梯形、中位线

梯形、中位线【知识概要】一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似．通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线；2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；3．过底的顶点作另一底的垂线．熟悉以下基本图形、基本结论【课堂练习】1.( “希望杯”邀请赛试题) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是．思路点拨平移腰，构造等腰三角形、平行四边形．注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题设条件集中到同一三角形中来．2.(全国初中数学联赛试题)已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）10A．4 B．6 C．82 D．23思路点拨给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底．注给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件?3.(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．4. 如图，已知梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD=3，BC=6，高h =2，P 是BC 边上的一个动点，直线m 过P 点，且m ∥DC 交梯形另外一边于E ，若BP=x ，梯形位于直线m 左侧的图形面积为y (1)当3<x ≤6时，求y 与x 之间的关系式；(2)当0≤x ≤3时，求y 与x 之间的关系式；(3)若梯形ABCD 的面积为S ，当y=S 21时，求x 的值．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOD=120°，点S 、P 、Q 分别为OD 、OA 、BC 的中点．(1)判断△SPQ 的形状并证明你的结论； (2)若AB=5，CD=3，求△PQS 的面积； （3）87=∆∆AODPQS S S ，求AB CD 的值．6.如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF 的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．7．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度．(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以lcm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t 的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．8.如图2-44所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD 中，9.如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．分析MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知∠C=45°，从而∠NDC=45°．在△NDC中，∠DNC=90°(=∠DNB)，所以ABND是矩形，所以AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又AD=BN，所以AD=BF．10.如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F，(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD(或BC)，过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH 均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，所以AG=8，从而AH=GH=4，所以S△ABE=S△AEF+S△BEF11.如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．(1)求证：ADCF是等腰梯形；(2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．分析欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF 不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．解(1)因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以EA=ED．又AC=DF，所以EC=EF．所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明△ACD≌△DFA(SAS)，所以AF=DC．若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．综上所述，ADCF是等腰梯形．(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF．①由于△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)，②AF=3(厘米)，③FC=AC-3，④将②，③，④代入①四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)．12.如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．分析首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．证因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以又RP是△OAD的中位线，所以因为AD=BC，③由①，②，③得PQ=QR=RP，即△PQR是正三角形．说明本题证明引人注目之处有二：(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BP⊥OA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质．(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀使△PQR 的三边相等．13．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．14.如图，ABC中，E,F分别是AB,BC的中点，M,N是AC的三等分点，EM与FN交于D,求证：四边形ABCD是平行四边形15.如图所示，在ABC中，BD,CE为两条角平分线，M是DE中点，过点M作MN⊥BC于N，DH⊥AB于点H,EL⊥AC于L，求证，EL+DH=2MN16.如图所示，P为等腰ABC底边BC上一点，过点P作PF⊥BC，交AB于点E,交CA的延长线与点F,AD⊥BC于点D,求证PE+PF=2AD17.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是对角线BD,AC的中点，直线EF 交AB于点P,交CD于点Q,求证：1=2∠∠18.如图所示，P 为ABC 内一点，且PE ⊥AB,PF ⊥AC,D 是BC 边上中点，若PBE PCF ∠=∠求证：DE=DF19.如图所示，D 为ABC 边的中点，ABE 与ACF 为正三角形，M,N 分别为BE,CF 的中点，求证:DM=DN19．已知在矩形ABCD 中，AD>AB ，O 为对角线的交点，过O 作一直线分别交BC 、AD 于M 、N (1)求证：S 梯形ABMN ＝S 梯形CDNM(2)当M 、N 满足什么条件时，将矩形ABCD 以MN 为折痕翻折后能使C 点恰好与A 点重合(只写出满足的条件，不要求证明)；(3)在(2)的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的21，求MCBM的值．【课后作业】1．在四边形ABCD 中，AD=BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，则四边形ABCD 的面积为 ．2．如图，有两棵树，一棵树高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．3．如图，在梯形ABCD 中，AD=BC ，AB=DC ，∠D=120°，对角线CA 平分∠BCD ，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD 的面积为 ．4．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E 是AB 的中点，若△DEC 的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．S 25B ．2SC ．S 47D ．S 495．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，AD=a ，CD=b ，则AB 等于( ) A ．b a 21+ B ．b a+2C ．a+bD ．a+2b6．四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG=3cm ，DG=4㎝，平行四边形ABED 的面积是36cm 2，则四边形ABCD 的周长为( ) A ．49cm B ．43cm C ．41cm D ．46cm7．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm 2，则作对角线所用的竹条至少需( ) A ．302m B ．30cm C ．60㎝ D ．602m8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 垂直相交于O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，∠DBC ＝30°，求证：AC=MN ．9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，点P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥CD ，问PE+PF 的值是否为一定值?若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．10．如图，梯形ABCD 中，AD=BC ，BC=3AD ，E 为腰AB 上一点． (1)若CE ⊥AB ，BE=3AE ，AB=CD ，求∠B ；(2)设△B CE 和四边形AECD 的面积分别为S 1，S 2，，若2 S 1=3 S 2，求AEBE．11．如图，ABQR 是直角梯形，∠A=∠B=90°，P 在AB 上，且RP=PQ=a ，RA ＝h ，QB=k ，∠RPA=75°，∠QPB=45°，则AB= ．12．如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC ＝BD ，AD=A B ＝4cm ，∠A=120，则梯形ABCD 的面积为 ．13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=l0cm ，AC 与BD 相交于G ，且∠AGD=60°，设E 为CG 中点，F 是AB 中点，则EF 长为 ．14．梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，则此梯形面积为 ． 15．用4条线段a=14，b=13，c=9， d=7作为4条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为( )A ．13．5B ．11．5C ． 11D ．10．516．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，E 、M 、F 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知BC=7，MN=3，则EF 的长为( ) A ． 4 B ．214 C ．5 D ．617．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是AD 的中点，有以下四个命题： ①如果AB+DC=BC ⇒∠BEC=90°； ②如果∠BEC ＝90°AB+DC=BC ；③如果BE 是∠ABC 的平分线⇒∠BEC=90°，④如果AB+DC=BC ⇒CE 是∠DCB 的平分线，其中真命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个18．在直角梯形ABCD 中，底AB=13，CD=8，AD ⊥AB 并且AD=12，则A 到BC 的距离为( ) A ．12 B ．13 C ．132112⨯ D ．10．5。