八年级数学上册第12章《全等三角形》全章教案(人教版)
第12章：全等三角形
12．1全等三角形
1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．(重点)
2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重点)
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)
一、情境导入
在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．
你能再举出一些例子吗？
二、合作探究
探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素
【类型一】全等形的认识
2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是()
A．(1)(2)B．(2)(3)
C．(1)(3)D．(1)(4)
解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项D是正确的．
方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．【类型二】全等三角形的对应元素
如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若
△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．
C E；ADO与△AEO的对应
解：BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与△
△
角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.
方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．探究点二：全等三角形的性质
【类型一】应用全等三角形的性质求三角形的角或边
如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠D EF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
【类型二】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用
如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB 的度数．
解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．解：∵ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD △
＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠C AB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.
方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
三、板书设计
全等三角形
1．全等形与全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．
“
首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后 总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例 熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．
12．2
三角形全等的判定
第 1 课时 “边边边”
1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．(重点)
2．经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程．(重点)
3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)
一、情境导入
问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪 些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．
学生活动：观察，思考，回答教师的问题．
方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块 完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．
如果△ABC ≌ △A ′B ′△C ′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果 ABC 与 △A ′B ′C ′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即 AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，CA ＝ C ′A ′，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠△C ′这六个条件，就能保证 ABC ≌ △A ′B ′C ′. 从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全 等．这种说法对吗？
二、合作探究
探究点：三角形全等的判定方法——“边边边”
【类型一】 利用 SSS ”判定两个三角形全等 如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点 E 、C 在直线 BF 上，且 BE ＝CF △.求证： ABC ≌△DEF .
“
解析：已知△ABC与△DEF有两边对应相等，通过BE＝CF可得BC＝EF，即可判定
△ABC≌△DEF.
??
BC＝EF，证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF△.在ABC和△DEF中，∵?AB＝DE，∴
??AC＝DF，
△ABC≌△DEF(SSS)．
方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根
据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【类型二】SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算
如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.
解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2△可由ABD≌△ACD证得．
??
AB＝AC，证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD△.在ABD和△ACD中，∵?BD＝△C D，∴ABD≌△
??AD＝AD，
ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)．
方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形
的间接应用．
【类型三】利用“边边边”进行尺规作图
已知：如图，线段a、b、c△.求作：ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法)
解析：首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC.
△解：如图所示， ABC 就是所求的三角形．
方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基
本作图，逐步操作．
【类型四】 利用“SSS ”解决探究性问题
如图，AD ＝CB ，E 、F 是 AC 上两动点，且有 DE ＝BF .
(1)若 E 、F 运动至图①所示的位置，且有 AF ＝△C E ，求证： ADE ≌△CBF . (2)若 E 、F 运动至图②所示的位置，仍有 AF ＝△C E ，那么 ADE ≌△CBF 还成立吗？为什 么？
(3)若 E 、F 不重合，AD 和 CB 平行吗？说明理由．
解析：(1)因为 AF ＝CE ，可推出 AE ＝CF ，所以可利用 SSS 来证明三角形全等；(2)同样
利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出 AD ∥CB .
??AD ＝CB ，
解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵?DE ＝BF ，∴
??AE ＝CF ，
△ADE ≌△CBF .
??AD ＝CB ，
(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵?DE ＝BF ，
??AE ＝CF ，
∴△ADE ≌△CBF .
(3)平行．∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC .
方法总结：解决本题要明确无论 E 、F 如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中 要分清．
三、板书设计
边边边
1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS ”． 2．“边边边”判定方法可用几何语言表示为：
??AB ＝A 1B 1，
在△ABC 和 △
A 1
B 1
C 1 中，∵?BC ＝B 1C 1，∴△ABC ≌ △A 1B 1C 1(SSS)． ??AC ＝A C ，
1 1
“
A D F B
本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂
的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”
掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不
知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．
第2课时“边角边”
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．(重点)
2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．(重点)
3．“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．(难点)
一、情境导入
小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎
么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．
想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？
让我们一起来探索三角形全等的条件吧！
二、合作探究
探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等
【类型一】利用SAS”判定三角形全等
如图，、、、在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC△.求证：AEF≌△BCD.
解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE ＝BC，根据SAS，即可证得△AEF≌△BCD.
??
AE＝BC，证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD△.在AEF和△BCD中，∵?∠A＝∠B，
??AF＝BD，∴△AEF≌△BCD(SAS)．
方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】“边边角”不能证明三角形全等
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用
【类型一】利用全等三角形进行证明或计算
已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．解析：利用已知条
定方法可证明
件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判
△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数．
??
BC＝BE，解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE△.在ABC和△FBE中，∵?∠ABC＝∠FBE，∴△ABC
??AB＝FB，
≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.
方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
【类型二】全等三角形与其他图形的综合
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它们的夹角都是∠ADG
加上直角，可得夹角相等，所以△ADE△和CDG全等；(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG.
证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，
??AD ＝CD ，
∠ADE ＝90°＋∠ADG ，∴∠CDG ＝∠ADE △.在 ADE 和△CDG 中，∵?∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE
??DE ＝GD ，
≌△CDG (SAS)，∴AE ＝CG ；
(2)设 AE 与 DG 相交于 M ，AE 与 CG 相交于 △N ，在 GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED ， 又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°，∴∠GNM ＝90°，∴AE ⊥CG .
三、板书设计
边角边
1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS ”． 2．“边角边”判定方法可用几何语言表示为：
??AB ＝A 1B 1，
在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵?∠B ＝∠B △1
，∴ ABC ≌ △A 1B 1C 1(SAS)． ??BC ＝B C ，
1 1
3．“SSA ”不能判定两个三角形全等．
本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认 识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生 对新知识的理解和掌握．
第 3 课时 “角边角”“角角边”
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”， 角角边”．(重点) 2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(重点)
3．“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找．(难点)
一、情境导入
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．
教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什
么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
二、合作探究
探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等
【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等
如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝△C F，求证：ADF≌△CBE.
解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.
证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
∠A＝∠C，
??
即AF＝CE△.在ADF和△CBE中，∵?AF＝CE，∴△ADF≌△CBE(ASA)．
??∠DFA＝∠BEC，
方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及
一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF△.在ADC和△BDF
∠DAC＝∠DBF，
??
中，∵?∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△BDF(AAS)．
??AC＝BF，
方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．
【类型三】灵活选用不同的方法证明三角形全等
如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这
个条件可以是______________．
解析：由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠EAD，加上AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；
当添加AC＝AD时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.
方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA
不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相
等时，角必须是两边的夹角．
探究点二：运用全等三角形解决有关问题
已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E△.求证：(1)BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.
解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，
再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)△由BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，
∠ADB＝∠CEA＝90°，
??
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE△.在BDA和△AEC中，∵?∠ABD＝∠CAE，
??AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS)；
(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
三、板书设计
“角边角”“角角边”
1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角
角边”或“AAS”．
3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定
??BF ＝CE ，
?
方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预 期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练．
第 4 课时 “斜边、直角边”
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)
2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题．(难点)
一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
二、合作探究
探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等
如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O ，且 AB ＝CD ，
BE ＝CF .求证：△R t ABF ≌△R t DCE .
解析：由题意可得△ABF △与 DCE 都为直角三角形，由 BE ＝CF 可得 BF ＝CE ，然后运用“HL ”
即可判定 △R t ABF 与 △
R t DCE 全等．
证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即 BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝△90°，∴ ABF 与△DCE
都为直角三角形．在 △R t
ABF 和 Rt △DCE 中，∵?
?AB ＝CD ，
∴△R t ABF ≌△R t DCE (HL)．
方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后 找出对应的斜边和直角边相等即可．
??
AB＝AD，
AC＝AC，
?
探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用
【类型一】利用“HL”判定线段相等
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解析：根据“HL”证△R t ADC≌△R t AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证△R t ABD≌△R t ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴△R t ADC ≌△R t AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴△R t ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD －CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已
知条件．
【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
解析：要证角相等，可先证明全等．即证△R t ABC≌△R t ADC，进而得出角相等．
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝△90°，∴ABC与△ACD为直角三角形．在Rt
△ABC和△R t ADC中，∵?∴△R t ABC≌△R t ADC(HL)，∴∠1＝∠2.
?
方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．
【类型三】利用“HL”解决动点问题
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位
置时△ABC才能和△APQ全等？
解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌△R t CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的
??PQ＝AB，
∴Rt△ABC≌
△
Rt QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；
??
AP＝AC，
??
?
“
位置．(2)Rt△QAP≌△R t BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在△R t ABC与△R t QPA中，∵?
AP＝BC，
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在△R t ABC与△R t QPA中，∵?∴△R t QAP
?PQ＝AB，
≌△R t BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形
的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS△证得AOD≌△AOE，根据ASA△证得BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，
??
∠ADC＝∠AEB，
∴∠△1＝∠2.在AOD和△AOE中，∵?∠1＝∠2，
??OA＝OA，
??
∠BDC＝∠CEB，∴△AOD≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE△.在BOD和△COE中，∵?OD＝OE，∴△BOD≌
??∠BOD＝∠COE，
△COE(ASA)．∴OB＝OC.
方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.
三、板书设计
“斜边、直角边”
1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．
2．方法归纳：
(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”ASA”
．
两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD “AAS”以及“SSS”
(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三
角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．
12．3角的平分线的性质
第1课时角平分线的性质
1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)
2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)
一、情境导入
问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的作法
如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F
1
2
于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°.
??
DF＝BD，
??
CD＝DE，?
DE
?解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法
1
2
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
探究点二：角平分线的性质
【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌△R t EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC△和ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△R t DCF和△R t
DEB中，∵?∴△R t CDF≌△R t EDB(HL)．∴CF＝EB；
?DC＝DE，
(2)∵AD是∠BAC的平分线，⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE△.在ADC与△ADE中，∵?
?AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两
条“垂线段”相等．
【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△S
ABC
＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()
A．6B．5C．4D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD△是ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴△S ABC
＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
??
CD＝CD，
DE＝DF，
“
?
11
22
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
解析：由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用HL”证明Rt△CDE和△R t CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和△R t CDF中，
∵?∴△R t CDE≌△R t CDF(HL)，∴CE＝CF.
?
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
三、板书设计
角平分线的性质
1．角平分线的作法；
2．角平分线的性质；
3．角平分线性质的应用．
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及
角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用
上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．
第2课时角平分线的判定
1．掌握角平分线的判定定理．(重点)
2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)
一、情境导入
??
中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止
最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找
到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
二、合作探究
探究点一：角平分线的判定定理
【类型一】角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
解析：先判定△R t BDE和△R t CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC
的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF 是直角三角形．在△R t BDE和△R t CDF中，∵?
BE＝CF，
??BD＝CD，
∴△R t BDE≌△R t CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【类型二】角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有() A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，
AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝ ∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝ ∠ACB ，∠ABC ＋
故③正确；∴④到 AE 、AF 距离相等的点，到 DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故
选 D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接 得到线段或角相等．
【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题
如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D .求证：AD 是∠BAC 的
平分线．
解析：分别过点 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，然后利用
角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分
线上证明．
证明：分别过 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ， DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理 DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点 D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是 ∠BAC 的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利 用角平分线的判定或性质解决问题．
探究点二：三角形的内角平分线
【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，
则∠BOC 的度数为( )
A ．110°
B ．120°
C ．130°
D ．140°
解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，
1 1
2 2
∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选 A.
方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定 理即可求出∠BOC 的度数．
【类型二】 三角形内角平分线的应用
已知：如图，直线 l 1，l 2，l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要 求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？
解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有 4 处．(2)作出相交组成的角的平分
线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有 4 处，如图：
P 1、P 2、P 3、P 4，共 4 处．
(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就 是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边 距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
三、板书设计
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的 基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课 堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的 性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需 要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．
八年级上册数学第十一章检测卷(含答案)
八年级上册数学第十一章检测卷 一、选择题(每小题3分，共36分) 1.如果三角形的两边长分别为2和7，其周长为偶数，则第三边长为（） A.3 B.6 C.7 D.8 2.下列说法:①△ABC的顶点A就是∠A，②三角形一边的对角也是另外两边的夹角； ③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段; ④三角形的角平分线就是三角形内角的平分线，其中正确的说法是（） A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 3.一个三角形的三边分别为3，5，x，则x的取值范围是（） A.x>2 B.x<5 C.3 八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A 第十二章达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列图象中，表示y 不是x 的函数的是( ) 2．函数y ＝2x －3中自变量x 的取值范围为( ) A ．x ≥0 B ．x ≥－3 2 C ．x ≥32 D ．x ≤－3 2 3．点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线y ＝－x ＋b 上，若x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是 ( ) A ．y 1＜y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2 D ．无法确定 4．将函数y ＝－3x 的图象沿y 轴向上平移2个单位后，所得图象对应的函数表 达式为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝－3(x ＋2) D ．y ＝－3(x －2) 5．直线y ＝x －1的图象经过的象限是( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 6．下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的点是( ) A ．(－3，－1) B ．(1，1) C ．(3，2) D ．(4，3) 7．如图所示，函数y 1＝|x |和y 2＝13x ＋4 3的图象相交于(－1，1)，(2，2)两点．当 y 1>y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜－1 B ．－1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ．x ＜－1或x ＞2 (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次 函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是( ) A.???x ＋y －2＝0，3x －2y －1＝0 B.???2x －y －1＝0，3x －2y －1＝0 C.???2x －y －1＝0，3x ＋2y －5＝0 D.???x ＋y －2＝0，2x －y －1＝0 9．将正方形AOCB 和A 1CC 1B 1按如图所示方式放置，点A (0，1)和点A 1在直线 y ＝x ＋1上，点C ，C 1在x 轴上，若平移直线y ＝x ＋1使之经过点B 1，则直线y ＝x ＋1向右平移的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地，已知乙比甲先出发，他 们离出发地的距离s (km )与骑行时间t (h )之间的函数关系如图所示．给出下列说法： (1)他们都骑行了20 km ；(2)乙在途中停留了0.5 h ；(3)甲、乙两人同时到达目的地；(4)相遇后，甲的速度＜乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题(每题3分，共12分) 11．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示，则|n －m |－m 2可化简为 ________． (第11题) (第13题) 初中数学试卷（八上第一章） 一、单选题（共17题；共34分） 1、在△ABC中，已知∠A=2∠B=3∠C，则三角形是（） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、形状无法确定 【答案】C 【考点】三角形内角和定理 【解析】【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为3k、3k、2k， 则6k+3k+2k=180°， 解得k=°， 所以，最大的角∠A=6×°＞90°， 所以，这个三角形是钝三角形． 故选C． 【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为6k、3k、2k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k 值，再求出最大的角∠A即可得解． 2、某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要装一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（） A、1,3,5 B、1,2,3 C、2,3,4 D、3,4,5 【答案】C 【考点】三角形三边关系 【解析】【分析】首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可． 【解答】设他所找的这根木棍长为x，由题意得： 3-2＜x＜3+2， ∴1＜x＜5， ∵x为整数， ∴x=2，3，4， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 3、若三条线段的比是①1：4：6；②1：2：3，；③3：3：6；④6：6：10；⑤3：4：5；其中可构成三角形的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【答案】B 【考点】三角形三边关系 【解析】【解答】①1+4＜6，不能构成三角形； ②1+2=3，不能构成三角形； ③3+3=6，不能够成三角形； ④6+6＞10，能构成三角形； ⑤3+4＞5，能构成三角形； 故选：B． 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系.解此题不难，可以把它们边长的比，看做是边的长度，再利用“若两条较短边的长度之和大于最长边长，则这样的三条边能组成三角形”去判断，注意解题技巧． 4、根据下列条件，能确定三角形形状的是（） ①最小内角是20°；②最大内角是100°； ③最大内角是89°；④三个内角都是60°； ⑤有两个内角都是80°． A、①②③④ B、①③④⑤ C、②③④⑤ D、①②④⑤ 【答案】C 【考点】三角形内角和定理 【解析】【解答】（1）最小内角是20°，那么其他两个角的和是160°，不能确定三角形的形状；（2）最大内角是100°，则其为钝角三角形；（3）最大内角是89°，则其为锐角三角形；（4）三个内角都是60°，则其为锐角三角形，也是等边三角形；（5）有两个内角都是80°，则其为锐角三角形． 【分析】此题是三角形内角和定理和三角形的分类，关键是要知道钝角三角形、直角三角形和锐角三角形角的特征. 5、如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（） 人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定 1 人教版八年级数学上册第十二章测试题及答案 (考试时间：120分钟 满分：120分) 分数：__________ 第Ⅰ卷 (选择题 共30分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列图形中与已知图形全等的是( B ) 2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 两点在BC 上，且有AD ＝AE ，BD ＝CE .若∠BAD ＝30°，∠DAE ＝50°，则∠BAC 的度数为( C ) A ．130° B ．120° C ．110° D ．100° 第2题图 第4题图 3．如图，a ，b ，c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是( B ) 4．如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，AC ＝DF .下列条件中不能判断△ABC ≌△DEF 的是( C ) A ．AB ＝DE B ．∠B ＝∠E C ．EF ＝BC D ．EF ∥BC 5．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( D ) A ．已知两边和夹角 B ．已知两角和夹边 C ．已知三边 D ．已知两边和其中一边的对角 6．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是( C ) A ．PQ 为∠APB 的平分线 B ．P A ＝PB C ．点A ，B 到PQ 的距离不相等 D．∠APQ＝∠BPQ 第6题图第7题图 7．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a 于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为(D) A．10B．11C．12D．13 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，交AC于D，DE⊥AB于E，则下列结论：①∠A＝∠BCF；②∠CDG＝∠CGD；③AD＝BD； ④BC＝BE，其中正确的个数有(C) A．1个B．2个C．3个D．4个 第8题图第9题图 9．★如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S ＝S△PCD，则满足此条件的点P(D) △P AB A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的平分线 D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线(E点除外) 10．★如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为(C) A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 第10题图第12题图 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．在Rt△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C 的度数是30°. 12．如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段：__AD＝BC(或OA＝OB或OC＝OD)__ . 13．如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需要添加一个适当的条件是BC＝EF(或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F或AC∥DF 等) ． 人教版八年级上册数学第一章知识点 为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇八年级上册数学第一章知识点，希望可以帮助到大家! 一、全等形 1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。 2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。 二、全等多边形 1、定义：能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、性质： (1)全等多边形的对应边相等，对应角相等。 (2)全等多边形的面积相等。 三、全等三角形 1、全等符号："≌"。如图，不是为：△ABC≌△A′B′C′。读作：三角形ABC全等于三角形A′B′C′。 2、全等三角形的判定定理： (1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。(即SAS， "边角边"); (2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。(即ASA，"角边角") (3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS，"角角边") (4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS，"边边边") (5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。(即HL，"斜边直角边") 3、全等三角形的性质： (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等; (2)全等三角形的周长相等、面积相等; (3)全等三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线都相等。 4、全等三角形的作用： (1)用于直接证明线段相等，角相等。 (2)用于证明直线的平行关系、垂直关系等。 (3)用于测量人不能的到达的路程的长短等。 (4)用于间接证明特殊的图形。(如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等)。 (5)用于解决有关等积等问题。 小编为大家提供的八年级上册数学第一章知识点就到这里 八年级上册数学期中考试培优题 1、△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24㎝和30㎝两部分，求三角形的三边长. 2、如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，BE是△ABC的角平分线，AD、BE交于点O，且∠ABC=36°，∠C=76°，求∠DAF和∠DOE的度数. 3.在边长为3的等边△ABC的AB边上任取一点D，作DF⊥AC交AC于F，在BC的延长线上截取CE=AD，连接DE交AC于G，求FG的值。 4.（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明 ∠BOC=90°+ 2 1 ∠A。 （2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试 说明∠D=90°- 2 1 ∠A。 （3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D。 F D E B A G A B C D E 图2 F E C A D 5．已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠EDC=900，证明：BD=AB+ED. 6. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝ 90°.求证：BE＝CF. 7.（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即EC=CD,AC=BC）如图1放置，点D 在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F，求证：（1）ΔACD≌ΔBCE （2）AF⊥BE． A B C O A B C D A B C D (1) (2) (3) E D C A H F C （2）把左边的小三角板逆时针旋转一定的角度如图2放置，问AF 与BE 是否垂直？并说明理由． 8. 如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ； 判断△CFH?的形状并说明理由；④FH||BD. 9.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。 C B 10.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。 11.已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。 12、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC (1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图1，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（） A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS 2．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图2），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（） A．①B．② C．③ D．④ 3．有下列条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等．其中能判定两直角三角形全等的有（） A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图3，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．如图4，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形共有（） A．1对 B．2对 C．3对D．4对 6．如图5，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，补充下列条件中的一个，不能得出△APC≌△APD的是（） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB 7．如图6，△ABC≌△EFD，那么（） A．AB＝DE，AC＝EF，BC＝DF B．AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF C．AB＝EF，AC＝DE，BC＝DF D．AB＝EF，AC＝DF，BC＝DE 8．如图7，用“AAS”直接判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是（） A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE C．AC＝AB，AD＝AE D．AC＝AB，∠C＝∠B 二、填空题（每小题4分，共32分） 9．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6厘米，△ABC的面积为9平方厘米，则EF边上的高是__________厘米. 10．如图8，已知AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中共有__________对全等三角形． 11．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件__________，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF． 12. 如图9，如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是32 cm，DE＝12 cm，EF＝13 cm，则AC＝__________． 13．如图10，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，延长CB至点D，使BD＝AC，作 ∠BDE＝90°，∠DBE=∠A，两角的另一边相交于点E，则DE的长为__________． 14．如图11，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝__________． 15．如图12，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B＝20°，则∠C＝__________． 16．如图13，已知△ABC，且点A（0，1），点C（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是__________． 八年级上北师大版第一章勾股定理测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）. （A ）9，12，15 （B ）15，36，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）. （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 3. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的 面积为（ ）. （A ）9 （B ）3 （C ） 49 （D ）2 9 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）. （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(2 2 =-+，则此三角形是（ ）. （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）. （A ）6 （B ）8.5 （C ） 1320 （D ）13 60 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 （ ）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 8.△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是 （A ）42 （B ）32 （C ）37或33 （D ）42或32 9. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个 大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分 别是a 、b ，那么2 )(b a + 的值为 （ ）. （A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1 10.如图5，长方体的长为15，宽为10，高为20点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） D （A ）25 （B ）25 （C ）5510+ （D ）35 二、填空题（每小题3分，共21分） B C 11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 . A （2）斜边x= . 图5 E 第二章达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．如图，∠1的大小等于() A．40°B．50°C．60°D．70° 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A．2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，5 cm C．2 cm，5 cm，10 cm D．8 cm，4 cm，4 cm 3．在△ABC中，能说明△ABC是直角三角形的是() A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶2 B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4 4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 5．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数是() A．40°B．60°C．80°D．120° 6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是() 7．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是() A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝( ) A ．360° B ．180° C ．255° D ．145° 9．如图，∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E 五个角的和等于( ) A ．90° B ．180° C ．360° D ．540° 10．已知△ABC ，有下列说法： (1)如图①，若P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠P ＝90°＋12∠A ； (2)如图②，若P 是∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－∠A ； (3)如图③，若P 是外角∠CBF 和∠BCE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－12∠A . 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样 做的道理是__________________________________________________． 12．正五边形每个外角的度数是________． 13．已知三角形三边长分别为1，x ，5，则整数x ＝________. 14．将一副三角尺按如图所示放置，则∠1＝________． 15．一个多边形从一个顶点可以画9条对角线，则这个多边形的内角和为 ________． 16．如图，AD 是△ABC 的角平分线，BE 是△ABC 的高，∠BAC ＝40°，且∠ABC 与∠ACB 的度数之比为3∶4，则∠ADC ＝________，∠CBE ＝________． 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）． 八年级数学上册第十二章能力检测卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.如图，△ABC≌△ADC，如果∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D=( ) A.87° B.97° C.83° D.37° 2.王老师不小心将一块教学用的三角形玻璃打破了(如图)，想到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便，他只想带一块碎片，则他需要带( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上,已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 4.如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，判定△ADC≌△ABE的根据是( ) A.SSS B SAS C .ASA D AAS 5.对于条件:①两条直角边对应相等;②斜边和一锐角对应相等;③斜边和一直角边对应相等;④直角边和一锐角对应相等.以上能判定两直角三角形全等的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于 点F，E，则图中全等三角形共有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 7.如图，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=6cm，DE=2cm，则BD 等于( ) A.6 cm B 8 cm C 10 cm D 4 cm 8.两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图，四边形ABCD是一个等形，其中AD=CD，AB=CB。小明在探究筝形的性质时，得到如下结论:①.DAC⊥BD ②AO=CO= 2 1 AC:③△ABD≌△CBD其中正确的结论有( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 9.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，△ABC的面积是28cm2,AB=16cm，AC=12cm，则DE的长为( ) A.2cm B.2.4cm C 3 cm D.3.2cm 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，DE⊥DF.若AB=8cm，则四边形AEDF的面积为( ) A.64 cm2 B.32cm2 C 16 cm2 D.8 cm2 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，得x=_________. 八年级上册数学第一章《勾股定理》测试题 班级： 学号： 姓名： 成绩： 一、 选择题：（每小题4分，共40分） 1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A 、6，8，10 B 、5，12，13 C 、12，18，22 D 、1，12，15 2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形 3、如图，带阴影的矩形面积是60，则图中直角三角形的斜边长为（ ） A 、9 B 、12 C 、17 D 、24 4、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（ ） A 、12米 B 、13米 C 、14米 D 、15米 5、等腰三角形的一腰长为13，底边长为10，则它的面积为（ ） A 、65 B 、60 C 、120 D 、130 6、已知三角形的三边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足 ，那么这个三角形是（ ） Ａ、锐角三角形 Ｂ、钝角三角形 Ｃ、直角三角形 Ｄ、不能确定 7、等边三角形的边长是10，它的高的平方等于（ ） A 、50 B 、75 C 、125 D 、200 8、直角三角形的两直角边分别为5厘米，12厘米，则斜边上的高是（ ） A 、6厘米 B 、厘米 C 、厘米 D 、 9、已知Rt ⊿ABC 中，已知∠C=900 ，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt ⊿ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 10、如图，在直角三角形中，∠C=900 ，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（ ） 第3题 第5题 4cm 人教版八年级数学上册第11章三角形综合 复习 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是() A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，6，12 D. 6，8，10 2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是() A．五边形B．六边形 C．七边形D．八边形 3. 在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是() A．80 B．70 C．65 D．60 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为() A．30°B．40°C．50°D．60° 5. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为() A．65°B．70°C．75°D．85° 6. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为() A．7 B．8 C．9 D．10 7. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为() A．18°B．36°C．54°D．90° 8. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是() A．8 B．9 C．10 D．11 9. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有() A．1种B．2种 C．3种D．4种 10. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是() A.x=y+z B.x=y-z C.x=z-y D.x+y+z=180 二、填空题（本大题共5道小题） 11. 把一副三角尺如图所示拼在一起，那么图中∠ABF＝________°. 12. 如图，∠AOB＝50°，P是OB上的一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为________时，△AOP为直角三角形． 13. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为cm. 八年级上册数学第一章测试题 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．?在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．13 3．适合条件∠A=1 2 ∠B= 1 3 ∠C的△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（） A．30° B．75° C．105° D．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 7．下列命题正确的是（） A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部B．三角形中至少有一个内角不小于60° C．直角三角形仅有一条高 D．直角三角形斜边上的高等于斜边的 一半 8.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（） A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 以上都不对 9．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，│AC-BC│=2cm，则腰AC的长为（） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 10、在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角( )． (A)都是钝角(B)都是锐角(C)一个是锐角，一个是直角(D)互为补角 11．下列图形中，是正多边形的是() A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边形 C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形 （14题）（18题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题 - 1 - / 3 第十一章三角形知识要点 1、三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接而成的平面图形。记为△ABC 2、三角形的有关重要线段: ⑴三角形的三边：三角形的两边之和大于第三边； ①组成三角形的条件:较小的两边之和大于第三边 ②若两边为a、b，则第三边取值范围是： a-b ＜c＜ a+b ⑵三角形的高线、中线、角平分线：都是线段 3、三角形的分类：按边分可分为不等边三角形与等腰三角形(含等边三角形) 解有关等腰三角形的问题时，通常要对等腰三角形的腰与底边进行分类讨论。 4、三角形的稳定性: 三角形具有稳定性 5、三角形有关的角： ⑴三角形内角和等于180°； ⑵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ⑶三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 6、多边形： ⑴对角线：多边形中不相邻的两个顶点之间的连线。n边形从一个顶点出发有 n－3 对角线，这些对角线把n边形分成了n－2 三角形，n边形共有(3) 2 n n-条对角线； ⑵n边形的内角和等于 (n-2)180°， ⑶多边形的外角和都等于 360°，正n边形外角360 n ? ，因此内角180°－内角 第十二章全等三角形知识要点 1、能够完全重合的两个三角形叫，全等三角形。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2、全等三角形的判定：边边边(SSS)、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、 斜边、直角边（HL）。 方法与思路：要证明两条线段或两个角相等时，通常证这两条线段或这两个角分别所在 的三角形全等。 3、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 4、角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 第十三章轴对称知识要点 1、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形轴对 称图形；这条直线叫做对称轴。 2、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3、重直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 重直平分线的推论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按 照原图顺序依次连接各点。 6、点的对称 点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为P（x , —y） 点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为P（—x , y） 点（x , y）关于原点轴对称的点的坐标为（—x ,—y） 7、等腰三角形的性质： 性质1：等边对等角 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（三线合一”）。 8、等腰三角形的判定：等角对等边。 9、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 10、等边三角形的判定： 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 11、直角三角形的性质： 性质1：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。新版人教版八年级数学上册全册教案
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