初中数学专题训练--圆--圆与圆的位置关系
4、圆与圆的位置关系
匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。
（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。
（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。
（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。
（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。
2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。
二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。
初中数学知识点题库224如何确定一个圆的圆心
1．已知相切两圆的半径分别为5cm和4cm，这两个圆的圆心距是答案：1cm或9cm解析：这两圆相切，∴两圆位置关系是内切或外切；当两圆内切时d=1cm；当两圆外切时d=9cm．则这两个圆的圆心距是1cm或9cm．题干评注：如何判定圆与圆的位置关系问题评注：两个圆有唯一的公共点，并且除了公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外切，这个公共点叫作切点。
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切，这个公共点叫做切点2．若⊙O1和⊙O2外切，O1O2=10cm，⊙O1半径为3cm，则⊙O2半径为cm．答案：7解析：因两圆外切，可知两圆的外径之和等于圆心距，即R+r=O1O2所以R=0102-r=10-3=7（cm）．题干评注：如何判定圆与圆的位置关系问题评注：两圆的外径之和等于圆心距。
3．已知，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为9，且⊙O1与⊙O2相切，则这两圆的圆心距为答案：4或14解析：当外切时，圆心距=9+5=14；当内切时，圆心距=9-5=4．故填4或14．题干评注：如何判定圆与圆的位置关系问题评注：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切，这个公共点叫做切点。
4．已知R和r是两圆半径，且两圆的圆心距为6，已知|R-7|与|r-2|互为相反数，那么这两圆的位置关系是答案：相交解析：∵|R-7|=0，|r-2|=0，∴R=7，r=2，又∵两圆的圆心距为6，且7-2＜6＜7+2，∴两圆的位置关系为相交．题干评注：如何判定圆与圆的位置关系问题评注：两个圆有两个不同的公共点，称这两个圆相交。
5．如图，奥运五环旗上的五个环可以近似地看成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位置关系有答案：相交或者外离解析：直接根据圆与圆的位置关系特点从图中可看出，所反应的位置关系是相交或者外离．题干评注：如何判定圆与圆的位置关系问题评注：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部称这两个圆外离。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
初中数学专题训练--圆--过三点的圆
例 如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心．作法：(1)在弧上任取三点A 、B 、C ； (2)连接AC 、BC ；(3)分别作AC 、BC 的中垂线MN 、PQ ，相交于点0，点0即为所求圆心．说明：此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实. 例 如图，在△ABC 中，BD 、CE 为△ABC 的中线，延长BD 到F ，使延长CE 到G ，EG=CE.求证：过A 、G 、F 三点不能作圆． 分析：只要证明点G 、A 、F 三点共线即可．证明：连接AG 、AF 、BG 、CF.∵AD=DC 、BD=DF ， ∴四边形ABCF 是平行四边形．故AF ∥BC. 同理AGBC 是平行四边形，故AG ∥BC.∴点G 、A 、F 三点在同一直线上． ∴过点G 、A 、F 不可能作圆．说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力.例 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF ． 求证：EF ∥AB分析：对反证法思想的理解和基本步骤的掌握是解决本题的关键. 证明：(用反证法证明) 假设EF 与AB 不平行，作EG ∥AB 交BC 于G(如图所示)， 则AEDE GB CG ∵E 为AD 的中点，∴CG ＝BG 即G 是BC 的中点 ∵一条线段只有一个中点，∴F 不是BC 的中点，这与已知条件矛盾 因此假设EF 与AB 不平行是错误的，∴EF ∥AB说明：此题目的是理解和掌握反证法的基本步骤，是初中应用反证法证明的典例之一. 例 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论. 已知：在△ABC 中，AB=AC.求证：∠A 、∠B 为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；(1)由∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.(2)由90°＜∠B ＜180°，90°＜∠C ＜180°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立． 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有“是直角(等于90°)”和“是钝角（大于90°)”两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.典型例题五A B CD E FG A B C D EFG例 作圆使其半径为R ，且经过线段AB 的两端点A 、B .作法（1）作线段AB 的垂直平分线MN ；（2）以点A 为圆心R 为半径画弧，交MN 于O ； （3）以O 为圆心，R 为半径作⊙O . ⊙O 即为所求的圆，如图.说明：要作出一个确定的圆，就必须要明确它的圆心和半径，二都缺一不可.本题中要求的圆的半径已知，故关键要确定它的圆心.通过找圆心的过程可以看出：①当AB R 21>时，符合条件的圆心有两个，要求作的圆有两个；②当AB R 21=时，符合条件的圆心只有一个，要求作的圆有一个；③当AB R 21<时，符合条件的圆心找不到，要求作的圆不存在.典型例题六例 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 、CE 相交于点O ，证明BD 和CE 不可能互相平分.分析：结论带否定词“不”的问题适合于用反证法证明，我们不妨一试. 证明 假定BD 和CE 互相平分，则四边形EBCD 是平行四边形. CD BE //∴，这与已知BE 和CD 相交于A 相矛盾. ∴BD 和CE 不可能互相平分.典型例题七例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且OB OA =，OD OC =.证明：四边形ABCD 一定有外接圆.分析：如果能证明四边形的三条边的垂直平分线相交于一点就是了，由题设可以证明AB 、CD 有公共的垂直平分线，这样问题就不难解决了.证明,COD AOB ∠=∠∴等腰AOB ∆和等腰COD ∆的顶角相等. ∴它们的底角也相等.∴ABO CDO ∠=∠.CD AB //，过O 作AB OM ⊥，则OM 是AB 的垂直平分线，也是CD 的垂直平分线.设DA 的垂直平分线交OM 于P ，则P 点到A 、B 、C 、D 的距离相等，即四边形ABCD 有外接圆，其圆心是P 点.典型例题八例 已知：如图，BC DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，AB DG ⊥于G ，并且E 、F 、G 三点共线，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆.分析：A 、B 、C 、D 四点共圆的几何性质是︒=∠+∠180BDC A ，这一结论的反面是︒≠∠+∠180BDC A ，因此，用反证法，从︒≠∠+∠180BDC A 推出一个矛盾，便肯定了A 、B 、D 、C 四点共圆.证明 假设A 、B 、D 、C 四点不共圆，则： ︒≠∠+∠180BDC A ，,,AC DF BC DE ⊥⊥,180︒=∠+∠∴DFC DEC故D 、E 、C 、F 四点共圆. 同理，D 、E 、G 、B 四点共圆. DBG DEF DCF ∠=∠=∠∴， 从而CDF BDG ∠=∠， BDC GDF ∠=∠∴.故︒≠∠+∠=∠+∠180A BDC A GDF ， AB DG ⊥，AC DF ⊥， ︒=∠+∠∴180DFA AGD故四边形AGDF 的内角和︒≠∠+∠+∠+∠=360DFA AGD A GDF ，矛盾. ∴A 、B 、D 、C 四点共圆.典型例题九例 作一个圆，使它经过已知点A 和B ，并且圆心在已知直线l 上.作法 （1）当直线l 和AB 斜交或重合时，只要作线段AB 的垂直平分线与l 交于O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆即为所求的圆.这样的圆只有一个（如图1）.（2）当直线l 与AB 垂直但不经过线段AB 的中点时，这样的圆不能作出. （3）当直线l 经过线段AB 的垂直平分线，这样的圆可作无数个（如图2）.图1 图2说明：本题考查圆的确定，解题关键是确定圆心的位置和半径的大小，易错点是忽视线段AB 与l 的不同位置关系，只画出（1）的情况，造成丢解的错误.选择题1．下列命题中正确的为（ ）（A ）三点确定一个圆 （B ）圆有切只有一个内接三角形（C ）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点 （D ）面积相等的三角形的外接圆是等圆 2．钝角三角形的外心在（ ）（A ）三角形的内部 （B ）三角形的外部 （C ）三角形的钝角所对的边上 （D ）以上都有可能3．己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60°；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等. 下面判断中正确的是（ ）（A ）命题(1)(2)都正确 （B ）命题(1)正确，(2)不正确 （C ）命题(1)不正确，(2)正确 （D ）命题(1)(2)都不正确 4．下列条件，可以画出圆的是（） A ．已知圆心 B ．已知半径 C ．已知三个点 D ．已知直径 5．三角形的外心是（）A ．三条中线的交点B ．三条中垂线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点6．若三角形的外心在三角形内，则三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状无法确定 7．在下列三角形中，外心在它一条边上的三角形是（） A ．边长分别为cm 2、cm 2、cm 3 B ．三角形的边长都等于cm 5C ．三角形的边长分别为cm 5、2cm 1、3cm 1D ．三角形的边长为cm 4、cm 6、cm 8 8．下列说法正确的是（ ）． A ．三点决定一个圆B ．三角形的中心就是三角形的外心C ．三角形的外心就是三条中线的交点D ．∆Rt 斜边的中点就是这个三角形的外心． 9．下列说法中，正确的是（ ）． A ．三点决定一个圆 B ．过一点不能作圆 C ．过两点不能作圆D ．一个圆的圆心决定这个圆的位置，这个圆的半径决定这个圆的大小10．下列命题：(1)经过三点一定可以作圆；(2)任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 答案：1、C ；2、B ；3、B. 4. D 5. B 6. A 7. C. 8．D ；9．D ；10．C ；填空题1. 如图，ABC ∆内接于⊙O ，OAC B ∠=∠，cm 8=OA ，则cm _____=AC2. 过一点A 可作_______个圆，过两点A 、B 可作________个圆，且圆心在线段AB 的_______上，过三点A 、B 、C ，当这三点________时能且只能作一个圆，且圆心在______上。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-圆
初中数学竞赛辅导讲义---圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。
初中数学竞赛第十七讲圆和圆的位置关系(含解答)
第十七讲 圆和圆的位置关系【趣题引路】如图,在篮球比赛中,进攻一方都想尽可能接近对方球篮,•但又不能轻易进入限制区,因而进攻一方往往有一两名队员站在限制区外一点,伺机接球后转身投篮,他们站在何处比较有利?解析 现以篮圈中心O 为圆心,作与限制区两边相切的圆,切点为E 、F,这时E 、F 两处并非最佳点,因为横转一步后到A 、B 或C 、D 处,反而离篮圈远了;而B 、D•两处只能向一边转身到E 和F 点投篮,因而在A 、C 两处,即可转身到E 或F 投篮,•又可向另一侧转身插入限制区后投篮,因此,高大队员站在A 、C 两处最有利.【知识延伸】圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形.•判定两圆的位置关系有如下方法:1.由两圆交点的个数确定;2.由计算两圆的半径与圆心距的大小量化确定;3.由两圆的公切线的条数确定.为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些辅助线.在解两圆相交问题时,•常用的辅助线有:1.连结公共弦━━目的在于利用圆周角的性质和圆内接四边形的性质来沟通角与角的联系;2.作连结线━━目的在于利用“连心线垂直平分公共弦”及垂径定理.3.连结圆心与两圆交点的线段━━目的在于得到等弦、等弧及相等的圆心角,•特别是一个圆的圆心在另一个圆上时,常作这种辅助线.涉及两圆相切问题时,添加的辅助线有:1.过切点作两圆的公切线,利用弦切角性质或切线的有关性质;2.作连心线,利用连心线过切点的性质,为解题提供条件.在解题过程中,我们经常遇到与外切两圆有关的两个直角三角形.(1) 如图1,⊙O 1与⊙O 2相外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,•过P 作内公切线PC 交AB 于C,则△CO 1O 2是直角三角形.解析 ∵CA=CP,C O 1平分∠ACP.同理C O 2平分∠BCP,∴∠O 1CO 2=90°,则△C O 1O 2是直角三角形.(2) 如图2,⊙O 1与⊙O 2相外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,•则△PAB 为直角三角形.(1) (2) (3)解析 过P 作内公切线PC 交AB 于点C,则CA=CP=CB,即CP=12AB, 所以△PAB 是直角三角形.(3) 若⊙O 1和⊙O 2外离,如图3,O 1O 2与⊙O 1,⊙O 2分别交于C 、D 两点,•延长AC 、BD 交于点P,AP 与BP 是否仍垂直?解析 连结A O 1,BO 2,由O 1A ⊥AB,O 2B ⊥AB 可知O 1A ∥O 2B,因此∠O 1+∠O 2=180°.而△O 1AC,△O 2B D 都是等腰三角形.∴∠A CO 1+∠BDO 2=11802O ︒-∠+21802O ︒-∠=90°. ∴∠DCP+∠CDP=90°,则∠CPD=90°,即AP ⊥BP.若⊙O 1与⊙O 2相交,如图4,O 1O 2与⊙O 1,⊙O 2分别交于点C 、D.AC 、BD 交于点P.AP 与BP 是否仍垂直?显然与上面相同的办法可证得AP ⊥BP.(4) (5)我们常把三个切点A 、B 、P 构成的三角形称作“切点三角形”.如图5,•切点三角形还具有如下性质:1.AB 边上的中线等于AB 的半;2.BP 延长线交⊙O 1于点D,则AD 必为⊙O 1的直径;3.由AP ⊥BD,AD ⊥AB.可得到若干线段的等积式.遇到涉及两圆外切一类的几何命题,运用上述这些性质就会迎刃而解.例 已知,如图,⊙O 1和⊙O 2外切于点O,以直线O 1O 2为x 轴,点O•为坐标原点建立直角坐标系,直线AB 切⊙O 1于点B,切⊙O 2于点A,交y 轴于点C(0,2),交x 轴于M,•BO 的延长线交⊙O 2于点D,且OB:OD=1:3.(1)求⊙O 2的半径长;(2)求直线AB 的解析式;(3)在直线AB 上是否存在点P,使△MO 2P 与△MBO 相似?若存在,求出点P 坐标;若不存在,说明理由.解析 (1)连结BO 1,DO 2,则∠D=∠O 1BD.∴BO 1∥DO 2,∴O 1O:O 2O=BO:OD=1:3.∵CB=CO=CA,△ABO 为直角三角形,C(0,2),∴AB=4.作O 1N ⊥AO 2于点N,设B O 1=r,则A O 2=3r,对△O 1NO 2有16r 2=4r 2+16,∴12r 2=16,r=23则∴⊙O 2的半径为(2)在Rt △O 1NO 2中,N O 2= O 1O 2,∴∠N O 1O 2=30°.∵O 1N ∥AB,∴∠CMO=30°.在Rt △COM 中,tan30°=CO OM ,∴OM=tan 30CO =︒∴点M 坐标为设直线AB 的解析式为y=kx+b,则20b b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为y= 3x+2; (3)∵∠BO 1M =60°,O 1B=O 1O,∴∠BOM=30°.∴△MOB 是等腰三角形,•且顶角∠MBO=120°,若存在满足条件的点P,则∠M O 2P=30°或∠M O 2P=120°.①当∠MO 2P=30°时,O 2P 是∠AO 2O 的平分线.∵OC 是∠AO 2O 的平分线,∴点P 与点C 重合,∴点P 的坐标为(0,2).②当∠M O 2P=120°时,作PH 垂直x 轴于点H,则∠PO 2H=60°.∵点P 在直线y= x+2上,∴设点P 坐标为(a, 3a+2), 则PH=3O 2H在Rt △PO 2H 中,tan ∠PO 2H=2PH O H ,2+解得∴点P 的坐标为因此在直线AB 上存在点P,使△MO 2P 与△MOB 相似,点P 坐标为(0,2)或点评(1)作两条过切点的半径,再平移外公切线,使之构成以圆心距为斜边,两条半径之差及外公切线的长分别为直角边的直角三角形,•这是两圆外切时最常见的辅助线之一;第(2)小题是(1)小题的深化;第(3)小题是一个存在性问题,其解题方法一般是:假设存在━━依假设求解或推证━━下结论.第(3)小题也是一个比较好的分类讨论问题,解答此类问题,要加倍小心,谨防失解.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,⊙O 和⊙O ′相交A 、B 两点,且⊙O ′过⊙O 的圆心,直线OO ′交⊙O 于C 、D 两点,交⊙O ′于点P,AB 与OO ′交于点E.求证:(1)P A 2=PE ·PO;(2)PE ·EO=CE ·ED;(3) 22PA CE PD ED =. 证明 (1)连结AO,∵PO 是⊙O ′的直径,∴∠PAO=90°,∵⊙O 与⊙O ′相交于A 、•B,∴AB ⊥PO 于点E,∴△PAO ∽△PEA.∴ PA PE PO PA=,∴PA 2=PE ·PO; (2)在⊙O ′中,PE ·EO=AE 2,在⊙O 中,AE 2=CE ·ED,∴PE ·EO=CE ·ED.(3)连结AC,AD.∵AD 切⊙O 于点A,∴∠PAC=∠D.∵∠P=∠P,∴△PAC ∽△PDA.∴PA ACPD AD=, ∴2222PA ACPD AD=∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°.∵AE⊥CD,∴△ACE∽△DCA,∴AC CE CD AC=.∴AC2=CE·CD.同理,得A D2=ED·CD.∴22AC CE CD CE AD ED CD ED ==∴22PA CE PD ED=点评(1)将P A2=PE·PO化为PA PEPO PA=,由“三点定形法”可知,能证△PAO∽△PEA就行了;第(2)小题利用公共弦进行代换,是相交两圆用的方法;第(3)•小题要证两条线段的平方比等于另两条线段的比,•用到的方法是先通过相似三角形得到恰当的四条线段的比,再将此比例式两边分别平方,•然后再将过渡的两条线的平方分别交换成两条线段的积,从而证得结论成立,这种方法是证明类似第(3)•小题的比例线段的常用方法.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,⊙O2的弦BE与⊙O1相切于点C,PB•交⊙O1于D,PC 的延长线交⊙O2于A,连结AB、CD、PE.求证:(1)①∠BPA=∠EPA,②AB BC AC BD=;(2)若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心,⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R,•其中R•≥2r,如图.求证:PC·AC为定值.证明 (1)①过点P作两圆的公切线MN,则∠MPB=∠PCD=∠A,∴CD∥AB.∴∠ABC=∠ECD.∵BC为⊙O1的切线,∴∠BCD=∠BPA,∵∠ABC=∠EPA,∴∠BPA=∠EPA.②∵∠ABC=∠BPA,∠A=∠A,∴△ABC ∽△APB,∴AB BC PA PB =, ∴ABPA BCPB =,∵CD ∥AB,∴PA AC PB BD =, ∴AB BC AC BD = 即AB BC AC BD=. (2)连结O 1C,PO 2,则PO 2过点O 1,且O 1C=r,O 1O 2=R-r.∵BE 与⊙O 1相切,∴O 1C•⊥BE,在Rt △CO 1O 2中CO 2, ∴BC=BO 2+CO 2=,EC=E O 2-CO 2.∵PC ·AC=EC ·)=2Rt),∴PC ·AC 为定值.点评圆与圆的相交,相切等问题是研究圆与圆位置关系的重点,•解题时要熟练地掌握两圆的位置关系的判定,能灵活地用于解题中,•特别是对带有规律性的辅助线的添加更应熟悉.中考真题欣赏例1 (2003年天津市中考题)已知,如图,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,BC•是⊙O 1和⊙O 2的公切线,B 、C 为切点.求证:(1)AB ⊥AC;(2)若r 1,r 2分别为⊙O 1,⊙O 2的半径,且r 1=2r 2,求AB AC的值. 证明:过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O. ∵OA 、OB 是⊙O 1的切线,∴OA=OB.同理OA=OC,∴OA=OB=OC,于是,△BAC 是直角三角形,∠BAC=90°,∴AB ⊥AC.解析:(2)连结OO 1,OO 2,与AB 、AC 分别交于点E 、F,∵OA,OB 是⊙O 1的切线,∴O O 1⊥AB,同理OO 2⊥AC.根据(1)的结论AB ⊥AC,可知四边形OEAF 是矩形,有∠EOF=90°.连结O 1O 2,有OA ⊥O 1O 2,在Rt △O 1OO 2中,有Rt △O 1AO ∽Rt △OAO 2.∴12O A OA O A OA=,于是O A 2=O 1A·O 2A=r 1·r 2=2r 22. ∴又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角,∴∠ACB=∠A O 2O.在Rt △OAO 2中,tan ∠A O 2O=2OA O A∴AB AC=tan ∠ACB=tan ∠AO 2点评•作两圆的公切线和与外切两圆有关的两个直角三角形是解两圆相切问题的关键. 例2 (2002年山西省中考题)如图,已知,A 是⊙O 1、⊙O 2的一个交点,•点M 是O 1O 2的中点,过点A 的直线BC 垂直于MA,分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C.(1)求证:AB=AC.(2)若O 1A 切⊙O 2于点A,弦AB,AC 的弦心距分别为d 1,d 2,求证:d 1+d 2=O 1O 2.(3)在(2)的条件下,若d 1d 2=1,设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r.求证:R 2+r 2=R 2r 2.证明:(1)分别作O 1D ⊥AB 于点D,O 2E ⊥AC 于点E,则AB=2AD,AC=2AE.∵AM ⊥BC,∴O 1D ∥AM ∥O 2E.∵M 为O 1O 2的中点,∴AD=AE,∴AB=AC; (2)∵O 1A 切⊙O 2于点A,∴O 1A ⊥O 2A .又∵M 为O 1O 2的中点,∴O 1O 2=•2AM.•在梯形O 1O 2E D 中,O 1D+O 2E=2AM,O 1D+O 2E=O 1O 2.即d 1+d 2=O 1O 2. (3)∵O 1A ⊥O 2A,∴∠AO 1D=∠O 2AE.∴Rt △O 1AD ∽Rt △AO 2E.∴1122O D O A AD O E AE O A==, 即12d AD R d AE r==∴AD ·AE=d 1·d 2=1. 由(1),(2)知AD=AE=1,O 1O 2=d 1+d 2.∴d 1=R r ,d 2=r R, ∴R 2+r 2=O 1O 22=(d 1+d 2)2=(R r +r R )=22222()R r R r , ∴R 2+r 2=R 2r 2.点评构建直角梯形O 1DEO 2,可证AD=AE,从而可得AB=AC.对于(2)因为△AO 1O 2为Rt △,AM 为△AO 1O 2斜边上的中线,所以O 1O 2=2A M,从而不难证明O 1D+O 2E =2AM.对于(3)•可构建以R 、r 为边的相似三角形,由(1)(2)的结论,可证得R 2+r 2=R 2r 2.竞赛样题展示例1 (2000年全国初中联赛试题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,⊙O 2•的一弦AB 与⊙O 1相切于点Q,PQ 连线与⊙O 2相交于R,连结BR.求证:(1)AR=BR;(2)B R 2=PR ·QR.证明 (1)因⊙O 1,⊙O 2内切于点P,故O 2、O 1、P 三点共线,分别连结O 2P,O 2R,•O 1Q. 因AB是⊙O 1的切线,∴O 1Q ⊥AB.在等腰△O 1PQ 和等腰△O 2PR 中,∵∠O 1PQ=•∠O 2PR,∴∠PO 1Q=∠PO 2R,即有O 1Q ∥O 2R ,但O 1Q ⊥AB,∴O 2R ⊥AB,于是AR=BR.(2)连结PB,∵AR=BR,∴∠RBQ=∠RPB. 又∵∠BRQ=∠PRB,∴△BRQ ∽△PRB.∴BR:PR=QR:BR,故B R 2=PR ·QR.点评对于(1),连O 2R,利用同圆半径构成等腰三角形来证明.对于(2),连结BP,•证△BRQ ∽△PRB 即可.例2 (2001年第二届全澳门校际初中数学竞赛)如图,设大圆半径为R,•大圆内三个小圆两两相切,且都与大圆相切,它们的半径分别为2r,r 和r,试求r R之值. 解析 如图,点O 、B 均在图A 和图A ′的公切线上,•所以只需考虑图形的一半即可.设MO=x,MB=y,则MN=x+R.又∵MN=y+2r,于是,由x+R=y+2r,得x=y-R+2r.又AO=•OP-AP=R-r,AB=AK+KB=3r,由勾股定理,得y 2=MB 2=AB 2-A M 2=8r 2,即从而 类似地,x 2=MO 2=AO 2-A M 2=R 2-2Rr.故]2=R 2-2Rr即2r,∴r R =点评由圆的对称性只研究图形一半即可,通过两圆内切,•外切半径圆心距之间的关系,由勾股定理建立起方程,从而使问题获解.全能训练A 卷1.如果两圆相切,它们半径分别为3和5,那么它们的圆心距为________.2.已知⊙O 1与⊙O 2外切,半径分别为1cm,3cm,那么半径为5cm,且与⊙O 1、•⊙O 2都相切的圆可以共作出_________个.3.已知两圆相交,半径分别为5cm 和4cm,公共弦长为6cm,求这两圆的圆心距.4.已知两相交圆的半径分别为2,3,求圆心距d 的取值范围.5.如图,⊙O 1与⊙O 2相互外切且半径之比为2:3,O 1M 切⊙O 2于M,•O 2N •切⊙O 1于N, 笔求21O N O M的值.6.如图,已知⊙O 与⊙O ′相交于A 、B 两点,过点A 作⊙O ′的切线交⊙O 于点C,过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、⊙O ′于点E 、F,EF 与AC 相交于点P.(1)求证: 22PE PF PC PB; (2)当⊙O ′与⊙O 为等圆且PC:CE:EP=3:4:5时,求△ECP 与△FAP 的面积的比值.A卷答案：1.8或2,当两圆外切时,圆心距为8;当两圆内切时,圆心距为2.2.4个.①与⊙O1,⊙O2都外切的圆有两个;②与⊙O1外切,与⊙O2•内切的圆有一个;③与⊙O1内切,与⊙O2外切的圆有一个.3.(1)当O1O2在公共弦AB的同侧时,O1O2(2)当O1、O2在公共弦AB•的异侧,O1O24.1<d<5.5.连结O1O2,O1N,O2M,则O1N⊥O2N,O2M⊥O1M.设⊙O1、⊙O2的半径分别为2x,•3x,则O1O2=5x,∴N O21∴2144O NO M x==.6.(1)连结AB,有∠CEB=∠F,∴EC∥AF.∴PE PFPC PA=,即2222PE PFPC PA=.又∵PA2=PB·PF,∴22PE PF PC PB=;(2)连结AE,由(1)可知△PEC∽△PFA,PC:CE:EP=3:4:5,∴PA:FA:PF=3:4:•5.•设PC=3x,CE=4x,PE=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y,则EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2,∴∠C=90°,∠CAF=90°.∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O′的直径,又⊙O与⊙O′是等圆,∴AE=AF=•4y,∵A C2+CE2=AE2,∴(3x+3y)2=(4y)2-(4x)2.∴25x2+18xy-7y2=0.∴25x=7y,725xy=，∴S△ECP:S△FAP=x2:y2=49:625.B 卷1.如图1,半径为R 和r(R>r)的两圆⊙O 1与⊙O 2相交,公切线与连心线的夹角为30°,那么两圆公切线的长AB 等于( )A. 12(1) (2) (3)2.如图2,⊙O 1和⊙O 2内切于点P,⊙O 2的弦AB 经过⊙O 1的圆心O 1,交⊙O 1•于C 、D 点,其中AC:CD:DB=3:4:2,则⊙O 1和⊙O 2的直径之比为( )A.2:7B.2:5C.1:4D.1:33.如图3,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B.若AB 与两圆的另一条外公切线平行,则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为( )A.1:2B.3:4C.1:3D.2:54.如图,⊙O 与⊙O 1内切于点A,直线OO 1交⊙O 于点B,交⊙O 1于另一点F.•过B 点作⊙O 1的切线,切点为D,交⊙O 于点C,DE ⊥AB,垂足为E.(1)求证:CD=DE;(2)将两圆内切改为外切,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?•请证明你的结论.5.如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,切点为B、C,连结BA并延长交⊙O1于D,过D作CB的平行线交⊙O2于点E、F.(1)求证:CD是⊙O1的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.6.如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF.(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论.(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长.B卷答案：1.C.连O1A,O2B,过O2作O2E⊥O1A,在Rt△O1O2E中,可得R-r）.2.D.过P作⊙O2的直径交⊙O2于Q,∵AC:CD:DB=3:4:2,可设AC=3k,CD=4k,DB=2k,AO1·O2B=O1P·O1Q,AO1=5k,O1B=4k,O1P=2k,∴5k·4k=2k·O1Q,∴O1Q=10k,∴⊙O2•直径PQ=12k,∴CD:PQ=4k.12k=1:3.3.C.连结O1C,O2D,过O1作O2D的垂线,垂足为E,两圆半径分别为r1,r2,由对称性可得∠C O1B=∠CO1A=∠AO1B=120°.故∠O2O1E=30°,于是r1+r2=2(r2-r1)•,•∴r1:r2=1:3.4.(1)连结DF,AD,AC,证Rt△EDA≌Rt△CDA即可.(2)成立,画图,证法同(1).5.(1)过点A作外公切线,连结AC,可证BA⊥AC,连结CD,则CD所对的圆周角为90°,故CD是⊙O1的直径.(2)BE=BF=BC.连结AE,△EBA∽△DBE,B E2=BA·BD.又BC2=BA·BD,∴BE=•CB.•∵∠CBE=∠BEF,∠CBE=∠EFB,∴∠EFB=∠BEF.∴BF=BE.6.(1)两圆外切,作⊙ABD的切线L交DE于H,延长BA交⊙AEC于F,可证∠HAE=∠C.•再证AH也是⊙AEC的切线.(2)延长DA交⊙AEC于G,连结GF,可证△ADB∽△AGF,∴AB:AF=2(等于两圆的半径)∵AB=4,∴AF=2.∵BA·BF=BE·BC,∴BE=4.。
(完整)初中数学专题训练--圆--(1)圆的概念
精品设计圆的概念一、圆中相关概念的结构示意图圆()()⎩⎨⎧⇒⇒等圆大小半径同心圆位置圆心相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦二、知识应用知识点1：有关概念例题1、如图，圆中弦的条数为（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5说明：弦是圆上任意两点间的线段。
例题2、判断题（1）直径是弦（ ） （2）弦是直径（ ） （3）半圆是弧（ ） （4）弧是半圆（ ）（5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等（ ） 说明：通过原命题和逆命题的对比，深刻理解圆中概念的含意。
例题3、下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。
正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 说明：等弧是指弧的度数和长度都相等的弧，等弧只可能出现在同圆或等圆中。
例题4、画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1）经过点A ，且半径等于cm 2的圆的圆心轨迹；（2）边cm 1=BC ，面积为2cm 21的ABC ∆的顶点A 的轨迹.说明：根据给定的条件，探求并确定符合条件的轨迹图形，通常是转化为四个基本轨迹.（圆的轨迹、平行线轨迹、角平分线轨迹、线段中垂线轨迹）。
例题5、已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ACBD 一定是（ ）（A ）等腰梯形 （B ）菱形 （C ）矩形 （D ）正方形说明：问题的关键是①圆的两条直径具备什么性质？②构成特殊四边形的条件。
知识点2：相关计算与证明例题6、如图，在⊙O 中，AB 、CD 为直径，试说明AC 与BD 的位置关系。
说明：同圆的半径相等。
因此当圆中有多条直径或半径出现时，就有相等的线段和等腰三角形出现。
例题7、如图，CD 是⊙O 的直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且OC AB =，求A ∠的度数.B精品设计说明：因为同圆的半径相等，所以当圆中有两条半径出现，就有等腰三角形出现，于是可根据等腰三角形的性质定理求得，所以连结半径是常用的辅助线. 例题8、已知：如图，两同心圆的直径AC 、BD 相交于O 点.求证：AB=CD.说明：此题目不难，但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征。
圆与圆的位置关系复习
检测：
2．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两 相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离 为（ ）
2 3 2
A
3 3 2
B
2 2 3 2
2
2
C
D
3.如图，在边长为3cm的正方形
ABCD中，⊙O1与⊙O2相外切，
且⊙O1分别与DA、DC边相切，
⊙O2分别与BA、BC边相切，则
圆心距O1 O2为
圆与圆的位置关系练习题
学习目标
熟练运用圆与圆的位置 关系解题。
巩固圆与圆的位置关系。
自学指导：
互相交流，回 忆圆与圆的位 置关系有几种？ 怎样判断？
比较点与圆， 直线与圆，圆 与圆的位置关 系。
5分钟后检测。
两个半径相等的⊙O1和 ⊙O2分别与⊙O外切和内切，
并且O1O=7cm， O2O=5cm，则⊙O与⊙O1 的半径分别是___________。
。D O1AFra bibliotekCO2 B
小结：
圆圆 与和 圆圆 的的 位置关位置 系关 系
外离 内含 外切 内切
相交
没
有 公
相
共
点
离
一
个
公
共 点
相 切
两
个
公
共 点
相 交
当堂训练： • P103 16 17
如图，王大伯家房屋后有一块长
12m,宽8m的
D
C
矩形空地，他在以长边BC为直径的
O
半圆内种菜.
A
B
他家养的一只羊平时拴在A处的一
棵树上，拴羊 的绳长为3m.问羊是否能吃到菜？
为什么？
O
D
C
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圆与圆的位置关系
1. 两圆相切时的图形是轴对称，通过两圆圆心的直线（连心线）是它的对称轴；
2. 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.
相交两圆组成的图形也是以两圆的连心线为对称轴的轴对称图形.
在解决两圆相交问题时，常添连心线，公共弦等辅助线，使两圆半径、圆心距、公共弦长的一半，集中于直角三角形中，利用三角形的有关知识加以解决.
考点精析
类型1. 判断两圆的位置关系
例1．若相交两圆的半径分别是17+和17-，则这两个圆的圆心距可取整数值的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 例2. 已知两圆相交，这两圆的半径分别为1和3，则圆心距d 为（ ）
A. 2>d
B. 40<<d
C. 42≤≤d
D. 42<<d
例3. 已知：两圆的半径分别为R 和r （)r R >，两圆的圆心距为d ，当dR r R d 22
2
2
=-+时，试判断两
圆的位置关系. 练习：
1. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和5cm ，且21O O ＝6 cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）
A. 内切
B. 相交
C. 外切
D. 外离 2. ⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3和6，当圆心距在 范围内变化时，两圆无公共点.
3. 两圆半径分别为0232
=+-x x 的两个根，当两圆外切时，圆心距等于 ，当两圆内切时，圆心
距为 .
类型2. 与圆有关的计算
例1. 如图，⊙O 1与半径为4的⊙O 2内切于点A ，⊙O 1经过圆心O 2，作⊙O 2的直径BC 交⊙O 1于点D ，
EF 为过点A 的切线、若O 2D ＝22，则∠BAF 等于 度.
例2. 已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10cm ，其中⊙A 的半径为4 cm ，求⊙B 的半径.
变式题：两圆的半径比为2：3，内切时的圆心距等于8 cm ，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？
例3. 半径分别为3 cm 和4 cm 的两圆相交，若公共弦长为4.8 cm ，求两圆的圆心距.
练习：
1. 如图，两个圆相外切，并且都内切于同一个大圆，已知连接三个圆 的圆心所组成的三角形周长等于36 cm ( ) A. 36 cm B. 24 cm C. 18 cm D. 9 cm
2. 如图⊙A 与⊙B 相交于P 、Q 两点，且AP 是⊙B 的切线，若的长.
类型3. 与两圆相切有关的证明
例1. 三角形三边的长分别为5cm,12cm,13cm ，以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切，求这三
个圆的半径.
例2. 如图，已知⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，⊙O 1的弦AB 交与⊙O 2于点C ，⊙O 1与⊙O 2的半径之比为
5：3，AB=10,求BC.
例3. 已知⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点A ，交⊙O 2于点B ，求证：O 1A ∥O 2B.
例4. 已知，如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，AC 、AD 分别为⊙O 1和⊙O 2的直径. 求证：C 、B 、D 三点共线.
练习:
例1. 如图，，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，BC 分别切，⊙O 1和⊙O 2于B 、C 两点. （1）求证：AB ⊥AC.
（2）过点A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E 经过两圆圆心时，直线DB 与直线EC 交于点F ，请
在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.
【拓展提升】
例1. 已知：⊙O 1与⊙O 2相交于点A ，B ，过点B ，作CD⊥AB，分别交⊙O 1、⊙O 2于点C 、D.
（1） 如图①，求证AC 是⊙O 2的直径；
（2） 若AC=AD ，①如图②，连接BO 2,O 1O 2,求证：四边形O 1CBO 2 ; ②若点O 1在⊙O 2外延长O 1O 2
外，延长O 1O 2交⊙O 2于点M ，在累弧MB 上任取一点E （点E 与点B 不重合）.EB 的延长线交 于点F ，如图③所示.连接AE 、
并证明.
①②③
练习：
1. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B、C点，若⊙O1的半径r=2 cm，
的半径R=3 cm. 求：BC的长.
⊙O
2. 如图，⊙O1与边长分别为18cm、25cm的矩形CDEF三边相切，⊙O1与⊙O2外切，且与EC、CD
.
相切，求⊙O2的半径
类型4. 利用圆与圆的位置关系进行测量计算
例1. 某人用如下方法测一钢管的内经：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm的钢球，测得上面一个钢球顶部高DC＝16cm（钢管的轴截面积如图），则钢管的内直径AD长为多少cm？
A。