第八章 等离子体中的输运过程

(8-35)
1 dT = DA ∇2S T dt S
(8-36)
由于左边只是时间的函数而右边只是空间的函数，它们必须都等于同一个常数，设为−1/ τ ，
则
其解为
dT dt
=
−
T τ
T
=
T0
exp(−
t τ
)
空间部分 S 遵守的方程
(8-37) (8-38)
在板片几何中
∇2S
=
−
1 DAτ
S
(8-39)
m
2Ω c
2
)
（8-58）
当碰撞频率远小于回旋频率
ν

Ω c
时，（8-55）和（8-56）式变成单粒子理论中的电漂移和
压强梯度漂移速度公式。显然，碰撞减少了自由电场和压强梯度引起的漂移速度，并且在
99
ν

Ω c
时漂移变得不重要了。如果引入横向迁移率和扩散系数，则后两项为
utE = Zb⊥E⊥
（8-59）
方程左边的第二项（ u 的二次项），这时速度分布各项异性很弱。无磁场时它具有形式
mα
∂uα ∂t
=
zαeE −
1 n
grad(nTα ) + mα
δuα δt
（8-2）
对于电子 α = e 和 ze = −1，对于离子 α = i 和 zi = 1。碰撞项只考虑带电粒子同中性粒子
的碰撞
mα
δuα δt
著影响粒子平衡的唯一过程，即 δn / δt = ν in 则
95
DA
1 r
d dr
(r
dn dr
)
+
ν
in
=
0
(8-30)
式中 ν i = na seiav 是决定电子能量分布函数的平均电离率。上方程为零阶贝赛尔方程，它
的有界解为贝塞尔函数
n = n0 J0 ( r ∧) ， ∧ = DA ν i
子和离子的定向速度等于
ue = −beE− De gradn n ui = biE− Di gradn n
令这些速度相等，不难求得双极性电场
EA
=
Di − De be + bi
gradn n
考虑到 De Di 和 be bi ，得
（8-17） （8-18）
（8-19）
EA
≈ − De be
gradn n
= − Te e
gradn n
（8-20）
电场指向与密度梯度方向相反的方向。由于 EA = −gradϕ 积分得到电势分布
ϕ
−ϕ o
=
(Te e
)
ln(
n n0
)
（8-21）
由上式得到密度分布
n
=
n0
exp[e(ϕ
−ϕ 0
)
/
Te
]
（8-22）
即玻尔兹曼公式。
已知电场强度，可以确定粒子的定向速度。将（8-19）式代入（8-17）或（8-18）式，
gradn n
−
DiT
gradTi Ti
（8-13）
式中 bi = 2e / miνia ， Di = 2Ti / miνia 。利用这些公式可以求得等离子体中的电流密度
j = neui − neue = en(be + bi )E + e(De − Di )gradn +en(DeT gradTe Te − DiT gradTi Ti )
= Rαa
= −µαaναa (uα − ua )
（8-3）
在弱电离等离子体中，中性原子的定向速度通常非常小于带电粒子的定向速度。这时摩擦力
等于
Rαa = −µαaναauα
（8-4）
代入一级矩方程，考虑定态情形
则定向速度为
zαeE −
1 n
grad(nTα ) − µαaναauα
=
0
（8-5）
uα
Di < DA < De 。因此双极电场极大的减小电子定向速度。
8.3 气体放电等离子体中带电粒子密度分布
8.3.1 长柱形容器内密度的径向分布
作为应用所得到的方程的一个例子，我们讨论由纵向电场在长柱形容器内维持的定态气
体放电等离子体中的带电粒子密度分布。在容器长度非常大于它的直径的条件下可以认为等
在弱电离等离子体中带电粒子与中性离子的碰撞频率远大于带电粒子之间的碰撞频
率。带电粒子的定向运动由一级矩方程描述。在稳态条件下
Zα
eE
+
Zα
e
[uα
×B
]−
grad(nTα n
)
+
m
δuα δt
=0
(8-45)
碰撞摩擦力为
m
δuα δt
= −µαaναauα
(8-46)
这里假定了带电粒子的定向速度远大于中性粒子的定向速度。将(8-46)式代入(8-45)式后，得
ν i = DA ∧2 = 5.8DA a2
决定了平衡时的电离率。
(8-32) (8-33)
n n0
a
r
图 8-1
我们求得了密度的径向分布，但没有给出它的绝对值。在所讨论的情况下，密度依赖于
放电的纵向电流。电流密度通过电子迁移率与外场相联系着 j = enbeE0 。按等离子体横截
∫ ∫ 面积分就可以算出总电流 I =
第二项描述带电粒子密度非均匀性引起的扩散。扩散定向速度正比于密度的相对梯度
92
uαn
=
− Dα
gradn n
，
Dα
=
Tα µαaναa
（8-9）
比例系数 Dα 称为扩散系数。最后一项由温度梯度引起的扩散——热扩散
uαT
= −DαT
gradTα Tα
， DαT
=
Tα µαaναa
（8-10）
式中 DαT 热扩散系数。扩散系数和迁移率之间的关系
第八章 等离子体中的输运过程
8.1 无磁场弱电离等离子体中的输运过程
在弱电离等离子体情况下，电子和离子同原子碰撞的频率远大于它们之间碰撞的频率
ν ea
νei ,
νee ;
ν ia

ν ii
,
me ν mi ie
（8-1）
带电粒子定向运动决定于一级矩方程。忽略与粘性有关的效应，在大多情况下还可以不考虑
L (Dτ)1/ 2
=
π 2
(8-42)
或者 最后得到
τ
=
(
2L π
)2
1 D
n
=
n0e−
t
τ
cos
πx 2L
(8-43) (8-44)
97
这叫做最低扩散模，密度分布是余弦形的，并随时间指数的衰减。时间常τ 随 L 的增加而
增加，随 D 的增加而减少。
n
-L
0
L
图 8-2
8.4 弱电离等离子体中带电粒子在磁场里的定向速度
udE
=
[E⊥ ×h]
B(1+ µ2ν 2 m2Ωc2 )
=
bd
[E⊥ ×h]
（8-55）
udp
=
[h×grad⊥ (nT )]
ZenB(1+ µ2ν 2 m2Ωc2 )
=
Dd
⎡⎢⎢⎣h×
gradp p
⎤⎥⎥⎦
（8-56）
这里
bd
=
1 B(1+ µ2ν 2
m2Ωc2 )
（8-57）
Dd
=
T ZeB(1+ µ2ν 2
Dα = Tα bα e
（8-11）
称为爱因斯坦关系。
带电粒子的总定向速度可以通过以上引进的输运系数来表示。对电子求得
ue
= −beE − De
gradn n
− DeT
gradTe Te
式中 be = e / meνea ， De = Te / meνea 。而对离子
（8-12）
ui
=
biE − Di
)
（8-49）
和无磁场时的相同。引进用来描述在磁场方向上运动的迁移率和扩散系数
b& = e µν , D& = D&T = T µν
（8-50）
98
将（8-49）式写为
u&
= b&E& − D&
grad&n n
−
D&T
grad&T T
（8-51）
在垂直于磁场平面上矢量方程的投影
µν
u⊥
−
ZmΩc
[u⊥
+
div(nu)
=
δn δt
对定态情形, 设 ∂n / ∂t = 0 , 得
(8-27)
DA∇2n
+
δn δt
=
0
(8-28)
在柱对称的等离子体中密度只依赖于半径
DA
1 r
d dr
(r
dn dr
)
+
δn δt
=
0
(8-29)
碰撞项决定单位体积内的电离和复合过程效率。首先讨论最简单的情况，这时直接电离是显
b⊥
D⊥
=
e T
×h]
=
ZeE⊥
−
grad⊥ (nT n
)
（8-52）
这里 h = B / B 是磁场方向单位矢量,
Ω c
=
eB
/
m
是回旋频率。用
h