9.1密码学中的数学原理之再谈碰撞
哈希碰撞计算
哈希碰撞计算在计算机科学中，哈希碰撞指的是两个不同的输入数据产生了相同哈希值的情况。
哈希函数是一种将输入数据映射为固定长度哈希值的数学函数。
理想情况下，哈希函数应该将不同的输入数据映射为不同的哈希值，而且哈希值的分布应该是均匀的。
然而，由于哈希函数的输出 space 要比输入 space 小得多，所以哈希碰撞是不可避免的。
在本文中，将探讨哈希碰撞的计算和相关参考内容。
1. 哈希函数的选择选择恰当的哈希函数是避免碰撞的关键。
一个好的哈希函数应该满足以下特点：- 高效性：计算哈希值的速度应该尽可能快。
- 一致性：对于相同的输入数据，哈希函数应该始终返回相同的哈希值。
- 均匀性：哈希函数应该将输入数据的分布均匀地映射到哈希值空间中。
- 防碰撞性：哈希函数应该尽可能避免碰撞的发生。
常见的哈希函数包括：MD5、SHA-1、SHA-256等。
然而，由于计算技术的发展，一些早期广泛使用的哈希函数已经被证明具有弱碰撞性，因此在实际应用中不再推荐使用。
2. 哈希碰撞的计算哈希碰撞的计算可以通过穷举法和生日攻击来实现。
- 穷举法：穷举法是最基本的计算哈希碰撞的方法，即通过依次生成不同的输入数据并计算哈希值，直到发现相同的哈希值为止。
然而，这种方法在哈希空间较大时将变得非常低效，因为需要遍历整个输入空间。
- 生日攻击：生日攻击是一种概率性的方法，它利用了生日悖论的原理。
生日悖论指的是在一个群体中，至少有两个人生日相同的概率远高于直观感觉。
在哈希碰撞的计算中，生日攻击的思想是通过生成大量的随机输入数据，并计算它们的哈希值。
当生成的随机输入数据数量足够大时，概率上存在两个输入数据哈希值相同的情况。
3. 相关参考内容- "Hash Function Collision Attacks and Countermeasures" 一文介绍了哈希函数碰撞攻击和各种防御措施的研究进展。
- "Understanding Hash Collisions - From Theory to Practice" 是一篇研究论文，详细描述了哈希碰撞的计算方法，并提供了具体的实验结果。
哈希函数的碰撞攻击
31
15
Block1
Block2
Block3
Block4
美国计算机应急小组应对MD5攻击策略
美国计算机应急小组发表 “MD5 vulnerable to collision attacks”文章
MD5的弱点引发碰撞出现，从而 导致攻击者可以生成的不合法密 码口令或其它数据都可通过认证 停止使用MD5算法： 软件开发商、认证中心、网站和 用户应该避免使用MD5算法， 研究表明，MD5已被破解不再 适合将来使用
SHA1碰撞攻击
SHA-1碰撞充分条件：找到 ΔM , H ( M ) = H ( M ⊕ ΔM ) 的充分条件为带概率的320个比特方程，不带概率明文 比特方程104个
一个明文比特 控制方程
251个实施明文修改后以1的概率成立 104个明文条件：建立代数分析模型推出，通过选择明文成立
69 69个条件不能修改，复杂度2 次计算
SHA-1实际碰撞
2017年Mac Stevens等给出了SHA-1的实际碰撞，复杂度 63.1 大约为2 ， 110GPU年
第一部分 第二部分 第三部分 第四部分
哈希函数简介 哈希函数的碰撞攻击
新的哈希函数的设计 总结
新的Hash函数的设计
“The research community is going to have to think very hard about this,” says Massachusetts Institute of Technology cryptographer Ron Rivest. “We clearly have to replace SHA-1.”
计算机网络
物联网
4G手机网络
云计算
密码学的数学原理
现在，让我们回到《暗算》中，黄依依第一次找的结果经过一系列计算发现无法归零，也就是说除不尽，我猜她可能试图将一个大数 N 做分解，没成功。第二次计算的结果是归零了，说明她找到的 N=P×Q 的分解方法。当然，这件事能不能用算盘完成，我就不知道了，但我觉得比较夸张。另外我对该电视剧还有一个搞不懂的问题就是里面提到的“光复一号”密码的误差问题。一个密码是不能有误差的，否则就是有的密钥也无法解码了。我想可能是指在构造密码时，P 和 Q 之一没找对，其中一个（甚至两个都）不小心找成了合数，这时密码的保密性就差了很多。如果谁知道电视剧里面讲的“误差”是指什么请告诉我。另外，电视剧里提到冯?诺依曼，说他是现代密码学的祖宗，我想是弄错了，应该是香农。冯?诺依曼的贡献在发明计算机和提出博弈论（game theory）。
2，找一个和 M 互素的整数 E，也就是说 M 和 E 除了 1 以外没有公约数。
3，找一个整数 D，使得 E×D 除以 M 余 1，即 E×D mod M = 1。
现在，世界上先进的、最常用的密码系统就设计好了，其中 E 是公钥谁都可以用来加密，D 是私钥用于解密，一定要自己保存好。乘积 N 是公开的，即使敌人知道了也没关系。
395058745832651445264197678006144819960207764603049364541393760515793556265294
50683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603
因为我们后面要多次提到这部电视剧。）
密码学的历史大致可以推早到两千年前，相传名将凯撒为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表，比如说
碰撞理论.ppt
LOGO
课堂练习
要使在容积恒定的密闭容器中进行的可逆反 应2A（气）+B（固）== 2C（气）+Q （Q＞0）的正反应速率显著加快，可采用 的措施是（不考虑固、气态间的接触面积） （ ） D B.加入B A．降温 C.增大体积使压强减小 D.加入A
课堂练习
练习：下列条件的变化，是因为降低反应所 需的能量而增加单位体积内的反应物活化分 子百分数致使反应速率加快的是（ ） A、增大浓度 B、增大压强 D C、升高温度 D、使用催化剂
课堂练习
下列说法正确的是（
LOGO
D
）
A、一定条件下，增大反应物的量会加快 化学反应速率。 B、增大压强，肯定会加快化学反应速率。
增大浓度
增大压强 升高温度 正催化剂
增加 不变 不变 不变
增加 不变 增加 增加
不变 不变 增加 增加
增加 增加 增加 增加
增加 增加 增加 增加
对于在一定条件下进行的化学反应：2SO2+O2
2SO3，
改变下列条件可以提高反应物中的活化分子百分数的是
（
BC
）
B、升高温度
A、增大压强
C、加入催化剂
D、减小反应物的浓度
学科网
二、外界条件对化学反应速率的影响 浓度对反应速率的影响
zxxk
影响 外因
增大浓度
单位体积内 分子 总数
增加
活化分 子数
增加
化学 有效碰撞次 反应 数 速率
增加 增大
注意事项：
1）此规律只适用于气体反应或溶液中的反应，对 于纯液体或固体反应物一般情况下其浓度是常数， 因此改变它们的量不会改变化学反应速率。 2）化学反应为可逆反应，反应物或生成物浓度的 改变，其正反应速率或逆反应速率的变化也符合 上述的规律。
密码学中的数学方法
密码学中的数学方法密码学是保护信息安全的一门科学，涵盖了从数据加密、数据完整性到身份认证等多方面的技术与理论。
它依赖于复杂的数学原理与方法，以确保信息在传输与存储过程中的保密性、完整性和可用性。
在这篇文章中，我们将探讨一些实现密码学的重要数学方法，包括数论、代数结构、组合数学以及概率论等。
数论在密码学中的应用数论是研究整数及其性质的数学分支，在密码学中扮演着至关重要的角色。
很多现代密码算法都依赖于数论的一些基本概念。
质数与分解问题质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因子。
利用质数构成的结构，诸如RSA加密算法得以实现。
RSA算法的安全性主要基于大数分解的困难性。
即当两个大质数相乘时，找到这两个质数几乎是不可能的。
这种性质在许多加密系统中得到了应用。
模运算与同余模运算是处理整数的一种方式，可以看作是在一个有限集合上进行的运算。
在密码学中，模运算被广泛用于构造加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换协议和RSA算法中都用到了模运算。
通过使用同余关系，密码学家能够设计出具有强安全性的加密系统。
离散对数问题离散对数问题是指给定一个素数p，一个整数g（生成元）和一个整数y，求解整数x，使得g^x ≡ y (mod p)。
该问题在现代密码学中非常重要，例如在Diffie-Hellman密钥交换和ElGamal加密中均有应用。
与大数分解问题类似，离散对数问题在某些情况下也是计算上不可行的，因此为相应加密方法提供了安全保障。
代数结构及其在密码学中的应用代数结构主要涉及群、环和场等概念，这些结构为密码算法提供了基础。
群理论群是一个集合及其上的一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
在密码学中，多种算法都依赖于特定群的性质。
例如，在椭圆曲线密码学（ECC）中，点的加法形成了一个阿贝尔群，该群具备良好的数学性质，使得基于其结构构建的加密算法既高效又安全。
环与域环是一种比群更为强壮的代数结构，它允许我们进行加法和乘法两种操作。
碰撞检测 原理
碰撞检测原理
碰撞检测是指在计算机图形学和物理模拟中，判断两个或多个物体是否发生了碰撞的过程。
它在许多应用中都有广泛的应用，例如游戏开发、虚拟现实和机器人技术等。
碰撞检测的原理可以描述为以下步骤：
1. 表示物体：首先，需要将待检测的物体进行合适的表示。
常见的表示方法包括使用几何形状（如点、线、面或体素）或使用包围体（如轴对齐包围盒、球体或凸包）。
这些表示方法有助于描述物体的形状和位置。
2. 碰撞检测算法：选择一个适当的碰撞检测算法，以确定两个或多个物体是否发生碰撞。
常见的算法包括离散碰撞检测和连续碰撞检测。
- 离散碰撞检测：在每个离散时间步长内，检查物体的位置
并判断它们是否相交。
常见的算法包括：分离轴定理（Separating Axis Theorem，SAT）、球-球碰撞检测和球-立方
体碰撞检测等。
- 连续碰撞检测：这种方法更加精确，以较小的时间步长迭
代地模拟物体的移动，并检测它们是否在任何时刻发生了碰撞。
常见的算法包括：迭代求解和时间切片方法。
3. 碰撞响应：如果检测到了碰撞，就需要根据具体的应用需求进行相应的处理。
例如，可以反弹物体、改变其速度方向、计
算碰撞点等。
需要注意的是，碰撞检测是一个计算密集型的任务，特别是在处理大量物体的情况下。
为了提高效率，可以使用空间分割数据结构（如网格、四叉树或八叉树）来加速碰撞检测过程，仅对可能接触到的物体进行检测，而忽略其他远离物体。
此外，还可以利用并行计算和优化算法来加速碰撞检测过程的计算速度。
密码学的基本原理与应用
密码学的基本原理与应用密码学是一门研究信息安全的学科，它涉及到对信息的加密、解密和认证等方面的技术和方法。
在现代社会，随着信息技术的迅猛发展，密码学的应用越来越广泛，它在保护个人隐私、交易安全、计算机网络等方面起到了至关重要的作用。
本文将介绍密码学的基本原理和其应用，并探讨其在现代社会中的重要性。
一、对称密钥加密算法对称密钥加密算法是密码学中最基本的加密算法之一，它使用相同的密钥进行加密和解密。
常见的对称密钥加密算法包括DES、AES等。
在对称密钥加密算法中，发送方和接收方需要共享相同的密钥。
发送方使用密钥将明文转换成密文，接收方使用相同的密钥将密文还原成明文。
这种算法的优点是加解密的速度快，但存在一个密钥分发的问题。
二、非对称密钥加密算法非对称密钥加密算法使用一对密钥，一个是私钥，另一个是公钥。
公钥可以被任何人获得，而私钥则只能由接收方持有。
常见的非对称密钥加密算法包括RSA、ElGamal等。
在非对称密钥加密算法中，发送方使用接收方的公钥对明文进行加密，接收方使用私钥将密文解密成明文。
这种算法的优点是能够解决对称密钥加密算法的密钥分发问题，但加解密的速度较慢。
三、哈希函数哈希函数是一种将任意长度的输入转换成固定长度输出的函数。
常见的哈希函数有MD5、SHA-1等。
哈希函数的特点是不可逆性和唯一性，即无法从输出推导出输入，并且不同的输入产生不同的输出。
哈希函数在密码学中的应用包括数字签名、消息认证码等。
四、数字签名数字签名是一种保证信息完整性和身份认证的技术，通过使用私钥对信息进行加密生成数字签名，接收方使用公钥对数字签名进行解密和验证。
数字签名可以防止信息被篡改，同时确保信息发送方的身份真实可靠。
五、密钥交换协议密钥交换协议用于在不安全的通信信道上安全地交换密钥，常见的密钥交换协议有Diffie-Hellman密钥交换协议等。
密钥交换协议通过使用非对称密钥加密算法，使得通信双方能够安全地生成一个共享秘密密钥，用于后续的对称密钥加密。
碰撞 课件
5.三种碰撞类型的特点：对于弹性碰撞，碰撞前后无动能损 失；对于非弹性碰撞，碰撞前后有动能损失；对于完全非弹 性碰撞，碰撞前后动能损失最大. (1)弹性碰撞：碰撞过程中不仅动量守恒，而且机械能守恒， 碰撞前后系统动能相等.同时，在碰撞问题中常做动量和动能 的换算. (2)非弹性碰撞:碰撞过程中动量守恒，碰撞结束后系统动能 小于碰撞前系统动能.减少的动能转化为其他形式的能量.
碰撞
一、全面系统的理解碰撞问题
1.碰撞概念的理解：相对运动的物体相遇，在极短时间内， 通过相互作用，运动状态发生显著变化的过程叫碰撞. 2.碰撞的广义理解：物理学里所研究的碰撞，包括的范围很 广，只要通过短时间作用，物体的动量发生了明显的变化， 都可视为碰撞.例如：两个小球的撞击，子弹射入木块，系在 绳子两端的物体将松弛的绳子突然拉直，铁锤打击钉子，列 车车厢的挂接，中子轰击原子核等均可视为碰撞问题.需注意 的是必须将发生碰撞的双方(如两小球、子弹和木块、铁锤和 钉子、中子和原子核等)包括在同一个系统中，才能对该系统 应用动量守恒定律.
1 2
mBv02
1 2
m A v12
1 2
mBv22③
联立②③式得：
v2
3mA mB mA mB
v0
④
设小球B能上升的最大高度为h，由运动学公式有：
h v22
⑤
2g
由①④⑤式得：h
( 3mA
mB
)2
H
⑥
mA mB
答案： (3mA mB )2 H
mA mB
【规律方法】处理碰撞问题应把握好三个基本原则 在碰撞过程中，系统的总动能不可能增加，如果是弹性碰撞， 碰撞前后总动能不变，如果是非弹性碰撞，则有部分动能转 化为内能，系统总动能减少.其中碰后结合为一体的情形，损 失的动能最多.所以，在处理碰撞问题时，通常要抓住三项基 本原则：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
密码学原理
密码学中的数学原理之 再谈碰撞
CONTENT
1 问题的提出
目
2 碰撞的期望值
录
1.问题的提出
1.问题的提出
设 H 是128比特的HASH函数，R1，R2，R3函数反向将128比特散列值均匀地映射为6 字符的口令，利用 H 和3个R函数可以形成一条长度为3的彩虹链的一部分：
2.碰撞的概率
最基础的问题
总共有 M 个不同的数，随机独立从中选择 k 个数，会得到多少个不同的数？
M
1-a
a
计算h1的个数
2.碰撞的概率ຫໍສະໝຸດ 计算h2的个数2.碰撞的概率
计算
2.碰撞的概率
计算
2.碰撞的概率
重点回顾
彩虹表中的碰撞问题 计算一般碰撞的数量期望值 思考：与生日攻击的关系