湖北省部分重点中学2012届高三第一次联考-数学(文)
湖北省部分重点中学2012届高三起点考试(数学)
湖北省部分重点中学2011—2012学年度高三年级起点考试数 学 试 卷本卷满分:150分 试卷用时：120分钟命题学校:武汉四中 命题人:晏海燕 汤闪 审题人：李清华第Ⅰ卷(选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，每小题只有一项是符合题目要求的）1.设全集U=R ，集合15{|||}22M x x =-≤，{|14}P x x =-≤≤，则()UCM P ⋂等于（ ）A ．}24|{-≤≤-x xB ．}31|{≤≤-x xC ．}43|{≤≤x xD ．}43|{≤<x x2.“1a ="是“直线0x y +=和直线0x ay -=相互垂直”的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3。
(理）定积分ln 20e x dx⎰的值为（ )（A ）－1 （B ）1(C ）2e 1- (D)2e（文）抛物线28y x =-的焦点坐标是(）(A ）(2,0)(B ） (2,0)-(C)(4,0)（D ）(4,0)-4．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积 等于（A ）3465+ (B)66543+（C)665413++ (D)1765+5．执行下面的程序框图，输出的S 值为 （ ）A ．109B ．187C ．98D ．526． 设函数()sin(2)3f x x π=+,则下列结论正确的是（ ) ①．()f x 的图象关于直线3x π=对称②．()f x 的图象关于点(,0)4π对称③．()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象④．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]6π上为增函数A. ①③B. ②④C. ①③④D. ③ 7．已知函数()x f x a x b =+-的零点(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数,a b 满足23,32a b ==，则n 的值是( ）。
A ．—2B ．-1C ．0D ．1 8．在区间[,]22ππ-上随机抽取一个数x,cos x 的值介于0和12之间的概率为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．6π9.直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点,23MN ≥，则k 的取值范围是( ）3.[,0]4A -3.(,][0,)4B -∞-⋃+∞33.[,]33C -2.[,0]3D -10。
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(文)试卷
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学（文）试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数11z i=+的共轭复数是（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2、已知集合2{|,},{|2,}xM x x x x R N x y x R =≥∈==∈，则M N =( )A ．(]0,1B ．()0,1C ．[)0,1D ．[]0,1 3、”lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4， 则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165、经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据球的回归方程为ˆˆˆybx a =+，且直线:18100l x y +=，则点ˆˆ,a b 满足（ ） A ．在l 左侧 B ．在l 右侧 C ．在l 上 D ．无法确定 6、已知函数()2ln(28)f x x x =-++，则函数()f x 的增区间为（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()2,1-D ．()1,4 7、从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（ ）A ．483B ．482C ．481D ．4808、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点P 作与实轴平行的直线，交两渐近线于,M N 两点，若23PM PN b ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 B．3 D．39、非空数集123{,,,,}n A a a a a =(,0)n n N a *∈>中，所有元素的算术平均数即为()E A ，即()123n a a a aE A n++++=，若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆;②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“包均值子集”，据此，集合{}1,2,3,4,5的子集中是“包均值子集”的概率是（ ） A ．732 B ．316 C ．532D ．1810、已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡对应的题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．686．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．49．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣212．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=2a n a n+1，且n∈N*，则a8=．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．15．设实数x，y满足，则的取值范围是．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；当B≠∅时，，解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），k∈Z，故B正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．该函数的最小正周期为=π，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，故a n=，据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10∴|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10﹣2S2=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）=67．故选：C．【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．【解答】解：∵b=acosC+c．∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，可得：sinCcosA=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，∴d=﹣，又∵a k+a4=0，∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣2m，满足（e x﹣2m）=﹣1，即e x﹣2m=﹣3有解，即2m=e x+3有解，∵e x+3＞3，∴m＞，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．【解答】解：由题意得x，y的约束条件．画出不等式组表示的可行域如图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，即：．解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴x1f（x1）＜x2f（x2）．即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，令，则，x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，则：（常数），数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．则：，所以：，当n=1时，首项a 1=1， 故：．所以：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．所以则的最小值为﹣；m最大值为：；所以的取值范围是：[﹣，]故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴最小正周期T=π，由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴y∈[0，1]故实数m的取值范围是[0，1]【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）解得d=0或d=2，∴a n=1或a n=2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，（i）当n=1时，T1=b1===．（ii）当n＞1时，b n==，∴T n=+++…+……①∴T n=+++…++……②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=﹣．综上所述，T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．令n=1时，，n=2时，， n=3时，，由于2a 2=a 1+a 3， 所以，解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；（2）由于===，所以S n =+…+=+n==．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0…（4分）（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）故f（x）极大值=f（﹣）（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，解得a＜﹣．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴a=1，∴f（x）=e x，f令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，①g'（x）=e x﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考文科数学详解
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考高三数学试卷（文史类）命题学校：武汉六中 命题教师：徐静 审题教师：张霞解析：霍建鑫 499654898考试时间：2013年11月7日下午15:00—17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设}4,2{},5,1{},5,4,3,2,1{===B A U ，则=A C B U （ ）A. }4,3,2{B. }2{C. }4,2{D. }5,4,3,1{ 解析：弄清楚补集概念{2,4}{2,3,4}u B C A ⋂=⋂ 2、若i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=54cos 53sin θθ是纯虚数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ=（ ）A. 71-B. 1-C. 37- D. 7- 解析：比较新颖43cos ,tan 54θθ=-=-，tan()74πθ-=-3、已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（ ）A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4） 解析：1()ln g x x x =-11(1)ln10,(2)ln 20,(1)(2)012g g g g =-<=->< 4、已知函数)(x f y =的定义域为{}5,83|≠≤≤-x x x 且，值域为{}0,21|≠≤≤-y y y 且.下列关于函数)(x f y =的说法：①当3-=x 时，1-=y ；②点()0,5不在函数)(x f y =的图象上；③将)(x f y =的图像补上点（5,0），得到的图像必定是一条连续的曲线；④)(x f y =的图象与坐标轴只有一个交点.其中一定正确的说法的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 解析：根据函数映射关系，（5,0）肯定不在图像上，但如果将（5,0）补上，有可能是分段函数，依然不连续，且函数图像与坐标轴一定没有交点，否则y=0（给出的答案是选B ，我认为是选A ）5、三个实数成等差数列，其首项是9.若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{}n a ，那么3a 的所有可能取值中最小的是（ ） A. 1 B. 4 C. 36 D. 49解析：设等差数列为9,9,92d d ++，则等比数列为9,11,292d d ++，则22(11)9(292)41400d d d d +=+⇒+-=，则1410d d =-=或者则等比数列为9,3,1-或者9,21,496、若函数x y 3log = 的图像上存在点),(y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+m y y x y x 01204，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B.1C ．23D ．2解析：数形结合，线性规划，但角度不同于以往题目，在坐标系中作出图像，得3log 40y x x y =+-=与交点(3,1)则m 的最大值为17、已知点P 在曲线x e y =上，点Q 在曲线x y ln =上，则PQ 的最小值是 （ ）A ．1B ．2 CD解析：由于两个函数互为反函数，则图像关于y=x 对称，根据图像，可知当P,Q 点处切线与y=x 平行，则距离最小，因此'|1,0,p x p y e p PQ =====切点(0,1),8、,e π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ） A. ()2log log 2e e ππ+>B. log log 1e π>C. e e e e ππ->-D. ()3334()e e ππ+<+解析：比较大小，(),'()1,0()()()x x f x e x f x e x f x f f e π=-=->>则时递增，因此 9、对于任意实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数，如[1.1]1,[ 2.1]3=-=-.定义在R 上的函数()[2][4][8]f x x x x =++，若{}10),(<<==x x f y y A ，则A 中元素的最大值与最小值之和为（ ）A ．11B ．12C ．14D ．15 解析：根据定义，当x=0.1时，f(0.1)=0当x=0.9时，f(0.9)=1+3+7=1110、在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足=P 041，λ=，且对于任意实数λ，恒有≥⋅PC PB C P B P 00⋅， 则（ ）A.︒=∠90ABCB. ︒=∠90A C BC.BC AC =D. AC AB =解析：通过向量的线性运算及数量积，结合正弦余弦定理将问题转化为三角形状判断，注意恒成立的条件0222214114411cos cos 016411cos co 164AB PB BC AB P B BC AB AB BC AB AB BC AB AB BC B AB AB BC B AB BC B AB BC λλλλλλλ⋅+≥⋅+⋅+≤⋅+---≤---（）（）（）（）222222s 01cos cos (41(cos )021cos 2B a B c ac B a B c a B c a b ≤∆=+-=-≤=⇒=二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对．．．．应题号．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11、命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 解析：全称命题的否定，2,220x R x x ∃∈-+≤12、在锐角△A B C 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A等于 。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知角，满足，，则（ ）A.B. C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭{}220Bx Nx x =∈+-≤∣AB = (]1,1-{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-i ()()1122z i i ++=-+z =1i-+1i --1i +1i-a b ()3,4a = ()2,1b =- b a68,2525⎛⎫⎪⎝⎭(6,8)68,55⎛⎫⎪⎝⎭(4,2)αβtan 2α=()sin 2cos sin βαβα=-tan β=2323-4343-()26ln 1f x x x ax =++-(1,2)a 8,⎡--⎣(8,--7,⎡--⎣(8,7)--(2π+(1π+(3π+()f x ()g x R ()1f x +()()114f x g x -++=，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.()()24f x g x +-=()f x ()g x ()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑x y 2x y +=2291x y x y+++22:13y C x -=1F 2F 2F l C A B 12AF F △1I 12BF F △2I AB (),-∞+∞12I I ⎡⎢⎣2112tan3tan22AF F AF F ∠∠=P ABC -AB =PA =P ABC -O P ABC Q PQ M P ABC -M AB P --O 43π1O O 1O (),4A a 24y x =F AF B FB13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，y ax=()x ef xx=a1323{}na{}n b()()*21nnnb n N=+-∈()1,0n n na b b Rλλλ+=-∈>{}na{}nc2n nc n a={}n c n n T9TABC△A B C a b csin sin sin sinA B B Cc a b++=-A3,0BC BD AB AD=⋅=2AD=ABC△AD B AD C'--AB'B CD'X X()2222:10x yC a ba b+=>>()2,1P O l C A B OP Q2AB QB=直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.l x y M N C APB △MON △R ()f x [],a b (,)a b ()()f a f b =(),c a b ∈()0f c '=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)a b c d R ∈()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈(0,1)m湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化简得.由余弦定理得，，故；（2）设，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，从而.二面角为直二面角，，平面平面，平面，10324e 2881{}n a 2213a a a =()()()2755177λλλ-=--()()210λλ-+=0λ>2λ=()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦{}n a ()231nn c n=--22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ sin sin sin sin A B B C c a b ++=-a b b c c a b++∴=-222b c a bc +-=-2221cos 22b c a A bc +-==-23A π=BD x =2CD x =ACD △sin sin CD AD DAC C ∠=22sin30sin x C=1sin 2C x=ABD △2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭sin B x ==BD ∴=CD =AB = B AD C '--AB AD '⊥AB D ' ACD AD =AB '⊂AB D '平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，，.设平面的法向量，则有，即令，解得.故直线与平面.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，AB ∴'⊥ACD()0,0,0A ()D ()C (B '(AB ∴='(B C =' (B D '=B CD '(),,n x y z = 00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1y =()4n =cos ,n AB n AB n AB ⋅∴=''='AB 'B CD '111224⨯=111224⨯=111442+=X 111224⨯=111224⨯=()1111044464P X ==⨯⨯=()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.()1111444464P X ==⨯⨯=X X P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=C D D (,0)a -PD ==2a =C c e a ==c =1b =C 2214x y +=A (),A A x y B (),B B x y A B C 22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()222204A B A B x x y y -+-=222214A B A B y y x x -=--Q (),Q Q x y 2AB QB =Q AB 2A B Q x x x +∴=2A BQ y y y +=Q OP P (2,1)12OQ OP k k ==12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-12A B AB A B y y k x x -==--l 1,02y x m m =-+≠l C 221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222210x mx m -+-=由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.点到直线的距离为且.记，.由，及得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，19.（17分）证明：（1）设，，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.0>△m <<0m ≠l C A B 2A B x x m +=()221A B x x m =-B AB x ∴=-==P l d 122APB S AB d ∴==-=△m <<0m ≠()()()2222f m mm =--()()()2421f m m m m =---'()0f m '=m <<0m ≠m =m =APB S △l 12y x =-()1M -N ⎛ ⎝12MON S OM ON ∴== △()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++[]0,1x ∈()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++()F x ∴[]0,1(0,1)()()010F F ==()00,1x ∈()00F x '=()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)()()2222222xf x emx e m x =----- m R ∈(0,1)1x ()10f x =()10,1x ∈由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，，则.，.当，即时，，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，，解得.结合，且，，()()224222xf x e mx e m '=----()f x '[]10,x []1,1x ()10,x ()1,1x ()()()1010f f x f ===()210,x x ∈()20f x '=()31,1x x ∈()30f x '=∴()()2242220x f x e mx e m '=----=(0,1)2x 3x ()()()224222xg x f x emx e m ==--'--()0,1x ∈()282x g x e m =-'()0,1x ∈ ()2288,8x e e ∴∈1 28m ≤4m ≤()()0820g x g m >=-'≥'()g x (0,1)()0g x =(0,1)2 228m e ≥24m e ≥()()21820g x g e m <=-'≤'()g x (0,1)()0g x =(0,1)3 244m e <<()0g x '=()1ln 0,124mx =∈10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '>()g x ∴(0,1)()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,1)()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩222622e m e -<<+244m e <<22262 2.564e ->⨯->222222224e e e e +<+=故的取值范围为.m ()2226,22e e -+。
2012届高三湖北省第一次八校联考数学(理)试卷
2012届高三第一次八校联考数学（理科）试题一、选择题1．设}20|N {≤∈=x x U ，x x A |N {∈=是偶数}，x x B |N {∈=是质数}，则=)(B A C U A ．φB ．{1}C ．{1, 9, 15}D ．{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}2．已知)2cos(tan x x +=π，则=x sinA ．215- B ．1- C ．0 D ．13．函数333)(-=xx f 的值域为 A ．)1,(--∞ B ．),0()0,1(+∞-C ．),1(+∞-D ．),0()1,(+∞--∞4．设}{n a 是等比数列，则“321a a a >>”是“数列}{n a 是递减数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数)24sin(2ππ-=x y 的部分图象如右图所示，则=⋅+)(A ．6B ．4C ．4-D ．6-6．⎰-230249dx x 可看作成A ．半径为3的圆的面积的二分之一B ．半径为23的圆的面积的二分之一 C ．半径为3的圆的面积的四分之一D ．半径为23的圆的面积的四分之一 7．设P 是椭圆192522=+y x 上一点，M 、N 分别是两圆1)4(22=++y x 与1)4(22=+-y x 上的点，则||||PN PM +的最小值，最大值分别为A ．3，7B ．4，8C ．8，12D ．10，128．已知命题1p ：函数0(>-=-m m m y x x 且)1≠m 在R 上为增函数，命题0:2≤ac p 是方程02=++c bx ax 有实根的充分不必要条件，则在命题211:p p q ∨，212:p p q ∧，)(:213p p q ⌝∧，)()(:214p p q ⌝∧⌝中真命题 的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．39．定义在R 上的函数)(x f 满足)5()(x f x f -=，且0)(')25(<-x f x ，已知21x x <，521<+x x ，则A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．0)()(21<+x f x fD ．0)()(21>+x f x f10．定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意的x , ∈y R ，都有2011)()()(-+=+y f x f y x f 。
湖北省八市2012届高三联考数学试题及答案(文科)
2012年湖北省八市高三三月联考试卷数 学（文科）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效.３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。
答在试题卷上无效.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．i 是虚数单位，复数31ii-等于A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +2．若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，则“m =2”是“{}4A B = ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(4,2)AB = ，(6,)CD y = ，且AB ∥CD,则y 等于 A ．-3B ．-2C ．3D ．24．已知变量x ，y 满足约束条件1,0,20,y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤0≥≤则24x y z = 的最大值为A ．16B ．32 C5则输出的结果是A BC ．D ．0第5题图6．从1，2，3，4，5中随机取出二个不同的数，其和为奇数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．457．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且AM =13AB 1，BN =13BC 1，则下列结论：①AA 1⊥M N ； ②A 1C 1// MN ；③MN //平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN ，其中， 正确命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．48．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=，与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是 A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或29．下列函数中，最小值为2的函数是A．y =B ．21x y x+=C．)(0y x x x =<<D．2y =10．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当x ∈[0，2]时，()(31)(39)x x f x =--．若()f x 在[2,22]n n --+()n N *∈上的最小值为-1，则n ＝A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满35分，把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲ ．12．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(,2)P k -与点F 的距离为4，则抛物线方程为 ▲ ．A BCC 1DD 1A 1B 1NM第7题图第11题图13．如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为则5a 等于 ▲14．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π15．如图，曲线()y f x =在点(5,(5))P f处的切线方程是8y x =-+，则(5)f +(5)f '= ▲． 16．若将函数5πsin()(0)6y x ωω=+>的图象 向右平移π3个单位长度后，与函数πsin()4y x ω=+的图象重合，则ω的最小值为 ▲ ．17．如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针 移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ； 则：（Ⅰ）(3)f = ▲ (Ⅱ) ()f n = ▲三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分12分）已知函数π()sin()(0,0,||,2f x A x A x ωϕωϕ=+>><的图象的一部分如下图所示．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()(2)y f x f x =++19．（本小题满分12分）一个多面体的直观图和三视图如图所示：（I ）求证：P A ⊥BD ； （II ）连接AC 、BD 交于点O ，在线段PD 上是否存在一点Q ，使直线OQ 与平面ABCD所成的角为30o ？若存在，求DQDP的值；若不存在，说明理由．第15题图第17题图 第19题图20．（本小题满分13分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（m ，n 均小于25”的概率；（II ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（III ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（II ）所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：回归直线方程式ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx yb ay bx x nx==-==--∑∑）21．（本小题满分14分）设椭圆C ：2221(0)2x y a a +=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，2120AF F F = ,坐标原点O 到直线AF 1的距离为113OF .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交 x 轴于点(1,0)F -，交 y 轴于点M ，若||2||MQ QF =,求直线l 的斜率.22．（本小题满分14分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈． （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45o ，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？2012年湖北省八市高三三月联考数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，10小题共50分）1.D2.A3.C4.B5.A6.C7.B8.C9.D 10.B 二、填空题（每小题5分，满35分）11．600 12．28x y =- 13．32 14．12π 15．2 16．7417．(1)7（3分） (2)21n -（2分） 三、解答题(本大题共5小题，共65分) 18．（I ）由图象，知A ＝2，2π8ω=．∴π4ω=，得π()2sin()4f x x ϕ=+．……………………………………………2分 当1x =时，有ππ142ϕ⨯+=．∴π4ϕ=． ………………………………………………………………4分∴ππ()2sin()44f x x =+． …………………………………………… 5分（II ）ππππ2sin()2sin[(2)]4444y x x =++++ππππ2sin()2cos()4444x x =+++ ……………………………7分ππsin()42x =+π4x = …………………………………………………10分∴max y =min y =-．………………………………………12分19．（I ）由三视图可知P -ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ， 连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ． ………………………………………2分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面P AC ，………………………………4分 即BD ⊥P A ． ………………………………………………………………6分（II ）由三视图可知，BC ＝2，P A ＝Q ，因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，所以∠DOQ 为直线OQ 与平面ABCD 所成的角 ……8分在△POD 中，PD ＝OD ，则∠PDO ＝60o ，在△DQO 中，∠PDO ＝60o ，且∠QOD ＝30o ．所以DP ⊥OQ ． ……10分所以OD QD 所以14DQ DP =． ……………………………………………………………12分 20．（I ）m ，n 构成的基本事件（m ，n ）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．………………………………………………………………2分其中“m ，n 均小于25”的有1个，其概率为110． ………………………4分 （II ）∵12,27,x y ==∴22221125133012263122751113123122b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++-⨯． ………………………6分于是，5271232a =-⨯=-． ……………………………………………8分故所求线性回归方程为5ˆ32y x =-． …………………………………………9分 （III ）由（2）知5ˆ32y x =-， 当x =10时，y =22；当x =8时，y =17． ………………………………………11分与检验数据的误差均为1，满足题意.故认为得到的线性回归方程是可靠的． …………………………13分21．(Ⅰ)由题意知1(F ，2F ，其中a >由于2120AF F F = ，则有212AF F F ⊥ ,所以点A 的坐标为12)F a， ……………………………………… 2分 故AF 1所在的直线方程为1)y a=±+，所以坐标原点O 到直线AF 1 ……………………………… 4分又1||OF =21a =-2a =.故所求椭圆C 的方程为22142x y += ………………………………………… 7分(Ⅱ) 由题意知直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k , 直线l 的方程为(1)y k x =+， ……………………… 8分 则有M （0,k ），设11(,)Q x y ，由于Q ， F ，M 三点共线，且||2||MQ QF =，根据题意，得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+，解得11112,2,33x x y k ky ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩或 ………………………………………………… 10分 又点Q 在椭圆上，所以22222()()(2)()33114242kk ---+=+=或 ………………………… 13分解得0,4k k ==±.综上，直线l 的斜率为0,4k k ==±. ………………… 14分 22．()(0)af x a x x'=-> （I ）当1a =时，11()1xf x x x-'=-=， …………………………………2分 令()0f x '>时，解得01x <<，所以()f x 在（0，1）上单调递增； ……4分 令()0f x '<时，解得1x >，所以()f x 在（1，+∞）上单调递减． ………6分 （II ）因为函数()y f x =的图象在点（2，(2)f ）处的切线的倾斜角为45o ， 所以(2)1f '=．所以2a =-，2()2f x x-'=+． ………………………………………………8分 322()[2]2m g x x x x =++- 32(2)22mx x x =++-，2()3(4)2g x x m x '=++-， ……………………………………………10分 因为任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值， 所以只需(2)0,(3)0,g g '<⎧⎨'>⎩……………………………………………………12分解得3793m -<<-． ………………………………………………………14分命题：天门市教研室 刘兵华 仙桃市教研室 曹时武黄石市教研室 孙建伟 黄石二中 叶济宇 黄石四中 彭 强审校：荆门市教研室 方延伟 荆门市龙泉中学 杨后宝 袁 海。
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学试卷（理）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数11z i=+的共轭复数是（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2、已知实数,x y 满足1212y y x x ≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值为（ ）A．2 C ．1 D ．53、模几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的侧视图可以 是（ ）4、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．6 B ．-6 C ．0 D ．185、已知()2(,)f x x bx c b c R =++∈，命题甲：函数()()2log g x f x =的值域为R ；命题乙：0x R∃∈使0()0f x <成立，则甲是乙的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要6、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点P 作与实轴平行的直线，交两渐近线于,M N 两点，若23PM PN b ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．3 D ．37、从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（ ）A ．483B ．482C ．481D ．4808、已知函数()23420151(0)2342015x x x x f x x x =+-+-++>，则()f x 在定义域上的单调性是（ ） A ．在()0,+∞单调递增 B ．在()0,+∞单调递减C ．在(0,1)单调递增，()1,+∞单调递减D ．在(0,1)单调递减，()1,+∞单调递增 9、设函数()4sin(31)f x x x =+-，则下列区间中()f x 不存在零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]2,1-- C ．[]3,4 D ．[]3,2-- 10、非空数集123{,,,,}n A a a a a =(,0)n n N a *∈>中，所有元素的算术平均数即为()E A ，即()123na a a a E A n++++=，若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆;②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“包均值子集”，据此，集合{}1,2,3,4,5,6,7的子集中是“包均值子集”的概率是（ ） A ．15128 B ．19128 C ．1164D ．63128二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应的题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
【名师解析】湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题 Word版含解析
湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（文科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 【知识点】补集及其运算；并集及其运算．【答案解析】D 解析 ：解：由题意全集{}1,2,3,4,5,6{1,4}{2,3}U M N ＝，＝，＝，观察知，集合(){56}U C M N = ，,又()()()U UUC M N C M C N ?∴()(){56}U UC MC N =，．故选D ． 【思路点拨】利用直接法求解．观察发现，集合{56}，恰是M N È的补集，再由()()()U UUC M N C M C N ?选出答案．2. i 为虚数单位，512iz i=-, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+iC. -2-iD. -2+i 2i =-+，故z 的共轭复数为2i --，故选C.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由()2121202n np n +-==>，且n ∈N *，得n=5．(第3题图)【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4．已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则 ( )A. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,cos 1p x R x ⌝∀∈>D. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈> 【知识点】命题的否定.【答案解析】D 解析 ：解：根据全称命题的否定是特称命题可知：,cos 1x R x "危的否定为00,cos 1x R x $?,故选D.【思路点拨】直接把语句进行否定即可.5．若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 2C. 8D. －1 【知识点】简单线性规划．【答案解析】C 解析 ：解：画出x ，y 满足的可行域如下图：可得直线21y x =-与直线x y m +=的交点使目标函数z x y =-取得最小值，故21y x x y m ì=-ïí+=ïî，解得1,3m x +=代入x y -=-2=-⇒8m =【思路点拨】由目标函数z x y =-的最小值为-2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m 的方程组，消参后即可得到m 的取值．【典型总结】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 6．直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABOS=创=,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k = ，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．7. 若函数f (x )的零点与()422x g x x ＝＋－的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)【知识点】判断函数零点所在的区间;求函数零点的方法. 【答案解析】A 解析 ：解：∵()422xg x x ＝＋－在R 上连续，且1112<0,422g g 骣骣琪琪琪琪桫桫－=2+1-2>0．设()422xg x x ＝＋－的零点为x 0x <014x <-014-又()41f x x ＝－零点为x =()2(1)f x x ＝－零点为1x =； ()e 1x f x ＝－零点为=0x ；()ln(0.5)f x x ＝－零点为 1.5x =，故选A ．【思路点拨】先判断()g x 的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与()422xg x x ＝＋－的零点之差的绝对值不超过0.25．8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(1D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )A. 123S S S ==B. 23S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 12S S =且 13S S ≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】B 解析：解：设()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(1D ，则各个9．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为 ( )A.0y ±= B. 0x = C.20x y ±= D.20x y ±===0?选B.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.10．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1f x <'，则不等式 ()1f x x <+的解集为 ( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．【答案解析】B 解析 ：解：令()()1g x f x x =--，∵()1f x <'()x R ∈， ∴()()10g x f x ''=-<，∴()()1g x f x x =--为减函数， 又(1)2f =，∴()1(1)110g f =--=，∴不等式()1f x x <+的解集⇔()()()101g x f x x g =--<=的解集， 即()()1g x g <，又()()1g x f x x =--为减函数， ∴1x >，即()1,x ∈+∞．故选B ．【思路点拨】构造函数()()1g x f x x =--，求导，从而可得()g x 的单调性，结合(1)2f =，可求得()()1g x g <，然后求出不等式的解集即可．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .[)2,+ 1x ++对应点的距离之和，而数轴上满足125x -++=的点的坐标为-3和2，故不等式521≥++-x x 的解集为(][),32,-?+ ，故答案为(][),32,-?+ ．-12x -++=12. 则该几何体的体积为 【知识点】三视图.【答案解析】15解析 ：解：根据右图的几何体的三视图我们可以画出原几何体的立体图形如下图：上部分是一个放倒的三棱柱，下部分 是一个长方体.俯视图左视图所以该几何体的体积为1322213152⨯⨯+⨯⨯⨯=3cm ，故答案为15. 【思路点拨】根据三视图还原原几何体，再由体积公式计算即可.13．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_________14. 已知1sin cos 5αα-=- ,则 sin 2________α=【知识点】平方关系；二倍角正弦公式.1sin cos 5αα-=-两边平方可得112sin cos 25αα-=，即in 2s α=【思路点拨】把原等式两边平方可得结果.15．设,x y ∈R ，(,1)x a =r ，(1,)y =r b ，(2,4)=-r c ，且⊥r r c a ，rb ∥c ，则⋅（）r r r a-2b c =____【知识点】向量的运算；向量的坐标表示.【答案解析】20-解析 ：解：因为(,1)x a =r ，(1,)y =r b ，(2,4)=-r c ，又因为⊥r r c a ，所以240x -=，即2x =，故(2,1)a =；又因为//b c ，所以()1420y ⨯--=，即2y =-， 故(1,2)=-b ，则()()(1,2)2,122,420（）⋅-=-⋅-=-⎡⎤⎣⎦a -2b c ，故答案为20-.【思路点拨】先利用⊥r r c a ，rb ∥c 解出,x y 的值，再进行坐标运算即可.16．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段21222211y by b ==，∵过点(1,1)M 作斜率为-：22221(0)x yab a b+=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 212()02b-?，∴,a ∴c b =，∴c e a =【思路点拨】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为-C 的离心率．17．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有 1122122()()()()x f x x f x x f x x f x+>+，则称函数()f x 为“H 函数”. 给出下列函数①xy e x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】①③解析 ：解：∵对任意两个不相等的实数12,x x ，都有 1122122()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x 轾-->臌恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．①函数x y e x =+在定义域上为增函数，满足条件． ②函数2y x =在定义域上不单调．不满足条件．③3sin y x x =-，y ′=3-cosx ＞0，函数单调递增，满足条件．④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩．当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为：②③．【思路点拨】先判断出满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18.（本小题满分12分）在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知2cos(A )cosCa b C c ++= (Ⅰ) 求角C 的大小;(Ⅱ) 若c=2，求使ΔABC 面积最大时，a, b 的值. 【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式. 【答案解析】（1）23C p =（2 解析 ：解：（1）c o s (A C )c o s (B )c o s Bπ+=-=-,由题意及正弦定理 2s i n s i n c o s s i n c o s C A B BC +-∴=即 2s i n c o s C (s i n B c o s C c o s B s i n C )s i n (B C A =-+=-+=- (0,)A π∈ s i n 0A ∴> 从而 1c o s 2C =-又(0,)C π∈ 23C π∴=…………………6分 （2）由余弦定理 2222c o s ca b a bC =+- 22142()2a b a b ∴=+-⋅-即 224a b a b =++,22423a b a b a b a b a b∴=++≥+=4433a b a b ∴≥≤， (当且仅当a b =时成立) 1s i n C 2A B CS a b b = a b ∴=当时ΔABC ，此时 a b =故当=a b =ΔABC. 【思路点拨】（1）利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据余弦定理可判断出当a b =，ΔABC 面积最大，再求出最大值即可.19．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.【知识点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和． 【答案解析】(Ⅰ) 2.n n a = (Ⅱ) 6解析 ：解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又数列{}n a 单调递增，∴ 2q =，12a =，∴数列{}n a 的通项公式为2.nn a =…………………6分(Ⅱ) 122log 22n n n n b n ==-⋅，∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅，2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅1262n n S n +∴+⋅>即12262n +->，即162642n +>=16n ∴+> 16n ∴+> 从而5n > 故正整数n 的最小值为6.∴使1262n n S n +∴+⋅>成立的正整数n 的最小值为6. …………………12分【思路点拨】（I ）由题意，得23428a a a ++=，由此能求出数列{a n }的通项公式． （Ⅱ）结合已知可得数列{b n }的前项和S n =2n +1-2-n •2n +1，使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．20．（本小题满分13分）如图，ABC ∆中，90,1,B AB BC D E ∠===、两点分别是线段AB AC 、 的中点，现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --。
数学_2012-2013学年湖北省部分重点中学高三第一次联考数学试卷(文科)(含答案)
2012-2013学年湖北省部分重点中学高三第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分．共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑1. 已知全集U ={0, 1, 2, 3}，A ={1, 2}，B ={3, 4}，则(C U A)∩B =( )A {0}B {1}C {2}D {3}2. 命题“存在实数x ，使x <l”的否定是（ ）A 对任意实数x ，都有x <1B 对任意实数x ，都有x ≥1C 不存在实数X ，使x ≥lD 存在实数x ，使x ≥l3. 函数y =11n(x+1)+√9−x 2的定义域为（ ）A [−3, 3]B (−1, 3)C (0, 3)D (−1, 0)∪(0, 3]4. 已知a =(12)−1.1，b =20.6，c =21og 52，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A c <b <a B c <a <b C b <a <c D b <c <a5. 已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，命题p:l // α，l ⊥β，则α⊥β；命题q:α⊥β，l ⊥β则l // α；命题r:α⊥β，l // α，则l ⊥β，则下列命题中，真命题是（ ）A p ∧qB q ∨rC p ∨qD ¬p6. 等腰△ABC 中，底边BC =4，则AB →⋅BC →=( )A 6B −6C 8D −87. 设函数f(x)是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，则f(1.5)=( )A −12B 12C 32D 528. 某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以30(√3−1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A 点处发现北偏东30∘方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B 点，发现该小岛在北偏东45∘方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（ ）海里．A 6B 8C 10D 129. 等比数列{a n }为递增数列的一个充要条件是（ ）A 前三项递增B 所有奇数项递增C 前n 项和S n 为递增数列D 首项为正数，且公比大于1 10. 用若干个棱长为l 的单位正方体堆放在一起，拼成一个几何体，若这个几何体的正视图和左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的体积的最大值与最小值的差为（ ）A 4B 5C 6D 7二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分11. 已知对任意x ∈R ，都有x 2−ax +2a >0恒成立；则a 的取值范围为________．12. 向量a →=(m,−2)，b →=(m +1,1)，若a →⊥b →，则|a →+b →|=________．13. 函数y ＝x +lnx 在点(1, 1)处的切线方程为________．14. 函数f(x)=x 3+ax 2+x +1存在极值点，则a 的取值范围是________．15. 已知，f(x)=log 2x ，a >0，b >0，且f(a)+f(b)=1，则f(a +b)的最小值为________．16. 数列{a n }的通项公式a n =n 2sinnπ2，其前n 项和为S n ，则S 100=________． 17. 已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1，其导函数记为f′(x)，则f(2012)+f′(2012)+f(−2012)−f′(−2012)=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共65分18. 值知函数f(x)=x 2−2ax +1，若使得f(x)没有零点的a 的取值范围为集合A ，使得f(x)在区间(m, m +3)上不是单调函数的a 的取值范围为集合B（1）求A 、B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求m 的取值范围．19. 已知ω>0,a →=(cosωx −sinωx,1)，b →=(cosωx,−12)，f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f(x)的值域；（2）若函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(x)在[0, π]上的单调区间．20. 数列{a n }的前n 项和为S n =2n +q ，b n =lga n ，已知{b n }为等差数列．（1）求q ；（2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 21.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ABC =90∘,AC =BC =12AA 1，D 为A 1A 上一点，且三棱锥D −ABC 的体积为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积的16． （1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）在直线C 1B 上是否存在一点E ，使A 1E 平行于平面BCD ，若存在，求C 1E 与EB 的比值；若不存在，试说明理由．22. 已知函数f(x)=e x −ax −2．（1）求f(x)的单调区间；（2）若a =1，m 为整数，且x >0时，不等式(m +1−x)f(x)+m −2−2x <0恒成立，求m 的最大值．（可能用到的参数考数据：e =2.718，e 2=7.389，e 3=20.086）2012-2013学年湖北省部分重点中学高三第一次联考数学试卷（文科）答案1. D2. B3. D4. A5. C6. D7. B8. C9. A10. C11. (0, 8)12. √1013. 2x −y −1＝014. (−∞, −√3)∪(√3, +∞)15. 32 16. −500017. 218. 解：（1）f(x)没有零点，则△=4a 2−4<0，∴ −1<a <1即A ={a|−1<a <1}，f(x)在区间(m, m +3)上不单调，则m <a <m +3，即B ={a|m <a <m +3}；（2）因为x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A ⊊B ，∴ {m ≤−1m +3≥1，∴ −2≤m ≤−1； 19. 解：（1）由题意可得，f(x)=a →⋅b →=cos 2ωx −sinωxcosωx −12 =12cos2ωx −12sin2ωx =√22cos(2ωx +π4) ∴ f(x)的值域为[−√22,√22] （2）由题意可得，T =2π2ω=π∴ ω=1∴ f(x)=√22cos(2x +π4)∵ 0≤x≤π∴ π4≤2x+π4≤π+2π当π4≤2x+π4≤π即0≤x≤3π8时，f(x)单调递减当π≤2x+π4≤2π即3π8≤x≤7π8时，f(x)单调递增当2π≤2x+π4≤2π+π4即7π8≤x≤π时，f(x)单调递减∴ f(x)的单调递增区间[3π8,7π8]，递减区间为[0, 3π8]，[7π8，π]20. 解：（1）∵ 数列{a n}的前n项和为S n=2n+q，b n=lga n，{b n}为等差数列，∴ n=1时，a1=S1=2+q，n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，∴ n=1时，b1=lga1=lg(2+q)，n≥2时，b n=lga n=(n−1)lg2，要使{b n}为等差数列，则b1=lga1=lg(2+q)=0，∴ q=1．（2）∵ a n=2n−1，∴ b n=lga n=(n−1)lg2，∴ T n=1×0+2×lg2+⋯+2n−1×(n−1)lg2，①∴ 2T n=22⋅lg2+23⋅2lg2+⋯+2n⋅(n−1)lg2，②①-②，得−T n=2lg2+22lg2+23lg2+...+2n−1lg2−2n⋅(n−1)lg2=lg2×[2(1−2n−1)1−2−2n(n−1)]=−lg2(n⋅2n−2n−1+2)，∴ T n=(n⋅2n−2n+1+2)⋅lg2．21. （1）证明：∵ 三棱锥D−ABC的体积为三棱柱ABC−A1B1C1的体积的16，∴ AD=12AA1，即D为AA1的中点∴ AC=AD=A1D=A1C1∴ ∠CDA=∠C1DA1=45∘∴ C1D⊥CD∵ BC⊥平面A1ACC1，∴ C1D⊥BC∵ CD∩BC=C∴ C1D⊥平面BCD∵ C1D⊂平面BDC1，∴ 平面BDC1⊥平面BDC；（2）解：存在C1B的中点E，使A1E平行于平面BCD，证明如下：取B1B的中点F，连接A1F，EF，A1E则A 1F // BD∵ EF // B 1C 1 // BC ，∴ 平面A 1EF // 平面BDC ，∵ A 1E ⊂平面A 1EF∴ A 1E // 平面BCD此时，C 1E 与EB 的比值为1．22. 解：（1）函数f(x)=e x −ax −2，f′(x)=e x −a ，若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，若a >0，则x ∈(−∞, lna)时，f′(x)>0；当x ∈(lna, +∞)上单调递减，在(−∞, lna)上单调递增，（2）a =1，m 为整数，且x >0时，不等式(m +1−x)f(x)+m −2−2x <0恒成立， 可得(m +1−x)(e x −1)+m −2−2x <0，分离变量得，m <x −1+x+3e x 令g(x)=x −1+x+3e x ，x ∈(0, +∞)， g′(x)=e x −x−2e x ，令g(x)=x −1+x+3e x ，x ∈(0, +∞)，g′(x)=e x −x−2e x ，令ℎ(x)=e x −x −2，x ∈(0, +∞)，由（1）可知ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)=e −3<0，ℎ(32)=e 2−72>0，∴ 必存在x 0∈(1, 32)，使ℎ(x 0)=0， 当x ∈(0, x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(x 0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)为单调递减，∴ g(x)min =g(x 0)=x 0−1+x 0+3e x 0，∵ x 0是方程e x −x −2=0的根，∴ e x =x 0+2，∴ g(x)min =x 0−1+x 0+3e x 0=x 0−1+x 0+3x 0+2=x 02+4x 0+3(x 0+2)2，令m(x 0)=x 02+2x 0+1x 0+2，x 0∈(1, 32)，m′(x 0)=x 02+4x 0+3(x 0+2)2>0 ∴ m(x 0)在(1, 32)上单调递减，∴ m(x 0)∈(43, 2514)，即g(x)max ∈(43, 2514)，∴ m的最大值为1．。