[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编 专题九 解析几何

专题九 解析几何1．（2018.7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2018.12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是 ． 3．（2018.14）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．4．（2018.19）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．5．（2017.4）若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．96．（2017.9）若双曲线x 2−y 2m =1的离心率为√3，则实数m ＝ ．7．（2017.18）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P （1，1）．过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点． 8.（2016.13）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ．9. （2016.19）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |•|BM |为定值．10. （2015.10）已知双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）的一条渐近线为√3x +y ＝0，则a ＝ ．11. （2015.19）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，点P （0，1）和点A （m ，n ）（m ≠0）都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．12.（2014.6）若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1213. （2014.11）设双曲线C 经过点（2，2），且与y 24−x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．14.（2014.19）已知椭圆C ：x 2+2y 2＝4， （1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．专题九 解析几何答案部分1. 解：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√1+m 2=√2√m +1，tan α=1m =y x， ∴当sin （θ+α）＝﹣1时， d max ＝12√m +1≤3．∴d 的最大值为3． 故选：C ．2. 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z ＝2y ﹣x ，则y =12x +12z ， 平移y =12x +12z ，由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小， 由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2，即A （1，2），此时z ＝2×2﹣1＝3， 故答案为：33. 解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c2，√3c2），可得：c 24a 2+3c 24b2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m2=2． 故答案为：√3−1；2．4. 解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2＝2px 经过点 P （1，2），∴4＝2p ，解得p ＝2， 设过点（0，1）的直线方程为y ＝kx +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，∴△＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1， 且k ≠0，x 1+x 2=−2k−4k2，x 1x 2=1k2，又∵P A 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，﹣2），即k ≠﹣3， 故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ）， 则QM →=（0，y M ﹣1），QO →=（0，﹣1）因为QM →=λQO →，所以y M ﹣1＝﹣y M ﹣1，故λ＝1﹣y M ，同理μ＝1﹣y N ， 直线P A 的方程为y ﹣2=2−y11−x 1（x ﹣1）=2−y 11−y124（x ﹣1）=42+y 1（x ﹣1）， 令x ＝0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=4−2×4−2kk 2−4−2k k= 2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．5. 解：x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图：由可行域可知目标函数z ＝x +2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由{x =3x =y ，可得A （3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9． 故选：D ．6. 解：双曲线x 2−y 2m =1（m ＞0）的离心率为√3，可得：√1+m1=√3，解得m ＝2． 故答案为：2．7. 解：（1）∵y 2＝2px 过点P （1，1）， ∴1＝2p ， 解得p =12， ∴y 2＝x ，∴焦点坐标为（14，0），准线为x =−14，（2）证明：设过点（0，12）的直线方程为y ＝kx +12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴直线OP 为y ＝x ，直线ON 为：y =y 2x 2x ， 由题意知A （x 1，x 1），B （x 1，x 1y 2x 2），由{y =kx +12y 2=x，可得k 2x 2+（k ﹣1）x +14=0，∴x 1+x 2=1−k k2，x 1x 2=14k2∴y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−kk22×14k 2x 1=2kx 1+（1﹣k ）•2x 1＝2x 1，∴A 为线段BM 的中点．8. 解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y ＝±x ， 即a ＝b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB ＝2√2，即c ＝2√2， 则a 2+b 2＝c 2＝8，即2a 2＝8， 则a 2＝4，a ＝2， 故答案为：29. 解：（Ⅰ）由题意可得e =ca =√32， 又△OAB 的面积为1，可得12ab ＝1，且a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1，c =√3， 可得椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P （x 0，y 0）， 可得x 02+4y 02＝4，若P （0，﹣1），可得P A 与y 轴交于点M （0，﹣1），直线PB 与x 轴交于点N （0，0）， 可得|AN |•|BM |＝4； 直线P A ：y =y 0x 0−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−2y 0x 0−2， 则|BM |＝|1+2yx 0−2|；直线PB ：y =y 0−1x 0x +1，令y ＝0，可得x =−x0y 0−1， 则|AN |＝|2+xy 0−1|．可得|AN |•|BM |＝|2+x 0y 0−1|•|1+2y0x 0−2|＝|(x 0+2y 0−2)2(x 0−2)(y 0−1)|＝|x 02+4y 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝|8+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝4，即有|AN |•|BM |为定值4．证法二：设P （2cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π）， 直线P A ：y =sinθ2cosθ−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−sinθcosθ−1，则|BM |＝|sinθ+cosθ−11−cosθ|；直线PB ：y =sinθ−12cosθx +1，令y ＝0，可得x =−2cosθsinθ−1， 则|AN |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|．即有|AN |•|BM |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|•|sinθ+cosθ−11−cosθ|＝2|sin 2θ+cos 2θ+1+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝2|2+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝4．则|AN |•|BM |为定值4． 10. 解：双曲线x 2a 2−y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa，由题意可得1a =√3，解得a =√33．故答案为：√33．11. 解：（Ⅰ）由题意得出{b =1c a =√22a 2=b 2+c 2解得：a =√2，b ＝1，c ＝1 ∴x 22+y 2＝1，∵P （0，1）和点A （m ，n ），﹣1＜n ＜1 ∴P A 的方程为：y ﹣1=n−1m x ，y ＝0时，x M =m1−n ∴M （m 1−n，0）（II ）∵点B 与点A 关于x 轴对称，点A （m ，n ）（m ≠0） ∴点B （m ，﹣n ）（m ≠0）∵直线PB 交x 轴于点N ， ∴N （m 1+n，0），∵存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，y Q ）， ∴tan ∠OQM ＝tan ∠ONQ ， ∴y Q x M=x N y Q，即y Q 2＝x M •x N ，m22+n 2＝1y Q 2=m 21−n 2=2， ∴y Q =±√2，故y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，√2）或Q （0，−√2）12. 解：对不等式组中的kx ﹣y +2≥0讨论，可知直线kx ﹣y +2＝0与x 轴的交点在x +y ﹣2＝0与x 轴的交点的右边，故由约束条件{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0作出可行域如图，当y ＝0，由kx ﹣y +2＝0，得x =−2k ， ∴B （−2k ，0）． 由z ＝y ﹣x 得y ＝x +z ．由图可知，当直线y ＝x +z 过B （−2k，0）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小． 此时z min =0+2k =−4，解得：k =−12． 故选：D ．13. 解：与y 24−x 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y 24−x 2＝m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m =224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y 24−x 2＝﹣3，即x 23−y 212=1，对应的渐近线方程为y ＝±2x ， 故答案为：x 23−y 212=1，y ＝±2x ．14. 解：（1）由x 2+2y 2＝4，得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1．∴a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2． 因此a ＝2，c =√2． 故椭圆C 的离心率e =c a =√22； （2）直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切． 证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0． ∵OA ⊥OB ，∴OA →⋅OB →=0，即tx 0+2y 0＝0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0＝t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程，得t =±√2．故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y +2x 0﹣ty 0＝0． 圆心O 到直线AB 的距离d =00√(y0−2)2+(x 0−t)2．又x02+2y02=4，t=−2y0 x0．故d=|2x0+2y02x0|√x02+y02+02x02+4=|4+x02x0|√0422x02=√2．此时直线AB与圆x2+y2＝2相切．。