运筹学知识点总结
《运筹学》知识点全总结汇总
一、线性规划：基本概念1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：资源每单位产品资源使用量可用资源产品A 产品BQ R S 213123224利润/单位3000美元2000美元满足所有线性规划假设。
（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；（2）用代数方法建立一个相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。
5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。
每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。
管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。
工作的要求如下：部门单位工时可使用工时特殊风险抵押承保管理索赔322124008001200（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。
拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。
他获得了以下营养和成本的信息：成分每份各种成分的克数每天需要量（克）牛排土豆碳水化合物蛋白质脂肪520151552≥50≥40≤60每份成本4美元 2美元拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。
二、线性规划的what-if分析1、G.A.T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。
因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。
但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。
每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。
同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是研究在有限资源条件下，如何最优化决策问题的学科。
它是应用数学的一部分，主要包括线性规划、整数规划、图论等方向。
运筹学在工业、交通、军事、金融等各个领域有广泛的应用。
一、线性规划线性规划是运筹学中应用最广泛的部分，也是最基础的部分。
线性规划是一种数学方法，用于确定线性函数的最大值或最小值。
它被用来优化各种决策问题，例如成本最小化、收益最大化等。
如果一个问题可以通过不等式和等式来表示，同时还满足线性条件，那么这个问题就可以用线性规划来解决。
二、整数规划整数规划是指在优化问题中，变量需要满足整数限制的问题。
它是一个复杂的优化问题，通常需要使用分支定界法等高级算法来解决。
整数规划在生产安排、设备选型等问题中有广泛应用。
例如，在工厂的生产调度中，每个任务的产量必须是整数，因此需要使用整数规划来制定生产计划。
三、图论图论是运筹学的一个重要分支，它是一种研究图形结构和它们的互相关系的数学理论。
在运筹学中，图论被用来解决一些最短路径、最小花费等问题。
图论在计算机科学中也有广泛的应用。
例如，它被用来分析互联网的连接模式，制定数据传输的路径等。
四、决策分析决策分析是指选择最优行动方案的过程，它使用决策分析方法来权衡各种可行方案的利弊。
这些方法包括概率分析、统计分析、风险分析等。
决策分析在金融、政府和企业管理等领域中有广泛的应用。
例如，在股票投资中，决策分析被用来估计利润和风险，从而选择最优的投资组合。
五、排队论排队论是研究排队系统行为的学科，它被用来分析服务过程中的等待时间、系统容量和服务能力等因素。
排队论可以用来优化人员调度、设备运营和客户满意度。
排队论在交通运输领域中有广泛应用。
例如，在快速公路上，排队论可以帮助确定最佳车道数量，从而减少塞车和等待时间。
六、模拟模拟是一种数学方法，用于模拟真实世界的行为和系统。
它可以用来预测系统行为，以优化决策。
模拟通常使用计算机程序来模拟系统，这些程序称为仿真器。
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。
这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。
本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。
在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。
考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。
在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。
考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。
在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。
效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。
在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。
在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。
8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。
在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。
以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
《运筹学》复习资料整理总结
《运筹学》复习资料整理总结1. 建立线性规划模型的步骤。
确定决策变量 确定目标函数 确定约束条件方程2. 线性规划问题的特征。
都有一个追求的目标，这个目标可表示为一组变量的线性函数，按照问题的不同，追求的目标可以为最大，也可以为最小。
问题中有若干个约束条件，用来表示问题中的限制或要求，这些约束条件可以用线性等式或线性不等式表示。
问题中用一组决策变量来表示一种方案。
3. 线性规划问题标准型的特征。
4. 化标准型的方法。
123123123123min z 2+223-8340,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩为自由变量123123123123min z 2+223-634,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩为自由变量5. 基本解：令其余的变量取值为0，则得到Ax=b 的一个解y,称此解为线性规划问题的基本解。
6. 基本可行解：若基本解y 满足y ≥0,则称这个解为基本可行解。
7. 可行解：满足约束条件的解x=（x1、x2、……xn ）T 称为线性规划问题的可行解。
8. 最优解：函数达到最优的可行解叫做最优解。
9.图解法适合于变量个数为2个的线性规划问题。
10.单纯形法解线性规划问题如何确定初始基本可行解。
（1）约束条件为≤，先加入松弛变量x1、x2……xm后变为等式，取松弛变量为基本变量（2）约束条件为=，先加入人工变量xm+1、xm+2……xm+n，人工变量价值系数为m（3）约束条件为≥，先加入多于变量xn+1、xn+2……xm+n后变为等式，在添加人工变量xn+m+111.单纯形法最优解的检验准则。
（1）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中非基变量的系数全部满足cN-cBB-1Pj≤0,则基本可行解x’为原问题的最优解。
（2）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中所有非基变量的系数满足cN-cBB-1Pj≤0,且有一非基变量的系数满足Ck-Zk=0,则原问题有无穷多组最优解12.对目标函数为极小（min）型的线性规划问题，用单纯形法解的三种处理方法。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。
在现代社会，运筹学在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。
本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。
1. 线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。
它的目标是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
常见的线性规划算法有单纯形法和内点法。
2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。
整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。
求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。
3. 图论图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。
4. 排队论排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。
它在交通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。
常见的排队论模型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。
排队论可以用来优化服务水平、减少等待时间等。
5. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解。
动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。
它的核心思想是将问题转化为子问题的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。
6. 模拟优化模拟优化是一种通过模拟实验寻找最优解的方法。
它基于概率统计和随机模拟的原理，通过多次模拟实验来搜索解空间。
模拟优化常用于在实际问题的局部搜索中找到较好的解。
常见的模拟优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法。
7. 供应链管理供应链管理是一种综合运筹学和物流管理的概念，它研究如何优化整个供应链中的流程和资源分配。
供应链管理的目标是降低成本、增加效率并提供更好的顾客服务。
运筹学要掌握的知识点汇总
问老师后总结的
第一章
1、单纯形法的计算方法(书本20-37里面的大M法也要掌握
2、对于各类不同问题，掌握它的设决策变量、目标函数及约束条件(36-43但我个人认为这里可以不看书去看老师这节的PPT，个类题型都总结了。
大家看自己喜欢那种就选哪种
第二章
1、掌握写某些问题的对偶问题(求最大值、最小值都看53-59
2、影子价格了解下(60
3、灵敏度不是重点，大家稍微看下(64-69不懂也没事
第三章
1、表上作业法中的最小元素法和伏格尔法(比最小元素法重要点知道应用(79-83
2、最优解的判别(闭回路法和位势法，位势法重要点(83-86
3、产销不平衡的调节方法(89-91
第五章
1、分支定界法(115-118
2、割平面法(118-121
3、0-1型整数规划(122-126
4、指派问题(126-131
1、掌握整数规划的基本概念(193-195
2、求最优解(如最短路线等的方法(196-200
第九章
1、资源分配问题的解法(213-220
2、生产与存储问题的解法(224-233
3、背包问题的解法(233-236
第十章
1、了解基本概念(254-268
2、网络最大流问题的解法(268-274
3、最小费用最大流的问题解法(274-276
4、中国邮递员问题的解法(276-280
第十一章
重点掌握
第十三章
第十五章
询问以前考过同学的意见，其中的第一、二、五、十、十一章是出大题的章节，大家注意下
仅个人观点，大家就参考下吧。
有什么问题都可以找我。
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运筹学考试时间：2009-1-4 10:00-12:00考试地点：金融1、2：（二）201，会计1、2：（二）106 人资1、2：（二）203，工商1、2：（二）205 林经1、2：（二）306答疑时间：17周周二周四上午8：00-11：00 18周周一周三上午8：00-11：00地点：基础楼201线性规划如何建立线性规划的数学模型；线性规划的标准形有哪些要求？如何把一般的线性规划化为标准形式？如何用图解法求解两个变量的线性规划问题？由图解法总结出线性规划问题的解有哪些性质？如何用单纯形方法求解线性规划问题？如何确定初始可行基或如何求初始基本可行解？（两阶段方法）如何写出一个线性规划问题的对偶问题？如果已知原问题的最优解如何求解对偶问题的最优解？（对偶的性质，互补松紧条件）对偶单纯形方法适合解决什么样的问题？如何求解？对于已经求解的一个线性规划问题如果改变价值向量和右端向量原最优解/基是否仍是最优解/基？如果不是，如何进一步求解？1、建立线性规划的数学模型：特点：（1）每个行动方案可用一组变量（x 1，…，x n ）的值表示，这些变量一般取非负值；（2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示；（3）有一个需要优化的目标，它也是变量的线性函数。
2、线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？目标求极小；约束为等式；变量为非负。
min b 0T z C X AX X ==⎧⎨≥⎩例：把下列线性规划化为标准形式：121212112max 2328 1 20,0z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪-+≥⎪⎨≤⎪⎪≤<>⎩解：令13245,,x x x x x =-=-标准型为：,3453456345738min 23()2()8() x 1 +x 20,3,4,5,6,7,8iz x x x x x x x x x x x x i =-+--+-+=⎧⎪++--=⎪⎨-=⎪⎪≥=⎩3、如何用图解法求解两个变量的线性规划问题？由图解法总结出线性规划问题的解有哪些性质？例：参看ppt （唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无解） 线性规划解的性质：（基、基本解、基本可行解、凸集、顶点） 定理1 线性规划的可行域是凸集。
定理2 X 是线性规划基可行解的充分必要条件是X 是可行域的顶点。
定理3 线性规划如果有可行解，则一定有基可行解；如果有最优解，则一定有基可行解是最优解。
4、如何用单纯形方法求解线性规划问题？（单纯形表） 单纯形法的基本法则法则1 最优性判定法则（检验数全部小于等于零时最优） 法则2 换入变量确定法则（谁最正谁进基） 法则3 换出变量确定法则（最小比值原则） 法则4 换基迭代运算法则121231242512345min 25 2 852 204 12,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x =--++=⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩最优解X *=（2，3，0，4，0）T ，z *=-2×2-5×3=-19。
5、如何确定初始可行基或如何求初始基本可行解？（两阶段方法）例 求下列LP 问题的最优解12312312313123min 3 2114232 1,,0z x x x x x x x x x x x x x x =---+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用两阶段法来求解它的第一阶段是先解辅助问题：6712341235613717min 2 1142 3 2 1,,0g x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥第二阶段:原问题无界。
6、如何写出原问题的对偶问题？如果已知原问题的最优解，如何求解对偶问题的最优解？例 写出下面线性规划问题的对偶问题minmax ..1,,..01,,001,,01,,T T T i i i T i i i T j j j T j j jc x b w s t a x b i p s t w a x b i p m w x j qA w c x j q n A w c ==<>≥=+≥≥=≤<>=+=123412341342341234min 235 3 52 244 6 00z x x x x x x x x x x x x x x x ,x x ,x =+-++-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨++=⎪⎪≥<>⎩,解：原问题的对偶问题为：7、对偶单纯形方法适合解决什么样的问题？如何求解？ 例：123234123512345min 15245 6 2 52 1,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x =+++-=⎧⎪++-=⎨⎪≥⎩ 对偶单纯形法的基本法则法则1 最优性判定法则（检验数全部小于等于零时最优） 法则2换出变量确定法则（谁最负谁出基） 法则3换入变量确定法则（最小比值原则） 法则4 换基迭代运算法则1231213123123123max54622332541,0,0y w w w w w w w w w w w w w w w w =-+-≤⎧⎪+≤⎪⎪--+≤-⎨⎪++=⎪≥<>⎪⎩写出对偶问题并求解？（利用互补松紧条件）8、对于已经求解的一个线性规划问题如果改变价值向量和右端向量原最优解/基是否仍是最优解/基？如果不是，如何进一步求解？例：线性规划1212121212max 54390280 45,0z x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩已知最优表：（1）确定x 2的系数c 2的变化范围，使原最优解保持最优； （2）若c 2=6，求新的最优计划。
解 （1）将上表中的第0行重新计算检验数，得到：令c 2－5≤0，5－2c 2≤0，解得5/2≤c 2≤5，即当c 2在区间[5/2，5]中变化时，最优解X *=（35，10，25，0，0）T 保持不变。
（2）当c 2=6时，c 2－5=1>0，原最优解失去最优性，在表中修改第0行后，用单纯形法容易求得新的最优表如下：故新的最优解为x 1*=45/2，x 2*=45/2，x 4*=25/2，x 3*= x 5*=0，最优值z *=495/2，例 对于上例中的线性规划作下列分析： （1）b 3在什么范围内变化，原最优基不变？ （2）若b 3=55，求出新的最优解。
解 原最优基为B =（P 3，P 1，P 2），由表2-6可得：B －1= 1 2 -50 1 10 -1 2⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（1）由B －139080b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 1 2 -50 1 10 -1 2⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭39080b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=333250-5b 80b 802b ⎛⎫⎪-⎪ ⎪-+⎝⎭≥0 解得40≤b 3≤50，即当b 3∈[40，50]时，最优基B 不变，最优解为：*3*1*2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=333250-5b 80b 802b ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-+⎝⎭，x 4*=x 5*=0，z *=5×（80－b 3）+4×（－80+2b 3）=80+3b 3（2）当b 3=55时，333250-5b 80b 802b ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+⎝⎭=252530-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，以它代替表的b 列，用对偶单纯形法继续求解。
故新的最优解为x1*=30，x2*=20，x5*=5，x3*= x4*=0，最优值z*=230。
整数线性规划0-1规划如何建立整数线性规划的数学模型？如何用图解法求解两个变量的整数线性规划问题？割平面方法的基本思想？如何用割平面方法求解整数线性规划问题？分支定界方法的基本思想？如何用分支定界方法求解整数线性规划问题？如何建立0-1规划问题的数学模型？如何用隐枚举法求解0-1规划和匈牙利法求解指派问题？1、 如何建立整数线性规划的数学模型？2、 如何用图解法求解两个变量的整数线性规划问题？3、 割平面方法的基本思想？如何用割平面方法求解整数线性规划问题？例 考虑纯整数规划问题12max z x x =+1212122645200,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩且为整数 解 先不考虑整数条件，求得其松弛问题的最优单纯形表为：由第二行可以生成割平面：13x 3 +13x 4>=23引入松弛变量s 1后得：－13 x 3 － 13 x4 + s 1＝－23将此约束条件加到表中继续求解如下：s 1 0 0 [-1/3] -1/3 1 -2/3 z 0 0 0 0 -1/2 -4 x 1 x 2 x 31 0 00 1 00 0 1-1 1 15/2 -2 -30 4 2所以原问题的最优解为：x 1*=0，x 2*=4，最优值z *=4。
4、 分支定界方法的基本思想？如何用分支定界方法求解整数线性规划问题？例 求解下面整数规划12max 32z x x =+1212122923140,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩且为整数值(P 0)x 1=3.25x 2=2.5 z (0)=14.755(P 2)x 1=2.5x 2=3 z (2)=13.5(P 3)x 1=3 x 2=2 z (3)=13 (P 4)x 1=4 x 2=1 z (4)=14 (P 1)x 1=3.5 x 2=2 z (1)=14.5*×X 2<=2 X 1>=4X 1<=3 X 2>=35、如何建立0-1规划问题的数学模型？6、如何用隐枚举法求解0-1规划和匈牙利法求解指派问题？例 123max 543z x x x =++()1231232312332527352253270,3j x x x x x x x x x x x x j ⎧++≤⎪++≥⎪⎪+≤⎨⎪-+≤⎪⎪=⎩或1=1,2 ①②③④1235434x x x ++≥ ◎动态规划了解基本概念（如多阶段决策问题、阶段、策略）；了解最优性原理；如何用动态规划方法求解最短路问题？（图上作业、公式求解）如何用动态规划方法求解旅行售货员问题？如何求解多阶段的资源分配问题？网络分析了解图的基本概念（如无向图、有向图、点、边、关联、邻接、次、关联矩阵、邻接矩阵、握手定理）；树，支撑树，如何找最小树？（破圈法、避圈法、反圈法；）最短路问题？（图上标号法、列表法）最大流问题？（找增广路）1、树，支撑树，如何找最小树？（破圈法、避圈法、反圈法；）例设树有7条边，则它有（8）个结点；例一个由3个分支构成的森林，如果有15个结点，则该森林至少有（12）条边。