南京市高考数学一模试卷(理科)(I)卷(模拟)

【数学】江苏省南京市、盐城市2020届高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学理试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆，则1221b b k -+的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos C =，3AC =，求AB ；（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值；（2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从Oe 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切．（1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)18．(本小题满分16分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小 (第18题图)19．(本小题满分16分)定义若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．y若函数()x xf x e ae mx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值；（2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+，移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . …………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， (10)分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分（2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………8分因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………10分又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为，则)2(4r AB -=，所以P e 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. …………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π，所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………13分答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-，解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………4分（2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=，化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=，代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， ……………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-，由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. …………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ……………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxe me e m e e xf 1)(2+-=-+='-，其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，令m e e x f x g xx -+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ，又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x ex x f -+--=， ……………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h ()在[0，+)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， 13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=，由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分当且仅当1492323a b c a b c ==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r ，所以112222227cos ,11(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ，所以异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值为711. …………………………………4分（2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r ，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r ，所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r ，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r ，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以122222()111cos ,21()1m m n n m m ⋅-+⋅<>==+⋅-+u u r u u r ，解得3m =或3m =，由图形可知当二面角11A CD B --的大小为3π时, 3m =. …………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ，两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………3分（2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥，当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。

南京市、盐城市2022届高三年级第一次模拟考试数学试卷及答案

2022届高三年级第一次模拟考试(一)数学(满分150分，考试时间120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{y|y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. [－1，＋∞)B. [－1，0)C. [0，1]D. (0，1]2. 在等比数列{a n }中，公比为q.已知a 1＝1，则0<q<1是数列{a n }单调递减的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计，得数学成绩X ～N(110，100)，则该班数学得分大于120分的学生人数约为( )(参考数据：P(|X －μ|<σ)≈0.68，P(|X －μ|<2σ)≈0.95) A. 16 B. 10 C. 8 D. 24. 若f(α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f(α)]2等于( ) A. f(α) B. f(2α) C. 2f(α) D. f(α2)5. 已知直线2x ＋y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( )A. －4或2B. －2或4C. －1±3D. －1±66. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(3，4)，向量OC →＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC→|的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 57. 已知α＋β＝π4(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( ) A. 22 B. 1 C. －2－2 2 D. －2＋2 28. 已知f(x)＝⎩⎨⎧e x －4，x ≤4，（x －16）2－143，x>4，则当x ≥0时，f(2x )与f(x 2)的大小关系是( )A. f(2x )≤f(x 2)B. f(2x )≥f(x 2)C. f(2x )＝f(x 2)D. 不确定二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷(理科)

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，若A∪B=B，则x=___________．【点睛】根据A∪B=B，得A⊆B，是解题的关键．【答案】0【解析】因为A∪B=B，所以A⊆B，由题意，集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，所以e x=1，所以x=0．故答案为：0．【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z12ii+=（i是虚数单位），则z的虚部是___________．【点睛】先进行复数的乘除运算，化简后即可得到答案．【答案】﹣1【解析】由题意得z()212i i i22ii1+-===--，所以z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念与乘除运算，是基础题．3．log24+log42=___________．【点睛】熟记对数运算的性质．【答案】5 2【解析】原式=22242loglog+=21522+=．故答案为：52．【点评】本题考查对数运算的性质，考查计算能力，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为___________．【点睛】该流程图的功能：利用循环结构来输出变量s 的值；看懂程序框图即可解决问题．【答案】56【解析】由程序框图得：第一次运行：k =1时，()1111111122s =+-⨯=-=+；第二次运行：k =2时，111151212236s =+⨯=+=+；第三次运行：此时k =3满足条件k ≥3，结束循环，输出的s 值为56，故答案为：56．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin2sin AC=___________．【点睛】利用正余弦定理、二倍角公式即可得出结论．【答案】1【解析】△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得cos A 25361632564+-==⨯⨯；由正弦定理、二倍角公式得sin2sin A C =2sin cos sin A A C =2cos ca A=32446⨯⨯=1．故答案为：1．【点评】本题考查二倍角公式、正余弦定理，考查学生的计算能力，基础题．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0≤φ≤π．若f （x ）是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________．【点睛】先利用辅助角公式化简，再由f （x ）的奇偶性求出φ，可得π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】﹣1【解析】由辅助角公式化简得()()()12sin 2f x x x ϕϕ⎡⎤=⨯++=⎢⎥⎣⎦2sin （x +φπ3+）；因为0≤φ≤π， f （x ）是奇函数，则φ2π3=；∴f （x ）=2sin （x +π）=﹣2sin x ；所以π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin π6=-1.故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．7．已知f （x ）=|log 3x |，若a ，b 满足f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，则a +b 的最小值为___________．【点睛】先推出（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，整理得a +b 2222a aa -=-；再利用导数求函数的最值．【答案】32+【解析】由f （x ）=|log 3x |， f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，得（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，则b 22a a =-且a ﹣1>0，即a >1；所以a +b =a 222222a a a a a -+=--；构造函数g （x ）2222x x x -=-，则g ′（x ）22482(22)x x x -+=-，令g ′（x ）=0，则x =1±2；当x ∈（1，12+）时，g ′（x ）<0，当x ∈（12+，+∞）时，g ′（x ）>0；故当x =12+g （x ）取最小值32+a +b 的最小值为32+故答案为：32+ 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中档．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___________．【点睛】先算基本事件总数N =3×3=9，再算所求基本事件个数n =2×2=4，即可求得概率．【答案】49【解析】由题意得基本事件总数N =3×3=9；黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件个数n =2×2=4，所以黑白两球均不在1号盒子的概率为P 49n N ==．故答案为：49．【点评】本题考查古典概型，考查学生的运算求解能力，是基础题．9．若抛物线x 2=4y 的焦点到双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为___________．【点睛】先求出抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点到线的距离公式即可求出双曲线的离心率．【答案】3【解析】由题意得x 2=4y 的焦点为（0，1），双曲线C 的一条渐近线方程为y ba=x ，由点到线的距离公式得13a c==，所以e c a ==3.故答案为：3．【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查学生的计算能力，是基础题．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β．其中的正确命题序号是___________．【点睛】①α与β平行或相交；②由面面垂直的判断定理得α⊥β；③n ⊂α或n ∥α；④由线面垂直的判定定理得m ⊥β．【答案】②④ 【解析】由题意得①若m ∥α，m ∥β，则α与β平行或相交，所以①错误；②若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，所以②正确； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α或n ∥α，所以③错误；④若m ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，所以④正确．其中的正确命题序号是②④. 故答案为：②④．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力，是中档题．11．设x >0，y >0，向量a =r （1﹣x ，4），b =r （x ，﹣y ），若a r ∥b r，则x +y 的最小值为___________．【点睛】由向量平行得14x y+=1，再由基本不等式即可求出最值．【答案】9【解析】因为a r ∥b r，所以4x +（1﹣x ）y =0，整理得14x y+=1；又x >0，y >0，所以x +y =（14x y +）（x +y ）=54y xx y++≥9．当且仅当x =3，y =6时，等号成立，即x +y 的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查向量平行与基本不等式，属于基础题．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP u u u r |=|CA u u r |=4，∠ACB 2π3=，则CP u u u r •CA =u u r _____．【点睛】先用CACBu u r u u u r ，表示CP u u u r ，再计算CP u u u r •CA u u r的值．【答案】6【解析】∵点P 是边AB 的中点，∴1122CP CA CB =+u u u r u u r u u u r，两边同时平方得222111424CP CA CA CB CB =+⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u u r ，代入数据得3=412π14cos 234CB +⨯⨯⨯+⨯u u u r |CB u u u r |2，解得|CB u u u r |=2；∴CA CB ⋅=u u r u u u r 4×2×cos 2π3=-4，∴CP u u u r •CA =u u r （1122CA CB +u u r u u ur ）21122CA CA CB CA ⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u r 6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，是中档题． 13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0，则ba c+的最大值为___________．【点睛】由已知条件得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2是解决本题的关键．【答案】22【解析】由b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2，两边同时开方得b +a +c ≤a +c ），所以b ≤a +c ），即b a c ≤+，当且仅当a =c 时取等号．所以ba c+.．【点评】本题考查基本不等式及其应用，属中档题．14．若2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【点睛】先将分式不等式转化为一元二次不等式，再对m 分﹣1<m <0，及m =﹣1两类讨论即可求解．【答案】（﹣∞，12-）【解析】2101m x mx -<+等价于（m 2x ﹣1）（mx +1）<0，因为m ≠0，所以x 121m =，x 21m=-；因为2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，所以m <0；当﹣1≤m <0时，211m m ≥-，则21m <4，解得﹣1≤m 12<-；当m <﹣1时，211m m <-，则1m-<4，解得m <﹣1；所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12-）.故答案为：（﹣∞，12-）．【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，较难．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB =BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A ．（1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．【点睛】（1）连EC ，并延长与DA 的延长线交于N ，则E 是AC 的中点，得EF ∥PA ，得EF ∥平面PAD ；（2）先证DE ⊥平面PAC ，即得平面PAC ⊥平面PDE ．【解析】（1）如图，连接EC 并延长，与DA 的延长线交于N ，则E 是AB 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以EF ∥PN ；又EF ⊄平面PAD ，PN ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．（2）设AC ∩DE =G ，由△AEG ∽△CDG 及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==；又因为AB =BC =1，所以AC =AG 13=AC =．所以AG AB AE AC ==，又∠BAC 为公共角，所以△GAE ∽△BAC ．所以∠AGE =∠ABC =90°，即DE ⊥AC ．又DE ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以DE ⊥平面PAC ．又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥面PDE ．【点评】本题考查线面平行与垂直，属于中档题．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-．（1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积为310，求边BC 的长．【点睛】（1）先求得tan C ，再由由诱导公式得tan A ，即可求出A ；（2）由正弦定理求出AB ，由三角形的面积公式求得a =1，即BC =1．【解析】（1）在△ABC 中，tan B 12=，cosC 0=<，所以C ∈（π2，π），所以sinC =，故tan C =﹣3，所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦，∵0<A <π，所以A π4=；（2）由（1）知A =45°，设BC =a ，因为sin sin AB BCC A= ，所以AB a ==，又sin 1tan cos 2B B B ==，联立22sin cos 1B B +=得sinB =，所以△ABC 的面积S 21133sin 221010AB BC B a a =⋅=⨯==，解得a =1；所以BC =1．【点评】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系等，是中档题． 17．建造一个容积为8m 3、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．【点睛】（1）先表示出另一边长为842x x =，由题意可知y =320（x 4x+）+480 （x >0）；（2）令y ≤2080即可求出x 的取值范围；（3）利用基本不等式求y 的最小值，注意等号成立条件．【解析】（1）由题意得另一边长为842x x=， ∴总造价y =2（x 4x +）82801202⨯⨯+⨯=320（x 4x+）+480，∴总造价y 关于底边一边长x 的函数解析式为：y =320（x 4x+）+480 （x >0）；（2）由（1）可知：y =320（x 4x+）+480， ∴令y ≤2080得，320（x 4x+）+480≤2080，解得：1≤x ≤4， ∴当x ∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x >0，∴x 44x +≥=，当且仅当x =2时，等号成立， ∴y =320（x 4x+）+480≥320×4+480=1760， ∴当x =2时，总造价y 取得最小值1760元．【点评】本题考查函数模型及其应用，是中档题．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2263x y +=1，若圆O ：x 2+y 2=R 2（R >O ）的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且OA u u u r •OB =u u u r0．（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且MN =u u u u r2NQ uuu r ，求直线MN 的方程．【点睛】（1）设出圆的切线，与椭圆联立，由根与系数的关系及数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q ，N 的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．【解析】（1）①当圆的切线的斜率不存在时，不妨设切线方程为 x R =，与椭圆的方程联立，解得x R y =⎧⎪⎨=⎪⎩或x Ry =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r 0，所以22602R R --=，解得22R =，此时圆O 的方程为x 2+y 2=2；②当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程y =kx +b ，与椭圆的方程联立，整理，得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6=0，设A （x ，y ），B （x '，y '）．x +x '2412kb k-=+，xx '222612b k -=+， ∴yy '=k 2xx '+kb （x +x '）+b 2222222222222222642612121212k b k k b b k b b k k k k k -+-=-+=++++，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r0，所以xx '+yy '=0，可得2b 2﹣6+b 2﹣6k 2=0，∴b 2=2+2k 2；①=R ，∴b 2=R 2（1+k 2）②，由①②得，2+2k 2=2k 2R 2+R 2，∴R 2=2，所以圆的方程x 2+y 2=2；（2）由题意得M （0），设Q （m ，n ），N （a ，b ），MN =u u u u r（a ，b ，NQ =u u u r （m ﹣a ，n ﹣b ），由题意得：()()22a m a b n b ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，∴a 23m =，b =联立2222262m n a b ⎧+=⎨+=⎩，解得4n 2﹣-9=0，∴n 2=（舍），n 2=-，m =±2， ∴a =，b =0，即N，0），所以直线MN+=1，即直线MN+-=0-=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，联立方程套用根与系数的关系，设而不求，属于中档题． 19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R ．（1）若曲线y =f （x ）在x =1处的切线的斜率为2，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（1，e ）上有零点，求实数a 的取值范围．【点睛】（1）由导数的几何意义求得a =0，再求导可得到单调区间；（2）对参数分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解．【解析】（1）由题意，易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由()()222ln 12a f x ax x x x =+++，得()()()()()21'22ln 221ln 1f x ax x ax x ax ax x x=+++⋅+=++，则f ′（1）=2（a +1）=2，解得a =0，∴f （x ）=2x ln x +1（x >0），f ′（x ）=2（ln x +1），令f ′（x ）>0，解得1e x >；令f ′（x ）<0，解得10ex <<； ∴函数f （x ）的单调递减区间为10e ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调递增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R 在区间（1，e ）上是一条不间断的曲线，由（1）知，f ′（x ）=2（ax +1）（ln x +1），①当a ≥0时，对任意x ∈（1，e ），ax +1>0，ln x +1>0，则f ′（x ）>0，故函数f （x ）在（1，e ）上单调递增，此时对任意的x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ②当a <0时，令f ′（x ）=0，解得1e x =或1x a =-，其中11e<，（i ）若11a-≤，即a ≤﹣1，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）<0，故函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递减，由题意可得()()22110e e 2e e 1022a af f a =+>=+++<，，解得()222e 123e a +-<<-，其中()()22222e 13e 4e 2103e 3e+-----=>，即()222e 113e +->-，故a 的取值范围为﹣2<a ≤﹣1；②若1e a -≥，即10ea -≤<，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）>0，所以函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递增，此时对任意x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ③若11e a <-<，即11ea -<<-，则对任意()11'0x f x a ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，，，所以函数在区间11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，对任意()1e '0x f x a⎛⎫∈-< ⎪⎝⎭，，，函数f （x ）在区间1e a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，由题意可得()22e e 2e e 102a f a =+++<，解得()222e 13e a +<-，其中()22222e 113e 4e 2e 203e e 3e 3e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222e 113e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为()222e 113e a +-<<-，综上所述，实数a 的取值范围为()222e 123e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．【点评】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题目．20．已知数列{a n }、{b n }、{c n }，对于给定的正整数k ，记b n =a n ﹣a n +k ，c n =a n +a n +k （n ∈N *）．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n +1，且{c n }是等差数列，则称数列{a n }为“H （k ）”数列．（1）若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，证明：{a n }为H （k ）数列；（2）若数列{a n }为H （1）数列，且a 1=1，b 1=﹣1，c 2=5，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{a n }为H （2）数列，证明：{a n }是等差数列．【点睛】（1）用定义法证明数列为H （k ）数列．（2）用赋值法和定义法进行证明，求出数列的通项公式．（3）用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解析】（1）因为S n =n 2，所以当n ≥2时，221(1)n n n a S S n n -=-=--=2n ﹣1．当n =1时，a 1=S 1=1，也符合上式，所以a n =2n ﹣1所以b n =a n ﹣a n +k =﹣2k ，c n =a n +a n +k =4n ﹣2k ﹣2．所以b n ≤b n +1，c n +1﹣c n =4．对任意的正整数n 满足b n ≤b n +1，且数列{c n }，是公差为4的等差数列，所以数列{a n }为H （k ）数列；（2）因为数列{a n }为H （1）数列，所以数列{c n }是等差数列，因为a 1=1， b 1=a 1﹣a 2=﹣1，c 1= a 1+a 2，所以a 2=2，c 1=3，又c 2=5，所以c n =2n +1，即a n +a n +1=2n +1，所以a n +1﹣（n +1）=a n ﹣n ，则{a n ﹣n }是常数列，而a 1﹣1=0，所以a n ﹣n =0，则a n =n ．验证，得b n =a n ﹣a n ﹣1=﹣1，所以b n ≤b n +1对任意正整数n 都成立，所以a n =n ．（3）由数列{a n }为H （2）数列可知：{c n }是等差数列，记公差为dc n +2﹣c n =（a n +2+a n +4）﹣（a n +a n +2）=﹣b n ﹣b n +2=2d ，所以﹣b n +1﹣b n +3=2d ．则（b n ﹣b n +1）+（b n +2﹣b n +3）=2d ﹣2d =0 又b n ≤b n +1，所以b n =b n +1，所以数列{b n }为常数列，则b n =a n ﹣a n +2=b 1 所以c n =a n +a n +2=2a n ﹣b 1．由c n +1﹣c n =2（a n +1﹣a n ）=d ，所以12n n d a a +-=．所以{a n }是等差数列．【点评】本题考查数列定义的应用，赋值法的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4–2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB =BA ．（1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．【点睛】（1）AB 202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，BA 2202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，进而求解；（2）矩阵B 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，进而求解．【解析】（1）由题意，AB 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 220102a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，BA 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 10220202a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为AB =BA ，所以a =2a ，所以a =0．（2）因为B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为f （λ）2001λλ-==-（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，解得λ=2，λ=1．【点评】本题考查矩阵的性质，矩阵的特征值，属于基础题． [选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩：为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【点睛】将直线l 与圆C 化为直角坐标方程，求出圆C 的圆心到直线l 的距离，即可求弦AB 的长．【答案】65AB =【解析】消去参数t ，直线l 化为普通方程为4x ﹣3y =0，圆C 的极坐标方程ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ，化为直角坐标方程为222x y x +=，即（x ﹣1）2+y 2=1，则圆C 的圆心到直线l 的距离为45d ==，所以65AB ==．【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式，是基础题． [选修4–5：不等式选讲]23．已知x 1，x 2，x 3∈（0，+∞），且满足x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，证明：x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3．【点睛】先变形得2313121113x x x x x x ++=，再将x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1变形为()122331133x x x x x x ⨯⨯++，替换3，最后由柯西不等式即可证得．【解析】∵x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，两边同时除以x 1x 2x 3，得2313121113x x x x x x ++=， ∴()212233112233112233111111(111)333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭，当且仅当“x 1=x 2=x 3=1”时取等号，故x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3，即得证．【点评】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC =u u u rλAB uuu r ，且向量PC uuu r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出P ，A ，B ，C ，D 点的坐标，利用向量PC uuu r 与BD u u ur 夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），所以AB =u u u r （1，0，0），因为DC =u u u rλAB uuu r =（λ，0，0），所以得C （λ，2，0）．（1）PC =u u u r （λ，2，﹣2），BD =u u u r （﹣1，2，0），向量PC uuu r 与BD u u u r ．可得15=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）PC =u u u r （2，2，﹣2），PD =u u u r （0，2，﹣2），平面PCD 的法向量n =r（x ，y ，z ）．则0n PC ⋅=u u u r r 且0n PD ⋅=u u ur r ，即：x +y ﹣z =0，y ﹣z =0，∴x =0，不妨去y =z =1，平面PCD 的法向量n =r（0，1，1）．又PB =u u u r （1，0，2）．故cos n PB n PB n PB⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，直线PB 与平面PCD ．【点评】本题考查空间向量向量、空间角，建立恰当的空间直角坐标系是关键，中等题 25．已知（1+x ）2n +1=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n +1x2n +1，n ∈N *．记T n 0ni ==∑（2k +1）a n ﹣k．（1）求T 2的值；（2）化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n +2整除．【点睛】（1）由二项式定理得a i 21C in +=，利用公式计算T 2的值；（2）由组合数公式化简T n ，把T n 化为（4n +2）的整数倍即可．【解析】（1）由二项式定理可得a i 21C i n +=（i =0，1，2，…，2n +1）；所以T 2=a 2+3a 1+5a 025C =+315C +505C 10355=+⨯+=30；（2）因为（n +1+k ）121C n k n +++=（n +1+k ）•()()()()()()()21!212!1!!!!n n n n k n k n k n k ++⋅=++-+⋅- =（2n +1）2C n k n+，所以T n 0nk ==∑（2k +1）a n ﹣k0 nk ==∑（2k +1）21C n kn -+0 nk ==∑（2k +1）121C n k n +++0 nk ==∑[2（n +1+k ）﹣（2n +1）]121C n k n +++=2nk =∑（n +1+k ）121C n kn +++-（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）20C nn knk +=-∑（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）•12•（22n 2C nn +）﹣（2n +1）•12•22n +1 =（2n +1）2C nn ；T n =（2n +1）2C n n =（2n +1）（12121C C n n n n ---+）=2（2n +1）21C nn -；因为21C nn -∈N *，所以T n 能被4n +2整除．【点评】本题考查二项式定理与组合数公式的应用问题，是难题．。

【数学】江苏省南京市、盐城市2020届高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学理试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y 轴交点的纵坐标为32， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆，则1221b b k -+的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos C =，3AC =，求AB ；（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值；（2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从Oe 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切．（1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)18．(本小题满分16分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小 (第18题图)19．(本小题满分16分)定义若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．y若函数()x xf x e ae mx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值；（2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+，移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . …………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， (10)分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分（2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………8分因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………10分又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为，则)2(4r AB -=，所以P e 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. …………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π，所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………13分答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-，解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………4分（2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=，化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=，代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， ……………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-，由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. …………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ……………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxe me e m e e xf 1)(2+-=-+='-，其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，令m e e x f x g xx -+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ，又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x ex x f -+--=， ……………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h ()在[0，+)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， 13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=，由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分当且仅当1492323a b c a b c ==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r ，所以112222227cos ,11(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ，所以异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值为711. …………………………………4分（2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r ，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r ，所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r ，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r ，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以122222()111cos ,21()1m m n n m m ⋅-+⋅<>==+⋅-+u u r u u r ，解得3m =或3m =，由图形可知当二面角11A CD B --的大小为3π时, 3m =. …………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ，两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………3分（2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥，当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。

南京市高考数学模拟试卷(理科)(I)卷(考试)

南京市高考数学模拟试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·新丰月考) 设全集是实数集，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·河南期中) 若在复平面内，复数所对应的点落在直线上，则A .B .C .D .3. （2分） (2015高二上·福建期末) “点P的轨迹方程为y=|x|”是“点P到两条坐标轴距离相等”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 不充分不必要条件4. （2分）已知命题，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·泉州模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的k，b，r的值分别为2，2，4，则输出i 的值是（）A . 4B . 3C . 6D . 76. （2分） (2016高三上·赣州期中) 下列说法不正确的是（）A . 若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B . 命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C . “φ= ”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D . a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减7. （2分） (2016高三上·武邑期中) 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·贵阳模拟) 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P（﹣2t，t）（t≠0）是角α终边上的一点，则的值为（）A .B . 3C .D .9. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 展开式中项的系数为（）A .B .C .D .10. （2分）点A（1，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离的最大值是（）A . 1+B . 2+C . 1+D . 2+11. （2分）如图长方体中，,,则二面角的大小为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·钦州期末) 已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，如图是f′（x）的大致图象，若f（x）的极大值与极小值的和等于，则f（0）的值为（）A . 0B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·山西模拟) 在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则 =________．14. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 在直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣1，0）和C（1，0），顶点B在椭圆上，则的值是________．15. （1分） (2016高二上·茂名期中) 已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为________16. （1分） (2016高二上·包头期中) 若命题p：曲线 =1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分）(2018·临川模拟) 各项均为正数的数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求的最小值.18. （10分）(2017·龙岩模拟) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF=60°．（1）求证：BC⊥平面ACEF；（2）求平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2015高三上·承德期末) 某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A81240328产品B71840296（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．20. （10分）(2018·辽宁模拟) 椭圆 :的左、右焦点分别为、，若椭圆过点 .（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点，（）为椭圆上一动点，设直线分别交直线：于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.21. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）= （e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）= ，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有 + + +…+ ＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2018高二下·磁县期末) 已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点，点，（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．23. （10分）(2019·河北模拟) 设函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2），都有恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学理试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos C =3AC =，求AB ；（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值；（2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切．（1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．y南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值；（2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．238．3 9．2310．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+，移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分（2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以Pe 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π，所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分 18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-，解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分（2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=，化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m =+，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=，代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ，当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-，由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-，其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ，又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值. 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(，消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤，综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分 21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=，由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r，所以112222227cos ,11(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ，所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分（2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r，所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==u u r u u r ，解得m =m =，由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，令1-=x 得12201232123333(91)2nn n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ，两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L{}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥，当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。

江苏省南京市高考数学一模试卷(理科)

江苏省南京市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·涪城月考) 设集合，，则（）A .B . {1}C .D .2. （2分） (2017高三下·河北开学考) 复数z= 的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2018·大庆模拟) 执行如图所示的程序语句，则输出的的值为（）A .B . 1C .D .4. （2分）(2018·黄山模拟) 在区间内的所有实数中随机取一个实数，则这个实数满足的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019·上饶模拟) 函数的大致图像为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一上·佛山期末) 已知，，且，则（）A . 2B . 1C . 0D . -18. （2分） (2020高一下·荆州期末) 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分）奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（）A . (﹣1，0)∪(1，+∞)B . (﹣∞，﹣1)∪(0，1)C . (﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)D . (﹣1，0)∪(0，1)10. （2分） (2016高二上·成都期中) 已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线11. （2分） (2017高二下·太和期中) 如图，F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，若C的离心率为，|AB|=|AF2|，则直线l的斜率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知命题所有指数函数都是单调函数，则为（）A . 所有指数函数都不是单调函数B . 所有单调函数都不是指数函数C . 存在一个指数函数，它不是单调函数D . 存在一个单调函数，它不是指数函数二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·房山模拟) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为________．14. （1分）已知二项式（ x﹣1）3=a +a1x+a2x2+a3x3 ，则（a0+a2）2﹣（a1+a3）2=________．15. （1分） (2017高二上·芜湖期末) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．16. （1分） (2019高一下·广东期中) 三棱锥的底面的顶点在球的面上，顶点为球心，，球心到的距离为，则球的体积为________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2020·兴平模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.18. （5分） (2017高二下·深圳月考) PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758PM2.5的浓度（微克6070747879 /立方米）（Ⅰ）根据上表数据，请在所给的坐标系中画出散点图；（Ⅱ）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）若周六同一时间段的车流量是万辆，试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测此时的浓度为多少（保留整数）？参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是：，其中．19. （10分） (2016高三上·大庆期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2 ，E，F分别是AB，AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．20. （10分） (2020高二上·温州期末) 已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N 两点.（1）若直线l的倾斜角为，求的长；（2）设M在准线上的射影为A，求证：A，O，N三点共线（O为坐标原点）.21. （5分）(2017·天津) 设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，满足|﹣x0|≥ ．22. （10分）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若，求线段AB的中点的直角坐标；（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求|PA|•|PB|的值．23. （10分）(2020·泉州模拟) 已知函数．（1）证明：；（2）当时，，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、。

南京市届高三第一次模拟考试数学卷-5页文档资料

南京市2019届高三第一次模拟考试数学2019．01 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分为l60分，考试时间为120分钟．2·答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内-试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题纸．参考公式，1．样本数据x1,x2,x3,…x n的方差其中是这组数据的平均数．2．柱体、锥体的体积公式：，其中s是柱(锥)体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共l4小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应的位置上．1．函数的定义域是 ___ ▲___．2．已知复数=满足(z--2)i=l+i(i为虚数单位)，则z的模为___ ▲___ ．3．已知实数x，y满足则Z＝2x+y的最小值是___ ▲___4 如图所示的流程图，若输入x＝-9.5，则输出的结果为___ ▲___5在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P（m,n），则点P在圆x2+y2=9内部的概率为___ ▲___6．已知平面向量a,b满足|a|=1，|b|=2 n与b的夹角为．以a,b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为___ ▲___7．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如右图，则该组数据的方差为 ___ ▲___．8．在△ABC中，角A，B，c所对的边分别为a,c,c 若，则角A的大小为__ ▲___．9．已知双曲线c： (a>0，b>o)的右顶点、右焦点分别为A，F，它的左准线与z轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为__ ▲___·10．已知正数数列{a n)对任意．若a2=4，则a9=__ ▲___11．已知l,m是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面．下列命题：[来源:Z#xx#k] 其中真命题是 _ ___▲___ (写出所有真命题的序号)．12．已知．若实数m，n满足，则m十n的最小值是_ ___▲__·13．在△ABC中，已知BC=2，，则△ABC面积的最大值是___▲__14．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数的一个“友好点对’(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对)．已知函数则的“友好点对”有___▲__个·二、解答题：本大翘共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分l4分)已知函数的最小正周期·16．(本题满分l4分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC—A1B1C1。