七年级数学整式复习(二)乘法公式、因式分解
2
完全平方公式
解：原式 a 2 4ab 4b 2 4a 2 4ab b 2 2 2 2 2 a 4ab 4b 4a 4ab b
合并同类项
3a 2 8ab 3b 2
方法二：平方差公式
解：原式 a 2b 2a ba 2b 2a b
1.乘法公式
2.因式分解
一、知识梳理
方法： 整式的 提取公因式法； 整 公式法； 加减 式 十字相乘法； 整式的 的 分组分解法. 乘法 运 算 整式的 除法 整式乘法
意义：将 一个多项 式化成几 单项式乘 个整式的 以单项式 积的形式. 单项式乘 以多项式
步骤： 1.提取公因式； 2.针对不同的项数 采取不同的方法； 3.分解到不能分解 为止.
2
相反项
解：原式=
完全平 方公式
x 2 3y x 2 3y
2 2
x 3y
x4 6x2 y 9 y 2 x 4 + 6 x 2 y－9 y 2
﹏ ﹏ 3. ( x 2 y 1)( x 2 y 1)
解：原式 x 1 2 y x 1 2 y
5. 1 m2 4mn 4n 2 解：原式 1 m 2 4mn 4n 2
1 m 2n
2
一三分组
平方差公式
1 m 2n 1 m 2n 1 m 2n1 m 2n
（三）解答题：
2
完全平方公式
2ba 2a 3
十字相乘法
（二）将下列各式分解因式
3. (2 xy) 2 ( x 2 y 2 ) 2
2
平方差公式
解：原式 2 xy x 2 y 2 2 xy x 2 y 2
2 2 2
2 xy x y 2 xy x y x 2 xy y x 2 xy y
（二）将下列各式分解因式:
1.
1 2 解：原式 a 16 2
1 2 a 8 2
提取 1
2
1 a 4a 4 2
平方差公式
先降幂排列， 再提取公因式， 最后分解到不能 分解为止.
2. 10 ab 2a 2b 12b
2
降幂排列
提取-2b
2b a 2 5a 6 解：原式 2a b 10ab 12b
解：原式 x 5y
2
解：原式 a 3 a 2 a 1
公因式：a-1 平方差公式
3. 计算： a 2b 3a 2b 3
解： 原式 a 2b 3a 2b 3
a 2b 3 a 2 4b 2 12b 9 a 2 4b 2 12b 9
所以，原式 22 2 1 6. 所以，原式 22 4 1 8.
2.分解因式： (2a 5b)(2a 5b 4) 21
解：原式 2a 5b 42a 5b 21
2
整体
十字相乘法
2a 5b 7 2a 5b 3
2
1.计算： a 2b 2a b a 2b
2
整式的乘法
2
解：原式 a 4ab 4b 2a 4ab ab 2b
2
a 2 4ab 4b2 2a 2 3ab 2b 2 合并同类项 a 2 ab 6b2
方法二：
2
平方差公式
1 x 2 + 4 xy 4 y 2 －
【适时小结】
１．运用乘法公式计算时,要注意观察每个因式 的结构特点，正确运用乘法公式计算． ２．对于三项式与三项式相乘，可以根据特点， 将“三项式与三项式相乘”转化为“两项式与 两项式相乘”，再选择合适的乘法公式，从而 简化计算．
44 x y x 4 y
十字相乘法
2
方法二：平方差公式
解：原式 5x y 3x y
2
平方差公式
5x y 3x y 5x y 3x y
合并同类项 分解到不能分解为止
5x 5 y 3x 3 y 5x 5 y 3x 3 y
x2 3y
1 1 1. x 2 y x 2 y 2 2
﹏
﹏
﹏ ﹏ 3y ﹏ 2. ( x 2 3 y)(﹏ x 2 )
相反项 相反项
相同项 2 2 y 2 1 x 解：原式= 2
1 2 4y x 4
相同项：x+1
平方差公式
x 1 2 y
2
2
x2 2x 1 4 y 2
x ﹏ 变式： ﹏ 2 y 1x 2 y 1 ﹏﹏
解：原式 1 x－2 y 1 x 2 y
相同项：1
12 x 2 y 1 x 2 4 xy 4 y 2
2 2 2 2
化简
x y x y
2
2
完全平方公式
方法二： 解：原式 4 x 2 y 2 x 4 2 x 2 y 2 y 4
4x y x 2x y y
2 2 4 2 2
4
x 2x y y
4 2 2
2
4
x
x4 2x2 y 2 y 4
2
y
2
2 2
x y x y x y x y
2
（二）将下列各式分解因式:
4. xy( x y) x( y x)
2
解：原式 xy( x y) x( x y) 2
公因式：x(x-y) 分组分解法
x( x y) y x y x( x y)2 y x
解：原式 a 2ba 2b 2a b
公因式：a+2b
a 2ba 2b 2a b a 2b a 3b
2 2
提取公因式
整式的乘法
合并同类项
a 2 3ab 2ab 6b 2
a ab 6b
2.计算： a 2b 2a b
2 2
平方差公式
四、拓展提高： 1.已知 a b 2, ab 1, 求下列各式的值： 2 2 2 (a b)2 . 1 a b ； 2 2 2 2 a b 2 a b2 4ab 1 解： a b a b 2ab
因为，a b 2, ab 1 ， 因为，a b 2, ab 1 ，
解：原式 25 x 2 2 xy y 2 9 x 2 2 xy y 2 25 x 2 50 xy 25 y 2 9 x 2 18 xy 9 y 2 合并同类项 16 x 2 68 xy 16 y 2 提取公因式 2 2 44 x 17 xy 4 y
结果是多项式
ห้องสมุดไป่ตู้
a 2 b 2 a ba b
2
结果是整式的积
五、课堂小结：
方法： 提取公因式法；公式法； 十字相乘法；分组分解法.
步骤： 1.提取公因式； 2.针对不同的项数采取 不同的方法； 3.分解到不能分解为止.
整式乘以多项式 乘法公式
因式分解
公式法
a 2ab b a b
2 2
a ba b a 2 b2 2 a b a 2 2ab b 2
a 2b 2a ba 2b 2a b
3a b a 3b 2 2 3a 9ab ab 3b
3a 2 8ab 3b 2
整式的乘法 合并同类项
3.分解因式： 25x y 9x y
2
2
完全平方公式
多项式乘 整式乘以 以多项式 多项式 特 例
2
因式分解
互逆变形
a b
a ba b a
2
b
2
乘法公式
积化和差的过程， 结果是多项式.
公式法
和差化积的过程， 结果是整式的积.
a 2 2ab b 2
分解因式
二、例题精选 （一）运用乘法公式进行计算
平方差公式
没有相同项
三、课堂练习：
1.简便计算： 1 198 2
2
解： 198 200 2 40000 800 4 39204 2 99.7 100 .3 解： 原式 100 0.3100 0.3
2
3
10000 0.09 9999.91
9999 403
403 0000 403 4029597
解： 原式 10000 1 403
2.将下列各式分解因式.
完全平方公式
分组分解法
1
x 10 xy 25 y
2
2
2
a3 a 2 a 1
a 2 a 1 a 1 a 1 a 2 1 a 1a 1a 1 2 a 1 a 1
8 x 2 y 2 x 8 y
44 x y x 4 y
整体
十字相乘法
4分解因式： ( x 2 7 x) 2 5( x 2 7 x) 6
解：原式 x 7 x 6 x 7 x 1
整式的乘除与因式分解知识点复习
整式的乘除与因式分解知识点复习乘除与因式分解是数学中非常重要的知识点，广泛应用于各个领域。
在高中阶段，学习乘除与因式分解是为了更好地理解并解决数学问题，为后续学习提供基础。
本文将对乘除与因式分解的相关知识进行复习，以期加深对这一知识点的理解。
1.整式的乘法整式是由常数项和各种变量及其指数的积或和的形式构成的代数式。
整式的乘法是指两个整式之间的乘法运算。
在整式的乘法中，需要注意以下几个知识点：(1)同底数幂的乘法：当两个幂的底数相同时，可以将底数保持不变，指数相加。
例如，5^2*5^3=5^(2+3)=5^5(2)不同底数幂的乘法：当两个幂的底数不同时，将两个底数乘在一起，指数保持不变。
例如，2^3*3^2=2^3*3^2=6^2(3)乘法分配律：乘法分配律是指整式乘法中，对于两个整式a、b和一个整式c，有(a+b)*c=a*c+b*c例如，(2x+3)(4x+5)=2x*4x+2x*5+3*4x+3*5=8x^2+10x+12x+15=8x^2+22x+152.整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的运算过程。
在整式的除法中，需要注意以下几个知识点：(1)除法算法：整式的除法运算过程与约分的思想类似。
首先找出被除式中最高次项和除式中最高次项的幂次差，然后将被除式中的每一项与除式的最高次项相乘得到临时商，再将临时商乘以除式，得到临时商与被除式的差，重复之前的步骤，直到无法再继续相除为止。
例如，(2x^3+3x^2-5x+7)/(x-2)=2x^2+7x+9余数为23(2)因式定理：如果整式f(x)除以(x-a)的余数为0，则x-a是f(x)的一个因式。
例如，f(x)=x^2-3x+2，将f(x)除以(x-2)，得到(x^2-3x+2)/(x-2)=x-1余数为0，所以x-2是f(x)的一个因式。
3.因式分解因式分解是将一个整式分解成几个乘积的形式，其中每个乘积因式都尽可能简单。
2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 \(x^2 + (a+b)x + ab = 0\) 的两个根的和为 \(-a-b\)，两个根的积为 \(ab\)，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。
初中数学《整式乘法与因式分解》教案：乘法公式在整式计算中的应用
初中数学《整式乘法与因式分解》教案：乘法公式在整式计算中的应用一、教学目标1.理解乘法公式和因式分解的基本概念及用法。
2.掌握整式的运算和应用技巧。
3.能够运用整式的乘法公式解决实际问题，同时能够将整式因式分解。
二、教学内容1.整式基本概念和运算技巧。
2.整式乘法公式及其应用。
3.整式因式分解及其应用。
三、教学方法1.讲解法：通过讲解引入乘法公式，让学生掌握整式乘法的基本概念和运算技巧。
2.实际示范法：通过实际问题，让学生掌握整式乘法公式的应用。
3.课堂练习法：通过课堂练习，让学生巩固运用整式乘法公式的技能。
4.互动探究法：通过讨论交流，让学生探究整式因式分解的方法及其应用。
四、教学过程一、整式基本概念和运算技巧1.1 整式的定义：整式是由常数、变量、和它们的积和差所组成的有限和。
1.2 整式的运算法则：（1）同类项的合并。
（2）分配律。
（3）整式的加减法。
（4）整式的乘法。
（5）负数的乘法。
1.3 课堂练习：1）计算下列各式并合并同类项。
① 3x + 2x - 5x + 7② -4ab + 2a - 3b + 5ab2）计算下列各式。
① 4(3x - 2y)② -2a(3a + 4b) + 6ab③ (2b - 3)(4b + 5)二、整式乘法公式及其应用2.1 乘法公式的介绍：（1）平方公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2（2）乘积公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd 2.2 课堂练习：1）计算下列各式。
① (3x + 4)(3x - 4)② (2a + 3)(2a - 3)2）练习考虑：有两种方案，A方案：一个工程队需要4辆拖拉机，每辆拖拉机的租金是150元；B方案：同一工程队需要2辆拖拉机和3辆摩托车，每辆拖拉机的租金是250元，每辆摩托车的租金是100元。
整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习 中考真题题型分类练习)
整式的加减、乘除及因式分解整式加减一、知识点回顾1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数：2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。
多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式4、整式的概念：单项式与多项式统称整式二、整式的加减1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。
合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。
合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ．3、整式加减的运算法则（1）如果有括号，那么先去括号。
（2）如果有同类项，再合并同类项。
整式乘除及因式分解一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注n m n m a a a +=∙n m ,意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如： mn n m a a =)(n m ,10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即 如：m n n m mn a a a )()(==23326)4()4(4==3、积的乘方法则：（是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
n n n b a ab =)(n 4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不n m n m a a a -=÷n m a ,,0≠)n m 变，指数相减。
5、零指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
10=a 二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
沪科版七年级数学下册同步教案 第8章整式乘法与因式分解 因式分解2公式法
2.公式法【知识与技能】1.能运用完全平方公式和平方差公式分解因式.2.能运用分组分解法分解因式.【过程与方法】有意识地引导学生参与到数学活动中,培养学生观察、分析、运用知识的能力,掌握公式法和分组分解法.【情感态度】通过参与数学活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,体验运用知识解决问题的喜悦,增强学生学好数学的自信心.【教学重点】运用公式法、分组分解法分解因式.【教学难点】熟练地运用公式法、分组分解法分解因式.一、情境导入,初步认识问题计算：（1）(x+5)(x-5)；（2）(x-2)2.【教学说明】教师给出问题,学生根据前面所学的平方差公式、完全平方公式进行计算.二、思考探究,获取新知公式法问题将上面的式子和结果交换位置,你有什么样的发现呢？观察：x2-25=(x+5)(x-5)x2-4x+4=(x-2)2【教学说明】教师提出问题,学生观察、分析、相互交流,发表各自的见解,可以得出从左到右的变形也是因式分解.【归纳结论】运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫做公式法.三、典例精析,掌握新知例1把下列各式分解因式：（1）x2+14x+49; （2）9a2-30ab+25b2;(3)x2-81; (4)36a2-25b2.【解】（1）x2+14x+49=x2+2·x·7+72=(x+7)2.（2）9a2-30ab+25b2=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2=(3a-5b)2.(3)x2-81=x2-92=(x+9)(x-9).(4)36a2-25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b).例2把下列多项式分解因式：(1)ab2-ac2; （2）3ax2+24axy+48ay2.【解】（1）ab2-ac2=a(b2-c2)（提取公因式）=a(b+c)(b-c).（用平方差公式）（2）3ax2+24axy+48ay2=3a(x2+8xy+16y2)（提取公因式）=3a(x+4y)2.（用完全平方公式）【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验.【归纳结论】在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用.有公因式要先提取公因式,因式分解一定要分解到各因式不能再分解为止.例3把下列各式分解因式：(1)x2-y2+ax+ay;（2）a2+2ab+b2-c2.【解】（1）x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a).（2）a2+2ab+b2-c2=(a2+2ab+b2)-c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c).【教学说明】教师给出例题,学生相互交流,分组讨论,教师也可适当点拨,让学生掌握分组分解法.【归纳结论】当多项式项数较多（项数大于3）时,因式分解时需先分组,分组后再利用提公因式或运用公式进行分解.四、运用新知,深化理解1.把下列各式写成完全平方的形式.2.把下列各式分解因式.3.把下列多项式分解因式.(1)2x3-32x;(2)9a3b3-ab;(3)mx2-8mx+16m;(4)-x4+256;(5)-a+2a2-a3;(6)27x2y2-18x2y+3x2.4.把下列各式分解因式.(1)4a2-b2+4a-2b;(2)x2-2xy+y2-1;(3)9x2+6x+2y-y2;(4)x2-y2+a2-b2+2ax+2by.5.利用因式分解的方法计算.(1)3.14×562-3.14×442;(2)184.52+184.5×31+15.52.【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有困难的同学进行点拨.5. (1)原式=3.14×(562-442)=3.14×(56+44)(56-44)=3.14×100×12=3768. （2）原式=(184.5+15.5)2=2002=40000.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾公式法、分组分解法,加深对所得新知的理解和应用.完成练习册中本课时练习.从了解公式法,分组分解法到运用这两种方法分解因式,学生表现出极大的学习热情,但训练强度仍显不足,在后面的学习中这部分内容还应该加强训练.。
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析一、整式的乘法例题例1：计算：a2·(－a)3·(－a)；x n·x n＋1·x n－1·x；(x－2y)2·(2y－x)3解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4＝－a9；原式＝x n＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5例2：下列运算中正确的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a6C.a2＋a3＝aD.(a2)3＝a6解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误；a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误；a3与a2不是同类项,不能合并,C错误；D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。
答案：D例3：已知a m＝4,a n＝10,求a2m＋n的值。
解析：将代数式a2m＋n变形为含a m、a n的代数式,依据是幂的运算法则。
解：a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝42×10＝160.例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a ＋3)(a－5)解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－(2a2－10a＋3a－15)＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40二、因式分解例题例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（）A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B.答案 B例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( )解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0.例9：下面分解因式正确的是（）A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B.(x2－4)x＝x3－4xC．ax＋bx＝（a＋b）xD.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m ＋n2＝(m－n)2答案：C例10：把下列各式分解因式：－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)＝－x2y4(4xy－3)2；原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋[5(x＋b)]2＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2＝(8x＋3a＋5b)2.关键提醒：因式分解的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积.(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。
湘教版七年级数学下专题复习试卷(二)整式乘法和因式分解(含答案)
湘教版七年级数学（下）专题复习卷（二）整式乘法和因式分解一、选择题（30分）1、定义一种新运算☆，其规则为a ☆b =11a b+，根据这个规则，计算2☆3的值是（ ）A ．56；B ．15； C ．5； D ．6； 2、计算(x 2-3x +n )(x 2+mx +8)的结果中不含x 2和x 3的项，则m 、n 的值是（ ）A ．m =3，n =1；B ．m =0，n =0；C ．m =-3，n =-9；D ．m =-3，n =8；3、下列式子的变形式因式分解的是（ ）A ．x 2-5x+6=x (x -5)+6；B ．x 2-5x+6= (x -2) (x -3)；C ．(x -2) (x -3)=x 2-5x+6；D ．x 2-5x+6=(x +2) (x +3)；4、若22323()2ab c M a b c -=g ，则M 等于（ ） A ． 23abc -； B ．32abc -； C ．22232a b c -； D ．23abc ； 5、下列运算中正确的是（ ）A ．3a 2-a 2=2；B ．(a 2)3=a 5；C ．a 3·a 6=a 9；D ．(2a 2)2=2a 4；6、若2x 2+3y 2+4x -18y +29=0，则x+y 的值为（ ）A ．4；B ．-2；C ．-4；D ．2；7、已知长方形的两边长分别为a -b 何a -2b ，则它的面积为（ ）A ．a 2-2ab+2b 2；B ．a 2-3ab -2b 2；C ．a 2-3ab+2b 2；D ．a 2+3ab+2b 2；8、-(2x -y )(2x+y )是下列哪个多项式因式分解的结果（ ）A ．4x 2-y 2；B ．4x 2+y 2；C ．-4x 2-y 2；D ．-4x 2+y 2；9、下列各式可以用完全平方公式因式分解的是（ ）A ．a 2-2ab+4b 2；B ．4m 2-m +14；C ．9-6y+y 2； D ．x 2-2xy -y 2； 10、已知a 2+2a =1，则代数式2a 2+4a -1的值为（ ）A ．0；B ．1；C ．-1；D ．-2；二、填空题（24分）11、分解因式：a 3-a = .12、分解因式：3x 2-6x +3= .13、在多项式4x 2+1中添加一个单项式，使其成为完全平方式，则添加的单项式是 。
整式的乘法与因式分解所有知识点总结
整式的乘法与因式分解所有知识点总结一、整式的乘法1.乘法法则：(1)两个整系数多项式相乘，按照分配律逐项相乘再相加即可。
(2)对于整式的乘幂，将底数相乘，指数相加。
(3)进行乘法时，可以将同类项合并。
2.乘法的性质：(1)乘法交换律：a*b=b*a(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)(3)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c3.乘法公式：(1) 平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(3) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.乘法的运用：(1)计算多项式的立方和高次幂。
(2)将多项式与常数相乘。
(3)将多项式乘以一个多项式。
二、因式分解1.因式分解的定义：因式分解是指将一个多项式表示为几个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。
2.因式分解的方法：(1)公因式提取法：将多项式的所有项提取出一个最高公因式，然后将剩余部分因式分解。
(2)公式法：利用数学公式，如平方公式、立方公式等进行因式分解。
(3)分组分解法：将多项式分成若干组，每组提取公因式后进行因式分解。
3.公式法的常见因式分解：(1)平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(2) 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2(3) 差平方公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2(4) 立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(5) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.分组分解法的常见因式分解：(1)将多项式分成两组，每组提取公因式后进行因式分解。
(2)将多项式分成三组，每组提取公因式后进行因式分解。
整式乘法与因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题8.43整式乘法与因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）1.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】要点一、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点二、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b+-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点三、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】【类型一】整式的乘法➽➼直接运算✮✮化简求值1、计算：(1)()3232x y xy ⋅-．(2)()()5232x y x y +-．【答案】(1)5424x y -(2)221544x xy y --【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可．（1）解：()3232x y xy ⋅-()23338x y x y ×-=231324x y ++=-5424x y =-；（2）解：()()5232x y x y +-53522322x x x y y x y y=⋅-⋅+⋅-⋅22151064x xy xy y =-+-221544x xy y =--．【点拨】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则，准确计算．举一反三：【变式1】计算：()()222321x x x -⋅-+-．【答案】6549189x x x -+-【分析】根据积的乘方及单项式乘以多项式可进行求解．解：()()222321x x x -⋅-+-()42921x x x =⋅-+-6549189x x x =-+-．【点拨】本题主要是考查积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．【变式2】计算：()()()()22241x y y y x y +-+-+【答案】24362y xy x y---【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可．解：()()()()22241x y y y x y +-+-+222242244xy x y y y y xy x=-+-++--24326y xy y x =---．【点拨】本题考查了整式的乘除，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．2、先化简再求值：(3)(1)(1)x y x y ++--，其中122x y =-=-．【答案】233x y ++，4-．【分析】对整式去括号，合并同类项，然后把x 、y 的值代入整式即可得出整式的值．解：(3)(1)(1)x y x y ++--33x xy y xy x=+++-+233x y =++，当122x y =-=-时．原式()1232342⎛⎫=⨯-+⨯-+=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2x =，1y =-．【答案】23xy xy +；43-【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．解：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232322212333939x xy xy y y x =-++--++23xy xy =+；当2x =，1y =-时，原式()()221213⨯-=⨯-+223=-+43=-．【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【变式2】已知()()232x mx x n +-+的展开式中不含x 的一次项，常数项是6-．(1)求m ，n 的值．(2)求()()22m n m mn n +-+的值．【答案】(1)32m n ==，(2)35【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：()()232x mx x n +-+3222263x nx mx mnx x n=+++--()()322263x n m x mn x n =+++--，由题意可知：60mn -=，36n -=-，解得：32m n ==，；（2）解：()()22m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当32m n ==，时，原式333227835=+=+=．【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【类型二】乘法公式➽➼直接运算✮✮化简求值3、计算：(1)()22()x y x xy y +-+(2)22(35)(23)x x --+【答案】(1)33x y +(2)254216x x -+【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可求解．（1）解：原式322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+；（2）解：原式()22930254129x x x x =-+-++22930254129x x x x =-+---254216x x =-+．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握整式乘法运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：()()()()22232x y x y x y x x y -++---．【答案】22x 【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，求解即可；解：原式22222224322x xy y x y x xy x =-++--+=．【点拨】此题考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的相关运算法则．【变式2】计算：(1)2(32)(32)(32)x y x y x y ---+(2)()()()222226x x x ---【答案】(1)2128xy y -+(2)2812x -+【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式去括号，再加减法；（2）根据多项式乘以多项式及幂的乘方去括号，再计算加减法．（1）解：2(32)(32)(32)x y x y x y ---+()2222912494x xy y x y =-+--2222912494x xy y x y =-+-+2128xy y =-+；（2）()()()222226x x x ---42246212x x x x =--+-2812x =-+．【点拨】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式及幂的乘方计算法则是解题的关键．4、先化简后求值：(1)2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-，其中3x =(2)()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中2x =，3y =．【答案】(1)2531x x +-；7-(2)2420x y -+，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x 取值求出代数式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．解：（1）2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-22225(44)2x x x x x =---+++-22225442x x x x x =--+-++-2531x x =+-将3x =代入得：2531x x +-235331=+⨯-7=-（2）()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭22221(41294)()2x xy y x y y =-+-+÷21(1210)()2xy y y =-+÷2420x y=-+将2x =，3y =代入得：2420x y-+242203=-⨯+⨯12=【点拨】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】若23m m +=，求2(2)(2)m m m -++的值．【答案】10【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．解：2(2)(2)m m m -++22244m m m m =-+++2224m m =++当23m m +=时，原式22()423410m m =++=⨯+=【点拨】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．【变式2】先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中a 、b满足()2210a b -++=【答案】a b --，1-【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．解：原式()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a=-++--+÷()2224422a ab a ab a=--+÷()2222a ab a=--÷a b =--，∵()2210a b -++=，∴20a -=，10b +=，∴2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式()211=---=-．【点拨】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【类型三】整式的乘法✮✮乘法公式➽➼变形运算✮✮图形问题5、（1）已知11=54m n =，求代数式()()222525m n m n +--的值；（2）已知13ab a b =--=，，求22a b +的值．【答案】（1）40mn ，2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将11=54m n =，代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．解：（1）()()222525m n m n +--()()()()25252525m n m n m n m n =++-⋅+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦410m n=⋅40mn =，当11=54m n =，时，原式114040254mn ==⨯⨯=；（2） 13ab a b =--=，，()22222327a b a b ab ∴+=-+=-=．【点拨】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．举一反三：【变式1】已知实数m ，n 满足6m n +=，3=-mn ．(1)求()()22m n ++的值；(2)求22m n +的值．【答案】(1)13(2)42【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为()24mn m n +++，再把已知条件式整体代入求解即可；（2）根据()2222m n m n mn +=+-进行求解即可．（1）解：()()22m n ++224mn m n =+++()24mn m n =+++，∴当6m n +=，3=-mn 时，原式326413=-+⨯+=；（2）解：∵6m n +=，3=-mn ，∴()()2222262336642m n m n mn +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．【变式2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若22228160m mm n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()()22228160m mn n n n -++-+=，∴()()2240m n n -+-=，∴()20m n -=，()240n -=，∴4n =，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知2245690a ab b b ++++=，求a 、b 的值；(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2242460a a b b -+-+=，求c 的值；【答案】(1)63a b ==-，；(2)2c =．【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解；（2）先配凑完全平方公式求出a ，b 值，再根据三角形三边关系求出第三边．（1）解：∵2245690a ab b b ++++=，∴22244690a ab b b b +++++=，∴()()22230a b b +++=，∴2030a b b +=+=，，∴63a b ==-，；（2）解：∵2242460a a b b -+-+=，∴()22442210a ab b -++-+=∴()()222210a b -+-=，∴2010a b -=-=，，解得21a b ==，，∵a 、b 、c 是ABC 的三边长，∴2121c -<<+，即13c <<，∵c 是正整数，∴2c =．【点拨】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．6、请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________(3)如果图中的a b a b 、（＞）满足225314a b ab +==，.求：①a b +的值②22a b -的值【答案】(1)①22a b +，②22a b ab +-（）(2)22a b +=22a b ab +-（）；(3)①9a b +=±，②45【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．（1）解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为2a ，第二部分的面积为：2b ；∴阴影部分的面积的第一种表示方法为22a b +．∵大正方形的面积为()2222a b a ab b +=++；空白部分的面积为2ab ab ab +=，∴阴影部分的面积为：()22222222a b ab a ab b ab a b +-=++-=+，故答案为：①22a b +；②()22a b ab +-．（2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等，∴()2222a b a b ab +=+-，故答案为：()2222a b a b ab +=+-；（3）解：①∵()2222a b a b ab +=+-，∴()2222a b ab a b ++=+，∵225314a b ab +==，，∴()25321481a b +=+⨯=，∴9a b +=±，∵0a >，0b >，∴9a b +=；②∵()2222a b a b ab +=+-，∴()()2222222222a b a b ab a ab b ab a b ab +=+-=++-=-+，∴()2222a b ab a b +-=-，∵225314a b ab +==，，∴5321425-⨯=，∴()225a b -=，∴5a b -=±，∵0a >，0b >，a b>∴5a b -=，∴()()229545a b a a b b -⨯-＝＋＝＝．【点拨】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．举一反三：【变式1】图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式()()22a b a b +-，，ab 之间的等量关系为___________．(3)运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且5mn =，4m n -=，试求m n +的值．【答案】(1)a b -，()2a b -或()24a b ab +-(2)()()22a b a b +--4ab =(3)±6【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于()2a b +、()2a b -、ab 的等式；（3）根据（2）中结论即可解题．解：（1）图中阴影部分边长为a b -，则阴影部分的面积为()2a b -或()24a b ab +-故答案为：a b -；()2a b -或()24a b ab +-；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长()a b =-的正方形，故面积()()()2a b a b a b =--=-；方法二：阴影部分面积a b =+为边长的正方形面积-四个以a 为长、b 为宽的4个长方形面积()24a b ab =+-；∴22()4()a b ab a b +-=-；即()()22a b a b +--4ab =，故答案为：()()224a b a b ab +--=；（3）由（2）得，()()224m n m n mn +--=，∴()22420m n +-=，∴m n +=±6．【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得22()4()a b ab a b +-=-是解题的关键．【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；(2)如果图中的a 、(0)b a b >>满足2270a b +=，15ab =，求a b +的值；(3)已知22(9)(1)124x x ++-=，求(9)(1)x x +-．【答案】(1)()2222a b a ab b +=++；(2)10；(3)12．【分析】（1）依据该图形的总面积为2()a b +或222a ab b ++可得结果；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，将2270a b +=，15ab =可求得2()a b +即a b +的值；（3）设9x a +=，1x b -=，则(9)(1)10a b x x -=+--=，依据222()2a b a b ab -=+-代入计算可求得12ab =即可求出(9)(1)x x +-．（1）解：该图形的总面积为：2()a b +或222a ab b ++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，∴当2270a b +=，15ab =时，2()70215100a b +=+⨯=，∴10010a b +=；（3）设9x a +=，1x b -=，∴(9)(1)10a b x x -=+--=，则2222(9)(1)x x a b ++-=+，∵222()2a b a b ab -=+-，10a b -=，22124a b +=，∴1001242ab =-，∴12ab =，∴(9)(1)12x x +-=．【点拨】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．【类型四】因式分解➽➼直接进行因式分解✮✮因式分解的应用7、因式分解．(1)2123mn n -;(2)228168a ab b -+【答案】(1)()34n m n -(2)28()a b -【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：（1）()223143mn n n m n =--；（2）228168a ab b -+228(2)a ab b =-+28()a b =-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．举一反三：【变式1】因式分解：(1)322363a a b ab -+．(2)2()16()a x y y x -+-【答案】(1)()23a a b -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）提取公因式3a ，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）将()y x -变形为()x y --，提取公因式()x y -，再根据平方差公式分解因式．（1）解：原式()2232a a ab b =-+()23a a b =-；（2）解：原式()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，熟练掌握常用因式分解的方法是解题的关键．【变式2】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)268x x -+．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()24x x --【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为2268691x x x x -++-=-，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）解：268x x -+2691x x =-+-()231x =--()()3131x x =-+--()()24x x =--．【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．8、利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解：244x x -+=________．(2)填空：①当2x =-时，代数式244x x ++=_______；②当x =________时，代数式2690x x -+=．③代数式2820x x ++的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式226828a b a b +-++的最小值．【答案】(1)2(2)x -(2)①0②3③4(3)3【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将2x =-代入求解即可；②解方程2690x x -+=，即可获得答案；③将代数式变形为2(4)4x ++，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式226828a b a b +-++变形为22(3)(4)3a b -+++，根据非负数的性质即可确定答案．（1）解：2244(2)x x x -+=-．故答案为：2(2)x -；（2）①当2x =-时，244x x -+2(2)4(2)4=--⨯-+0=；②∵2690x x -+=，∴2(3)0x -=，∴当3x =时，代数式2690x x -+=；③∵2820x x ++2(4)4x =++，又∵2(4)0x +≥，∴当4x =-时，代数式2820x x ++的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式22698163a ab b =-+++++22(3)(4)3a b =-+++，又∵2(3)0a -≥，(4)0b +≥，∴原式3≥，代数式226828a b a b +-++的最小值是3．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．举一反三：【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n -+=++则()22433x x m x n x n-+=+++∴343n m n+=-⎧⎨=⎩解得：7n =-，21m =-∴另一个因式为()7x -，m 的值为-21．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值；(2)已知二次三项式26x x p --有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式()1x +，a 的值为5(2)另一个因式为()35x -，p 的值为15【分析】（1）设另一个因式是()x b +，则()224=33x x m x x b b -++++，根据对应项的系数相等即可求得b 和k ．（2）设另一个因式是()3x m +，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m 和p ．（1）解：设另一个因式为()x b +()()265x x a x x b ++=++则()22655x x a x b x b++=+++∴565b b a+=⎧⎨=⎩解得：1b =，5a =另一个因式()1x +，a 的值为5（2）解：设另一个因式为()3x m +，得()()26323x x p x m x --=++，则()2266923x x p x m x m--=+++∴9213m m p+=-⎧⎨=-⎩解得：5m =-，15p =∴另一个因式为()35x -，p 的值为15．【点拨】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．【变式2】（1）计算：20232022(2)(2)-+-；（2）一个长方形的长与宽分别为a ，b ，若该长方形的周长为14，面积为5，求2332363ab a b a b ++的值．【答案】（1）20222-；（2）105【分析】（1）逆用同底数幂的乘法公式进行运算即可；（2）根据长方形的周长为14，面积为5，得出()214a b +=，5ab =，然后对2332363ab a b a b ++进行分解因式，最后整体代入求值即可．解：（1）20232022(2)(2)-+-()()()20222022222=-⨯-+-20222022222=-⨯+()2022212=-+⨯20222=-；（2）∵长方形的周长为14，面积为5，∴()214a b +=，5ab =，即7a b +=，5ab =，2332363ab a b a b++()2232ab b ab a =++()2=+3ab a b=⨯⨯357=．105【点拨】本题主要考查了幂的运算，分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，完全平方公式，注意整体代入思想的应用．。
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。
2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。
3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。
4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。
二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。
2.用辗转相除法进行整式的除法计算。
三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。
2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。
4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。
5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。
根据这一定理可以找到多项式的因式。
四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。
4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。