概率论第三章第四章习题及答案

第三章 多维随机变量及其分布
9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y记其
中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
(1)求边缘分布律 (2)求条件分布律
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由



f ( x, y)dxdy 1可解得c 1.
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第三章 多维随机变量及其分布
28.设随机变量(X,Y)服从区域
D ( x, y) : y 0, x y 1
2 2


上的均匀分布,定义随机变量U,V如下:
0, X 0, 0, X 3Y , U 1,0 X Y ,V 1, X 3Y . 2, X Y ,
求 (U ,V )的联合概率密度 , 并计算P UV 0 .
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
当n 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{Y m | X n} P{Y n}



令事件A Y 0, Y 1 X 2 , X 3Y , 则 A的面积 1 P U 2,V 0 , (扇形角度为 ) 2 6 6
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第三章 多维随机变量及其分布
1 1 1 1 P U 2,V 1 1 . 4 6 2 12
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第三章 多维随机变量及其分布
25.设随机变量(X,Y)服从区域
D ( x, y) : 0 x a,0 y a
上的均匀分布,试求:
(2)M max{X , Y }的概率密度 .
(2)解 : 设M的分布函数和概率密度 分别 为F ( z )和f ( z ).
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1 2 y x F ( y, y ) lim F ( x, y ) lim1 ( x 1)e x e x y x y 2 1 2 y 1 y y 1 e . 2
iii)当x y 0时, 1 2 y F ( x, y) F ( y, y) 1 y y 1e . 2
u

y

1 2 y du 1 ( x 1)e x e . 2
x
xe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
则
xe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,



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第三章 多维随机变量及其分布
P U 2,V 0 P X Y , X 3Y P X 3Y 2 2 方法1 1 1 x 2 , y 0, x 2 y 2 1, 3x dxdy f ( x, y ) 0 3 0, 其他. 2 1 3x 2 dx(令x sin t ) 1 x 0 3 方法二
第四章 随机变量的数字特征
因此 E ( X ) p k 1 p
k 1

k 1
1 1 p . 2 1 1 p p
(1)式两边对x求导得
2 n 2 1 2 2 3 x (n 1) nx , x 1, 2 3 1 x
即
0, z 1, F ( z ) ( z 1) 3 , 1 z 2, 1, z 2.
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第三章 多维随机变量及其分布
因此 1 3 , 1 z 2, f ( z ) F ( z ) 其它. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
v)当 1 z 2时,
F ( z) P Y z X
F ( z ) PX 1PY z 1 PX 0PY z PX 1PY z 1
1 1 1 z 1 z 1 dy , 3 3 3 0 3
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第三章 多维随机变量及其分布
(2)当m 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{ X n | Y m} P{Y m}
e 14 (7.14) m (6.86) nm e 7.14 (7.14) m m!(n m)! m! (6.86) nm e 6.86 , n m, m 1, (n m)!
因此 2 z a 2 , 0 z a , f ( z ) F ( z ) 其它. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
26.设随机变量X与Y相互独立,X的分布律为
1 PX i i 1,0,1, 3
Y的概率密度为
1, 0 y 1, fY ( y ) 其他. 0,
P{Y m} P{ X n, Y m}



e
14
nm 14
(7.14) (6.86) m!(n m)!

nm m
nm
e (6.86) e (6.86) m m (7.14) (7.14) m! m! k! n m ( n m)! k 0
1 z 1 z 1 F ( z) PX 1P Y z 1 dy , 3 0 3 iv)当0 z 1时,
iii)当 1 z 0时,
F ( z) PX 1P Y z 1 PX 0P Y z 1 1 z z 1 dy , 返回主目录 3 3 0 3
n 14
n
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
e 14 e n (7.14 6.86) n! n!
14
, n 0,1,2,
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
(3) P{Y m | X 20}
m C20 0.51m 0.4920m , m 0,1,2,,20.
P{Y m | X n}
m Cn 0.51m 0.49n m , m 0,1,2,, n
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第三章 多维随机变量及其分布

z
f ( x, y)dxdy
i)当z 0时, F ( z) 0; ii)当z a时, F ( z) 1; 2 z z 1 z iii)当0 z a时, F ( z ) 0 0 a 2 dxdy a 2 .
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第三章 多维随机变量及其分布
即 z 0, 0, 2 2 F ( z ) z a , 0 z a, 1, z a.
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第三章 多维随机变量及其分布
解:随机变量(X,Y)的联合概率密度为
2 2 2 , y 0, x y 1, f ( x, y ) 其他. 0,
P U 0,V 0 P X 0, X 3Y 0, 1 P U 0,V 1 P X 0, X 3Y , 2 P U 1,V 0 P 0 X Y , X 3Y 0, 1 P U 1,V 1 P 0 X Y , X 3Y , 4
(3)写出X=20时,Y的条件分布律
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第三章 多维随机变量及其分布
解: (1) P{ X n} P{ X n, Y m}
e 14 (7.14) (6.86) n m m!(n m)! m 0
n
m 0 m
n
e n!
14
n! m nm (7.14) (6.86) m 0 m!( n m)!
m 7.14 e 14 ( 7 . 14 ) e m 6.86 (7.14) e , m 0,1,2, m! m!
nm
14

k
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
记Z=X+Y,试求: (2)Z的概率密度. (2)解 : 设Z的分布函数和概率密度 分别为F ( z )和f ( z ). 返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
F ( z) PZ z PX Y z P Y z X
i)当z 1时, F ( z) 0; ii)当z 2时, F ( z) 1;
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第三章 多维随机变量及其分布
则 0, x 0或y 0, 1 2 y F ( x, y ) 1 y y 1e , 0 y x, 2 1 ( x 1)e x 1 x 2 e y , 0 x y . 2
第三章 多维随机变量及其分布
由题意知( X , Y )的联合密度函数为 1 a 2 ,0 x a,0 y a, f ( x, y ) 其它. 0,
F ( z) PZ z Pmax{X , Y } z PX z, Y z

z

(5) F ( x, y)