二次根式大小比较方法(供参考)
比较二次根式大小的几种方法
比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。
例如，比较√5和√7的大小。
由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。
例如，比较√3和√8的大小。
由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。
例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。
由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。
四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。
例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。
通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。
例如，比较√3和√2的大小。
可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。
当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。
华师版九年级数学上册《二次根式》阶段核心方法专训比较含二次根式的式子的大小的八种方法
n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0，∵
n＋3＋
n＋1
＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
阶段核心方法专训
7 ． 用 “<” 将
x
，
1 x
，
x2
，
x连接起来为
______________________________(0<x<1)．
解：取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x ＝12，∴x2＜x＜ x＜1x.
3
8 5－a＞ a－6.
阶段核心方法专训
1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小． 解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2 ＝17＋2 42，17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6 ＋ 11)2>( 14＋ 3)2.又因为 6＋ 11>0， 14 ＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
二次根式的估值与比较大小(北师版)(含答案)
二次根式的估值与比较大小（北师版）试卷简介:本套试卷主要考查学生无理数的估值以及比较大小，其中估值涉及无理数的直接估值以及无理数的整数、小数部分等内容，比较大小涉及多种比较大小的方法，学生需要结合题目的结构选择合适的方法解决问题。
一、单选题(共6道，每道10分)1.的值( )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间答案：C解题思路：因为，所以故选C试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小2.估算的值( )A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间答案：D解题思路：，因为，所以．故选D试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小3.若与的小数部分分别是a和b,则a+b=( )A.1B.C.0D.11答案：A解题思路：因为，因此，相应小数部分为；，相应小数部分为．因此，，a+b＝1故选A试题难度：三颗星知识点：无理数的整数部分、小数部分4.现有四个无理数,,,,其中在实数+1和+1之间的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：考虑通过平方法比较大小：，，，，，；∵，∴∴∵∴∴∴在实数+1和+1之间的有，故选B试题难度：三颗星知识点：乘方法比较大小5.下面四个结论正确的是( )A.>B.<C.<D.<答案：C解题思路：在A选项中，不等号两边都是两个根式相加的形式，因此比较与：，，故，A选项错误；在B选项中，分母有理化可得：，，且，因此B选项错误；在C选项中，作差可得：，因此C 选项正确；在D选项中，因为，，所以，，因此D选项错误．试题难度：三颗星知识点：作差法比较大小6.,,的大小关系是( )A.<<B.<<C.<<D.<<答案：B解题思路：比较与：，，因此；比较与：，因此．试题难度：三颗星知识点：乘方法比较大小二、填空题(共4道，每道10分)7.如图，在数轴上表示数的点可能是点____．答案：P解题思路：因为，所以，所以对应的点应该在3与4之间，并且离4更近．试题难度：知识点：估算无理数的大小8.若的整数部分是x，小数部分是y，则的值是____．答案：1解题思路：因为，所以x＝3，，所以．试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分9.已知与的小数部分分别是a和b，则的值为____．答案：-13解题思路：因为，所以，相应小数部分为；，相应小数部分为．因此，，试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分10.设，的小数部分分别为a，b，则的值为____．答案：-2解题思路：因为，因此，．试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分。
【解析】专题二 二次根式大小比较
5 1
4
4
7 3
4
4
5 1 7 3
9. 已知 M 101 100 ， N 99 98 ，则 M 与 N 的大小关系是（
）
A. M N
B. M N
【考点】根式的大小比较
C. M N
D. M ≤ N
【解析】∵ M 101 100
1
， N 99 98 1
bc
ac
ab
∴ abc 1 abc 1 abc 1
bc
ac
ab
∴ ab ac bc ∴ a b c ，选 B．
王文君老师
保持优秀是种习惯
不进则退
18. 正实数 a ， b ， c ， d 满足 a b c d 1 ，
设 p 3a 1 3b 1 3c 1 3d 1 ，则（
101 100
99 98
∴ M N ，选 B ．
10. 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是＿＿＿＿.
A. a b c B. b a c 【考点】根式的大小比较
C. c b a D. c b a
⑵ 2 3 2 与 1 3 20
2
【考点】根式的大小比较
【解析】⑴ 23 7 3 23 7 3 56 ， 33 2 3 33 2 3 54 ，因为 3 56 3 54 ，所以 2 3 7 33 2
⑵ 2 3 2 3 16 ， 1 3 20 3 5 ，因为 3 16 3 5 ，所以 2 3 2 1 3 20
1
1
巧用方法比较根式的大小
巧用方法比较根式的大小二次根式是八年级上学期的重要内容，而比较根式的大小是必须掌握的根式问题。
在解答这类问题时，有些学生感觉有点困难。
如果不顾题目的特征而盲目地运用方法，那么题目运算量大，计算难度也大，并且非常容易出现错误。
其实，只要根据不同根式的特点采取相适应的方法，就能做到既简捷又准确。
现举例如下：一、比较形如a与c的形式的大小，把因式移入根号内，变为比较被开方数的大小这种方法是比较根式大小的基本方法。
例如：比较15和11的大小解：15＝11＝∵2475＞1815∴15＞11二、把两数平方后，先比较它们的平方的大小，再比较根式的大小这种方法是比较根式大小的一种常用的方法。
例如：比较＋与的大小解：∵（＋）2＝7＋2＝7＋（）2 ＝10＝7＋7＋＞7＋∴＋＞要特别注意：当两数都为正数时，它们的大小关系与平方后的大小关系是一致的，两数为负数时，则与平方后的大小关系相反。
如：比较－与-的大小解：（－）2＝10－2＝10－（-）2＝5＝10－（－）2＜（-）2∴－＞-三、将两数求差，再将其差与0进行比较1、如果a－b＞0，则a＞b；2、如果a－b＝0，则a＝b；3、如果a－b＜0，则a＜b。
例如：比较与的大小解: －＝＝＜0∴＜三、将两数相除，看商是否大于11、如果＞1，则a＞b；2、如果＝1，则a＝b；3、如果＜1，则a＜b。
例如：比较（＋）10 与（8＋2）5 的大小解：＝＝＝（）5 ＞15＝1∴（＋）10 ＞（8＋2）5四、把分母或分子进行有理化后再进行比较例如：⑴比较与的大小解：∵＝＝4＋＝＝6＋∴＜⑵比较－与－的大小解：∵（－）（＋）＝14－13＝1－）（＋）＝13－12＝1∴（－）（＋）＝（－）（＋）又∵＋＞＋∴－＜－将⑴中分母进行有理化；⑵中两式相当于把分子进行有理化，这样很容易得出比较结果。
五、选取合适的中间数，比较各数与中间数的大小，从而得出比较结果例如：比较与0.53的大小解∵＞10.53＜1∴＞0.53总之：比较根式的大小的方法有很多种，我们在学习中根据题目特征，巧用方法，就能使许多问题迎刃而解。
第一课时：实数 二次根式 大小比较及运算
知识点 1 实数的概念及分类1．整数和________统称为有理数；____________叫无理数；有理数和无理数统称为________．分类：(1)按定义分类 实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数负分数有限小数或 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数 小数 (2)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数⎩⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数【名师提醒】1、任何分数都是有理数，如23，－45等；2、常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.1010010001……；③π及含π的数，如π，π＋4等．3、2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
4、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数.提分必练：下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点2 实数的相关概念1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，互为相反数的两 个数（除0以外）分别位于数轴上原点的两侧， 且到原点的距离__________。
3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，倒数是它本身的数是___，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离 的 距离叫做这个数的绝对值。
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 。
化简绝对值的公式： |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ （a ≥0），（a<0），一对相反数在数轴上的对应点到原点的距离相等，因此它们的绝对值__________。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】提分必练：1.－12的绝对值的相反数是( )A .12B ．－12C ．2D ．－2 2.－2015的相反数是________． 3．|－8|的倒数是________．知识点 3 科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成________或_______的形式(其中________≤|a|<________，n 为整数)，这种记数法称为科学记数法．例如574000记作________，－0.000737记作________．2.精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用________表示：近似数一般由________取得，________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.3746精确到0.001或精确到千分位是________.4.46万是精确到________位．提分必练：已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为( )A ．1.239×10－3g /cm 3 B ．1.239×10－2g /cm 3C ．0.1239×10－2g /cm 3D ．12.39×10－4g /cm 3 【方法点拨】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a 和n 的值． (1)a 值的确定：1≤|a|<10； (2)n 值的确定：A ．当原数大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；B ．当原数大于0且小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；知识点 4 数的开方1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。
最全初三数学知识点归纳
最全初三数学知识点归纳最全初三数学知识点归纳在日复一日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺收集整理的最全初三数学知识点归纳，希望能够帮助到大家。
最全初三数学知识点归纳篇1邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
最全初三数学知识点归纳篇21垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
2有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式：θ=L/2πr×360°=180°L/πr=L/r弧度即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
3有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内?a href=// target=_blank>性病M饨釉苍残氖侨?切胃鞅叽怪逼椒窒叩慕坏悖?饺?切稳?龆サ憔嗬胂嗟?②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.⑤运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析.1 .公式法【例1】【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 •观察特征法［例2】计算：宀；.-，即得分子，于是可以简解如下:A T 的系［例 4】化简 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以_73(2 + V2-76)_^【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.(1)【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子， 这就启示我们可以用如下解 法：=(妇 _ 亦)二_ 卑)=1+ 1【解】①原式■■■'"_ : _「- -"- ■:【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简•但是，不难发现②式分子中 数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了 ！因此，②可以解答如下：=1十 R【解】②原式■---T /X -1 1 - \fx-\ )(7x + i + 7x -+1 -3 •运用配方法【解】•••【解】原式宀【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“4 •平方法[例 5】化简 7=6-濟+ 2棉-岡»禺心隐=12 + 2#-35 =... "二一丄•二 \【解后评注】对于这类共轭根式 -；■■'■'与-；■■'-的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5•恒等变形公式法【例6】化简上—二d【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 応：“?',则使运算简化.【解】原式=[^ +（72-76）f + [73-（72-76）f=2[（凋2+ 価-屈=2X（3+8-4A/3）=22-虻6 •常值换元法[例7】化简-I' ■' /. L1. 丄一】-】【解】令卜二一一：，则：原式=J（, + 3住沪匚光匸2）+ ]=+ +1（/ + 3 j +1=花? +% + [f= ?+3d+l=1998J+3x1998+1■ 39979997 •裂项法1--- 1 1 A1 + ---- + -------------- +A + --------------------- 【例8】化简■ ' - ■■■ ■- . .【解】原式各项分母有理化得原式一厂 / I 匸」「肓.^1 •，—=【例9】化简2+ 2々烦 4 + 2価+ 価炉廁*+側術+兀加岳）【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：1111+ + +^7+710 2 + V7 A/13+ A/W 4+ A/13価-历+尼—屈-履亠4-历~3~ ~ 3 3= l(^0-A/7 + 77-2 + 7i3-# + 4-^) = |8 •构造对偶式法旳+ 2 + J/ -4 * 旳+ 2 + J, -4【例10】化简' ■ 宀—-'* ［丨宀''【解】构造对偶式，于是没a =?s +2 + 7^ -4 ,b =幷+ 2-J* _4则.? ■ ：丨•，二：■，：「:, ■-■ : :Tda b=一 + —•原式 1 一：ab ab2=^+2-2=9•由里向外，逐层化简理.io .由右到左，逐项化简【例ii］化简【方法导引］原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.【解］原式=如0 J2 + J2 + ©719943 =1994而二. .J19 丽995)1 = /199坯加99「1卩1 = = 1996••原式1,1 1: 1| - ■【解后评注］对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处【例1】比较 二与二的大小【解后评注】本解法依据是：当【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键， 由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性， 而在不求近似值的情况下比较两个无理数 （即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性， 对初中生来说是一个难点， 但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用.1 •根式变形法【解】将两个二次根式作变形得久芳二疗石F 陌，5石二T?对F 厉•••」；•••尸：丁 即- 7 - .3.■: |，.「〕【［时，①?，则 f 卍；②若.；■-：'，2 •平方法【解】'J - ：：：，'■- ? -|：：【解后评注】本法的依据是：当」|，i -时，如果「一‘ -1，则」，如果，3 •分母有理化法【例2】比较 的大小73 + 1【解】•••利用分母的大小来判断通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2 ]【例3】比较」一 - 1与7的大小22（遐+ 1）柘-1 ［^3 -1］（A /3 +1）又•••匸 I:.7 1在比较两个无理数的差的大小时， 我们通常要将其进行分子有理化, 其倒数的大小.7W -./13 =____ : ___ < _____ ___ _后丽 714+^/13 .而 715-,/14<714-./135 •等式的基本性质法 【例5】比较二 J 与上的大小1 _ -72+1於i 仮t ］（血+1）= 72+1【例4】比较 陌■庶与価-厉的大小715-^/14［解］阿血+何_ 1715+./14+斥4 •分子有理化法【例6］比较【解法 1］v ■' ' 1 “ 厂」' 厂176-75 + (./6 + 75)= 76+76又-S+同=12 + 27^ = 12 + 2 極.U即■.'■'■■. - J 1' •」」【解后评注］本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变•② 非负底数和它们的二次幕的大小关系一致.【解法2］将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得(/7-76)^ + ^76+75) = 76+75（76-同5 + 屆协 + ^） = J7 + 76【解后评注］本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变.6 •利用媒介值传递法【解］••• ：—「， 「：••• '■ ' ■■-"，右【例7】比较血叮「与“匸；的大小【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较.7 •作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①一：「「一—」一r ；②一；J.-.；' 一:根+ ].血.巧B十1卜柘(Vi +1)[解】*=W^j>0与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当…-，i ■时，则：彳〉lea〉& 巴〈1 台a①」：②」【例8】比较-」」与匸"匸的大小.［解］:•/11 .二:：「〔—’I［解后评注］得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解•有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解岀正确的结果.二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式八：（_；［］,二）③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.⑤运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析.1 .公式法ab -b2【例1 ］计算①【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 •观察特征法2屈十翻-3屈［例2】计算：宀；-■；'【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下:一屈2十庞-屈一厲【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.罷:壬Jx + 1 + 2』斗-\(1) J 八一1 \ (2)，…「7 (；)【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简•但是，不难发现②式分子中1的系数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了！因此，②可以解答如下:【解】②原式I - •.匚”- Jx-1)(J 兀+1)(/兀亠 i _…也二冷+肝3 •运用配方法【例4】化简'' ■'【解】原式—九汀丿，寸宀【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“4 •平方法付6_后+ J6十辰］［解】•••丿6「后+ 2址6-后］（6+侮）+ 6+ 愿= 12 + 2^-35 = ^14... ... - - ■■: \【解后评注】对于这类共轭根式 -；与，二的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5•恒等变形公式法【例6】化简上—二―工【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式-汀'.Iv- * ，则使运算简化.【解】原式=［鸽+ 9-刷+［炉佢-屈f=2 ⑹ + 価-同］=2x(3 + 8-473)= 22-8^6 •常值换元法【例7】化简-I' ■' /. L1. 丄一】-】【解】令I'1.--.＜，则：原式=J牡+ 2)+1=4轻 +3^)+1=花2 +% + lf二/+%+1 二1998：+3x1998+1-39979997 •裂项法个分数的分子【例 8】化简「二 叮-丫 ' ■.'4 ' : JJ【解】原式各项分母有理化得原式一厂［丨下匸」 「肓 .'^1•，— 丁2 + 2^ + 710 4 + 2^/13 + ^10（乐怖你側⑷+质用+岳）【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：■电+ V7）十（仍代）亠丽+屈二R +曾）【解】原式^^1111= ----------- -- + ------------ + ----------------- + -------------^7+710 2 + 7? 辰価 4 + ^/13TW-A /7 历-2 A /13-,/10 4-713= --------------- + ---------- + ------------------ + ------------3 3 3 3= ^（710-^+77-2 + 713-# + 4^/13）= |8 •构造对偶式法w +2 + C -4 ?i +2 + 朋 -4【例10】化简一亠- ■J-;【解】构造对偶式，于是没a =幷 +2 + J, ,b 二丹+【例9】化简原式则「一一 _.丨—一一；, --■=丹+2_2=舟9 •由里向外，逐层化简J 1998 J1997 阪?J1995 瓦 1993 + 1 + “ 1 + 1[解】...匚丁心：‘ ：…■.7199? = 1994J199云1995「+1 = J[19 药可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比较二次根式大小的巧妙方法
一、移动因式法
将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较的大小。
解：
＞
∴＞
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较与的大小。
解：∵，
＞0，＞0
∴＜
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较与的大小。
解：
∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较与的大小
解：∵
＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。
求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①
同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。
②异号：正数大于负数”来比较与的大小。
例5：比较的大小。
解：∵
＜∴＜
例6：比较的大小。
解：∵＞1
∴＞
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。
例7：比较的大小。
解：∵
＞
∴＜
七、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较与的大小。
解：设，则：
＝1，＝
∵＜1，∴＞
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。
例10：比较的大小。
解：设，
∵，7＜＜8，即7＜＜8
，8＜＜9，即8＜＜9
∴＜，即＜
例11：比较与的大小。
解：∵＞
∴＞
十、“结论”推理
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（
＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
例12：比较1与的大小。
解：∵，
由＞（＞＞0）可知：
＞
即＞
又∵＞
∴＞，即1＞
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“＞（＞＞0）”的证明。
证明：∵，，
＞
∴＞（＞＞0）。