湖水污染问题的数学建模与求解
水质污染处理数学模型
水质污染处理数学模型水质污染处理数学模型摘要随着市场经济和现代工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新问题――环境污染。
为了治理污染，提出治理污染的新方案，必须建立合理的数学模型来解决现实问题。
这是1个关于湖泊、河流水质污染处理的`数学模型，通过模型的建立与问题解决，能够较准确地分析并解决实际生活中的水质污染问题。
如何合理地解决湖泊、河流污染问题是1个非常切合实际的问题，本问题是目前1个热门的研究课题。
把此模型看成是1个单流入、单流出的系统，流入、流出的水流速度相同。
利用质量守恒定律可列出关于浓度变化的微分方程，通过求解此微分方程可得到模型所要求的某1时刻污染物的浓度。
本模型较好地解决了湖水污染处理问题，具有1定的经济效用和价值，能比较恰当地解决实际问题。
通过对问题的分析，得出湖水污染浓度的变化的结果。
在模型建设中采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。
关键词微分方程；质量守恒定律；污染浓度AbstractAlong with the market economy and the present industry rapid development, the new question of the humanity facing - environmental pollution has directly harmed the human survival. In order to control the pollution and propose a new plan, we have to establish the reasonable model to solve the realistic problem.This is a mathematical model about processing water pollution of the lake and the rivers. Through the establishment of the mathematical model and the solution of the question, we can accurately analyze and solve the question of water pollution in practical life. This question is an extremely realistic question, how to reasonably solve the question of contamination about the lake and the rivers is a lively researched topic today. We regard as this model as the system with a sole entrance and a sole exportation. And the velocity of the inflow and the outflow are same. Using the law of conservation about the changing density we can list a differential equation, through solving this differential equation we can obtain a certain time pollutant density which the model requests . This model has solved the problem well, and it has certain economic utility and value. The model can quite appropriately solve the actual problem.Through the analysis of the question, we can obtain the result of changing concentration of the contaminant. We have used the quite ideal solution method in the construction of model, and the model has a certain guiding sense in practice.Key words Differential equation; Law of conservation of mass; Concentration of contaminant。
湖水污染问题
湖水污染问题摘要湖泊为人类提供了丰富的水资源，但也越来越受到各种各样的污染.本文首先在扩散速度无限大即污水流入湖水中后迅速与净水融合的假设前提下，综合考虑了污水注入、流出时的速度和浓度，运用微分方程建立模型。
问题一:我们分为两段时间进行考虑，第一部分即污染物发生泄漏到10:05 得到控制之间的45分钟，我们在参与模型变量连续、充分光滑的假设前提下运用湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染的平衡原理建立微分方程模型。
第二部分即在10：05之后事故得到控制，则此刻之后不会再有污水流入，我们根据污染物的改变量=—流出污染的平衡原理建立微分方程模型。
问题二：要解决湖水中污染物的浓度何时达到最大值，由分析可知在事故得到控制之前,即在10：05之前,湖水中污染物的浓度随时间不断的增加，在事故得到控制之后，随着污染物的流出，净水的注入湖中污染物的浓度会不断的下降，故在10:05时湖水中的污染物浓度达到最大值。
问题三：湖水中污染物的浓度何时达到安全水平,即求污染物浓度p(t)小于0.05％的时间，我们可根据问题一所建立的微分模型求解。
问题四:建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型，我们可以通过计算机模拟得到关键词：微分方程模型、平衡原理、扩散速度无限大一、问题的重述下图是一个容量为20003m的一个小湖的示意图(图一),通过小河A水以0.08sm3的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。
在上午9:20,因交通事故,一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。
在采取紧急措施后，于上午10：05事故得到控制，但数量不详的化学物质T已泻入湖中，初步估计T的数量在53m至203m之间。
问题一:请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；问题二:估计湖水何时到达污染高峰；问题三:何时污染程度可降至安全水平(〈=0。
05％）;问题四:建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型；二、模型的假设1、不区分污染物只考虑湖水中污染物的浓度，系统视为单流入单流出系统；2、污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关;3、参与模型变量连续、充分光滑;4、湖的容积不变即湖水体体积不变（不考虑渗漏、降水等因素）；5、忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化；三、符号说明W：倾倒在x处得污染物的总量（3m）；v：污染物流入湖中的速率；ui（t）：表示t时刻湖水的流入速度；uo(t）：表示t时刻湖水的流出速度;pi(t）：表示t时刻流入的污染物的浓度;po (t）:表示t时刻流出的污染物的浓度;图一p （t ）：表示t 时刻湖水中污染物的浓度； V:表示湖水的体积；四、模型的建立与求解（一)问题一1.1.1问题分析:该问题要求湖水的污染程度随时间的变化，分析问题我们视此问题为单流入单流出系统（如图二所示），我们以秒（s)作为时间单位，在上午10：05事故得到控制前的（45*60)秒之内即0<t<45*60时间内，污染物流入湖中的平均速率v 0=60*45W3m /s,我们根据参与模型变量连续、充分光滑；忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化的假设前提，可知湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染1根据湖水中污染物的改变量=流入污染—流出污染的平衡原理，我们可 得：V[p （t+Δt ）— p(t)］=[ u i （t)* p i (t)— u o （t ）*p o （t ）]＊Δt两边同除以Δt,且取极限得：V ＊dtdp= u i (t ）＊ p i （t)- u o (t ）＊p o (t ） 即：dt dp =Vt p t u t p t u o i i )(*)()(*)(0- (1）1）由模型假设2“污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关”，可知在t 时刻湖水中污染物的浓度p （t ）和t 时刻流出的污染物的浓度p o (t ）相同,即p o (t)= p(t ）则(1）式变为：dt dp =Vt p t u t p t u i i )(*)()(*)(0- （2） 2)由题我们可知湖水的流入速度u i （t ）= 湖水的流出速度u o （t)= u o = 0.08s m 3， 则:dt dp =Vt p t p u i )]()([*0- （3） 3）t 时刻流入的污染物的浓度P i （t ）= v 0/ u o ，得:dt dp =V t p u v u o )](/[*00-=V v o -Vu 0＊p （t) （4） 利用常微分方程中的常数变易法,求（4）式的线性齐次微分方程的通解得：dt dp =-V u 0＊p 即：pdp=—V u 0*dt两边同时积分得：lnp=—Vu0*t+c 1, 则：p=c 2*eVt u *0-(c 1、c 2是任意常数）利用常数变易法令：p(t)=c （t)*e Vt u *0- （5）两边同时对t 求导得:dtt dp )(=c '(t)* eVtu *0-- Vu0＊c(t ）＊ e Vt u *0- （6）4）由方程(4）和（6)可得: c '（t)* e Vt u *0-- Vu0＊c(t ）＊ eVt u *0-=V v o -Vu0*p （t) （7）即：c '（t)＊ eV tu *0-=Vv oc '（t)= Vvo * eVt u *0积分得：c(t)= 00u v＊eVu t 0*+c （其中c 为任意常数) （8)5）由方程（5）和（8）可得：p(t ）= (00u v＊eVu t 0*+c)＊ eVt u *0-=0u v +c* e Vt u *0- （9)在t=0时刻时，即上午9:20时，由于此时刻刚刚在X 处发生事故，污染物还没有流入到湖水中，故此时湖水中污染物的浓度为0，即：p(0）=0;带入（9） 得:c=—u v 所以：p （t)= 00u v —0u v * eVt u *0- （10）1。
数学建模期末作业(嘉兴)
数学建模期末作业题一 河水污染问题如图是一个容量为32000m 的小湖，小河A 以310.1/m s -的速率向小湖注入河水，而小湖又以同样的速率通过小河B 流出，在上午9:20， 该地区发生交通事故，一个装有有毒化学物质的容器倾翻，在图中点X 处注入湖中，采取紧急措施后，于9:50分得到控制。
但数量不祥的有毒化学物质Z 流入湖中。
据估计Z 的量在35m 与320m 之间。
建立相应的模型来估计湖水受污染的程度随时间的变化函数关系并估计⑴湖水何时达到污染高峰；⑵何时污染可降至安全水平？(≤题二 选址问题考虑A,B,C 三地，每地都生产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（见下表），已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为A —B ：150,km B —C ：200,km A —B ：100.km 又每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元，由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同，问怎样在何处设厂，规模多大，才能使总费用最小，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模不能超过5万吨。
题三 雇员的聘用问题某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少需要80人，周六至少需要90人，现规定应聘者每周需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天需要聘用多少人，使在满足需要的条件下，所聘用的总人数最少。
如果周日的需要量由80增至90人，方案应该怎样改变？若全时雇员（一天工作8小时）可以通过临时聘用的半时雇员（一天工作4小时，且无需连续工作）来代替，但规定半时雇员的工作量不得超过工作总量的四分之一，又设全时雇员和半时雇员每小时的酬金分别为5元和3元，试确定聘用方案，使在满足需要的前提下，所付的酬金为最小。
题四 肿瘤问题肿瘤大小V 生长的速率与V 的a 次方成正比，其中a 为形状参数，01;a ≤≤而其比例系数K 随时间减小，减小速率又与当时的K 值成正比，比例系数为环境系数.b 设某肿瘤参数1,0.1,a b ==K 的初始值为2,V 的初始值为1,问⑴此肿瘤生长不会超过多大？⑵过多长时间肿瘤大小翻一倍？⑶何时肿瘤生长速率由递增转为递减？⑷若参数2/3a =呢？题五 油气田的开发问题油气田开发试验表明：准确预测油气产量和可开采储量，对石油工作者来说，始终是一项既重要又困难的工作. 1995年，有人通过对国内外一些油气田的开发资料，得出结论：油气田的产量与累积产量之比()r t 与其开发时间存在着半指数关系：()lg .r t A Bt =-根据某气田1957~1976年总共20个年度的产气量数据（如下表），建立该气田的产量预测模型，并将预测与实际值进行比较.10m.注：产量单位83要求：每位学生在上面五题中可以任选一题，最迟于17周的周二前上交作业.。
数学建模_湖水污染问题
湖水污染问题一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。
在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。
在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m3至20m3之间。
（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=%)。
二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。
用分钟作为时间t的单位。
在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*（m3*min-1）。
因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。
四.模型的建立湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/F(0)=0；2000F’=Z/2000F’+=Z/60F’+2000=Z/120000所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000;y=[]=[（Z/120000）（2000/）*+C]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F（t）= Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。
显然是t=60时，污染达到高峰。
此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-）= *10-4Z然后污染物被截断，故方程为：2000*dF/dt=,F(t)=F（60）；当它达到安全水平时，即F（t）=%，可求出t=D。
湖水污染问题的数学建模与求解
中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。
通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。
同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。
在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。
并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。
一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。
PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。
10L，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。
现已知：Pristine湖的湖容量为15PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。
讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；二三2.2 符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ；ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。
数学建模湖水污染
⎛ f x1 A=⎜ ⎜ gx ⎝ 1
f x2 ⎞ ⎟ g x2 ⎟ ⎠
, q = det A
P1 稳定， P2 不稳定
d + r0 / V < c0 r2
r0 ⇒ <V c0 r2 − d
则 c0 越小，V 越大
V1 − c1，b1 (输入), r1;V2 − c2，b2 (输出)
⎧ dc1 Q ⎪ dt = V (c0 − c1 ) − r1b1c1 ⎪ 1 ⎨ ⎪ db1 = b ( r c − d − Q ) 1 2 1 ⎪ dt V1 ⎩
有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物 浓度成正比。
[b( t + Δt ) − b( t )]V = r2 c ( t )b( t )V − b( t )Vd − r0 ( t )b( t ) − −( r1 = r0 ) Δt
[c( t + Δt ) − c( t )]V = c0 r1 ( t ) − cr0 ( t ) − rs b( t )c ( t )V Δt
p1 ( t ) = K 0e − at 控制污染物的排放： dp 1 = − ( p( t ) − K 0e − at ) dt τ p( 0 ) = K 0
p( t ) = ( K 0 /(1 − aτ ))(e − at − aτ e − t / τ ) ⇒ lim p( t ) = 0 t →∞
t 时刻，
流入湖水的流速 r1 ( t ) 流入湖水的污染物的浓度 p1 ( t ) 流出湖水的流速 r0 ( t ) 流出湖水的污染物的浓度 p0 ( t ) 湖水的体积
V (t )
湖水的污染物的浓度 p( t )
[ p( t + Δt ) − p( t )]V = p1 ( t )r1 ( t ) − p0 ( t )r0 ( t ) Δt dp ⇒V = p1 ( t )r1 ( t ) − p0 ( t )r0 ( t ) = r0 ( t )( p1 ( t ) − p( t )) dt
[数学建模]湖水污染问题
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湖水污染问题Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。
PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。
假设：1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。
已知:Pristine湖的湖容量为l159.114l年。
PCA声1010，流入(流出)的水流速度为/称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。
问题：1.在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。
2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l，再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。
以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。
3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问，请向你的雇主提交一份报告.内容包括:(1)在工厂停产(或半停产)条件下，湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l)；(2)为保护环境，对PCA进行整改的建议。
模型的建立1.假设1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。
假设1.2保证了湖的体积稳定，为V。
假设3保证了湖泊的中溶液是均一稳定的假设4保证了Pure河作为流入Pristine湖的唯一河流对Pristine湖中污染的决定性作用。
2.问题1由于PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。
我们姑且可以认为污染源的浓度为恒定的常量C。
通过生态环境物质守恒原理：积累量=输入量-输出量+生成量建立平衡过程模型由于假设湖内没有其他污染源，可以断定不存在生成量。
已知湖泊体积为V ，污染源的河水浓度为C ，流入和流出的体积为Vq ，湖泊内污染浓度为r （t ）则我们可以建立每年的污染积累量的模型：[r(n)-r(n-1)]V=CVq-r(a)Vq其中r(n)表示第n 年的湖泊污染浓度；n-1≤a ≤n ，r(a)表示在第n 年与第n-1年中的任意时刻的湖泊内污染浓度。
数学建模-湖水的自我净化问题
数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。
模型：解决本问题需要用到微元法建模。
方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。
结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。
一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。
若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。
试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。
2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。
二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。
2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。
3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。
三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。
w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。
t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。
2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。
污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。
在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。
2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。
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中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。
通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。
同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。
在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。
并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。
一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。
50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。
PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。
PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。
现已知：Pristine湖的湖容量为L，流入（流出）的水流速度为L/年。
PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。
讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；2.2 符号系统：河水污染浓度mol/L；：湖水污染物浓度mol/L；：湖泊容量L；：自然净化速率mol/（L。
年）：流入（流出）的水流速度L/年；：从PCA建厂至考察时刻的时间段。
三、问题的分析3.1 问题分析：对于问题中几个词语的理解：1.是否会恶化——湖的环境恶化即湖水污染浓度大于0.001mol/L，要判断其是否会恶化，则需计算在某一污染物积累速度（分析影响此速度的因素）下，湖水能达到的最大污染浓度和其变化趋势，以及湖水经几年超过0.001mol/L，经过几年达到最大污染浓度。
2.自然净化——自然净化是独立的生态系统进行自我调节的方式之一，是在空气，阳光，水和细菌的参与下，进行包括物理沉降，化学反应和生物转化三大方面的活动，其最终作用是将污染物转化为无害物质，从而净化生态系统。
当河水输入湖泊并均匀混合之后，影响湖水污染浓度的唯一因素便是自然净化速度。
湖水污染问题水流的动态流程图：此问题中，我们考察对象是湖水污染浓度的变化趋势：1.在整改之前，其增加的趋势，超过净化指标0.001ml/L（即湖水恶化）的可能性和时限；2.在全停产（无污染物输入）和半停产的情况下，其降低的趋势，达到净化指标的时限。
3.在整改之后，其增加的趋势，未定与净化指标之下某一水平的时限、在前假设条件的基础之上，湖水容量不变，出河水外无其他的污染源，故我们可将湖泊作为一个封闭的生态系统，其简化的湖水被污染的动态过程为：受污河输入湖泊，河水与湖水均匀混合，受污河水进行自我的净化，湖水数出湖泊。
湖中污染物的量直接决定了湖水污染浓度，而污染物的量受到以下两方面因素的影响：1.河水的污染浓度及其流入速度（根据已知此速度不变），2.湖水的自然净化速度，前者使其增加，后者使其减少（负增加）。
问题一、二、三的实质都是要分析污染浓度的变化趋势，其去表便在于前一因素的不同。
问题一中，河水污染浓度不变，恒为0.001mol/L；问题二中，河水污染浓度可能会变化，受PCA效益的影响而按一定规律波动；问题三中，在全停产或半停产的情况下，和硕污染浓度为0或减为问题二中的一部分。
后一因素（自然净化速度）在三个问题中的作用都是相同的。
根据微积分的知识可知，在适当短的时间段之内，通过建立微分方程，可以将连续的过程离散化，从而可以得到湖水污染浓度与时间之间的关系式。
利用时间步长发，缩小步长值（从年到月到天），并与微分方程所得的精确解做出比较。
四、模型建立与求解问题一：根据PCA的公开申明和所提供数据，可认为：河水污染浓度恒为0.001mol/L。
从存在自然净化和不存在自然净化两个方面考虑：（1）．在不考虑自然净化的情况下：由于假设湖中流入量和流出量相等，而在经过与湖水均匀混合后，流出湖水污染浓度明显减小，故流出污染物的量小于流出污染物的量，污染物将在湖中沉积，从而使湖水污染浓度增加，当其增加至于输入的河水污染浓度相等时，河水污染浓度达到最大，并稳定在这一数值，不在增加。
建立湖水污染浓度随时间变化的微分方程模型：设在极短时间，湖水污染浓度增加，在将湖水被污染这一连续动态过程简化为离散的瞬间静止状态（如问题分析中所述）之后，根据湖中剩余量=输入量—输出量，我们可以列微分方程如下：化简可得： (1)带入L，L/年和mol/L的数据，我们可得到和的关系式如下：通过此关系式我们可知，当时，湖水污染浓度将趋近与0.001mol/L，即湖的环境不会恶化。
建立计算机模拟模型：湖水污染浓度的变化时有湖中污染物随时间的积累而引起的，这个逐步积累的过程我们可以用计算机进行仿真模拟，其实质为完成一个循环累加的过程，并可改变时间步长，如一年一年的累积，一月一月的累积，一天一天的累积，从而使我们的模拟值逐步精确，可与微分方程求得精确解比较，分析误差。
为提高模拟结果的精确性和运算的效率，我们采用了逐天累加，数出年污染浓度的方式。
模拟程序见附件一，从后面的分析中我们可知：在此河水污染浓度恒定，无自然净化的最简单的情况下建立的模型是以后问题的基础，后面的问题只是改变条件或数据，其实质是不变的，故我们在此程序中加入了多个选择语句，在不同德条件或数据下执行不同的命令，从而用一个程序解决全部的模拟问题。
模拟所得的数据如下表1：年份 1 3 5 8 101.73 4.35 6.14 7.82 8.51年份15 20 30 40 509.43 9.78 9.97 9.995 9.999根据模拟数据所作的湖水污染浓度变化趋势图如下图1：模拟所得的数据显示：湖水污染浓度将稳定于0.001mol/L，这与分析微分方程所得的结果是相符的。
（2）在考虑自然净化的情况下：A.首先，我们应该了解什么事自然净化。
根据资料显示：湖水中的污染物可分为有机污染物和无机污染物两大类，在多种环境因素（阳光，空气，水，水中生物，水中化学物质，重力等）的作用下，通过物理沉降，化学反应和生物转化一系列复杂的活动，它们的量会发生变化。
有机物在水环境中的迁移转化过程如图2：可以看出整个过程是相当复杂的，不仅过程多，而且在相同的过程中，不同的物质有着不同的结果。
此问题中没有明确给出输入湖中的污染物种类，也没有对湖泊环境做任何描述，无疑给问题的解决增加了极大的难度。
为是问题简化，我们从一般的情况出发，假设：湖中所进行的反应均为一级反应，有机物的存在不会对环境参数造成改变，环境固定（自然净化速率恒定），考虑湖泊生态系统中起主要作用的几种过程作简要分析：1.物理沉降。
不同物质有着不同的沉降速度常数，沉降速率为；2.挥发。
不同物质有着不同的挥发速率常数，在有机物在水体上的大气中的分压为0的条件下，挥发速率为(为水体深度)3.水解反应。
不同物质有着不同的水解速率常数，在一级反应的条件下，水解速率为；4.生物降解反应。
不同物质有着不同的降解速率常数，在一级反应的条件下，生物降解速率；B.在最简模拟程序的基础上，从每天的积累量中减去每天的自然净化量时间步长，重复循环可得到逐年湖水污染浓度的值，设。
越大，湖水污染浓度将越快稳定于一个更小的浓度值。
模拟所得的数据如下表2：年份 1 3 5 8 101.587 3.437 4.315 4.878 4.984年份15 20 30 40 505.087 5.103 5.106 5.106 5.106根据模拟数据所作的湖水污染浓度变化趋势图如下图3：C.进一步考虑自然净化速率的影响。
更贴近于实际的情况是，自然净化速率与湖水污染浓度成指数关系，随着的增加而增加，但增加的速率会逐渐减小，用关系式表达即可为：，A,B为与环境和污染物种类有关的常数。
将此关系式带入微分方程（2），得到一个新的微分方程，此方程无解。
但是我们可以通过计算机模拟求得数值解。
A的大小影响着最终稳定浓度，B的大小影响着达到最终稳定浓度的快慢。
在前面达到线性关系的基础上，在=0/。
001mol/L处的值大小确定A至数量级，并稳定年限定在10—20年间，从而得到一组估计值：模拟所得数据如下表3：年份 1 3 5 8 101.4932.9713.539 3.816 3.871年份15 20 30 40 503.903 3.906 3.906 3.906 3.906根据模拟所得数据所作的湖水污染浓度变化趋势图如下图4：观察数据可知：无论自然净化速率与污染浓度成线性关系还是指数关系，当河水污染浓度=0.001mol/L时，都将稳定于一个小于0.001mol/L的值，也即：湖的环境不会恶化。
问题二：根据实际情况，在此我们只考虑存在自然净化的情况。
（1）.河水污染浓度恒定为0.05mol/L:与问题一（2）相同，只是=0.05mol/L，沿用问题一（2）的微分方程模型和差分模拟模型，我们可以得到以下结果：A.微分方程模型（自然净化速率与湖水污染浓度成线性关系）：当时间时，，即湖水污染浓度稳定于一个与K有关的值。
当=0.05mol/L时，如要稳定于0.001mol/L则K值为。
根据我们设定的可计算，湖水最终污染浓度=0.0317mol/L，超过净化指标0.001mol/L，故在此条件下，湖的环境将会恶化。
B.差分模拟模型：在与成线性关系时，得到模拟数据如下表4：年份 1 3 5 8 100.82 1.88 2.46 2.88 3.01年份15 20 30 40 503.13 3.16 3.17 3.17 3.17在与成指数关系时，得到模拟数据如下表5：年份 1 3 5 8 100.81 2.01 2.81 3.59 4.02年份15 20 30 40 504.32 4.48 4.56 4.58 4.58观察以上数据可知：由于河水污染没得过大，河水污染没得从第一年起就超过了净化指标，并逐年增加，是湖的环境恶化。