第三章 有限元基本

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3.2有限元法 有限元法基本原理 有限元法
基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采 基本思想 用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机为 工具进行结构数值分析。 有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。 材料的响应可以用状态变量描述。 位移（场） 应力（场） 应变（场） 一般地，状态变量是连续函数，求得状态变量解析解需要 求解微分方程，这对于复杂问题是不可能的。
{σ}
j
x
∂u ∂v ∂u ∂v ε x = , ε y = , γ xy = + ∂x ∂y ∂y ∂x
将上式代入式(3-4）， ）， 将上式代入式
∂u {ε } = ∂x ∂ν ∂y ∂u ∂ν + ∂y ∂x
T
{ε } = [ε x ε y γ xy ]T （3-4） ）
求结构节点位移{⊿ 求结构节点位移 ⊿} 计算结构内力和应力 重庆交通大学
3.3.3 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵{qs} 、单元表面或边界上任意点的表面力列阵{ 表面力列阵
qsx {qs } = = [ qsx qsy ]T qsy
qs
y
j
（3-1） ）
地质工程专业课
有限元分析 岩土工程数值计算
主讲： 主讲：翁其能 2010年10月 2010年10月
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第三章
3.1 概述 3.2 基本原理 3.3 计算步骤 3.4 单元类型
有限元基本
3.5 单元位移函数与形函数 3.6 单元载荷与应力
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3.1 概述
1.有限元法（Finite Element Method） 有限元法（ 有限元法 ）
{δ }
e
{F }
e
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取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： （2－2） 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就 是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：
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整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点 位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为 此需要建立结点的平衡方程。
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3.3 有限元法的分析步骤 （1）结构离散化：用点 、线或面把结构剖分为有 ） 结构离散化：用点、 限个离散单元体， 并在单元指定点设置节点。 限个离散单元体 ， 并在单元指定点设置节点 。 研究 单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。 单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。
简称FEM，是弹性力学的一种近似解 ， 简称 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术 与虚功原理或变分方法进行求解。 虚功原理或变分方法进行求解。 进行求解
2. FEM特点 特点
（1）具有通用性和灵活性。 ）具有通用性和灵活性。 （2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行 ）对同一类问题，可以编制出通用程序， 计算。 计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。 ）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。
2、位移函数设定 、 不同类型结构会有不同的位移函数。这里， 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍 以平面问题三角形单元（ 以平面问题三角形单元（图3-2）为例，说明设定位 ）为例， 移函数的有关问题。 移函数的有关问题。 v
T
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三角形单元，结点位移与结点力之间的转换关系。 结点位移
ui v i u j = v j u m v m
结点力
U i V i U j = V j U m Vm
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵 e 建立单元刚度矩阵[k] 建立单元刚度矩阵 形成单元等价节点力) 形成单元等价节点力
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵 把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵 形成等价节点荷载{P} ) 形成等价节点荷载
解综合方程[K]{⊿}= {P} ⊿ 解综合方程
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3.2有限元法 有限元法基本原理 有限元法
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步 骤： 1 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
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离散： 离散：用有限个状态变量描述整个结构响应
有限元的基本构成： •节点（Node）：材料响应是通过节点 处的基本状态变量表征的。是构成有 限元系统的基本对象。 •单元（Element）：单元由节点与节 点相连而成，单元的组合由各节点相 互连接。单元内的材料响应由节点的 基本状态变量和单元形函数导出。不 同特性的工程系统，可选用不同类型 的单元。
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3.1 概述
FEM简史 简史 20世纪 年代后，FEM应用于各种力学问题和非 世纪60年代后 世纪 年代后， 应用于各种力学问题和非 线性问题，并得到迅速发展。 线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用 年后， 被引入我国， 年后 被引入我国 和发展。 和发展。 有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用， 有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计 算速度快，精确程度高，具有灵活性和通用性， 算速度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可 以解决一些复杂的特殊问题，例如复杂的几何形状， 以解决一些复杂的特殊问题，例如复杂的几何形状， 任意的边界条件，不均匀的材料特性， 任意的边界条件，不均匀的材料特性，结构中包含 杆件、 壳等不同类型的构件等。近二、 杆件、板、壳等不同类型的构件等。近二、三十年 广泛应用于航空、造船、土木、水利、 来，广泛应用于航空、造船、土木、水利、机械工 业中。 业中。
（3-7） ）
σx =
E (ε x + µε y ) 2 1− µ
弹性模量、 式中 E、µ——弹性模量、泊松比。 、 弹性模量 泊松比。 上式可简写为
{σ} = [D]{ε}
其中
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（3-8） ）
1 E [ D] = µ 2 1− µ 0
对 1 称 1− µ 0 2
（3-6） ）
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7、物理方程矩阵式 、 对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形 对于弹性力学的平面应力问题 ， 物理方程 的矩阵形 式可表示为： 式可表示为：
σ x E σ y = 1− µ2 τ xy 1 µ 0 对 ε x ε y 1 称 1 − µ γ xy 0 2
P
① 1 2 ② 3
l/2
l/2
δ2、F2
1
①
2
l/2 δ1、F1 δ3、F3
δ4、F4
δ2、F2
2
②
3
l/2 δ1、F1 δ3、F3
δ4、F4
（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。 ）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
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3.3.2 有限元法分析思路流程
离散（剖分） 离散（剖分）结构
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1.3 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 、 由于有限元法采用能量原理进行单元分析， 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而 必须事先设定位移函数。 位移函数” 必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式” 单元内部位移变化的数学表达式， 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。 标的函数。 一般而论， 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中， 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情； 在有限元中， 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时， 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。 势之一。 重庆交通大学
(3-9） ）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(3-9） 矩阵 称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式 称为弹性矩阵 ） µ E 中的E换为 中的 换为 ，µ换为 。 2
1− µ
1− µ
{σ } = [ D]{ε }
(3-8） ）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(3-8）描 ） 各种类型结构的弹性物理方程都可用式 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 但结构类型不同， 应力分量、 应力分量 有区别， 的体积和元素是不同的。 量)有区别， 弹性矩阵 的体积和元素是不同的。 有区别 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的
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求解微分方程 求解线性或 非线性方程组
离散：将连续体变换为离散结构。 离散：将连续体变换为离散结构。
结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件） 之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。 弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
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将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单 元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。 将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接 起来。
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图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构； 区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元 是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续 体）。
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单元分析：
对于弹性力学问题，单元分析， 对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元 的节点位移和节点力之间的关系式。 的节点位移和节点力之间的关系式。 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向 同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按 弹性力学方法进行分析。 弹性力学方法进行分析。 为基本未知量。 取各结点位移 δ i = ( ui , vi ) (i = 1, 2,⋯) 为基本未知量。 然后对每个单元,分别求出各物理量 分别求出各物理量,并均用 然后对每个单元 分别求出各物理量 并均用 δ i 来表示。 来表示。