2.1.1合情推理讲学稿
课件2：2.1.1合情推理
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
2.1.1合情推理课件人教新课标2
直升机
仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的.
火星上是否有生命？
地球
火星
行星、环绕太阳运行、绕 行星、环绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有季节的变更
温度合适生物的生存 有生命存在
大部分时间的温度合适地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：类比推理的过程（步骤）
移到另一根针上.
2
1
3
1.每次只能移动1个金属片； 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试估计：把n个金属片从1号针移到3号针,最少 需要移动多少次?
分析：我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探 究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需 的次数.
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针， 用符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金 属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动 顺序是：
当n=3时，
当n=4时，
视察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数. 由此猜想，这个数列的通项公式为
探究点2 类比推理
春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手,他由此受到启示从而发明了锯.
类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这
样得到的. 鱼类
形状，沉浮原理
潜水艇
蜻蜓 外形，飞行原理
（1）把第1个金属片从1号针移到2号针； （2）把第2个金属片从1号针移到3号针； （3）把第1个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为：（12）（13）（23） 共移动了3次. 当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为 n=2的情形，移动顺序是： （1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
课件11：2.1.1 合情推理
类比对象较合适
()
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
【解析】从构成几何图形的几何元素的数目、位置关
系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体
的类比对象较为合适．
【答案】C
4．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规 律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
解：方法一：图(1)中的圆圈数为12－0； 图(2)中的圆圈数为22－1， 图(3)中的圆圈数为32－2， 图(4)中的圆圈数为42－3， 图(5)中的圆圈数为52－4… 故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
小结：
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比， 找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存 在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确 是需要证明的.
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
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2.1.1 合情推理
学习目标： 1．了解合情推理的含义及合情推理在数学发现中的作用； 2．理解归纳推理与类比推理的含义及它们的异同点． 3.理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
新知识·预习探究 知识点一：归纳推理 1．概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推 理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中， 1
OVEE＝hh1＝＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD， ∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VVBCV＋－BVCDO－VCD＋VO－VBD＝VVVV－－BBCCDD＝1.
课件6：2.1.1 合情推理
二是研究数列中的相邻两项或几项的关系，这样，知 道了最初的几项后，后面的项就可按照已找出的关系 顺次写出来． (2)这个数列的一般项可以写成： a2n＝1＋2(1＋2＋…＋n)＝n2＋n＋1； a2n－1＝1＋2(1＋2＋…＋n－1)＋n＝n2＋1(n∈N＋)．
跟踪训练 3.如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点” 表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构， 第 n 个图有________个原子，有________个化学键．
解：(1)由已知有 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出 an＝2n＋1－1，n∈N* .
(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a，n∈N*.
…， 所以，第 20 个拐弯处的数是 a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10) ＝1＋2(1＋2＋…＋10)＝111.
第 25 个拐弯处的数是 a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13) ＝1＋2(1＋2＋…＋12)＋13＝170.
方法总结 (1)寻找数列的排序规律，常用两种方法： 一是考察数列的“项”与它所在的位置，即“项数” 之间的关系，一般的数列写作：a1，a2，a3，…， an，….这里的an是数列的“项”，n是“项数”，若能 找到“项”与“项数”的关系，则知道了项数n，也就 知道了它所对应的项an.
解：如图，设 O 为四面体 V－BCD 内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO 并延长交对面于 V′、B′、C′、D′， 类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′′＝1.
人教版选修2-2《2.1.1合情推理》课件(共23张PPT)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体86Fra bibliotek12五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
7.利用等差数列性质类比等比数列性质
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
2.1.1合情推理讲课用
三.归纳总结： 这一节课，我们都学到了什么？
谢谢！
例如：
前提
a // b, b // c
结论
a // c
15
猜想：苏格拉底会死。
2.1.1 合情推理
推理
合情推理 演绎推理
合情推理： 前提为真时，结论可能为真的推理. 合情推理
归纳推理 类比推理
5
一.归纳推理
由一类事物的部分对象具有某种性质,推 出该类事物的所有对象都具有这种性质的推 理称为归纳推理（简称归纳）.
一般 , 归纳推理是由______ 特殊 到______
推理
根据一个或几个已知事实（或假设）得 出一个判断，这种的思维方式就叫推理. 推理一般由两部分组成：前提和结论
2
（1）铜能导电、铝能导电、金能导电、银能导电， 猜想：一切金属都能导电。 （2）三角形内角和为180，凸四边形内角和为 360 ， 凸五边形内角和为 540， 猜想：凸n边形内角和为 n 2180。 （3）第一个数为2，第二个数为4，第三个数为6， 第四个数为8， 猜想：第n个数为2n。 （4）因为所有人都会死，苏格拉底是人
小故事 一位老师要测试两个学生谁更聪明，准备 好2顶白帽子，1顶黑帽子，让他们看到，然 后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏 起剩下的帽子，最后，叫他们睁开眼，看着 别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色．2个 学生互相看了看，都犹豫了一会，并异口同 声地说出自己戴的是白帽子． 他们是怎么知道帽子颜色？
2
解：f (1) 12 1 41 43, f (2) 22 2 41 47,
f (3) 3 3 41 53, f (4) 4 4 41 61,
课件12：2.1.1 合情推理
因为 AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 ACD， 而 AF⊂平面 ACD，所以 AB⊥AF， 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， 所以A1E2＝A1B2＋A1F2，
易知在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， 所以A1F2＝A1C2＋A1D2， 所以A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，猜想正确．
解：如图①所示，由射影定理得
① AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
所以A1D2＝BD1·DC＝BC·BCB·CB2D·DC ＝ABB2C·A2C2. 又 BC2＝AB2＋AC2， 所以A1D2＝A1B2＋A1C2.
类比猜想： 四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD， 则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2. 如图②，延长 BE 交 CD 于 F，连接 AF，
(2)观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， … 照此规律，第 n 个等式可为________．
(3)已知 f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1， 且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*) 的表达式为________．
类型2 几个图形中的归纳推理 例 2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成 若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是 ________．
【解析】 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中 黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为 5 的等差数列， 从而第 n 个图案中黑色地面砖的个数为 6＋(n－1)×5＝ 5n＋1. 【答案】 5n＋1
课件11：2.1.1 合情推理
题型三 类比推理及其应用 例 3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面 体性质的猜想．
解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；
类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P-DEF 中，如图(2)， 猜想：S2＝S21＋S22＋S23(S、S1、S2、S3 分别是四面体 PDEF 的 面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE 的面积)．
2．已知△ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 S△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论 有：若三棱锥 A-BCD 的内切球半径为 R，求三棱锥 A-BCD 的体积． 解：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VABCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
象具有某种性质，推出这 些__类__似__ (或__一__致__)性，推测其
定义 类事物的_所__有___对象都具 中一类事物具有与另一类事物类
有这种性质的推理，叫做 似(或相同)的性质的推理，叫做类
归纳推理
比推理
归纳是从特殊到一般的过 特征
程
类比是从特殊到特殊的过程
初试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( × ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( √ ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( × )
2．数列 5，9，17，33，x，…中的 x 等于( )
课件5：2.1.1 合情推理
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中
的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，… 的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳 得到结果．
跟踪练习 4 已知 a1＝3，an＋1＝a2n(n＝1,2，…)，试通过归纳推理得出 数列{an}的通项公式，并给出证明． 解：由 a1＝3，an＋1＝an2，得 a2＝32，a3＝(32)2＝322， a4＝(322)2＝323， a5＝(323)2＝324，…，an＝32n－1(1,2，…)． 证明如下：
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中，设底面 BCD 上的高分别为 h′，h，则
1 OVEE＝hh′＝＝331SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－ －VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD，
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1. 于是把结论类比到四面体 P－A′B′C′中，我们猜想，三棱 锥 P－A′B′C′中，若三个侧面 PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互 相垂直，且分别与底面所成的角为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β ＋cos2γ＝1.
学科核心素养 归纳推理在数列中的应用
__类__比______)
新知导入 1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
特
归 纳 推 理 是 由 _部__分___ 到 _整__体___ 、 由 __个__别__ 到
类比推理是由__特__殊__到
征 _一__般___的推理
_特__殊___的推理
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过
课件4：2.1.1 合情推理 ——归纳推理
前n项和Sn=n2.
典例剖析
例2．设f(n)=n2+n+41，n∈N+，计算f(1)， f(2)，f(3)，f(4)，……，f(10)的值，同时作 出归纳，并用n=40验证猜想是否正确。
解：f(1)=12+1+41=43; f(2)=22+2+41=47; f(3)=32+3+41=53; f(4)=42+4+41=61；
等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n－1)d.
积极探索
（一）归纳推理的定义 这种根据一类事物的部分对象具有某种
性质，推出这类事物的所有对象都具有这 种性质的推理，叫做归纳推理（简称归 纳）。归纳是从特殊到一般的过程。 下面，我们通过一个实例来得出归纳推理 的一般步骤。
例如，当你看到这样的几个关系式： 10=3+7，20=3+17；30=13+17，时，
第二章 推理与证明
2.1.1 合情推理---归纳推理
开篇引入
日常生活中我们常常会根据某些现象 来做出一些判断，这其实就是运用了 推理的思想. 下面来考察以下事例中的推理： （1）1856年，法国微生物学家巴斯德发 现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着， 通过对蚕病飞研究，他发现细菌是引起蚕 病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一 些传染病也是有细菌引起的；
开篇引入
（2）我国地质学家李四光发现中国松辽 地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚 西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平 原也蕴藏着丰富的石油；
（3）因为三角形的内角和是180°×(3－ 2)，四°×(5－2)，……，所 以n边形的内角和是180°×(n－2)。
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江门市新会陈瑞琪中学 数学科讲学稿
年级：高二 内容：2.1.1合情推理 课型：新课
执笔人：陈鹏 审核人： 游周平 、李碟 时间：2014年2月11日
学习目标
1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理与类比推理的含义，
2、能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;
3、体会并认识归纳推理与类比推理在数学发展中的作用．
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳, 类比进行简单的推理；
教学难点：用归纳及其类比进行推理，做出猜想。
学习过程
一、课前准备
（预习教材P70~ P78，找出疑惑之处）
二、新课导学
1．合情推理包括 和 ；
归纳推理：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这
些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理，简称归纳．简
言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理．
2.由数列1,10,100,100 ，猜想该数列的第n 项可能是（ ）.
A.10n
B.110n -
C.110n +
D.11n
3. 因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角
和是180(52)︒⨯-……所以n 边形的内角和是
4、1，3，5，7，…，由此你猜想出第n 个数是_______.
5、类比推理是由两类对象 和其中一类对象的 推出
的推理.
三、典型例题
例1探究:
1=12 ，1+3=4=22 1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42 ，1+3+5+7+9=25=52，……
由上述具体事实能得出怎样的结论？
例2探究 已知数列{a n }的第1项a 1=1且 （n=1，2,3，…）
(1)求出a 2,a 3,a 4;
(2)试归纳这个数列的通项公式。
练习
1、根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图形中有 _____个点.
2)1(1++=+n a n a n n
2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
例3：已知圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.类比圆的定义给“球”下个定义：
例5 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
例5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论.
1
=
+
+
c
c
b
b
a
a
h
p
h
p
h
p
四、学习小结
1. 合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊
；结论不一定正确.
2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.
学习评价
自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
五、当堂检测：
1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论
2223sin 30sin 90sin 1502++= ，223sin 60sin 120sin 1802++= ，
2223sin 45sin 105sin 1652++= ，2223sin 15sin 75sin 1352++= ．
2、类比在平面△ABC 中，由余弦定理可以从已知两边和夹角可以计算第三边，猜想四面体V-BCD 类似的性质
3、.在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121 （1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S
4．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72
，推测当n ≥2时，有________．
5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示
数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的
三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：
(1)b 2 012是数列{a n }中的第______项；
(2)b 2k －1＝________.(用k 表示)
6．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正
方形数是 ( )
A ．n (n －1)
B ．n (n ＋1)
C ．n 2
D ．(n ＋1)2
7．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系；
(3)求出f (n )．
f (2n )>n ＋22 (1)5 030 (2)5k (5k －1)2
C 解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分． (2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.
(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.。