排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式
2008—07—08 13：30
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！—阶乘，如9！＝9*8＊7*6*5*4＊3*2＊1
从N倒数r个,表达式应该为n＊(n-1)＊(n—2)。。(n-r+1）；
因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1）＝r
举例：
Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？
A1： 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴.
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9—1-1种可能,最终共有9*8＊7个三位数。计算公式＝P(3，9)＝9*8*7，(从9倒数3个的乘积）
Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问，如果三个一组，代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可.即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9)=9*8*7/3*2＊1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学
生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．
例2 排成一行,其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种?
解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:
∴ 符合题意的不同排法共有9种．
点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
例３判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果．
（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手?
(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?
（3）有2，3,5，7,11,13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积？
（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
（1）①是排列问题，共用了封信;②是组合问题,共需握手（次）．
（2）①是排列问题,共有（种)不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．
（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题,共有种不同的积．
(4）①是排列问题，共有种不同的选法;②是组合问题，共有种不同的选法．
例４证明．
证明左式
右式．
∴ 等式成立．
点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．
例5 化简．
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．
例6 解方程:（1）;（2）．
解（1）原方程
解得．
（2）原方程可变为
∵ ，，
∴ 原方程可化为．
即，解得
第六章排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题。
2。理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
（一)加法原理乘法原理
说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据。
例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?
解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=35(种)
(二)排列、排列数公式
说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象,解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查。
例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )
A。60个 B.48个C。36
个 D.24个
解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P1
2
；小于50 000的五
位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P1
3
；在首末两位数排定
后，中间3个位数的排法有P3
3，得P1
3
P3
3
P1
2
＝36(个)
由此可知此题应选C.
例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解: 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142,4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法,因此共有填法为
3P1
3
=9(种）.
例四例五可能有问题，等思考
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.
例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ )
A.140种
B.84种
C.70种 D 。35种 解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种;甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70（种 ） 可知此题应选C.
例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项，乙公司承包1 项,丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680（种). (四）二项式定理、二项展开式的性质
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题。 例6 在(x — ）10的展开式中,x 6的系数是( ） A 。-27C 610 B.27C 410 C 。—9C 610 D.9C 410
解设（x—)10的展开式中第γ+1项含x6，
因Tγ+1=Cγ
10
x10-γ(—)γ，10-γ=6,γ=4
于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C4
10(—）4=9C4
10
故此题应选D。
例7（x—1）-（x—1)2＋(x-1)3—(x-1)+(x—1)５的展开式中的x２的系数等于
解：此题可视为首项为x—1，公比为-(x—1）的等比数列的前5项的和，则其和为
在（x—1)6中含x3的项是C3
6
x3(-1）3=-20x3,因此展开式中x2的系数是—2 0.
（五)综合例题赏析
例8若(2x+）4=a
0+a
1
x+a
2
x 2+a
3
x3+a
4
x4，则(a
+a
2
+a
4
）2-（a
1
+a
3
）2的值为
( )
A。1 B。
-1 C.0 D.2
解:A。
例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )
A。6种B。12种C。18
种D。24种
解分医生的方法有P2
2＝2种，分护士方法有C2
4
=6种，所以共有6×2＝12
种不同的分配方法。
应选B.
例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同取法共有( ）。
A。140种B。84种C。70
种 D.35种
解:取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形。
∵C2
4·+C2
5
·C1
4
=5×6+10×4=70。
∴应选C。
例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表,至少有1名女生当选的不同选法有( )
A。27种B。48种C。21种 D.24种
解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：
∵C1
3·C1 7+C2
3
=3×7+3=24，
∴应选D。
例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( ).
A。210个B。300个
C。464个 D.600个
解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个？应有P1
5·P 5
5
=600个。
由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半. ∴有×600=300个符合题设的六位数.
应选B.
例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（)。
A.70个B。64个
C。58个D。52个
解:如图,正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C4
8
=70个.
其中共面四点分3类:构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形
如(ADB
1C
1
）的有4组.
∴能形成四面体的有70—6—2-4=58（组）
应选C。
例14如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有（)。
A.12对
B.24对
C。36对D。48对
解：设正六棱锥为O-ABCDEF.
任取一侧棱OA(C1
6
)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.
∴共有C16×4=24对异面直线。
应选B.
例15正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形
共个（以数字作答）。
解：7点中任取3个则有C3
7
=35组.
其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.
∴三角形个数为35-3=32个.
例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为。
解10个元素的集合的全部子集数有：
S＝C0
10+C1
10
+C2
10
+C3
10
+C4
10
+C5
10
+C6
10
+C7
10
+C8
10
+C9
10
+C10
10
=2 10=1024
其中，含3个元素的子集数有T=C3
10
=120
故=
例17 例17在50件产品 n 中有4件是次品,从中任意抽了5件 ,至少有3件是次品的抽法共
种(用数字作答）。
解：“至少3件次品"即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C3
4·C2
46
+C4
4
·C1
46
=4186（种)
例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（)。
A.1260种B。2025种
C 。2520种
D 。5040种 解:先从10人中选2个承担任务甲（C 210) 再从剩余8人中选1人承担任务乙（C 1 8） 又从剩余7人中选1人承担任务乙（C 1 7) ∴有C 210·C 1 8C 1 7=2520(种）。 应选C.
例19 集合｛1，2，3｝子集总共有（ ).
A 。7个 B.8个 C.6个 D 。5个 解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数
C 13,由二个元素组成的子集数C 23。
由3个元素组成的子集数C 33。由加法原理可得集合子集的总个数是 C 13+C 23+C 33+1=3+3+1+1＝8 故此题应选B.
例20 假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有（ ).
A 。C 23C 3197种
B 。
C 23C 3197 +C 33C 2197 C 。C 5200—C 5197 D.C 5200-C 13C 4197 解：5件中恰有二件为次品的抽法为C 23C 3197， 5件中恰三件为次品的抽法为C 33C 2197， ∴至少有两件次品的抽法为C 23C 3197+C 33C 2197。 应选B 。
例21 两排座位,第一排有3个座位，第二排有5个座位,若8名学生入座（每人一个座位)，则不同座法的总数是（ )。 A 。C 58C 38 B.P 12C 58C 38 C.P 58P 38
排列组合方法大全
排列组合方法大全1000字 在组合数学中，排列和组合是一对重要的概念，它们在很多问题中 都有广泛的应用。本文将介绍排列和组合的各种方法，希望对读者 有所帮助。 一、排列的方法 排列是指从n个不同元素中取出r个元素，按照一定次序排成一列。排列数用符号P(n,r)表示，其计算公式为： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1。 以下是几种排列的方法： 1. 直接计算法 直接计算法是最基本的计算排列数的方法，其步骤如下： 设有n个元素，要从中选出r个元素进行排列，先从n个元素中选 出一个，有n种选择方法；然后从剩下的n-1个元素中选出一个， 有n-1种选择方法；再从剩下的n-2个元素中选出一个，有n-2种 选择方法，以此类推，直到选出r个元素，总共有n x (n-1) x (n-2) x … x (n-r+1)种不同的排列方法。 2. 递推公式法 递推公式法是一种快速计算排列数的方法，其步骤如下： 设P(n,r)表示从n个元素中选出r个元素进行排列的方法数，可以 根据下式递推计算： P(n,r) = P(n-1,r-1) + (n-1) x P(n-1,r) 其中，第一项表示从n-1个元素中选出r-1个元素进行排列，然后 再从n个元素中选出一个元素放在排列的最后面；第二项表示从n- 1个元素中选出r个元素进行排列，然后在n个元素中选出一个元 素作为排列的第一个元素。 3. 公式法
通过组合数学的知识，可以得到排列数的公式： P(n,r) = n x (n-1) x (n-2) x … x (n-r+1) = n! / (n-r)! 二、组合的方法 组合是指从n个不同元素中取出r个元素，不考虑它们在数列中的先后顺序。组合数用符号C(n,r)表示，其计算公式为： C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) 以下是几种组合的方法： 1. 直接计算法 直接计算法是最简单的计算组合数的方法，其步骤如下： 设有n个元素，要从中选出r个元素进行组合，先从n个元素中选出r个元素，有C(n,r)种方法；然后把这r个元素按照不同的顺序排列，共有r!种排列方法，这些排列方法都被认为是同一组合，所以需要除以r!，得到C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。 2. 递推公式法 递推公式法是一种快速计算组合数的方法，其步骤如下： 设C(n,r)表示从n个元素中选出r个元素进行组合的方案数，可以根据下式递推计算： C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r) 其中，第一项表示从n-1个元素中选出r-1个元素进行组合，然后再从n个元素中选出一个元素加入组合；第二项表示从n-1个元素中选出r个元素进行组合。 3. 二项式定理法 二项式定理是一个著名的数学定理，其表述如下： (a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + … + C(n,n)b^n 通过应用二项式定理，我们可以得到组合数的公式： C(n,r) = C(n-1,r-1) x n / r
排列组合公式排列组合计算公式
和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+（项数-1）×公差 性质： 若 m、n、p、q∈N ①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 求和公式 Sn=(a1+an)n/2 Sn=a1n+n(n-1)d d=公差 Sn=An2+Bn A=d/2,B=1-(d/2) 排列组合公式/排列组合计算公式 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排
列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多
数的排列组合计算公式
数的排列组合计算公式 数的排列组合计算，可以让我们更加深入探索宇宙的秘密。 数据排列组合计算是一种解决组合问题的技术方法，它是以计算机科学为基础的，利用数学知识和规则进行计算，求出所有可能的结果，它的计算公式具有很强的科学性和可靠性。本文涉及到的数据排列组 合计算公式： 一、排列组合计算的基本公式： A(n,m)=n!/(n-m)! 该公式表示从n个不同元素中选取m个元素，排列组合的个数为 A(n,m)，n!表示n的阶乘，大致意思是n个不同元素之间有多少种排列顺序来表示。 二、组合计算的基本公式： C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
这个公式表示从n个不同元素中选取m个元素，组合的个数为C(n,m)，其中m!表示m的阶乘，大致意思是m个不同元素之间有多少种排列顺序来表示。 三、环形排列组合计算公式： C(n,m)=(n-1)! /[(n-m)!(m-1)!] 该公式表示圆环中从n个不同元素中选取m个元素，排列组合的个数 为C(n,m)，其中(n-1)!表示n-1的阶乘，(m-1)!则表示m-1的阶乘，能 够得出从n个不同元素中选取m个元素，组合出多少种情况。 四、几何排列组合计算公式： P(n,m)=n! /(n-m)! 该公式表示有n个不同元素，从中选取m角(点)，组成多边形，计算几何排列组合的种类数P(n,m)，其中n!为n的阶乘，(n-m)!为(n-m)的阶乘，表示有n个不同元素，组合出多少种情况。 五、排列组合计算的中间量公式：
T(n,m)=m!/((m-n+1)*(m-n+2)*…*) 该公式能够计算出从m个不同元素中选取n个元素，排列出多少种情况，其中m!表示m的阶乘，(m-n+1)*(m-n+2)* …* 为乘积，表示每次减去一个，例如从5个元素中选取2个元素排列的数目为T(2,5) = 5!/（(5-2+1) * (5-2+2)= 5!/(3*4)=20。 六、排列组合计算例外情况公式： F(n,m)=m!/n! m-n 该公式表示从m个元素中选取m个元素的排列组合的种数F(n,m)，其中m!表示m的阶乘，n!表示n的阶乘，m-n表示每次减去一个，例如从5个元素中选取4个元素，排列组合的数目为F(4,5)=5!/(4! *(5 - 4))=5!/(4 * 1)=120。 总结： 数据排列组合计算是一种解决组合问题的技术方法，采用计算机科学的技术，借助数学知识和规则，求出排列组合的所有可能的结果，其
排列组合公式(全)
排列组合公式（一） 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？ 9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8！。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。 例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。 集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。则S（B）+S（C）=S（A） 在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字，对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S（B）=S（C）=9！/2 以同样的思路可解出下题： 从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数，且要求 a>b>c，问这样的函数共有多少个？ 例5：M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。
排列组合计算公式
排列组合计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数
=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk页 1 第 这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上 标)=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。那么排列组合有哪些数学公式呢?接下来店铺为你整理了排列组合的数学公式，一起来看看吧。排列组合的数学公式 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标))
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的
人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式 右式． ∴ 等式成立．
排列组合计算公式举例说明
排列组合计算公式举例说明 排列组合是数学中常用的计数方法，用于计算一些集合中的元素的不 同组合和排列的总数。 排列是从集合中选择一定数量的元素进行组合，并按照一定的顺序进 行排列。组合是从集合中选择一定数量的元素进行组合，不考虑元素的顺序。 下面将分别说明排列和组合的计算公式，并给出具体的例子。 一、排列： 排列的计算公式是P(n,r)=n!/(n-r)!，其中P表示排列，n表示集合 中的元素总数，r表示选择的元素数量，!表示阶乘。 例1： 有5只猫排成一排，问有多少种不同的排列方式。 解：根据排列的计算公式，可以得到P(5,5)=5!/(5- 5)!=5!/0!=5!=5×4×3×2×1=120，所以有120种不同的排列方式。 例2： 有10本书，从中选出3本书排成一排，问有多少种不同的排列方式。 解：根据排列的计算公式，可以得到P(10,3)=10!/(10- 3)!=10!/7!=10×9×8=720，所以有720种不同的排列方式。 二、组合：
组合的计算公式是C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C表示组合，n表 示集合中的元素总数，r表示选择的元素数量，!表示阶乘。 例1： 有6只猫，从中选择3只猫，问有多少种不同的组合方式。 解：根据组合的计算公式，可以得到C(6,3)=6!/(3!×(6- 3)!)=6!/(3!×3!)=6×5×4/(3×2×1)=20，所以有20种不同的组合方式。例2： 有8个人，从中选出4个人组成一个委员会，问有多少种不同的组合 方式。 解：根据组合的计算公式，可以得到C(8,4)=8!/(4!×(8- 4)!)=8!/(4!×4!)=8×7/(2×1)=28，所以有28种不同的组合方式。 排列组合在实际生活中有很多应用，例如： 1.彩票中奖号码的排列组合：在选择彩票号码时，我们有时会从1到49中选择6个数字组成一组号码，这就是一种排列组合的问题。 2.字符串的排列组合：在计算机中，经常需要对字符串的字符进行不 同的排列组合，以进行密码破解或字符串匹配等操作。 3.赛事的分组情况：在比赛中，需要将选手分成若干个组，以进行比赛。这时就需要计算不同的组合方式。 总结：排列组合是数学中常用的计数方法，通过排列组合公式可以计 算出不同组合和排列的总数。在实际生活中，排列组合有广泛的应用，可 以帮助我们解决一些计数问题。
排列组合的计算
排列组合的计算 排列组合是组合数学中的重要概念，用于计算对象的排列和组合方式。在数学和实际应用中，排列组合的计算经常涉及到确定可能性的个数。本文将通过例子说明排列和组合的概念，并介绍一些在求解排列组合问题中常用的计算方法。 一、排列的计算 排列是指从一组对象中按照一定的顺序排列，可以是全部或部分的对象。在排列中，每个对象只能用一次，且顺序不同会被认为是不同的排列。 1. 无重复对象的排列 考虑有三个不同的对象，如A、B、C。求取这三个对象的排列数可以使用以下计算方法： 设有n个不同的对象，要从中选取r个对象进行排列，则排列数的计算公式为： P(n, r) = n! / (n - r)! 其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1。 以三个对象为例，计算P(3, 2)： P(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3! / 1!
= 3 因此，从三个不同的对象中选取2个对象进行排列，共有3种不同的排列方式。 2. 有重复对象的排列 当存在重复的对象时，求取排列数需要考虑重复因素。假设有n个对象中，某些对象是相同的，只是位置不同。此时，排列数的计算公式稍有不同： 设有n个对象中，其中有m1个对象是相同的，另有m2个对象是相同的，以此类推，要从中选取r个对象进行排列，则排列数的计算公式为： P(n; m1, m2, ..., mr) = n! / (m1! * m2! * ... * mr!) 以A、A、A、B为例，计算P(4; 3, 1)： P(4; 3, 1) = 4! / (3! * 1!) = 4! / 3! = 4 因此，在含有3个相同的A和1个B的对象中，选取3个对象进行排列，共有4个不同的排列方式。 二、组合的计算 组合是指从一组对象中无序地选择出部分对象，不考虑顺序。与排列不同，组合中的对象只能选择一次。
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式
排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数 =p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk
基本公式计算一些等可能性事件的概率。 7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 排列组合的数学解题思路 1特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置, 这种解法叫做特殊优先法. 例如: 用0,1,2,3,4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个.(答案:30个) 2科学分类法 对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生. 例如:从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有 _______种.(答案:350) 3插空法
排列组合的乘法原理公式
排列组合的乘法原理公式 排列组合的乘法原理公式是数学中应用广泛的公式，它可以帮助我 们快速计算出复杂的排列和组合问题。以下是该公式相关的详细介绍 和应用案例。 一、排列组合的概念 排列和组合是数学中的基本概念。排列指的是从一组元素中选取若干 个元素进行有序排列的过程，组合则是从一组元素中选取若干个元素 进行无序排列的过程。 举个例子，如果有3个球分别标有A、B、C字样，那么从这3个球中 选出2个球进行排列，可以得到6种组合：AB、AC、BA、BC、CA、CB。如果只是选出2个球进行组合，就只有3种可能：AB、AC、BC。 二、排列组合的计算公式 对于排列和组合，我们可以用数学公式来计算它们的数量。针对排列，我们可以使用下列的公式进行计算： P(n, k) = n! / (n-k)! 其中，n为总个数，k为选取的个数。例如，从5个不同的元素中选取 3个元素进行有序排列，就可以用P(5, 3)来表示它的数量。
对于组合，我们则可以使用下列公式进行计算： C(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] 其中，n依然代表总个数，k则表示选取的个数。例如，从5个不同的元素中选取3个元素进行无序排列时，就可以用C(5, 3)来表示它的数量。 三、应用案例 排列组合乘法原理可以用于许多实际问题，以下是一些实例说明： 1. 有3个工人要在一条生产线上操作机器，第一个工人有4种选择，第二个有3种选择，第三个有2种选择。那么，他们能产生多少种不同的操作排列？ 答案：按照乘法原理，这三个工人能产生的操作排列数量为4 × 3 × 2 = 24种。 2. 一家餐馆提供三种糕点供客户选择，客户可以选择任意数量且不重复。那么这些客户可以选择多少种不同的糕点组合？ 答案：按照组合的公式，我们可以得到这些客户可以选择的不同糕点组合数量为2³ = 8种。