发生在我们身边的数学问题四例

同学们,当你踏进教室,开始一天的学习生活时,也许对周围的“一切”熟视无睹,没有太深的印象.但是,你可知道,你接触到的每一件“事物”都包含着数学知识.其实数学问题就在我们身边.下列4个问题你会解决吗? 1.量角器问题

例1 三块大小不一的量角器,如图1所示放在直角坐标系中,底边均在x 轴上,共有的圆心为M,中间的量角器60°线与120°线把量角器分为三部分;最大的量角器36°线、72°线、108°线及144°线把这个量角器分为五部分.求:三个阴影面积SA ∶SB ∶SC 的值.

分析观察图形可知,中间的量角器被分为相等的三部分,大的量角器被分为相等的五部分,且从里向外以M 为圆心的三个量角器的半径依次为1,3,5.

∴ SC=12π×12

= 12 π. SB=13[12π×32-12π]=43 π.

SA=15[12π×52-12π×32

]=85 π. ∴ SA ∶SB ∶SC=85 π∶43 π∶12 π=48∶40∶15.

2.三角板问题

例2一副三角板如图2摆放,直角顶点A是EF的中点, DE

=DF=4,三角板ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α< 90°),则四边形AHDG的面积是

分析连接AD.由于∠1+∠2=∠2+α=90°,∴∠1=α.

这样易证△AFG≌△ADH,所以,要求四边形AHDG的面积就是要求△DFA的面积,而△DFA的面积是4,所以四边形AHDG的面积是4,是一个定值,在旋转过程中不随α改变的.

3.墨水迹问题

例3今年五月十二日,中国四川省的汶川地区发生8·0级特大强烈地震,给当地人民造成巨大的经济损失.云山中学积极组织捐款支援灾区.初三(1)班55名同学共捐款574元,捐款情况如下表,表中捐款8元和10元的人数,被不小心打翻墨水瓶中的墨水污染已看不清楚,请你帮助确定表中数据,并说明理由.

解设捐款8元和10元的学生人数分别为x人、y人,依题意,得

x+y=55-6-7,

8x+10y=574-30-140.

解这个方程组,得x=8,y=34.经检验符合题意.

答捐款8元的有8人,捐款10元的有34人.

4.黑板问题

例4如图3,

一块长3m,宽1.5m的矩形黑板、镶在其外围的木质边框宽7.5m,边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?

解∵300/(300+15)=300/315,150/(150+15)=150/165=300/330, 显然300/315≠300/330.∴300/(300+15)≠150/(150+15).

所以边框的内外边缘所成的矩形不相似.通过这一问题,可以看到直观有时候是不可靠的.