八年级下册数学复习专题.docx

八年级下册数学复习资料姓名

第一章直角三角形

1、直角三角形的性质：

①直角三角形的两锐角互余

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

如图，在Rt^ ABC中，VCD是斜边AB的中线，???（7￡> =丄人3。

2

例?直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为________________ ?

③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边

的一半。

如图,在恥ABC 中，V ZA=30° , :.BC = -AB.

2

例?在RtAABC中，ZC=90°, ZA=30°,则下列结论中止确的是（）。

A. AB=2BC

B. AB=2AC

C. AC2+AB2=BC2

D. AC2+BC2=AB2

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角

边所对的角等于30° o

如图，在用A ABC 中，V BC =丄AB, A ZA=30°。

2

例?等腰三角形一腰上的高等丁?腰长的一半，则顶角的度数

是_____________ O

⑤勾股定理及其逆定理

（1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等

于斜边c的平方，即a2^-h2=c2o

求斜边，则c = 求直角边，贝|jfl = Vc2-Z>2或b*cf

例?如图是拉线电线杆的示意图。已知CD丄AB, CD=3幕,ZCAD=6O° ,

则拉线AC的长是__________ m o

例?若一个直角三角形的两边长分别为6和10,那么这个三角形的笫三条边长是o （2）逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系ci2+b2=c2f那么这个三角形是直角三角形。°°°

分别计算“夕+戻”和“宀，，相等就是仏,不相等就不是Rt\o

例?在RtAABC屮，若AC=J^, BC=V7 , AB=3,则下列结论中正确的是（）。

A. ZC=90°

B. ZB=90°

C. A ABC是锐角三角形

D. AABC 是钝饬三饬形

A

A

b

A D B

例?一块木板如右图所示，已知48=4, BC=3, DC=12, 4D=13, ZB = 90° ,

木板的而积为______________ o

例?某校把一块形状为宜角三角形的废地开辟为生物园，如图所示， / ZACB=90°, AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D 厅—

点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？授低造价是多少？

⑥直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形

例?如图，梯了AB靠在墙上，梯了的底端A到墙根O的距离为7m,

梯子的顶端B到地面的距离为24m,现将梯子的底端A向外移动到卅使梯子的

底端A'至吐啬根0的距离等于15m.同吋梯子的顶端B下降至B',那么的长度

是多少？

例?如图，放置在水平桌血上的台灯的灯愕AB长为40cm,灯罩BC长为

30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的ZBAD=60°,使用发现，光线最佳

时灯罩BC与水平线所成的角为30。，此时灯罩顶端C到桌而的高度CE是

多少cm?(结果精确到0.1cm,参考数据：起1.732)& A0

2、直角三角形的判定

①有两个角互余的三角形是直角三角形

②在三角形中，如果一条边上的中线等于这砖边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

③如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2 = c2f那么这个三角形是直角三角形。

例?若一个三角形三边满足(a + b)2-c2 = 2ab ,则这个三角形是________________ 三角形.

例?若ZA： ZB: ZC=2:3:5,则△ ABC是 ________________ 三角形例?已知a, b,c是三角形的三边长,如果满足2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,则三角形的形状是()

A、底与边不相等的等腰三角形

B、等边三角形

C、钝角三角形

D、直角三角形

3、直角三角形全等

方法：SAS、ASA、SSS、AAS、HL。

例?如图，在AABC中，D为BC的中点，DE丄BC交ZBAC的平分线AE于点E, EF丄AB 于点F, EG丄AC的延长线于点G。

求证：BF=CGo

A

4、角平分线的性质

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等F/ B

如图，VAD 是ZBAC 的平分线（或Z1=Z2） , PE丄AC, PF±AB

???PE=PF 八电丈一角平分线判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

例?如图，在A ABC中，ZC=90° ZABC的平分线BD交AC于点D, A

若BD二10厘米，BC二8厘米，DC二6厘米，则点D到直线AB的距N

离是________ 厘米。\

例?如图：在AABC中，0是ZABC与ZACB的平分线的交点。D l \

求证：点0在ZA的平分线上。|\\

例?如图，在△ABC 屮，ZB二90° , AD 平分ZBAC 交BC 于D, BC=10cm, CD二6cm,则

点D到AC的距离是：______________________ o

例?如图，在RtAABC中，AC二4, 303, 二5,点P是三角形内桑内角平分线的交点，则点P到A3的距离是：_____________________________ o

5、线段垂直平分

线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如图，VCD是线段AB 的垂直平分线，

???PA=PB

例?如图，Z\ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4cm, AABC的周长是18 cm,则厶

BDC的周长是____ 。

例?已知：如图，求作点P,使点P到A、B两点的距离和等，‘

且P到ZM0N两边的距离也相等. 丿丿0 \

第二章四边形

1、多边形内角和公式：n边形的内角和=（n-2）?180。

求n边形的方法：“二内用和+ 2

180°

任意多边形外角和等于360°

四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。

例?一个多边形的内角和为1260°,它是 ______________ 边形。

例?已知一个多边形的内角和是外角和的5倍，它是—边形。

2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数）成中心对称的两

个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分会画与某某图形成中心对称图形会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形

例?下列几张扑克牌屮，屮心对称图形的有_____________ 张

例?在字母C、H、V、M、S中是中心对称图形的是例?下列既是轴对称图形又是中心对称图形

的是（）

A:等边三角形B:平行四边形C:等腰梯形

D:矩形

如图，J AB II CD, AD II BC,二四边形ABCD 是平行四边形 方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

如图，?.?AB=CD, AD=BC,???四边形ABCD 是平行四边形 方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

如图，VZA=ZC, ZB=ZD, 四边形ABCD 是平行四边形 方法3 —组对边平行相等的四边形是平行四边形

如图，V AB II CD, AB=CD,二四边形ABCD 是平行四边形 或

TADllBC, AD=BC,二四边形ABCD 是平行四边形 方法4 对角线互

相平分的四边形是平行四边形

如图，J OA=OC, OB=OD,???卩L|边形ABCD 是平行四边形

例?如图，在口ABCD 屮，点E 是AD 的小点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F 。试 连结

BD 、AF,判断四边形ABDF 的形状，并证明你的结论.

才

例?女FI 图，已知BE 〃DF, ZADF=ZCBE, AF=CE,求证：四边形DEBF 是平行四边形.

3、三角形的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。A 如图，在4ABC 小，TE 是AB 的屮点，F 是AC 的小点，

EF =丄 BC

???EF 是ZABC 的中位线 .*.EF II BC, 2 例?如图，口ABCD 屮，对角线AC 、BD 交于点0,点E 是BC 的中点.若0E 二3 cm,则AB 的长为 ________________

例?已知AABC 三边的长分别为10、12、16,那么这个三角形的三

条中位线所围成的三角形的周长等于（

38

)

D 、 A 、 B 、 19

4、特殊四边形的性质与判定 平行四边形的性质：边（对边

相等且平行） 对角线（对角线互相平分） 平行四边形判定：

定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

C 、17

21

邻角互补）

角（对角相等， 不是轴对称图形，是中心对称图形

菱形的性质：边（四条边相等）

角（对角相等，邻角互补）

对角线（对角线互相平分且垂直） 是轴对称图形，也是中心对称图形 菱形的面积

等于两条对角线的长度乘积的一半

菱形的判定:

矩形的性质：边（对边相等且平行）

对角线（对角线互相平分且相等）

矩形的判定：

定义判定：有一个角是直角的平行四边形 方法1有三个角是直角的四边形是矩形 方法2对角线相等的平行四边形是矩形 例?如图，

ZUBC 屮，点0为AC 边上的一个 直线MX 〃BC,设MN 交ZBCA 的外角平分线 ACB 内角平分线CE 于E.

（1）当点0运动到何处时,四边形AECF 是

角（四个角都是肖?角）

是轴对称图形，也是中心对称图形

的结论；

（2）猜想AABC 是何形状三角形时，矩形AECF 会是正方形？并证明

你的结论。

例?如图16,矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C'处,BC'交AD 于点E, AD=8,

AB=4,则DE 的长为 _________ o

例?如图所示，矩形ABCD 的两条对用线相交于点O, ZAOB=60°, AB=2,则矩形的对 角线AC

的长是 ______________________

-

是矩形

动点，过点0作

CF 于点F,交Z

矩形？并证明你

c

定义判定：-?组邻边和等的平行四边形是菱形

方法1 四边都相等的四边形是菱形

方法2 对角线互和垂肓的平行四边形是菱形

例?已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F. 求证:四边形AFCE为菱形

例?矩形ABCD的对角线相交于O, AB=6, AC=10,则面积为 ___________________

例?菱形的周长为20, —?条对?角线长为6,贝戾而积为 ______________________

正主形的性质：边（四条边相等）角（四个角都是在角）

对角线（对角线互相平分且垂直相等）是轴对称图形，也是中心对称图形

正方形的判定：

定义判定：一组邻边相等且有一个角是肓角的平行四边形是正方形

方法1 冇一个角是直角的菱形是正方形

方法2 有一组邻边相等的矩形是止方形

例?正方形貝-有而菱形不一定具有的性质是（）

A:对角线互相平分B对角线相等C:对角线平分一组对角D:对角线互相垂直例?顺次连接对角线和等的四边形各边屮点所得的四边形是_________________

例?如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与

折痕所成的角的度数应为（）

A B C D E4、F丿 A.60° B.30°

C.45°

D.90°

例?下列说法错误的是（）

A对角线互和垂肓平分的四边形是菱形

B对角线平分且相等的四边形是矩形

C:对角线互相垂直且相等的四边形是止方形

D对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例?如图，在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,

则ZAEB 二____ .

例?如图为四边形、平行四边形、短形、正方形菱形、梯形集

合示意图，请将字母所代表的图形分别填入下表:

5、平面图形的镶嵌

关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 例?只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地血的是(

)

A.正十边形

B.正八边形

C.正六边形

D.正五边形

例?在下列四种边长均为a 的止多边形中：正方形、止五边形、止六边形、止八 边形。能与边长为

a 的正三边形作平而镶嵌的是 ________________________________________ .

第三章图形与坐标

1、 有序实数对(4, 2) 4—横坐标 2 —纵坐标

2、 平面直角坐标系 (横轴X 轴)(纵轴Y 轴)(原点0)(方向)(单位长度) 笫一象限(+, +)

笫二象限(一，+)

第三象限(一，一) 笫四象限(+,—)

例?在平面直角坐标系中，点P (-2, 3)在()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

例?若点P (a, b)在第四象限，则点Q (-a, b-1)在()

3、 方位角：北偏西60° 南偏东30°

4、 点的对称性：

关于x 轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相等;

若直角坐标系内一点P (a, b),则P 关于x 轴对称的点为Pl (a, -b),

P 关于y 轴对称的点为P2 (-a, b),关于原点对称的点为P3 (-a, -b)。 解题方法：相等时用连

结，相反吋两式相加=0。

例?点M (2, -3)关于y 轴的对称点N 的坐标是()

A. (-2, -3)

B. (-2, 3)

C. (2, 3)

D. (-3, 2)

例?如果点P(〃 + 3, m+1)在兀轴上，则点P 处标为(

)

A. (0, -2)

B. (2, 0)

C. (4, 0)

D. (0, -4)

例?己知A 、B 两点的坐标分别是(?2,3)和(2,3),则下面四个结论：①A 、B 关于兀轴 对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关十原点对称；④人、BZ 间的距离为4。其中 正确的有 个。 例?已知点A (m-1, 3)与点B (2, n-1)关于X 轴对称，则m= _____________ , n= ____ 。 例?己知点P (3, -1)关于y 轴对称点Q 的坐标是(a+b, l ?b),则/的值是 _____________________

A.第一彖限

B.第二彖限

C.第三象限

D.第四象限

关于y 轴对称的点,

关于原点对称的点,

横坐标相等，纵坐标相反;

横、纵坐标都相反。

5、坐标平移：左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变; 上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下

减。

例如：若肓角坐标系内一点P (a, b)向左 单位，处标变为P (a —h, b),向右平移h 个单 变为P (a+h, b):向上平移h 个单位，坐标变 b + h),向下平移h 个单位，坐标变为P (a, b 点A (2, 一1)向上平移2个单位，再向右平移 位，则坐标变为A (7, 1).

例?将四边形ABCD 先向左平移3个单位，再想上平移2个单位，那么点A (3, -2)的对 应点A'的坐标是 ___________ .

例?已知点A(m, n),把它向左平移3个单位后少点B(4,?3)关于y 轴对称，则m= ________ , n=

例?将点A(—3, 5)先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得的点的坐标是

6、会建平面直角坐标系，用坐标表示相关位置

例?如图所示的彖棋盘上，若眇位于点(1，-2)上，柑位于点(3, —2)上，则炮的坐 标是 ________ .

7、平面上的点与 _____________ 是 ----- 对应的。

例?若点P 到X 轴的距离为5,到Y 轴的距离为3,且点P 在第四象限，则 点P 的坐标为 _____________

例?如图，在平面直角坐标系中，ZZ7ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标

分别是(0, 0) , (5, 0) (2, 3),则顶点C 的坐标是 ______________________ 8、在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形，并写出图形顶点的坐 标° 例?在平面直角坐标系中描出点A (3,5)、B (1,1)、C (5,3)的位置, 连成△ ABC.

平移h 个 位，坐标 为 P (a,

—h).如:

5个单

①作出AABC关于X轴对称的,

并写出三个顶点的坐标；

②作出AABC关于原点O成中心对称

的Mfi2C2,并写岀三个顶点的坐标；

③将AABC向左平移6个单位长度，画出平移后的△A3B3C3,并写出三个顶点的坐标；

例?如图，第一个正方形的顶点A J M，1), b (1, 1): 第二个正方形的顶点￡(?3, 3), B2(3, 3)；第三个正方形的顶点角(6 6),艮(6, 6)；….按顺序取点A，场，金，艮，A5, B(、,…，则第10个点应取点5()，其坐标为;第加-1 S为正整数)个点应取点一

其坐标为_____ .

第四章一次函数

1、函数自变量的取值：

整式取全体实数，分式则分母不为0,二次根式则根号下的数》0?

十数尸占的门时的取值范围是——

函数y = yj2x- 1的自变量x的収值范围是 _________________

?函数y = ?3x+5的自变量x的取值范围是_____________ 函数y =

她+1的自变量兀的取值范围是

x-1

?下列不表示函数图象的是( )

2、一次函数y=kx+b(kH0)的图象是一条直线(含正比例函数y=kx)?

?下列函数解析式c = 2pr f y = 2x- 1 , y = -3x, y = x2 +1中是一-次函数的

有 ________________________

①求k的取值：y随x增大而增大则k>0； y随x增大而减小则k<().再解岀不等式。

?若函数『=伙+5）兀小是正比例函数，k _____________ , a= _____________ 「

?若正比例函数y = （m?I）%"'，中，y随x的增人而减小，则m的值是_ 。

?若函数y = （2m?是一次函数，则加二________________ 且y随x的增大而 _____________

②求函数图像经过的象限：在y=kx+b中，k>0过一、三象限；kVO过二、四象限。b>0向上移；bVO向下移。可得出。

?一次函数y = -5x + 7的图象经过第_______________ 象限

?若一次函数y = 2x+h的图象不经过第二象限则〃的取值范围是 _________________

? 一次函数y = 2nix+m - 2的图彖经过原点，则m的值为________________

③一次函数y=kx+b（kHO）的图象平移的方法：b的

值加减即可（加是向上移，减则下移）。

2

?直线y =?一兀+2是由____________ 向—平移2个单位得到的。

3

?将直线y = 向下平移3个单位得到的函数解析式是________________

④同一平面内两直线的位置关系：（例如A：〉飞人兀+勺l2, y = k2x + h2）

若“1 =比2且勺H “2 ,则人// <2 ；若k\ ? k? = -1,则厶丄厶。

?直线y =?8+丄兀和y =伙?1）兀+5平行，贝ij k= __________

?直线y = - 2兀+1与y =丄兀+5的位置关系式_______________ o

⑤坐标轴上点的特征:

X轴上的点纵坐标为0即（a, 0）； y轴上的点横坐标为0?即（0, b）。直线y = - 3 +丄兀与x轴的交点坐标为________________________ ,与y轴的交点坐标为_________ 。

⑥面积公式：当b H 0时，一次函数y = kx^b的图象与两条坐标轴围成的直角三角形的

?直线），=?3兀+2经过第 ________ 象限，它与两坐标轴围成的三角形而积是 ______ 」

?已知一次函数〉，=3兀+b的图彖与坐标轴围成的三角形而积等于4,则一次函数的解析式

为 _______________________________________ 、

⑦用待定系数法求一次函数的解析式：

先设一次函数的表达式为y=kx+b,再将已知的两组x、y值代人列出二元一次方程组，求出k、b的值，再代回即可。

?已知正比例函数的图象经过点P （2,5）,求它的表达式。

?已知一次函数的图象经过点（0,2）和（1, —1）,求这个一次函数的表达式。

?已知直线厶经过点A （—1,0）与点B （2,3）,另一条直线厶经过点B,且与兀轴交于点

P （m,0） o ① 求直线厶的表达式；②若AAPB的面积为3,求m的值。

3. 一次函数与方程的关系

任何一个一元一次方程kx+b=O 的解，就是一次函数y=kx+b 的图像与轴交点的横坐 标；一次函数y=kx+b 的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=O 的一个解. ?已知一次函数y = ax+b （a ＞方为常数，a 0）,兀与y 的部分对应值如下表：

X

—2 —1

0 1 2

3 y 6

4 2

—2

—4

那么方程的解是 _____________

?把方程x + 2y = -3化成一次函数的形式是 _____________________

工一Q

?□知二元一次方程3x-y = 1的一个解是｛-，那么点P （a,b ） —定不在（

）。

[y = b

A.笫一、三象限

B.第二、四彖限

C.第二彖限

D.坐标轴上

2x + y = 4

?二元-次方程组2宀尸J 解'即册数 ------------------------ 和两数 ----------- 的图象交点

的坐标。

五、数据的频数分布

频数

1、 频数与频率：频率二莎厂，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1。

?某屮学八年级有500名学主参加生物、地理会考考试成绩在80分至100分之间的共有 180人，

则这个分数段的频率是 ________________ 。

?对150个数据进行整理得到频数分布直方图，测得所有表示频数的长方形的高之和为 33cm,其小最大的长方形的为11cm,则这个最人的长方形的高所表示的频数为 _________________________ .

2、 频数分布直方图：会读图，计算并将直方图补充完整。

某学校为丰富课间自由活动的内容，随机选取本校100名学生进行调查，

调查内容是“你最喜欢的口由活动项H 是什么”，整理收集到的数据，绘制成直方图，如

图所示.

0 C J O 5

O

5

O

3 3 9* 11 1

① 喜欢“踢毬子”的学牛有 ________ 人, 并在图中将“踢毬子”部分的条图形 补充完整.

② 喜欢“跳绳”的频率是 ________ ③ 该校共有800名学生，估计喜 欢“跳细”的学生冇 _________ 人.

六、辅助线作法

儿何难在辅助线, 图中有角平分线, 角平分线平行线, 三角形中两中点, 平行四边形出现, 虚线画图勿改变。 可向两边作垂线。 等腰三角形来添。 连接则成屮位线。 对称中心等分点。 如何添加辅助线? 线段垂直平分线, 角平分线加垂线, 三角形中有中线, 要证线段倍打半, 把握定理和概念。 常向两端把线连。 三线合一试试看。 延长中线等中线。 延长缩短可试验。