岩石连续损伤统计本构模型
基于广义自洽理论的岩石统计损伤模型研究
（ ｏ２ Ｏ Ｂ ０ ０ ０ ２ Ｎ ． ０ ４ １ １ １ｏ ）
作者简介 ：文建华 （ ９ ２一），男 ，湖北 随州 人。工 程师 ，博 士 １７ 后 ，主要从 事岩石工程监测及设计方面的工作 。 ． ａ ： Ｅ ｍ ｉ ｌ
服从 ｌｍａｒ 应变等价性假说 ¨ ，根据 岩石 内损伤 ￣ ｉｅ ｔ 与未损伤部分材 料变形 协调条件 可得
＝
裂纹统计损伤本构模型 ，采用模式分层优化方法对模型 参数进行反分析求解 ，通过工程试 验对模 型进行检验 ， 验证所建立模型在实际工程中应用的可行性。
收稿 日期 ：２ １ Ｏ ２ ０ １一 ２— ４
０ 引 言
文献标 志码 ：Ａ
文章编 号 ：１０ ８ ２ （０ １０ ０ ０ — ３ ０ ３— ８５ ２ １ ）４— ０ １ ０
１ 岩石损伤广义 自洽本构模型 １ １ 广义 自洽介质 中的岩石微裂纹损伤 ．
由于岩石 内部含有大量随机分布 的孔 隙 、裂 隙和 结构面等缺陷 ，使得岩石变形破坏表现为荷载 作用下 的岩石 中缺陷不断演化与扩展过程 。在对岩石 材料损 伤演变研究 中，岩 石内微裂纹 的形 成 、扩展和连 接是 类 重要的细观损伤机制 ，Ｋａ ｉ ｖ ，Ｋ ｅａｏ ， ｒｅ ｏｉ ｊｎ ｅ ａｈｎｖ Ａ ｏｄ ， ｕ ｉ ｓｙ ，Ｈ ａｇＹ 等对材料微裂纹 ｂｕ ｉ Ｂ ｄ ｎｋ ａ Ｂ ｕｎ 损伤展开了研究并 取得了重要成 果。 研究岩石 内微裂纹损伤演变 ，人们 已经研究建 立 了许 多分析方法 一 ］ １ ，自治方法是一种重要 的研究方 ０
摘 要 ：为考虑岩石 内微 裂纹间相 互作 用对岩石损伤 的影响 ，基 于广 义 自洽理论研究岩石材料 的
岩石损伤统计本构模型研究
3. 强度准则
岩石的强度准则主要是以岩石的应力状态为依据。 近 200 年来已经提出上百种准则[23]， 但至今普遍 适用的强度准则尚未发现。因此，关于它的研究、讨论和应用仍然在不断的发展和创新。目前常用的岩 石强度准则有 Mohr-Coulomb 准则(M-C 准则)、Drucker-Prager 准则(D-P 准则)和 Hoek-Brown 准则(H-B 准则)。
1 1 F= f = I1sinϕ + cosθσ − sinθσ sinϕ J 2 − ccosϕ 3 3
式中， I1 为第一应力不变量， I1 = σ 1 +σ 2 +σ 3 ； J 2 为第二应力偏量不变量，
International Journal of Mechanics Research 力学研究, 2014, 3, 23-32 Published Online September 2014 in Hans. /journal/ijm /10.12677/ijm.2014.33003
24
岩石损伤统计本构模型研究
2. 损伤模型的建立
2.1. 损伤本构关系
根据 Lemaitre 应变等价性假说[20]，假定岩石微元破坏前服从广义 Hooke 定律，可建立岩石损伤本 构的基本关系式：
σ = σ ∗ (1 − D ) = Eε (1 − D )
式中， σ 为应力， ε 为应变， D 为损伤变量， E 为弹性模量。 用有效主应力 σ 1 代入式(1)，得到三维应力作用下岩石损伤本构方程:
摘
要
从岩石微裂隙等缺陷及随机分布的特点出发，建立岩石损伤统计本构模型，其核心在于科学地选取反映 损伤程度的岩石微元强度度量方法、岩石内部损伤随机分布的形式以及模型参数。首先基于Lemaitre应 变等价性假说建立了三维应力作用下岩石损伤本构方程，讨论了常用的 M-C 等 3 个岩石强度准则和 Weibull分布等5个岩石微元强度概率模型。然后基于H-B强度准则和幂函数分布建立了岩石的损伤统计 本构模型，并给出了相关参数的确定方法，借助引用的实例验证了本文所建模型和参数确定方法的有效 性，最后建议了下一步研究的重点方向。
岩土类材料的损伤本构模型及其在冲击动力学问题中的应用
岩土类材料的损伤本构模型及其在冲击动力学问题中的应用岩石、混凝土材料等非均匀和各向异性材料的动态本构和冲击损伤破坏规律的研究,是现阶段冲击动力学领域的重要的科学问题之一。
这一科学问题的研究对材料变形损伤破坏的非线性效应、应变率效应的耦合表征提出了新的挑战。
本文首先对岩土材料本构模型的研究概况和进展进行了较为全面、系统的回顾和总结。
对现有的主要的冲击载荷下的动态损伤模型进行了较系统的评述和比较,并对当前的研究热点及趋势作了讨论。
在此基础上,阐述了解决本课题理论问题的思路和方法。
岩土类材料的重要特征是其静压相关塑性屈服行为,本文在静水压相关的广义热粘塑性本构的理论框架下,从修正Drucker公设和应力空间中的屈服函数出发,以材料本构关系的内变量理论为工具,推导并建立了一般形式的,特别是静水压相关的热塑性和热粘塑性增量型本构关系的普适形式,其所得到的本构关系可以包含各种内变量硬（软）化行为、应变率硬（软）化行为、损伤软化、温度软化行为以及相互间的耦合作用。
所给出的本构关系是以应力屈服面为基础的,具有普适性;对任何动态程序都特别适用和方便,易于嵌入到损伤材料的冲击动力学数值计算程序,具有很强的实用性。
考虑到应用的重要性,文中特别给出了若干常用的岩土本构模型的增量本构关系计算公式和流程。
在较详细地论述了分形、分形维数概念及分形测量方法的基础上,将之与岩土材料损伤破坏所具有的分形特点相联系,尝试性地将分形几何引入到岩土材料损伤定义,详细地推导了岩土材料的拉伸状态下损伤演化方程。
其损伤演化方程中,分形维数及其与损伤能量耗散率的关系的引入,不仅解决了损伤的确定问题,减少了损伤模型中的所涉及的岩土特性参数,而且新构造的分形损伤模型可计及岩土的天然损伤影响和应力波传播过程中引起的裂纹扩展效应新进展。
以岩土损伤分形本构模型的研究成果为基础,由岩石损伤分形维数和能量耗散率之间的关系,建立了拉压两种不同状态下的损伤演化方程,并以等效模量理论为基础建立了岩土材料含损伤的动态本构关系;利用本文所建立的含损伤本构模型,采用有限差分方法对砂岩冲击载荷下一维应变波传播问题进行了数值模拟,得到了应力波传播过程中,应力、分形维数、裂纹密度及损伤等量得演化规律,其结果对工程应用有指导意义。
基于Weibull分布的岩石损伤本构模型研究
立岩石的损伤的统计本构关系而定义的。 它的前提是 岩 石微 元 的均 匀分 布 与 各 向 同性 ． 而在 式 （ ） １ 中的 损 伤变量 Ｄ是基于损伤因子的经典定义的：
Ｄ＝ ． （） ２
维普资讯
率密度函数为 ：
结果 ， 引进线性拟合 的方法（ 本文称传统方法 ）这种 ， 通过对式（３进行两次变换再线性拟合的方法较繁 １） 献［ 近似认为 。 ６， ｃ 求得在单轴抗压实验 中 ４ ］ ＝ 。由 、 Ｅ 破坏 时 的 ‘从 而 求得 ｌ再 由式 ｌ ６ 求得 ｌ把 ｌ ， ， ＝ ｌ Ｅ ，
念， 并从岩石微元强度服从 Ｗｅ ｕ 分布的特征着手 ， ｉｌ ｂ１ 建立了岩石变形破裂过程的损伤软化统计本构关系， 通 过对本 构方程进 行对数 变换 和线性 拟合 ，求 取 Ｗｅ ｕ 分布参数 ， ｉＵ ｂ 这一方法对岩石峰值应力应变关系 表达较差 ， 本文拟在前人工作 的基础上 ， 于数学推 基 理求取 Ｗｅ ｕ ｉ Ｕ分布参数 ，使损伤统计本构模型更加 ｂ
（ － Ｄ） Ｃ・／１ ｑ ． １ ｑ ＝ （－ Ｄ） （） ３
１ 岩石损伤统计本构关 系
根 据 Ｌｍ ｉｅ 变 等价 性假 说［１ 以得到 岩石 ｅ ａｔ 应 ｒ ５， －可 ７ 类材料损伤本构关系 ：
ｔ ， － （－ ＝ （ — ． １ Ｄ） Ｃ・ １Ｄ） （） １
式中： ’ ｔ 为有效应力矩阵 ； 为名义应力矩阵； ｌ ｒ ｔ ， － Ｄ为损 伤变量 ；为岩石材料弹性矩阵；为应变矩阵． Ｃ
假定岩石微元强度服从 Ｗｅ ｕ 分布 ， ｉｌ ｂ１ 则其概
收稿 日期 ：０ ７ ０ － ２ ２０－３２ 基金项目： 国家 自然科学基金项 目（ｏ ７ ｌ ８ ； ５ ５ ４ ｏ ） 国家 自 然科学基金重点项 目（ｏ ３｜ ０ ５５４８） Ｄ 作者简介 ： 李树春（９ １ ）男 ， １７ 一 ， 河北邢 台人 。 博士生 ， 从事矿业工程 、 岩石力学与工程等研究．
岩石动力学特征、含损伤本构模型及破坏机理研究
岩石动力学特征、含损伤本构模型及破坏机理研究1. 引言1.1 概述岩石是地壳中最基本的构成要素之一，其在地质工程、矿山开采和岩土工程等领域中具有重要的应用价值。
由于受到多种外界力学和环境条件的作用，岩石在长期的负荷下会发生变形、损伤甚至破坏。
因此，了解岩石的动力学特征以及其本构行为对于推进相关领域的科学研究和工程实践具有重要意义。
1.2 文章结构本文主要围绕岩石动力学特征、含损伤本构模型以及破坏机理展开，结构包括五个主要部分。
引言部分旨在介绍文章的背景和目标，并概括性地提及每个章节的内容。
第二部分将重点讨论岩石的力学特性、动态响应以及常用的实验与模拟方法。
第三部分将探讨含损伤本构模型，并介绍不同理论基础下引入损伤概念建立的本构模型，并对参考文献及其应用情况进行综合分析。
第四部分将深入研究岩石的破坏机理，包括对岩石破坏过程的分析、破坏预测与评估方法的探讨，并通过相关案例进行实例展示。
最后，第五部分将总结全文，并对该领域的进展和局限性进行评价，同时展望未来发展方向和可能遇到的挑战。
1.3 目的本文旨在系统地探讨岩石动力学特征、含损伤本构模型以及破坏机理的研究进展。
通过对国内外相关文献进行综合分析和总结，明确目前岩石动力学及其相关领域存在的问题和挑战，并提出未来发展方向。
通过本文的撰写，期望为岩石工程领域的科学研究和工程实践提供参考依据，促进该领域的进一步发展。
2. 岩石动力学特征研究：2.1 岩石的力学特性：岩石是一种复杂的多相介质，其力学特性对于岩石工程及地质灾害评估至关重要。
岩石的力学特性包括弹性模量、抗压强度、剪切强度以及岩石的变形行为等。
弹性模量是指岩石在受到外界作用力时产生的应力与应变之间的关系，反映了岩石的刚性；抗压强度则表示了岩石能够承受的最大压缩应力；剪切强度是指在试验条件下，岩石开始发生剪切失稳断裂之前所能承受的最大剪应力。
此外，岩石还具有很强的非线性行为。
当外部载荷增加到一定程度时，即会导致岩石发生塑性变形甚至失稳断裂。
岩石本构模型.
岩石材料本构模型建立方法一、岩石本构模型的定义岩石本构关系是指岩石在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。
岩石变形性质为弹塑性或粘弹塑性变形，变形性质主要通过本构关系来反映，本构关系，即研究弹塑性或粘弹塑性本构关系。
岩石是一种非均匀的各向异性的材料，内含微裂纹，有时还有宏观的缺陷如裂纹、空穴、甚至节理等。
对这些缺陷存在且材料对缺陷敏感时往往容易发生事故。
脆性材料不同于韧性材料，对缺陷十分敏感。
由于岩石结构非均质和非连续的复杂性，到目前为止，还没有一个统一成熟的岩石力学本构关系。
研究岩石本构关系的方法，概括起来主要有以下两种：（1）唯象学方法①用实验或断裂理论研究岩石的破坏准则。
其基本点是假设在强度极限以前岩石本构关系可以近似用线性关系描述；②塑性力学，流变力学及损伤力学方法。
塑性力学有经典和广义塑性力学两部分。
经典塑性力学理论主要适用于金属材料，广义塑性理论适用于岩石材料。
内时理论和流变力学在描述岩石时效方面的特性中发挥重要作用。
损伤力学是以微观裂纹为出发点来深入研究介质的力学形态，及基础是内变量理论。
（2）物理力学机理方面岩石在初始状态下呈现微观缺陷，在本构理论中必须考虑其影响。
依据一定的细观或微观力学机理，建立细观或微观力学模型，并借助于一定的宏观力学方法以建立宏观本构关系。
建立岩石本构关系一般通过两个途径：①利用岩石单轴或三轴试验获得的应力应变曲线，通过数理统计的回归方法建立本构方程；②在实验观察的基础上，提出某种基本假设，从而建立一个力学模型，并推导出相应的本构方程。
二、岩石的本构关系分类本构关系分类以下三类：①弹性本构关系：线性弹性、非线性弹性本构关系。
②弹塑性本构关系：各向同性、各向异性本构关系。
③流变本构关系：岩石产生流变时的本构关系。
流变性是指如果外界条件不变，应变或应力随时间而变化的性质。
2.1 岩石弹性本构关系1. 平面弹性本构关系2. 空间问题弹性本构关系2.2 岩石塑性本构关系塑性状态时，应力-应变关系是多值的，取决于材料性质和加-卸载历史。
基于滑动裂纹模型的岩石损伤统计本构模型
ｔ ） … Ｓ
一
—
—
型 —— ：
（） ９
翼裂纹长度随主压应力增加而扩展， 其方 向平行
于 主压 应力方 向。
（ ｉ２ ｓｎ ０一 “一 ／ ｏ ２ ） ￣ ￣ ｓ０ ／ 日 ｃ
通常 被称 为裂纹 起 裂应 力 临 界 值 ， 数 ａ和 参 值 可 以通 过 扫描 电镜等试 验获 得裂 纹分 布特征 来 确定 ， 可 以通 过 室 内 常 规 三 轴 试 验 确 定 。 Ｅ 也 ．
基金项 目： 安徽省教育 厅 自然基金项 目（ ２ １ １ ４ ） 安徽 建筑工业学 院博士启动基金项 目（ ｏ ５ Ｏ ） ０ １３ ０ 、 ０ ｋ２３１。 作者简介 ： 徐士 １（ ９ ２ ）男 ， ＃ １ ７ － ， 副教授 ， ． 博士 ， 主要研究方向为地 下建筑工程 。
２ ４
应力 。
当 缺 陷 尖 端 微 裂 纹 萌 生 以 后 ， 力 强 度 因 子 转 应
换为 Ｌ ］ ｎ ：
Ｋ Ｉ 一 Ｋ Ⅱ 一 ｒ 彻 （） ６
目前 已经 提 出多种裂 纹模 型用 于模拟 岩石 中 的缺陷 ， 中二 维滑 移 型裂 纹 模 型 ［ １能 够模 拟 其 ７ｏ －］ 岩 石的开 裂机 理 和非 线 性 等特 征 ， 到 了最 广泛 得 的应 用 ， 图 １和 ２所 示 。该模 型 在 远场 压 力作 如 用， 预存 滑移 裂面承 受正 应力 和剪应 力 ， 旦具 有 一 粘 聚力 和摩擦 力 的 两 裂纹 面 发生 相 对 滑 动 ， 纹 裂 尖 端局 部张应 力在 预存 裂纹 的两端 产生 张性翼 裂 纹， 其扩 展 受 ，型应 力 强 度 因子 Ｋ 控 制 。张 性
ｐ ｅ ｅ ｉｔ ｇ ｄ ｆｃ ｓｉ ｏ ｋ ａ ｅ ｎ ｍ ｅ ｈ ｎ ｓ ｏ ｒ ｃｕ ｅ ｍｅ ｈ ｎｃ ． Ｔｈ ｎ ａ ｓａ ｉｔｃ １ｄ ｍａ ｅ ｒ — ｘ ｓｉ ｅｅ ｔ ｎ ｒ ｃ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ｃ ａ ｉｍ ｆｆａ ｔ ｒ ｃ ａ ｉｓ ｎ ｅ ｔ ｔ ｉａ ａ ｇ ｓ ｃ ｎ ｔ ｕ ｉｅｍｏ ｅ ｏ ｓｄ ｒｎ ａ ａ ｅｔ ｒ ｓ ｏ ｄ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ａ ｃ ｒ ｉ ｇ ｔ ｈ ｏ ｔｎ ｕ ｄ ｍａ ｅｍｅ ｏ ｓｉ ｔｖ ｄ ｌ ｎ ｉｅ ｉｇ ｄ ｍ ｇ ｈ ｅ ｈ ｌ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｃｏ ｄｎ ｏ ｔ ｅｃ ｎ ｉ ｕ ｍ ａ ｇ — ｔ ｃ ｃ ａ ｉｓａ ｄ ｔ ｅｓａｉｔｃ ｌ ａ ａ ｅｔ ｅ ｒ ． Ｔｈ ｒ ｐ ｓ ｄ ｃ ｎ ｔｔ ｔ ｅｅ ｕ ｔｏ ｓｖ ｒｆ ｄｂ ｒａ ｉｌ ｘ ｈ ｎ ｃ ｎ ｈ ｔｔｓｉａ ｍ ｇ ｈ ｏ ｙ ｄ ｅｐ ｏ ｏ ｅ ｏ ｓｉｕ ｉ ｑ ａ ｉｎ ｉ ｅ ｉ ｅ ｙｔｉｘａ — ｖ ｉ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｒｔｌ ｏ ｋ Ｔｈ ｔｅ ｓｓｒ ｉ ｕ ｖ ｓａ ｒ ｅｗｉｈｗｅｌ ｙｃ ｍ ｐ ｒｎ ｈ ｈ ｏ ｅｉａ ｏ ｓｉｕ ｅ ｉ ｎ ｆｂ ｉ ｅｒ ｃ ｅｓｒ ｓ－ ｔａｎ ｃ ｒ ｅ ｇ ｅ ｔ ｌ ｂ ｏ ａ ｉ ｇｔ ｅｔ ｅ ｒ ｔ ｌ ｎ ｔｔ — ｔ ｃ ｃ ｔ ｅｍｏ ｅ ｔ ｈ ｘ ｅ ｉ ｅ ｔｌｒ ｓ ｌｓ ｉ ｄ ｌｗｉ ｔ ｅｅ ｐ ｒｍ ｎ ａ ｅ ｕ ｔ． ｖ ｈ Ｋｅ ｏ ｄ ： ｌ ｉ ｇ ｃａ ｋ ｍ ｏ ｅ；ｄ ｍａ ｅｍ ｅ ｈ ｎｃ ；ｃ ｎ ｔ ｕ ｉｅｍ ｏ ｅ ；ｂ ｉｔｅｒ ｃ ｙ ｗ ｒ ｓ Ｓ ｉ ｎ ｒ ｃ ｄ ｌ ａ ｇ ｃ ａ ｉｓ ｏ ｓｉ ｔｖ ｄ ｌ ｒｔｌ ｏ ｋ ｄ ｔ
冻融-荷载作用下含孔隙岩石的损伤本构模型
冻融-荷载作用下含孔隙岩石的损伤本构模型随着我国经济建设的发展及“一路一带”战略的实施,寒区工程建设的数量及规模在不断加大,冻融灾害将是影响寒区工程建设的首要问题,因此,研究冻融条件下受荷岩石的损伤特性和破坏机理,对保障工程建设的安全性具有重要的理论及工程意义。
岩石作为地质作用下形成的多种矿物颗粒的集合体,其颗粒间必然存在孔隙。
受外界因素的作用,颗粒碎裂及内部孔隙压密、扩展,致使岩石体积不断发生变化,从而表现出不同的力学特性。
因此,在探究岩石的损伤特性和本构关系时,必须充分考虑岩石体积变化的影响。
将宏观唯象损伤力学和非平衡统计的方法相结合,在深入研究孔隙岩石变形破坏特征的前提下,把岩石视为孔隙、损伤与未损伤三部分,但孔隙、损伤部分不承受力,采用Weibull分布描述岩石微元强度的随机特性,基于D-P强度准则,以动态孔隙率反映荷载作用下岩石体积的变化,确立含孔隙岩石的损伤本构模型。
通过峰值点处的几何条件,根据多元函数全微分方法以理论表达的形式确定模型参数。
最后通过砂岩力学特性试验验证模型的合理性,并进行岩石损伤力学特性分析。
考虑冻融作用对岩石损伤的影响,分别从损伤面积和微元破坏的角度方面进行探讨,得到冻融-荷载作用下的总损伤变量,从而建立了考虑冻融效应的含孔隙岩石损伤模型,并利用砂岩冻融循环和三轴压缩试验数据,验证了模型的合理性。
分析讨论了损伤变量和总损伤演化率随围压和冻融循环次数的变化规律。
结果表明:围压不变时,冻融循环的增加加剧了岩石的损伤,使得抗压强度降低,塑性增强;冻融次数一定时,岩石内部损伤随着围压的增大得到抑制,岩石表现为延性的不断增强,脆性逐渐减弱。
在分析岩石应变软化变形全过程的基础上,通过引入损伤因子,在常温及冻融-荷载共同作用两种情况下,确定了基于残余强度的含孔隙岩石本构模型,并与试验结果及相关参考文献理论曲线进行对比分析;讨论了模型参数m和Fo对本构模型和损伤特性的影响并明确了其物理意义;探讨了冻融循环及围压对岩石应变软化性质的影响程度。
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参考文献 :
[ 1 ] 谢和平. 岩石 、混凝土损伤力学 [ M ] . 徐州 :中国矿业大 学出版社 ,1990.
[ 2 ] 王瑞和 ,倪红坚. 旋转水射流破岩的数值模拟分析 [J ] . 石油大学学报 (自然科学版) ,20Βιβλιοθήκη 3 ,27 (1) :33 - 35.
由式 (1) , (2) 得到损伤变量演化方程为
m
D = 1 - exp - a0 I1 + J 2
.
(4)
F0
岩石微元破坏前服从胡克定律 , 其本构关系可
表示为
σij = σi3j (1 - Dδij) =
E(1 (1
- Dδij) + ν)
1 -ν2νδiεj kk +εij
.
(5)
式中 , E 为弹性模量 ;ν为泊松比 ;δij 为 Kronecker 符
5σ1 5ε1
=
Eexp
-
a0 I1 + F0
m
J2
+
m
Eε1exp -
a0 I1 + J2 F0
( - m) a0 I1 + J2 ×
F0
{ [ a0 (σ1 + σ2 + σ3) E (σ1 - ν(σ2 + σ3) ) - 1 +
[ (σ1 - σ2) 2 + (σ2 - σ3) 2 + (σ3 - σ1) 2 ]1/ 2 E[ 6 (σ1 -
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第 28 卷 第 3 期 廖华林等 :岩石连续损伤统计本构模型
·39 ·
ν(σ2 + σ3) . 利用该本构方程分别计算围压为 3. 45 M Pa 和 13. 8 MPa 时的理论曲线 ,将理论计算曲线和原试验曲线 进行比较 ,结果如图 1 所示 。
岩石连续损伤统计本构模型
张 毅1 , 廖华林1 , 李根生2
(1. 石油大学石油工程学院 ,山东东营 257061 ; 2. 石油大学石油天然气工程学院 ,北京 102249)
摘要 :基于岩石微元强度概率分布理论 ,以 Drucker2Prager 破坏准则为统计分布变量 ,建立了理论的岩石损伤变 量演化方程和三轴条件下岩石损伤弹性统计本构模型 。利用任意条件下的三轴试验数据 ,用曲线拟合法和极值法 求解了所建模型的参数 ,并用试验结果对所建模型进行了验证 。模型计算结果与试验结果吻合较好 ,这说明用 Drucker2Prager 准则为统计分布变量建立的损伤模型能够较好地反映岩石内部缺陷分布和变形特征 ,表征岩石材料 在弹性阶段的本构关系 。
其他参数 a0 ,φ代入式 (14) 便可以计算出 m 和 F0 。
4 算例验证与分析
为了验证所提出的损伤统计模型及参数计算方 法的可靠性 , 引用文献 [8 ] 的资料 , 其中 E = 90 GPa ,ν = 0. 25 ,φ = 31. 303 9 ,用围压为 6. 9 M Pa 的 试验曲线来计算模型参数 ,得到三轴条件下岩石连 续损伤统计本构方程为 σ1 = Eε1exp{ - [ ( a0 I1 + J 2 ) / 305. 25 ]3. 805 7} +
ν(σ2 +σ3) ) ]- 1 ]/ F0} = 0.
(13)
联立方程式 (10) , (13) ,求解得
m
=
-
ln{ [σ1
1 - ν(σ2 + σ3) ]/
Eε1} ,
(14)
F0 = m 1/ m ( a0 I1 + J 2 ) .
因此 ,只要知道三轴条件下岩石破坏时的峰值载荷σ1
和对应的ε1 ,σ2 ,σ3 ,将岩石材料弹性阶段参数 E ,ν及
方法进行曲线拟合 ,过程较为麻烦 ,这里介绍一种更
为简便的极值求解法来计算 m 和 F0 。岩石在载荷的 作用下应力 σ1 存在峰值 ,在应力应变曲线上的应力
峰值点为极大值 ,对于脆性岩石 ,屈服点和峰值点接
近 ,由数学知识可知 ,在峰值点其应力对应变的导数
为 0 。所以对式 (10) 求导并令等式为 0 ,即
(7)
σ33 = σ3 Eε1/ [σ1 - ν(σ2 + σ3) ].
从而得到
I1 = (σ1 + σ2 + σ3) Eε1/ [σ1 - ν(σ2 + σ3) ]. (8)
J 2 = [ (σ1 - σ2) 2 + (σ2 - σ3) 2 +
(σ3 - σ1) 2 ]1/ 2 Eε1/ { 6 [σ1 - ν(σ2 + σ3) ]} .
关键词 :岩石破坏 ;岩石变形 ; Weibull 分布 ;本构模型 ;三轴试验 中图分类号 : TE 21 文献标识码 :A
岩石的破坏是原生裂纹的扩展和新裂纹的产生 与发展的结果 。对于岩石等脆性材料已建立了不少 损伤本构模型 ,如 J . Mazars 模型 、Loland 模型 、Bui 模型 和 Frant xikonis 模 型 等[1 ,2 ] 。1982 年 Krajci2 novic 等[3 ]从岩石材料内部所含缺陷分布的随机性 出发 ,将连续损伤理论和统计强度理论有机结合起 来 ,建立了一种简单的统计损伤模型 ,该模型具有形 式简单 、参数易于获取等特点 。文献[ 4 ,5 ]基于微元 强度理论 ,提出了一种适合于岩石冲击破坏的统计 损伤模型 ,但涉及参数多 ,具体实现困难 。另外 ,上 述模型只适用于单轴或拉伸条件 。文献 [ 6 ,7 ]从岩 石微元强度随机性出发 ,建立了三轴条件下岩石损 伤破坏统计本构模型 ,但模型参数的求解只适合低 围压条件 。笔者拟在文献[ 7 ]的基础上 ,建立岩石损 伤统计模型 ,可用任意三轴条件下的试验数据对模 型中参数进行求解并提出新的求解方法 ,得出模型 参数的数学算式 。
Y = mX + b,
(11)
F0 = exp ( - b/ m ) .
由于计算 F 的表达式中含有σ23 ,在围压条件下
σ23 = σ33 ,σ23 近似等于 σ2 。从计算方法可知 , 用 σ23
代替σ2 , 在理论上存在不足 , 因为损伤变量的定义
就是用有效应力来代替表观应力 , 而且只适合在较
微元体数目 N 之比 , 即
D
=
Nf N
, 这样在任意区间
[ F , F + d F ] 内已破坏的微元数目为 N P ( F) d F ,当
加载到某一水平 F 时 ,已破坏的微元数目为
∫F
N f ( F) = N P( y) d y = N{ 1 - exp[ - ( F/ F0) m ]} .
0
5 结 论
(1) 建立了岩石连续损伤统计本构模型 , 用任 意三轴条件下的试验参数来确定模型中的参数 ,使 建立的模型在某种程度上能够更真实地反映岩石破 坏的过程 ,表征岩石强度的变化特征 。
(2) 用极值法来求解模型中参数更加方便 , 在 工程上易于应用 ,为减少误差 ,可取多组试验数据计 算模型参数 。
(9)
由式 (4) , (5) , (8) , (9) 得到三轴条件下岩石材料全
应力应变关系式为
σ1 = Eε1exp{ - [ ( a0 I1 + J2) / F0 ] m} +ν(σ2 +σ3) .
(10)
3 参数 m 和 F0 的求解方法
岩石损伤统计本构方程中参数 m 和 F0 可以用 岩石三轴条件下全应力试验数据来计算 。文献 [7 ] 介绍了围压条件下用线性回归求解 m 和 F0 的方法 , 其基本假设为
[ 4 ] 唐春安. 岩石破裂过程中的灾变[ M ] . 北京 :煤炭工业 出版社 ,1993.
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·38 ·
石油大学学报 (自然科学版) 2004 年 6 月
i = 1 ,2 ,3 , j = 1 ,2 ,3.
式中 , I1 为应力张量第一不变量 ; J 2 为应力偏量张 量第二不变量 ;σi3 为有效主应力 ; c 和φ分别为岩石 粘聚力和摩擦角 。
量。
设岩石的屈服条件遵循 Drucker2Prager 准则 :
a0 I1 + J 2 - K = 0 ,
(3)
令
F = f (σ3 ) = a0 I1 + J 2 , 其中
a0 =
3
sin φ
,
3 + sin2φ
I1
= σi3δij ,
J2
=
1 12
[
(σi3
- σj3 )δij ]2 ,
K=
1 损伤演化方程及岩石本构关系
岩石微元强度服从 Weibull 分布 ,其表达式为
P ( F)
=
m F0
F F0
m- 1
exp
-
Fm
F0
.
式中 , m , F0 , F 为表征材料强度的参数 ; P ( F) 为岩
石微元强度分布函数 。
岩石材料的损伤是由微元体的不断破坏引起
的 ,设在某一级载荷作用下已破坏的微元体数目为 N f ,定义统计损伤变量为已破坏的微元体数目与总
[ 3 ] KRAJ CINOV IC D , SIL VA M A G. Statistical aspects of t he contivuous damage t heory [J ] . International Journal of Solids Structures ,1982 ,18(7) :551 - 562.