高中数学第一章三角函数.2任意的三角函数.2.2三角函数线导学案领学案(无答案)新人教A版
第一章三角函数全章教案
第一章三角函数本章教材分析1.本章知识结构如下:2.本章学习的内容主要是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的一种重要函数,与其他的函数相比,具有许多重要的特征:它以角为自变量,是周期函数.三角函数是解决其他问题的重要工具,是高中阶段学习的最后一个基本初等函数,是深化函数性质的极好素材.本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.3.本章教学的重点是三角函数的定义,同角三角函数的基本关系式,正弦函数的图象及基本性质.难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握.关键是学好三角函数定义.从实际教学情况来看,教学中应重视学生的画图.“五点画图”虽然简单,但却易学难掌握.在本章教学中,教师应根据学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举熟知的实例,创设丰富的情境,使学生体会三角函数模型的意义.教学时,可结合本章引言的章头图,让学生围绕这些问题展开讨论,通过思考,让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律,从而激发学生的求知欲.4.三角函数的内容一直是高考的重要内容,特别是三角函数的图象和性质,及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识,频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低,却是经久不衰的高考考查内容.5.本章教学时间约需16课时,具体分配如下(仅供参考):1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课图1思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课新知探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O 是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,那么α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和.适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角. 解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 写出终边在y轴上的角的集合.活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.图2解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图2.因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练①写出终边在x轴上的角的集合.②写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.图3解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限;③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本本节练习.解答:1.锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角;直角不属于任何一个象限,不属于任何一个象限的角不一定是直角;钝角是第二象限角,但是第二象限角不一定是钝角.点评:要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系,并理解记忆.为弄清概念的本质属性,还可以再进一步启发设问:锐角一定小于90°吗?小于90°的角一定是锐角吗?钝角一定大于90°吗?大于90°的角一定是钝角吗?答案当然是:不一定.让学生展开讨论,在争论中,将对问题的认识进一步升华,并牢牢的记忆这些基础知识.2.三、三、五.点评:本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实际,把教科书中除数360换成每个星期的天数7,利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星期三,这样的练习难度不大,可以口答.3.(1)第一象限角.(2)第四象限角.(3)第二象限角.(4)第三象限角.点评:能作出给定的角,并判断是第几象限的角.4.(1)305°42′,第四象限角.(2)35°8′,第一象限角.(3)249°30′,第三象限角.点评:能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角,并判断是第几象限的角.5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′.(2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°.点评:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合,并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角.课堂小结以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业①课本习题1.1 A组1、3、5.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k 的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.②能,用弧度制.提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=(πa 180)°,n°=n 180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 问题②:填写下列的表格,找出某种规律.的长 πr 对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数导学案 苏教版必
高中数学第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数导学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．2.1 任意角的三角函数课堂导学三点剖析1.任意角的正弦、余弦、正切的定义【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是（ ) ①终边相同的角的同名三角函数的值相同 ②终边不同的角的同名三角函数的值不等 ③若sinα＞0,则α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点，则cosα=22yx x +-A.1 B 。
2 C 。
3 D.4 思路分析：运用概念判断。
解析：由任意角三角函数定义知①正确； 对②，我们举出反例sin 3π=sin 32π；对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=22yx x+。
综上选A 。
答案：A 温馨提示要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆. 2．角、实数和三角函数值之间的对应关系 【例2】 判断下列各式的符号. （1）tan250°·cos（-350°）； (2)sin151°cos230°；（3）sin3cos4tan5；（4）sin(cos θ)·cos（sin θ)（θ是第二象限角).思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了,所在的象限也就确定了。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(第二课时)导学案 新人教A版必修4-新人教
1．2.1 任意角的三角函数(第二课时)[教材研读]预习课本P15～17，思考以下问题1．有向线段是如何定义的？2．三角函数线是如何定义的？[要点梳理]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．三角函数线的长度等于三角函数值．( )2．三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) 3．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.×题型一 三角函数线的画法思考：用字母表示三角函数线时，字母顺序能否颠倒？ 提示：不能，因为三角函数线有方向．作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[思路导引] 作三角函数线时，充分利用单位圆，找到角的终边与单位圆的交点． [解]如图，角3π4的终边与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT .[跟踪训练]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二 利用三角函数线比较大小思考：利用三角函数线比较大小应注意什么？提示：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．(1)下列关系式中正确的是( )A ．sin10°<cos10°<sin160°B ．sin160°<sin10°<cos10°C ．sin10°<sin160°<cos10°D ．sin160°<cos10°<sin10°(2)设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小顺序排列为________．[思路导引] 利用单位圆中的三角函数线求解． [解析] (1)如图，由三角函数线知，OM >M 1P 1>MP ，∴cos10°>sin160°>sin10°，所以选C.(2)由57π与27π的终边关于y 轴对称，如右图的三角函数线知：M 1P 1＝MP <AT ，因为2π7>2π8＝π4， 所以MP >OM ，所以cos 2π7<sin 5π7<tan 2π7，所以b <a <c .[答案] (1)C (2)b <a <c(1)利用三角函数线比较大小的步骤 ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． [跟踪训练]利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin 2π3与sin 4π5；②tan 2π3与tan 4π5.[解] ①由如图的三角函数线知：MP >M 1P 1，∴sin2π3>sin 4π5.②∵AT <AT 1，∴tan 2π3<tan 4π5.题型三 利用三角函数线解不等式思考：利用三角函数线解不等式的步骤是什么？提示：①先作出取等号的角；②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；③将图中的范围用不等式表示出来，注意终边相同的角．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. [思路导引] 利用单位圆中的三角函数线找到取等号时的角，再结合图形写出角的取值范围．[解] (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪⎪2k π－2π3π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．要特别注意是否含角的边界．[跟踪训练]利用三角函数线，写出满足下列条件角α的集合．(1)sin α≥22；(2)cos θ≤12. [解] (1)如图：当sin α≥22时，角α满足的集合为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z(2)如图，当cos θ≤12时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z课堂归纳小结1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见典例1； (2)利用三角函数线比较大小，见典例2； (3)利用三角函数线解不等式，见典例3. 3．理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝－x 上[解析] 由题意知sin α＝±1，∴角α的终边在y 轴上． [答案] B2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4D.3π4或7π4[解析] 由题意知角α的终边落在第二或第四象限角平分线上，故α＝3π4或7π4.[答案] D3.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT[解析] 由图可知角α的正弦线为MP ，正切线为AT .[答案] C4．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [解析]如图所示，sin x ≥12的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. [答案] B5．sin1.5________sin1.2.(填“>”或“<”)[解析]∵π3<1.2<1.5<π2，由图可知 M 1P 1<M 2P 2，∴sin1.2<sin1.5.[答案] >。
高一数学人教A版必修四教案：第一章三角函数1-2任意角的三角函数
（1） (sin)2 (cos)2 1对任一个角 都成立；
sin tan 对任何一个不等于 k (k Z ) 的角 都成立．
cos
2
（2）说明方法 1：用三角函数的定义说明（利用定义）
说明方法 2：用三角函数线说明（数形结合）
（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.
右
所以原等式成立.
证法 2、(1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x cos x cos x
且1 sin x 0，cos x 0 cos x 1 sin x
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所 在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
1.2.3 同角三角函数的基本关系
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习 1：已知角 的终边上一点 P( 3, m) ，且 sin 2m ，求 cos,sin 的值。
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ；
r4
x3
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ．
r4
x3
2．三角函数的符号：
高中数学第一章三角函数1.2.1第二课时三角函数线学案新人教A版必修4(2021年整理)
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第二课时三角函数线预习课本P15～17，思考并完成以下问题（1)有向线段是如何定义的?（2）三角函数线是如何定义的？［新知初探］1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP 即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A（1，0）作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线[分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）三角函数线的长度等于三角函数值．（）（2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )答案：(1）×（2）√（3)×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（)A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝－x上答案：B3．角α（0〈α〈2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!或错误!答案:D4．sin 1.5________ sin 1。
高中数学第一章三角函数.2任意角的三角函数.2.任意角的三角函数第2课时导学案新人教A版38
第2课时三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1)有向线段：带有的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin α＝，cos α＝，tan α＝.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的线、线、线，统称为三角函数线.①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点.③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x 轴正方向或y轴正方向反向的为负值.④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做1－1】如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的( )A.正弦线是PM ，正切线是A ′T ′B.正弦线是MP ，正切线是A ′T ′C.正弦线是MP ，正切线是ATD.正弦线是PM ，正切线是AT【做一做1－2】 不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1)方向 (2)MP OM AT 正弦 余弦 正切 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 D三角函数线的应用 剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.题型一 解三角方程【例1】 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.分析：先作出直线y ＝12与单位圆的交点P ，Q ，再连接OP ，OQ 即得.反思：形如sin α＝m ，cos α＝n ，tan α＝t 的等式，可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在［0,2π)内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出.题型二 解简单的三角不等式【例2】 解不等式sin α≥－12.分析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 76π＝－12，则在坐标系中画出－π6和76π，确定α的终边位置.反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧 AB 对应的扇形区域内角的范围.题型三 易错辨析易错点 错解函数的定义域【例3】 求函数y ＝1＋2cos x ＋lg(2sin x ＋3)的定义域.错解：要使函数有意义，则需满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sin x ＞－32.所以2k π＋4π3≤x ≤2k π＋8π3且2k π－π3＜x ＜2k π＋4π3，其中k ∈Z .其交集为空集，故无定义域.错因分析：因两个不等式中的k 各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k 的独立性.答案：【例1】 解：如图，作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 为角α的终边．由于sin π6＝12，sin 5π6＝12，则OP 是π6的终边，OQ 是5π6的终边．所以α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .则α组成的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z . 【例2】 解：如图所示，作直线y ＝－12交单位圆于A ，B 两点，则∠xOA ＝7π6，∠xOB＝－π6.过在直线AB 上方的圆弧上任一点P 作PM ⊥x 轴于M ，则MP ＝sin α.则α的终边不能与直线AB 下方的圆弧有交点，则有2k π－π6≤α≤2k π＋7π6(k ∈Z )．即原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π6≤α≤2k π＋76π，k ∈Z . 【例3】 正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sin x ＞－32.由cos x ≥－12，知2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .由sin x ＞－32，知2n π－π3＜x ＜2n π＋4π3，n ∈Z ， ∴x 的取值范围是{x |2k π－π3＜x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．下列各式正确的是( )A.sin 1＞sin3πB.sin 1＜sin3π C.sin 1＝sin 3πD.sin 1≥sin 3π2．已知tan x ＝1，则x ＝________. 3．不等式cos x ＞0的解集是________. 4．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.5．求函数y 的定义域.答案：1．B 1和π3的终边均在第一象限，且π3的正弦线大于1的正弦线，则sin 1＜πsin3. 2．x ＝π4＋k π(k ∈Z ) 3．{x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z }． 如图所示，OM 是角x 的余弦线，则有cos x＝OM ＞0，∴OM 的方向向右．∴角x 的终边在y 轴的右方．∴2k π－π2＜x ＜2kx ＋π2，k ∈Z . 4. 解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于πcos 3＝12，5πcos 3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .所以α组成的集合为S ＝π5π|2π2π,Z 36k k k ααα⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或. 5．解：要使函数有意义，自变量x 的取值需满足－1－2cos x ≥0， 得cos x ≤12-，如图所示，则x 的终边在阴影部分的区域内．由于2πcos3＝12-，4πcos 3＝12-， 则M 在2π3的终边上，N 在4π3的终边上，则2π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域是2π4π|2π2π,Z 33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二)导学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数(二)学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在.所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . 梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tanx 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }.知识点二 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值. 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负. 梳理的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 即为正弦线OM 即为余弦线类型一 三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线.解 如图所示，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT . 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合.解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }.类型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小.解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3>sin 4π5；|OM |<|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3<tan 4π5.反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M 1P 1，M 2P 2.∵M 1P 1>M 2P 2，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°). 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12. 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }.反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z }.命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域.(1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x . 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }.(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }.反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练4 求函数f (x )＝2sin x －1的定义域. 解 要使函数f (x )有意义，必须使2sin x －1≥0，则sin x ≥12.如图，画出单位圆，作x 轴的平行直线y ＝12，交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，分别过点P 1，P 2作x 轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线， 易知这两条正弦线的长度都等于12.在[0,2π)内，sin π6＝sin 5π6＝12.因为sin x ≥12，所以满足条件的角x 的终边在图中阴影部分内(包括边界)，所以函数f (x )的定义域为{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }.1.下列四个命题中：①当α一定时 ，单位圆中的正弦线一定； ②在单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上. 则错误命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 由三角函数线的定义知①③④正确，②不正确.2.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A.正弦线为PM ，正切线为A ′T ′B.正弦线为MP ，正切线为A ′T ′C.正弦线为MP ，正切线为ATD.正弦线为PM ，正切线为AT 答案 C3.设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.b <a <c答案 D解析 ∵π4<2π7<π2，作2π7的三角函数线，则sin 2π7＝MP ，cos 2π7＝OM ，tan 2π7＝AT ，∴OM <MP <AT ， ∴b <a <c ，故选D.4.函数y ＝2cos x －1的定义域为 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合： (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. 解 (1){α|2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z }.(2){α|k π－π2<α≤k π＋π6，k ∈Z }.(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤12，{α|k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z }.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y 轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x 轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了.课时作业一、选择题1.下列说法不正确的是( )A.当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D.余弦线和正切线的始点都是原点 答案 D解析 根据三角函数线的概念，A 、B 、C 是正确的，只有D 不正确，因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x 轴正半轴的交点上.2.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大，∴sin1.5>sin 1.2>sin 1. 3.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 答案 D解析 角α的取值范围为图中阴影部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π.4.若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A.y 轴上 B.x 轴上 C.直线y ＝x 上 D.直线y ＝－x 上答案 B解析 由题意得|cos α|＝1，即cos α＝±1，则角α的终边在x 轴上.故选B. 5.在下列各组的大小比较中，正确的是( )A.sin π7>sin π5B.cos 4π7>cos 5π7C.tan 9π8>tan 9π7D.sin π5>tan π5答案 B6.有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案 C 解析π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C.7.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 因为56π＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 二、填空题 8.不等式tan α＋33>0的解集是 . 答案 {α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z }解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .9.把sin π12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为 .答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π解析 由图可知，sin π12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 57π＝OM 3<0.而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ，∴0<sin π12<sin 512π<tan 512π.而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π.10.函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为 .答案 [k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z解析 如图所示.11.使得lg sin α有意义的角α是第 象限角.答案 一或二解析 要使原式有意义，必须sin α>0，所以α是第一或第二象限角.12.若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ .答案 0三、解答题13.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35.解 (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP ，OQ 为角α的终边，如图甲.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM ，ON 为角α的终边，如图乙.四、探究与拓展14.函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域为 .答案 {x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z }解析 由题意可知，要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求.所以所求函数的定义域为{x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z }. 15.若α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两实根，且|α－β|≤22，求θ的范围.解 ∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0，∴cos θ≥－12. ① ∵|α－β|≤22，∴(α＋β)2－4αβ≤8.由根与系数的关系，得α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos 2θ，∴4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≤8，即cos θ≤12. ② 由①②得－12≤cos θ≤12， 利用单位圆中的三角函数线可知π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π，k ∈Z 或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π，k ∈Z .∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π，k ∈Z .。
高中数学第一章三角函数1.2.1.2三角函数线教案新人教A版必修
1.2.1.2 三角函数线1.知识与技能(1)通过实例,了解有向线段的含义.(2)理解三角函数的几何意义——三角函数线.(3)掌握利用三角函数线解简单的三角不等式,比较三角函数值的大小.2.过程与方法(1)让学生经历从实例中理解三角函数的几何意义.(2)让学生体会数形结合思想的灵活运用.3.情感、态度与价值观通过学生亲自动手操作,逐步培养出从实际出发,通过尝试、观察、归纳、抽象和概括,达到感性向理性的升华.重点:三角函数的几何意义的理解.难点:三角函数的几何意义的应用.(1)重点的突破:在教学过程中,建议让学生明确以下三个方面:①三角函数线的数量.当三角函数线与坐标轴平行时,我们可根据三角函数线的方向与数轴的方向相同或相反,分别把它的长度加上正号或负号,这样所得的数,叫做三角函数线的数量.②正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示,它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴(或与坐标轴重合)的有向线段.③在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.(2)难点的解决:考虑到三角函数线的应用有一定的难度,教学时可结合一些具体的例子,通过问题的由浅入深的解决,让学生不断总结,教师再适时点拨,必要时辅助典例教学,这样学生既对三角函数线体会深刻,又对三角函数线的应用得以深化,突出重点的同时化解难点.三角函数线的应用利用单位圆中的三角函数线可以比较同名三角函数值的大小,解(证明)简单的三角不等式,研究三角函数值域或最值等问题,解决这类问题的关键是准确作出单位圆中的三角函数线.1.比较下列各组数的大小.(1)cos和cos;(2)sin和tan.解:(1)如图,在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1.因为OM1<OM2,所以cos>cos.(2)如图,分别作出的正弦线和正切线,sin=MP,tan=AT,因为AT>MP,所以tan>sin.2.用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1.证明:当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1).所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,综上有|sin α|+|cos α|≥1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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【思维导图】（学生自我绘制）
【探究点二】利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1） 与 （2） 与
〖合作探究〗
〖典例解析〗〖概括小结〗源自〖课堂检测〗2、利用单位圆寻找适合下列条件的 的角
⑴ ⑵
【层次一】⑴写出满足条件 的角 的集合.
⑵求函数 的定义域
【层次二】已知点 在第一象限，在 内求 的取值范围。
【层次三】利用三角函数线证明：当 时
那么
1 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即
2 叫做 的正切，即
【知识转接】
1、有向线段：的线段。
【预学能掌握的内容】
三角函数线：
设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点 。当角 的终边不在坐标轴上时，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 .规定有向线段 向上为正， 向右为正
（1）（2）\（3）（4）
则 =； =； =。
我们就分别称有向线段 为正弦线、余弦线、正切线。
当角 的终边与 轴重合时：；
当角 的终边与 轴重合时：。
【探究点一】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1） ；（2） ；
〖典例解析〗
〖概括小结〗
〖课堂检测〗
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
（1） ；（2） ．
任意角的三角函数
学习
目标
1.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来。
2.会利用三角函数线解决三角函数问题。
学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】
1.单位圆的定义：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点