建立一次函数模型
课题 2.3 建立一次函数模型
课标要求
结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
教学目标
知识与技能：
了解什么是待定系数，什么是待定系数法；会根据已知条件运用待定系数法确定一次函数的表达式；理解什么叫建立函数模型。
过程与方法：
从具体例子中发现如何根据条件求出一次函数解析式，通过分析发现求一次函数解析式的关键及其解决途径，从而了解和掌握待定系数法；初步体会一次函数与二元一次方程组之间的联系，通过分析、联想，感受数学知识间的关系，运用转化思想可获得问题解决。
情感态度与价值观：
通过概念的抽象、方法的归纳，感受数学知识间的联系；在一系列数学活动中培养与人合作交流的能力。
教学过程
一、情景导入：笑话导入。
二、预学：
1、预学教材P47-49 的内容，将不懂的问题记录在“我的
疑问”栏目中。
2、完成学研指导案的“学习新知”部分。
3、小组合作，解决“学习新知”中的疑难问题。
4、教师预见性点拨释疑。
①摄氏温度与华氏温度的关系为何用函数模型：C=kF+b 表示? 在这模型中摄氏温度、华氏温度各是什么变量？各用什么字母表示？能用模型F=k 'C+b '吗？为什么？
②在模型中有哪几个待定系数？又已知哪几个条件？为什么不是 4 个已知条件？由哪个条件得到了方程212k+b=100?
③这个问题的解决经历了哪几个步骤？
三、合作展示
1、小组独立完成“合作探究”的三个问题。
2、小组讨论交流。
3、小组汇报展示。
4、师生释疑。
四、归纳总结
1、解决实际问题时，常要根据具体情况建立函数模型，这样就可以方便地解决实际问题中的数量关系问题。
2、利用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
①设一设出一次函数解析式，即为：y=kx+b（k和）。
②代一把已知条件代入y=kx+b（k和）中，得到关于k、b
的一个二元一次方程组。
③求一解方程组，求k、b的值。
④写—写出一次函数解析式。
五、训练评估。
1、学生完成“课堂目标达成”的 4 个小题。
2、教师公布答案，小组评分。
3、简单分析、评价。
4、课后作业，完成课后巩固提升。
六、反思总结。
生活中的一次函数模型
生活中的一次函数模型在商业领域中，广告投入通常是企业提高销售额的重要手段之一、一个生活中的一次函数模型可以是销售额与广告投入之间的关系。
在这个模型中，广告投入被认为是自变量，销售额被认为是因变量。
我们可以通过建立一次函数来描述这种关系，即销售额=k×广告投入+b，其中k和b是函数中的常数。
以家电商公司为例，公司在一年中分别投入了不同数额的广告费用，并且记录了每个广告费用对应的销售额。
通过统计这些数据，我们可以建立一次函数模型来描述销售额与广告投入之间的关系。
假设该公司的数据如下：广告投入（万元），销售额（万元）-------------，-------------5，108，1210，1412，1615，18根据这些数据，我们可以选择任意两个点（x1，y1）和（x2，y2）来计算斜率k，并且选择任意一个点（x1，y1）来计算常数b。
这里我们选择（5，10）和（15，18）作为计算斜率k的点，选择（5，10）作为计算常数b的点。
首先计算斜率k:k=(y2-y1)/(x2-x1)=(18-10)/(15-5)=8/10=0.8然后计算常数b:b=y1-k*x1=10-0.8*5=10-4=6因此，我们得到的一次函数模型为：销售额=0.8×广告投入+6通过这个模型，我们可以预测不同广告投入对应的销售额。
例如，如果公司投入20万元的广告费用，根据模型，我们可以计算：销售额=0.8×20+6=16+6=22因此，我们预测公司投入20万元的广告费用时，销售额可能达到22万元。
该模型还可以用于分析公司目标销售额需要投入多少广告费用。
假设公司希望达到25万元的销售额，我们可以利用一次函数模型计算：25=0.8×广告投入+6将等式变形为：0.8×广告投入=25-6=19广告投入=19/0.8=23.75因此，公司需要投入大约23.75万元的广告费用才能达到目标销售额25万元。
冀教版八年级数学_21.4.1 建立一次函数模型解简单应用
感悟新知
知1－练
解：(1)y＝30(60＋x)＝30x＋1 800(x>0)． (2)令30x＋1 800＝60×40，解得x＝20，即当x＝20时 ，变化后的长方形与原来的长方形的面积相等. (3)令30x＋1 800＞2×60×40，解得x＞100，即当x＞ 100时，可以使变化后的长方形的面积比原来的长 方形面积的2倍还要大．
3 20
，
所以y＝ 3 x(x≥0)． 20
(2)由题意可得，0≤ 3 x≤12，解得0≤x≤80. 20
故要使刹车距离不超过12 m，车速应保持在
知2－练
0～80 km/h的范围内.
感悟新知
2. 某市为鼓励市民节约用水，自来水公司采用分段 知2－练 收费标准收费，每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间 的函数关系如图所示.
x/千册 6 8 y/万元 3.1 3.6
(1)求y(万元)与x(千册)之间的函数关系式. (2)当出版社投入成本4.1万元时，能印该书多少千册?
感悟新知
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.将(6， 知1－练 6k b 3.1,
3.1)，(8，3.6)分别代入，可得 8k b 3.6, k 0.25,
感悟新知
知1－练
7. 【中考·黄石】一食堂需要购买盒子存放食物，盒子 有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现 有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于 A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可 一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用 为____2_9___元．
感悟新知
知识点 2 用一次函数解含图像的实际问题
第二十一章 一次函数
21.4 一次函数的应用
第1课时 建立一次函数模型 解简单应用
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—一次函数的应用
．
【详解】解：如图， = = 6，∵ ∠ = 60°，∴ 4，3 3 ，
∵点在边上且横坐标为8，∴ 8, 3 ， 10，3 3 ，
∵直线过定点，∴ ⊥ 时，点到所在直线的距离取得最大值．
∵ 0, −
5 3
3
∴ 3 = 8 −
， 8, 3 ，设解析式为 = −
考点一 一次函数的实际应用
【变式】（2021·河南平顶山·统考二模）小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900米.小明因有
事，比小亮晚一些出发，图中1 = 1 、2 = 2 + 分别是小明、小亮行驶的路程与小明追赶时间之间的关系．
（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．
2
20
故答案为：5；3； 3
20
km；
3
考点一 一次函数的实际应用
题型03 行程问题
【例3】（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上，两站相距
20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从站出发前往站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小
巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中，分别表示甲、乙离开站的路程 km 与时间 min 的函数关系的图象．
（2）求1 、2 的值，并解释2 的实际意义．
（3）通过计算说明，谁先到博物馆．
【详解】
（1）根据图像可以看出小明走的时候，小亮已经走了 100 米．故答案为：100.
（2）将 = 20， = 60代入1 = 1 ，得60 = 201 ，∴1 = 3；
分别将 = 0时， = 100； = 20时， = 140代入2 = 2 + 得
∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．
一次函数数学模型的建立
标题：《一次函数的应用》教育内容：培养学生建立数学模型的习惯新的教学课程标准强调要以学生为主，培养学生的应用能力和创新能力，要形成学生“基本数学活动经验和基本数学思想”“初步形、成模型思想”。
这就要求教师在教学中主动联系生活实际，开发教材，为学生设计适合学生的可操作性强的生活问题，使学生自主通过运用所学的数学知识去解决相应的生活问题，从而形成对数学的学习兴趣，形成应用能力和创新能力。
下面我就谈一下自己在教授初二数学《一次函数的应用》时的一点体会:一，在课前：1、先让学生分成了四个小组，各小组想法统计一下自己小组中一名同学的家里固定电话的上一个月的通话时间并做记录。
2、去离学校不远的电信局查询电话的收费方式有几种，并做记录。
二，在上课时：1、回忆一次函数、方程、不等式的相关知识。
2、各小组排一名学生通报自己小组的调查结果。
3、根据自己的调查，思考使用电话和交电话费是由哪些量决定的。
4、对电话费用和通话时间建立一个关系，并把这种关系用数学关系式表示。
5、根据自己建立的关系结合本组调查的那名同学家里使用的费方式计算这名同学上个月家里的电话费用，并把结果和这名同学家里交的电话费做对比。
6、用另外的付费方式计算那名同学家的电话费，并和之前的计算结果做对比。
7、通过上面的计算你认为是哪些量在决定着电话费用，付费方式对电话费用有影响吗？8、你认为你小组里那名学生家的付费方式选择的得当吗？你是怎么挑选付费方式的。
结合函数图象作答。
9、如果给你家安装一个电话，你能给自己选择出合适的付费方方式吗？设计出你的选择方案。
总结反思：在教学中时常能遇到一些创设有关知识情境的问题，这些问题大多数可以结合数学思想、数学方法联系生活进行教学。
在这个教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决生活问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。
只要充分挖掘教材有关内容的内涵和外延，就可以在教学的过程中渗透数学建模思想的教学。
2.3 建立一次函数模型 第2课时
L1
L2
2
4
6 销售量(吨 销售量 吨)
解析: 解析:（5）L1经过原点和（4，4000）， 经过原点和（ 4000）， 设解析式为y=kx， 设解析式为y=kx， y=kx 把（4，4000）代入，得4000=4k，所以k=1000 4000）代入， 4000=4k，所以k=1000 的解析式为y=1000x y=1000x， 所以L1的解析式为y=1000x，
(1)如果不采取任何措施， (1)如果不采取任何措施，那么 如果不采取任何措施 到第5年底， 到第5年底，该地区沙漠面积 将增加多少万千米2？ （10万千米2） 10万千米 (2)如果该地区沙漠的面积继续 (2)如果该地区沙漠的面积继续 按此趋势扩大，那么从现在开始， 按此趋势扩大，那么从现在开始， 第几年底后， 第几年底后，该地区将丧失土地 资源？ 资源？ 50年底后 年底后） （第50年底后） (3)如果从现在开始采取植树造林措施 每年改造4 如果从现在开始采取植树造林措施， (3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千 沙漠，那么到第几年底， 米2沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少 到176万千米2． （第12年底） 176万千米 12年底） 年底
【例1】全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙 全国每年都有大量土地被沙漠吞没， 漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某 保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务， 地区现有土地面积100万平方千米，沙漠面积200万平 地区现有土地面积100万平方千米，沙漠面积200万平 100万平方千米 200 方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示. 方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示.
3000 1000 2 4
湘教版八年级数学上册(建立一次函数模型(1))导学案
建立函数模型主备人：吴志海上课日期班级姓名编号17学习目标1 通过独立思考，小组合作，初步学会建立一次函数模型的方法2 以极度的热情投入学习，全力以扑，享受学习的快乐重点;待定系数法求一次函数解析式，难点：应用一次函数解决有关问题【预习案】(学法指导)1.用15分钟的时间阅读探究课本的基础知识，2，完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测，3将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一知识回顾学习建议：同学们复习上节课学习的一次函数的相关知识，以及应用待定系数法求一次函数解析式的方法，有助于扎实的掌握本节课的内容1什么叫做待定系数法？2怎样用待定系数法求一次函数的解析式？3函数的图像表示的意义是什么？二预习自测（学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量,只有“思考才会，细心才对”，相信你会！1 已知一次函数的图像经过点（2,1）和（1,3）（1）求此函数的解析式(2)求此函数的图像与x轴y轴的交点坐标(3)你能求出该直线与两坐标轴围成的三角形的面积吗？2 租车公司提供的汽车，一辆汽车每天租金为300元，行驶每千米的附加费用是常数，一天用户老张向该公司租了一辆车，行驶了200千米，交了租车费460元(1)你能为租车费用与行驶路程的关系建立函数模型吗？（即求租车费用与行驶路程之间的函数关系式）（2）如果行驶了240千米，应交租车费用多少元？我的疑惑;请你将预习中未能解决的问题写下来，待课堂上与老师和同学们探究解决【探究案】一，学始于疑----我思考，我收获1请思考为什么图像上点的横，纵坐标可以满足函数关系式？2如何理解建立函数模型？3用待定系数法求一次函数（非正比例函数）的解析式至少需要知道图像上的几个点的坐标？（学习建议）请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。
二质疑探究-----质疑解疑，合作探究知识综合应用探究教学建议：本节课的重点是待定系数法的应用，所以老师可以放手要学生自己探究。
建立函数模型,解决实际问题
建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。
一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。
二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。
湘教版-数学-八年级上册-湘教版8上第2单元 建立一次函数模型 教案
【同步教育信息】一. 本周教学内容：湘教版8上第2单元 建立一次函数模型 教案教学目标： 1. 知识与技能：（1）会根据已知条件，运用待定系数法确定一次函数的表达式。
（2）了解一次函数模型，初步学会建立一次函数模型的方法。
（3）能用一次函数解决简单的实际问题。
（4）能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
（5）能根据一次函数的图像，求二元一次方程组的近似解。
2. 过程与方法：通过建立函数模型的概念，掌握建立一次函数模型的待定系数法，图像法等方法。
3. 情感态度与价值观： 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，培养应用数学的态度和能力，渗透数学建模的基本思路。
二. 重点、难点重点：了解两个条件确定一个一次函数，能由两个条件求出一次函数的表达式。
难点：应用一次函数解析式解决有关问题。
教学知识要点： 1. 函数建模的概念：求出表示某个客观现象的函数，称为建立函数模型。
2. 待定系数法（1）待定系数法的定义：通过确定函数模型，然后列方程组求待定系数，从而求出函数的解析，这种方法称为待定系数法。
（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程（组） ③解方程（组），求出待定系数④将求得的待定系数的值代回所设的解析式强调指出：a ）正比例函数y ＝kx 中，只有一个待定系数k ，一般只需一个条件即可求出k 值。
b ）一次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要两个条件，才能求出k 和b 的值。
3. 用图象法求二元一次方程组的近似解两直线y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2的交点坐标即方程组y k x b y k x b 111222=+=+⎧⎨⎩的近似解，这种解二元一次方程组的方法叫做图象法。
强调指出：用图像法求二元一次方程组的解通常先画出两直线的图象（在同一坐标系中），求得交点坐标，且得出的通常是方程组的近似解。
几种不同类型的函数模型知识点
几种不同类型的函数模型一 函数模型及数学建模函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题．建模过程示意图：二 几种常见的函数模型1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝k x＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)；4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)；5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)；6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异．直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x<x n <a x ，此式揭示了在充分远处三种函数的变化规律．总结：（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a x (a>1),y=log a x(a>1)和y=x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x 的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x 的增大，y=a x (a>1)的图象逐渐表现为与y 轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x 轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有a x ＞x n ＞log a x ；（6）当0<a<1，n<0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有log a x＜x n ＜a x一次函数模型例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．解：(1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x≥0)，y 2＝12x(x≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x<9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜；当x>9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解：设每天从报社买进设每月所获利润为y ∵y＝0.8x ＋550在[250,400]上是增函数，∴当x ＝400时，y 取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 二次函数模型例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．(1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格；(2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？思路点拨：首先用标价x 表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利润函数，再利用函数关系解决相关问题．解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b(k<0)，则旺季的最高价格为－b k元/件，利润函数L(x)＝(x －100)(kx ＋b)＝kx 2－(100k －b)x －100b ，x∈[100，－b k ]．当x ＝100k －b 2k ＝50－b 2k时，L(x)最大．由题意知50－b 2k ＝140，解得－b k ＝180.即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×23＝120(元/件)．(2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n(m<0)，则淡季的最高价格为－n m＝120(元/件)，即n ＝－120m ，利润函数L(t)＝(t －100)(mt －120m)＝m(t －110)2－100m ，t∈[100,120]．当t ＝110时，L(t)最大．所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二次”互为关联的重要特征，因此在应用型问题中是最为重要的模型．此外作为一个考点，由于二次函数涉及函数单调性、区间最值等诸多方面，因此有理由相信，今后这类试题仍将是重点．本题最为重要的特点是逆向运用二次函数最值问题，通过旺季最值的取得来获得参变量之间的关系进而对淡季羊毛衫的价格作出判断与预测．这种方法值得去关注．指数函数模型例4 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？思路点拨：复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息 解：已知本金为a 元．1期后的本利和为y 1＝a ＋a×r＝(1＋r)a ；2期后的本利和为y 2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r ＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y 3＝a(1＋r)3；…x 期后的本利和为y ＝a(1＋r)x .将a ＝1000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式得y ＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×(1.0225)5≈1117.68(元)．故复利函数式为y ＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1117.68元．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y ＝N(1＋P)x 来表示，解决平均增长率的问题时要用到这个函数式．例5 光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)至少通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771) 解：(1)y ＝a(1－10%)x (x∈N *)(2)∵y≤13a ，∴a(1－10%)x ≤13a ，∴0.9x ≤13，x≥log 0.913＝－lg 32 lg 3－1≈10.4，∴x ＝11.对数函数模型例6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？思路点拨：该问题已经给出了函数模型，故赋值后可求出Q 的值，进而求出v 的值．解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.直接以对数函数为模型的应用题不是很多，此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解． 例7 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f(t)的函数关系的为( C )解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S ＝vt ，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S 0；上岛考察时，S ＝S 0； 返回时，S ＝S 0－vt ，图象为一条线段．所以选C.例8 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( B ) A 3 B 4 C 5 D 6解析：设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，所以x≥1lg2≈3.32，因此至少要洗4次． 例9 函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图：则函数y ＝f(x)·g(x)的图象可能是( A )解析：明确函数图象在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”．∵函数y ＝f(x)·g(x)的定义域是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C 、D.由于当x 为很小的正数时f(x)＞0且g(x)＜0，故f(x)·g(x)＜0.故选A.例 10 下列函数中，随x 值的增大，增长速度最快的是( D )(A)y ＝50x(x∈Z) (B)y＝1000x (C)y ＝0.4×2x －1 (D)y ＝110000·e x解析：指数“爆炸式”增长，y ＝0.4×2x －1和y ＝110000·e x 虽然都是指数型函数，但y ＝110000·e x 的底数e 较大些，增长速度更快．例11 把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这两个正三角形面积之和的最小值解析：设一个正三角形的边长为x(cm)，则另一个正三角形的边长为12－3x 3＝4－x(cm)，两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x)2＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)．当x ＝2(cm)时，S min ＝23(cm 2)． 例12 当2<x<4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( B )(A)2x >x 2>log 2x (B)x 2>2x >log 2x (C)2x >log 2x>x 2 (D)x 2>log 2x>2x解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2>2x >log 2x.法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x ＝3，经检验易知选B. 例13 已知函数的图象如图所示，试写出它的一个可能的解析式__________________．解：可由图象的两点特征去确定．第一点：过两定点(0,1)，(10,3)．第二点：增长情况．答案：y ＝lg(99100x 2＋1)＋1(x≥0)(答案不唯一)例14 奇瑞曾在2009年初公告：2009年生产目标定为39.3万辆；而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标，并在09年实现更为平衡的增长．我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧：2006年，奇瑞汽车年销量8万辆；2007年，奇瑞汽车年销量18万辆；2008年，奇瑞汽车年销量30万辆；如果我们分别将06,07,08,09定义为第一，二，三，四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系？解：建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b ＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g(x)＝1253·(65)x －42，故g(4)＝1253·(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1. 由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系．例15 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳能电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如，2003年的年生产量的增长率为36%)．(1)求2006年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；(2)目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?解：(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳能电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.则2006年全球太阳能电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦)．(2)设太阳能电池的年安装量的平均增长率为x ，则＋4＋4≥95%，解得x≥0.615. 因此，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.例16 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
数学八年级下册《建立一次函数的模型解决实际问题》课件
典例精析 例：请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽
量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具 有如下关系：
指距x（cm） 19
20
21
身高y（cm） 151 160 169
(1)求身高y与指距x之间的函数表达式； (2)当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？
9 cm 10 cm
一次函数模型的应用
现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可
以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来
表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果
的意义.
下面有一个实际
问题，你能否利用已
学的知识给予解决？
问题：奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳成 绩在不断的被刷新，如男子400m自由泳项目， 2016年的奥运冠军马克-霍顿的成绩比1984年的 约提高了30s，下面是该项目冠军的一些数据：
b=231.23, 6k+b=221.86. 解得k=-1.56, b=231.23 所以，一次函数的解析式为y=-1.56x+231.23.
(3) 当把1984年的x值作为0，以后每增加4年得x的一 个值，这样2016年时的x值为8，把x=8代入上式，得 y=-1.56×8+231.23=218.74(s)
年份
冠军成绩/s
年份
冠军成绩/s
1984 1988
231.23 226.95
2004 2008
223.10 221.86
1992 1996 2000
225.00 227.97 220.59
2012 2016 2020