高二数学函数的极值与导数2
高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学
故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
高二导数极值点知识点梳理
高二导数极值点知识点梳理导数极值点是高二数学中的一个重要概念，它在函数的图像和变化规律分析中具有十分重要的作用。
了解导数极值点的概念及其相关性质，对于我们解决数学问题，特别是函数极值问题，都具有很大帮助。
本文将对高二导数极值点的知识点进行梳理和总结。
一、导数极值点的定义定义1：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，在x0处可导。
如果在x0点的左邻域有f'(x)由正变负，而在x0点的右邻域有f'(x)由负变正，那么函数f(x)在x0处取极大值；如果在x0点的左邻域有f'(x)由负变正，而在x0点的右邻域有f'(x)由正变负，那么函数f(x)在x0处取极小值。
定义2：设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，在x=a和x=b处的极限都存在。
如果在(a,b)内存在一点x=c，使得f(x)在c点的邻域内可导，且f'(c)=0，则函数f(x)在x=c处取极值。
二、导数极值点的判定方法1. 极值点的必要条件极值点的必要条件是f'(c)=0，即函数f(x)在取得极值的点c处的导数为零。
但需要注意的是，只有满足必要条件并不能保证函数在该点处一定存在极值。
2. 极值点的充分条件其实现可以分为如下几种情况：2.1 当导数函数f'(x)在x=c的左侧由负数变正数，右侧由正数变负数时，即f''(c)>0时，函数f(x)在x=c处取极小值。
2.2 当导数函数f'(x)在x=c的左侧由正数变负数，右侧由负数变正数时，即f''(c)<0时，函数f(x)在x=c处取极大值。
2.3 当导数函数f'(x)在x=c的左右两侧变化同号时，即f''(c)不存在或f''(c)=0时，函数f(x)在x=c处不取极值。
三、导数极值点的应用1. 导数极值点确定函数的增减区间通过导数的正负可以确定函数的增减区间。
导数的应用(第3课时)利用导数研究函数的最值和二次函数(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修二)
在闭区间上的连续函数 ， 函数的最大值与最小 ， 可以直观地理解为在区间 I上图像为一条连绵不断的曲线的函数 ． 更精确及普适的连续函 数的定义 ， 要用到严格的极限语言 ， 在高等数学中才能给出 ．
例9.已知（f x）＝-x2＋６x 1，求函数y （f x）在区间［ ０，７］ 上的最大值与最小值
解 由本节例 ６ 可知 ， 函数 （f x）＝-x2＋６x 1 的驻点为 x ＝３ ，比较 f（ ３ ） ＝８ ， f（ ０ ） ＝－１ ， f（ ７ ） ＝－８ ， 可知该函数在 ［ ０ ， ７ ］ 上的最大值是 ８ ， 最小值是 －８ ， 如图 ５-３-３ 所示
首先 ，可以利用导数的正负来判断函数y=ax2 +bx+c（a＞０）的单调性 ， 同时求出它的极值 ．
记f (x)=ax2 +bx+c ．对该函数求导 ，可得f (x)＝２ax＋b，令f (x)＝０，
解得函数有唯一驻点x0 ＝-
b ．可以列表如下 2a
：
因此 ，函数y f (x)的单调减区间为( - ，- b ),单调增区间为(- b ，+)
当 Δ≤０ 时 ， 该不等式的解集为 Ｒ． 这就很方便地得到必修课程 第 ２ 章中的相应结论 ．
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 判断下列说法是否正确 ， 并说明理由 ： （ １ ） 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 ； （ ２ ） 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 ； （ ３ ） 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 ； （ ４ ） 函数在宋某老区师间数上学的精最品大工值作就室是它在该区间上的极大值 ．
第 5 章导数及其应用
高二人教版数学选修1-1练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
►基础梳理1．极值的概念．如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．,►自测自评1．下面说法正确的是(B)A．可导函数必有极值B．函数在极值点一定有定义C．函数的极小值不会超过极大值D．函数在极值点处导数一定存在2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数y＝1＋3x－x3有极小值________，极大值__________．解析：∵y＝1＋3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，且y′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.∴当x＝－1时，y＝－1是极小值；当x＝1时，y＝3是极大值．答案：－1 31．函数y ＝2x 3－x 2的极大值为(A )A ．0B ．－9C ．0，2716 D.2716解析：y ′＝6x 2－2x ，令y ′＞0，解得x ＜0，x ＞13， 令y ′＜0，解得0＜x ＜13， ∴当x ＝0时，取得极大值0，故选A.2．若函数y ＝x 3－2mx 2＋m 2x, 当x ＝13时， 函数取得极大值， 则m 的值为(C ) A.13或1 B.13C ．1D ．都不对3．若函数y ＝13x 3＋x 2＋ax 在R 上没有极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，∵f (x )在R 上没有极值点，∴Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.答案：a ≥14．求函数f (x )＝－x (x －2)2的极值．解析：函数f (x )的定义域为R .f (x )＝－x (x 2－4x ＋4)＝－x 3＋4x 2－4x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋8x －4＝－(x －2)(3x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝23或x ＝2. 列表：从表中可以看出，当x ＝23时，函数有极小值， 且f ⎝⎛⎭⎫23＝－23⎝⎛⎭⎫23－22＝－3227. 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝－2(2－2)2＝0. 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.即f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)．函数f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23与(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1.1．f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点的(C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点时不仅要f ′(x 0)＝0，而且还要x 0左右的增减性相异．故f (x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．2．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )有唯一的极值，并且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则(C )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案C.3．函数y ＝1＋3x －x 3(D)A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析：y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±1，易判断当x ＝1时，有极大值y ＝3，当x ＝－1时，有极小值y ＝－1.故选D.4．已知函数y ＝2x 3－ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B )A ．(2，3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：y ′＝6x 2－2ax ＋36，∵x ＝2为极值点，∴当x ＝2时，y ′＝6×4－2a ×2＋36＝0，解得a ＝15，∴y ′＝6x 2－30x ＋36，令y '＝0，得x ＝2，x ＝3，∴y ′＞0时，x ＜2或x ＞3，故选B.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在区间(0，1)内有极小值，则(A )A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12解析：问题等价于方程f ′(x )＝3x 2－3b ＝0在区间(0，1)内有解，并且其较大的解必须在区间(0，1)内．于是得到0＜b ＜1，即0＜b ＜1.故选A.6．设函数f (x )＝x 3－mx 2－nx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的极值为(A )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值0 解析：根据导数的几何意义，得到f (1)＝0，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－m －n ＝0，f ′（1）＝3－2m －n ＝0，解得m ＝2，n ＝－1，此时f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，再依据求极值的方法，可以得到极大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝427，极小值为f (1)＝0.故选A.7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________． 解析：本题考查对极值定义的理解．依题意有f ′(x )＝2x ()x ＋1－（x 2＋a ）()x ＋12， f ′(1)＝0，解得a ＝3.答案：38．已知三次函数f (x )的图象经过原点，并且当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则函数f (x )的解析式为________________________________________________________________________．解析：依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′（3）＝27a ＋6b ＋c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝4，f （3）＝27a ＋9b ＋3c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .答案：f (x )＝x 3－6x 2＋9x点评：典型的待定系数法解题，本题的条件有多余，所以要注意验根．9．若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2xf ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0，c ＝2或c ＝6.当c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)，当23＜x ＜2，f ′(x )＜0，当x ＞2，f ′(x )＞0， ∴当x ＝2时有极小值．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，当2＜x ＜6时，f ′(x )＜0，当x ＜2时，f ′(x )＞0，∴当x ＝2时有极大值．∴c ＝6符合题意．答案：610．(·惠州三模)已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )的极小值；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． 解析：(1)∵当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0.当x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递增．∴f (x )的极小值是f (1)＝－2.(2)f ′(x )＝3x 2－3a ，直线x ＋y ＋m ＝0，即y ＝－x －m ，依题意得，切线斜率k ＝f ′(x )＝3x 2－3a ≠－1，即3x 2－3a ＋1＝0无解．∴Δ＝0－4×3(－3a ＋1)＜0，∴a ＜13. 11．(·惠州一模)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )、g (x )的图象都相切于点(1，0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )[其中g ′(x )是g (x )的导函数]，求函数h (x )的极大值．解析：(1)∵直线是函数f (x )＝ln x 在点(1，0)处的切线，∴其斜率k ＝f ′(1)＝1.∴直线的方程y ＝x －1.又∵直线与g (x )的图象相切，且切于点(1，0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1，0)的导函数值为1. ⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝0，g ′（1）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝16.∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16. (2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x >0)．∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－（2x －1）（x ＋1）x. 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍去)． 当0<x <12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x >12时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值． ∴[h (x )]极大值＝h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋14. ►体验高考1(·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ∶f ′(x 0)＝0；q ∶x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 即不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(·重庆卷)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x . (1)求a 得值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解析：(1)对f (x )求导数得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处切线垂直于直线y ＝12x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数；由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.3．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．4．(·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 2e －x .(1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝t －f （t ）f ′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3. 由已知和①式得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝x ＋2x(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时， h (x )的取值范围为[22，＋∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞)．综上，l 在x 轴的截距的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞).。
高中数学 选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版
1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________．K 知识参考答案：1．()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< 2．0()0f x '= 3．极大值 极小值K —重点 利用导数求函数极值的方法 K —难点 函数极值的应用K —易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）． 已知函数323()31f x ax x a=-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值． 【答案】见解析．【解析】由题设知0a ≠，22()363()f x ax x ax x a'=-=-． 令()0f x '=得0x =或2x a=． 当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x (,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值． 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x 2(,)a-∞2a2(,0)a0 (0,)+∞()f x ' – 0 + 0 – ()f x极小值极大值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值． 【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b =++∈R 在12x =，23x =处取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【答案】（1）6a =，5b =-；（2）42130x y --=．（2）21()6ln 52f x x x x =+-，则19(1)522f =-=-，得9(1,)2P -． 又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=．从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．已知2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意．④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．1．函数()ln f a x x x =+在1x =处取得极值，则实数a 的值为 A ．0B ．1-C ．12-D ．122．函数2n 2)3l (f x x x x =+-的极值点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个3．如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点．以上说法正确的序号为 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．④4．函数()2cos f x x x =+在[0,π]上的极小值点为 A ．0B ．π6C ．5π6D ．π5．设a ∈R ，若函数e ,x y ax x =+∈R 有大于零的极值点，则 A ．1a <- B ．1a >- C ．1e a >-D ．1ea <-6．设a ∈R ，若函数e 2,x y ax x =-∈R 有大于0的极值点，则A ．1e a <B ．1e a >C ．12a >D ．12a <7．函数3()3f x x x =-的极小值为________________．8．已知函数32()(6)1f x ax x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 9．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数()f x 的极大值为________________． 10．已知函数2()e (3)x f x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()e 1x f x x a =--（a 为实数），()ln x g x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值．12．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12． （1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间．13．已知函数21()ln 2f x bx x x =--+存在极小值，则实数b 的取值范围为 A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2)D ．(0,2]14．设函数()f x 满足2e ()2()x xf xf x x x '+=，2(2e )8f =，则当0x >时函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值15．已知a ∈R ，若()()e xaf x xx =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时，函数()f x 的极值为712-，则(2)f =________________．17212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>1(,1)2a 的取值范围是________________．18．已知函数()(1)e x f x k x =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）．（1）当0x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．20．已知函数3211(),32f x ax a x =-∈R ． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,()3)f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g f x a x x x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（2017新课标全国II ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1 22．（2018北京文）设函数．（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求a ；（2）若在处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知函数e ln 1x a x --．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当1e a ≥时，．24．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．25．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．26．（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．1．【答案】B 【解析】()1,(0,)af 'x xx =+∈+∞，函数在1x =处取得极值，则()01f '=，可得1a =-．故选B ． 2．【答案】A【解析】21621()62x x f 'x x xx -+=+-=，由()0f 'x =可得26210x x -+=，该方程无解，因此函数2n 2)3l (f x x x x =+-无极值点．故选A ．3．【答案】B4．【答案】C【解析】因为()2cos f x x x =+，所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得π6x =或5π6x =，由()0f x '<可得π5π66x <<；由()0f x '>可得π06x ≤<或5ππ6x ≥>，所以函数()2cos f x x x =+在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cos f x x x =+的极小值点为5π6．故选C ．5．【答案】A【解析】因为e ,xy ax x =+∈R ，所以e xy a '=+，由题意知，e 0x a +=有大于0的实根，可得e x a =-，因为0x >，所以e 1x >，所以1a <-，故选A ． 6．【答案】C【解析】函数e 2,xy ax x =-∈R 的导数为e 2xy a '=-，函数e 2,xy ax x =-∈R 有大于0的极值点，即e 20x a -=有大于0的实根，所以函数e xy =与函数2y a =的图象在y 轴右侧有交点，所以1212a a >⇒>，故选C ． 7．【答案】2-【解析】2()33x f 'x =-，令()0f 'x =，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f 'x >，当11x -<<时，()0f 'x <，所以当1x =时，函数()f x 取极小值，且极小值是3()11213f =-⨯=-．8．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】因为32()(6)1f x ax x a x =++++，所以2()326f 'x a x ax =+++， 又因为函数()f x 有两个极值，所以()0f 'x =有两个不等的实数根，所以0∆>， 即2443(6)0a a -⨯+>，解得3a <-或6a >．故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．9．【答案】1-10．【答案】（1）033=++y x ；（2）3()6e x f -=极大值，()2e x f =-极小值．【解析】（1）由题意可得2()e (23)e (3)(1)x xf 'x x x x x =+-=+-，故()30f '=-．又(30)f =-，故曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ．（2）由()0f 'x =可得1=x 或3-=x ，()f 'x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示，x(,3)-∞-3- (3,1)-1(1,)+∞()f 'x +-+()f 'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6e x f f -=-=极大值，()(1)2e f f x ==-极小值．11．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．【解析】（1）由题意得()e x'a x f =-，当0a ≤时，()0f x'>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <， 故函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减．12．【答案】（1）1,12a b ==-；（2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞． 【解析】（1）由题可得()2b f x ax x '=+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨⋅+=⎪⎩，所以121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． （2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，则函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x--'=+=， 令()0f x '=，即210x x-=，解得1x =或1x =-（舍去）， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 13．【答案】A【解析】211()x bx f 'x x b x x -+-=--+=，因为()f x 存在极小值，所以方程210x bx -+-=有两个不等的正根，设为1x ，2x ．故1212210240x x b x x b b ∆⎧+=>⎪=>⇒>⎨⎪=->⎩，所以b 的取值范围为(2,)+∞，故选A ．14．【答案】D【解析】由题意得23e 2()()x xf f xx x '-=，令2()e 2()x h x x f x =-， 则22e e (2)()e 2[()2()]e x x xxx h x f xf x x x x x-''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， 故2222e ()(2)e 22(2)e 2408h h f x ==-⨯=-⨯⨯=极小值，因此当0x >时，()0f 'x ≥恒成立，所以当0x >时函数()f x 既无极大值也无极小值，故选D ． 15．【答案】A16．【答案】53【解析】3221()3f x x a x ax b =+++，22()2f 'x a x a x ∴=++，)01(f '-=，12a ∴=-或1a =，当1a =时，2()210f 'x x x =++≥，此时函数()f x 没有极值，12a ∴=-，又7(1)12f -=-，1b ∴=-，32111()1342f x x x x ∴=+--，5(32)f ∴=．17．【答案】(1,2)【解析】由212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>可得2(1()2)x x f 'ax a =-++，因为函数()f x 在区间1(,1)2内有极值，且0a >，所以方程0()f 'x =在在区间1(,1)2内有解，即方程2(12)ax a x-++0=在区间1(,1)2内有解，解得1x a =或2x =(舍去)．构造函数(12)x y a a =-+和2y x=-，由0a >数形结合可得1x a =为函数()f x 的极大值点，故11(,1)2a ∈，即12a <<，则实数a 的取值范围是(1,2)．18．【答案】（1）当0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，无极值；当0k >时，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递増区间是(,)k +∞，极小值为e k-，无极大值；（2）22e 8(,)e-+∞．（2）由()4f x x <，可得(1)e 40xx k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41exxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记()1g x x =-4e x x -，则4(1)e 4(1)()1e ex x xx x x g -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]上单调递增，故2228e 8()()12e e x g g -≤=-=，所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞． 19．【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为52-；（2）(,4]-∞． 【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =，所以23()ln 42f x x x x =+-，21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x -+--'=+-==>．当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，113x <<． 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-． （2）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343mh x x x x '=+--， 由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得2()3430m h x x x x'=+--≤在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增． 故()3344x ϕ>-+=，所以4m ≤， 故实数m 的取值范围是(,4]-∞．20．【答案】（1）390x y --=；（2）见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由()()(sin )g x a x x x '=--，通过讨论确定()g x 的单调性，再由单调性确定极值．（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，所以当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． ①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-． ②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．【名师点睛】（1）求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．（2）若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 21．【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22．【答案】（1）；（2）．23．【答案】（1）212ea =；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得212ea =，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a ≥时，f （x ）≥e e x ，之后构造新函数g （x ）=e ex，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果． 【解析】（1）f （x ）的定义域为，f′（x ）=a e x –．由题设知，f′（2）=0，所以212ea =． 从而21e 2e ()xf x =，21()e 2e xf x '=．当0<x <2时，()f x ' <0；当x >2时，()f x '>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥e e x．设g （x ）=e ex，则e 1e x x-， 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1ea ≥时，．24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．（2）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)()a a a a x --+-∈+∞时，()0f x '<；当2244a a a a x --+-∈时，()0f x '>，所以()f x 在2244(0,),()22a a a a -+-+∞单调递减，在2244(22a a a a -+-单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 25．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． 若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++． 由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<， 所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 26．【答案】（1）2239a b a=+，3a >；（2）证明见解析；（3）(3,6]． 【思路分析】（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1+，构造函数23()=9t g t t+，利用导数研究函数单调性，可得(g g 即2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以33()1032793a a a abf -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤，因此a 的取值范围为(3,6]．。
函数的极值(2)(25张PPT)高二下数学人教A版选择性必修第二册
内 容 索 引
2
1
【解析】 因为所以f(x)=3x²+mx—2m²=(3x—2m)(x+m).令f(x)=0, 得 ,X₂=—m.因为m>0, 所以 当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：
4 5
函数g(x)=f(x) 一m恰有3个零点，则m 的取值可能是(AD)A.—In2 B.—1C.—2 D.—3
3.(多选)(2022·邢台四校联考)已知函数
⑩已知函数f(x)=x⁵+ax³+bx+1 仅在x=±1 处有极值，且极大值比极小值大4.求：⑩(1)实数a,b的值；⑩(2)f(x)的极值.
必跟踪训练
内 容 索 引
又函数 f(x)仅在x=±1 处有极值，所以函数5x²+(3a+5)≠0 对任意x成立，即△=0-20(3a+5)<0, 解得则5x²+(3a+5)>0 对任意x 恒成立.又当x∈(一一，一1)U(1,十一)时，f (x)>0;当 x∈(-1,1)时，f (x)<0,所以当x=—1 时 ，fx) 取得极大值；当x=1 时 ，f(x) 取得极小值，所以f 一1)一f(1)=4,即 a+b=-3 .②由①②解得a=—1,b=—2. 故实数a,b 的值分别为一 1, — 2.
例4 已知f(x)=ax⁴ lnx+bx⁴—c(x>0)在x=1 处取得极值-3—c,其 中a,b,c 为常数
内 容 索 引
(2)由(1),得f(x)=48x³ln x(x>0).令f(x)=0, 解得x=1.当0<x<1时 ，f(x)<0, 此时f(x)为单调减函数；当x>1时 ，f(x)>0, 此时f(x)为单调增函数，故函数f(x)的单调增区间为(1,十o), 单调减区间为(0,1).(3)根据(2)的结论，可画出函数f(x)的草图，所以f(x)min=f(1)=—3—c.因为fx)≥-2c² 恒成立，所以-3—c≥-2c², 解得 或c≤—1,故实数c的取值范围为(-0,-1)u2,+0
高二数学(人教A版)《3.3.2函数的极值与导数》导学案
3.3.2函数的极值与导数[自学目标]:1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.[重点]: 极大、极小值的概念和判别方法。
[难点]: 严格套用求极值的步骤[教材助读]一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有________我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有________，我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是________⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是________注意：导数为0的点不一定是极值点．[预习自测]1．函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值2．求函数x e x y -=2的极值。
上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律?1．求()31443f x x x =-+的极值 填写下表并求极值探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？2．求y =(x 2－1)3+1的极值[当堂检测]1．求下列函数的极值:（1）2()62f x x x =-- （2）3()27f x x x =-（3）3()612f x x x =+- （4）3()3f x x x =-2．已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1，(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[拓展提升]1．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ．★2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．★★3.已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？。
高二数学导数重点知识点
高二数学导数重点知识点导数是高中数学中的一个重要概念，它在很多数学问题的解答中扮演着重要角色。
通过求解导数，我们能够计算函数在不同点上的斜率，进而研究函数的变化规律。
本文将介绍高二数学中的导数重点知识点，帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、导数的定义和性质导数的定义是：对于函数y=f(x)，在x点处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。
导数表示函数变化率的大小，可以用来研究函数的增减性、极值等性质。
导数的性质包括：1. 基本导数公式：对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数，有相应的导数公式可以直接使用。
2. 运算法则：导数具有线性性质，即求导数的和（或差）等于函数对应的和（或差）的导数；求导数的常数倍等于函数对应的常数倍的导数。
3. 导数的乘积法则：两个函数相乘的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
4. 导数的商法则：两个函数相除的导数等于分子的导数乘以分母再减去分母的导数乘以分子，最后再除以分母的平方。
5. 高阶导数：导数的导数称为高阶导数，可以通过多次求导获得。
二、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 切线和法线：导数可以用来求解曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于该点的导数值，而法线的斜率等于切线的相反数。
2. 函数的极值：导数可以帮助我们找到函数的极大值和极小值。
在导数为零或不存在的点处，函数可能有极值。
3. 函数的凹凸性：通过导数的变化可以研究函数的凹凸性。
如果导数的值递增，则函数的曲线凸向上；如果导数的值递减，则函数的曲线凹向上。
4. 函数的图像：导数可以揭示函数的图像特征。
通过分析导数的正负变化可以确定函数的增减性，通过分析导数的零点可以确定函数的极值点。
5. 近似计算：导数可以用来进行数值的近似计算。
人教版数学高二下册课件：函数的极值与最大(小)值(2)
(
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值．
)
)
(
)
(4)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极
值点或区间端点．
(
)
解析： (1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能
在极值点处取得．
值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，
只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.
2单调区间取端点,当图象连续不断的函数 fx在[a，b]上单调
时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
课堂小结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单
调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．
(3)因为 y 最大值≥y 极值，y 最小值≤y 极值，故错误．
(4)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
典例解析
例6: 求 =
1 3
3
− 4 + 4在[0,3]的最大值与最小值.
解：因为 ′ = 2 − 4 = + 2 − 2
令 ′ =0,解得：1 = −2, 2 = 2
又因为f(0)=4,f(3)=1
所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，
4
3
当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值- .
归纳总结
求函数最值的着眼点
人教版数学高二教学设计21.3.2函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数●教学目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．知识：极值点与极值问题导思函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 答：f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0. 3．函数在x ＝b 点处的情况呢？答：函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题导思函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 类型一：求函数的极值例1：求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【解析】 原函数――→求导导函数―→f ′(x )＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值 解：(1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1规律方法：1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练：求函数y ＝2x ＋8x的极值．解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8. 类型2：由函数的极值求参数例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【解析】(1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？ 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.规律方法：已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 解：由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)．当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下：∴a＝－1，b＝－9符合题意.类型3：函数极值的综合应用例3：已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m 与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．【解析】(1)能否由已知条件求出a值，确定f(x)？(2)直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？解：∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法：1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练：已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？解：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．课堂小结：1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.。
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4、极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值，如下 图所示， x1 是极大值点，x4 是极小值点 ，而 f(x1)< f(x4)
思考：
函数 y=2x3- 6x2 +7的图 象如图: 当x=0时此点附近的导 数的符号有什么变化规 律？ 当x=2时此点附近的 导数的符号有什么变 化规律？
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欲避无从避起、欲拈怕拈伤纤丝，分外为难。如今毓笙忽而明敏解语、豁达大方，他意外之喜，心胸都为之一爽，却又 想起宝音，笑声一敛，转为黯然神伤。乐韵于帘下服侍苏明远穿回雨具，院中又有人来，却是两个婆子，口称领嘉颜命， 奉两个盒子来，苏明远问道：“这样晚，是什么？”一个婆子道：“回大少爷，是些摆设用度之物。”另一个婆子嘴快： “都是重阳用的器皿糕点。”毓笙母逝父陋，苏老太太又非她亲生的外婆，表面上无一些亏待，实则是冷淡得多的，日 常用具、并节下玩器，都差着别屋，纵嘉颜细腻周到，也不能样样替毓笙院中额外照应，而今主子们都在山上没回来， 怎想到给毓笙院里加东西？苏明远心里微愕，也未加理会处，便回去了。婆子们一样样东西给乐韵看过，挎空盒子回去 了。乐韵将东西禀了毓笙，措辞小心，态度恭谨，几乎可以说有些畏惧。她一直是看不起这位 ，但几天前 几乎病死过 去，再醒来，就好像变了个人，莫非是鬼门关上打了转，看穿了生死？从前的怯懦不见了，小心眼更荡然无存，变得浩 然泠然，倒仿佛是——淬了火的刀！不久前把嘉颜都弹压住，也没费什么言辞、不曾递人一分把柄，这上下该来的东西 都送过来了，何等手段？她要再看不起 ，莫非是自己往刀口上送吗！洛月束起了帘帷，替 杯中续好暖茶捧来，毓笙啜 了一口，倚回引枕上，望着微微摆动的帘角。他刚刚坐在这儿，但连他都作梦也想不到罢……毓笙轻轻转过头，掩了唇 角忍不住滑出的冷笑。想不到，她这具身体里的魂儿，已是宝音。第五章 前生后世两茫茫（1）宝音清楚的记得，那 日——便是宝音活在人世的最后一日——真真的半点儿预兆都没有，她正忙着与嘉颜筹备重阳节下诸事宜。她与嘉颜， 是苏老太太身边的一等丫头，左膀右臂，一应事宜都躲不得闲。正是蛩声初动，桐叶生凉的好时节。游学在外的谢大公 子苏明远，也是刚回来没多久，厨下小丫头柳莺儿贪着偷看他，竟忘了火候，生生炊坏明儿要用的八屉儿重阳糕，管事 大娘气狠了，拧着她的耳朵，嚷嚷要把她撵出去。莺儿的亲姐姐燕儿唬得脸都黄了，找嘉颜，救她看在同乡份上救她一 救。宝音恰与嘉颜同对帐簿，一个数字怎么算也算不平，虽是小数目，宝音总觉可疑，嘉颜劝她：“算了！先过节要紧， 这等小小数字，想是谁记错了，回头对出来，再责打不迟。”宝音做事最认真，摇头道：“这干大娘大婶子们，颠三倒 四的记错不是一天两天，你去问她们，她们才肯承认呢！终究我需对出来，查到是哪个条目哪个人人，拿到她鼻子底下， 她才赖不掉了。过节么，”对着嘉颜撒赖的皱皱鼻子，“左右有你在，走不了大褶儿！”嘉颜好气又好笑，恰柳燕儿来， 又不肯说什么事，硬把嘉颜求扯到旁
注
意
1 、在定义中，取得极值的点称
为极值点，极值点是自变量 (x) 的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函
数在某区间上或定义域内极大值或
极小值可以不止一个。
二、导数的应用：求函数的极值
的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极 值. 如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x) 的极小值点,f(x0)是极小值.
结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧
当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极小值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极大值3 (1,+∞) ↘
因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
； 时时娱乐
思考：
函数 y=2x3- 6x2 +7的图 象如图: 当x=0时此点附近的图 象有什么特点？
函数在x=0的函数值比它附 近所有各点的函数值都大
当x=2时此点附近的 图象有什么特点？
函数在x=2的函数值比它附 近所有各点的函数值都小
新
课
讲
授
1.函数极值的定义—— 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，则x0是f(x)的极大 值点;如果f(x0)的值比x0附近所有各点 的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的 一个极小值,则x0是f(x)的极小值点。 极大值与极小值统称为极值.
三、例题选讲:
例:求y=x3/3-4x+4的极值.
2 y x 4 ( x 2)( x 2). 解:
用导数法求函数 f(x)的极值的步 骤:<<学案>>P88
令 y 0 ,Байду номын сангаас得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2)
+
-2
0 极大值28/3
(-2,2)
_
2
0 极小值-4/3
(2,+∞)
+
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
口诀：左正右负为极大。左负右正为极小.
6x 练习2:求函数 y 1 x 2 的极值.
6(1 x 2 ) . 解: y 2 2 (1 x ) 令 y =0,解得x1=-1,x2=1.