 应用初等变换来求解引例，对照以下过程 4、阶梯形矩阵、行最简矩阵、等价标准形 （1）阶梯形矩阵 （2）行最简矩阵：非零行的第一个非零元素为 1，并且这写非 零元所在列的其他元素为 0 （3）等价标准形
1 1 E i (k ) = k 第i行 1 1 1
由矩阵的乘法，容易验证：以 E i (k ) 左乘矩阵 A aij mn ，结 果相当于以数 k 乘 A 的第 i 行， 同理可证， 右乘矩阵 A aij mn 相当 于数 k 乘 A 的第 j 列。
a11 a12 a a22 A 21 a m1 a m 2 a1n 1 b12 1 a2 n a11 r1 a21 a22 a amn m1 a m 2 1 b12 b1n 0 b b2 n ri ai 1r1 ( i 2,, m ) 22 0 b m 2 bmn 1 0 0 0 b b2 n c j b j c1 ( j 2,, n ) 22 1 B 0 b m 2 bmn